夏之舟致數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)解析幾何的新人們(數(shù)學(xué)分析篇)

1、作者:數(shù)學(xué)貝殼致數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何的新人們各位2012級的新同學(xué)們：從9月10號起你們就正式進入大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)了。一開始你們就遇到了數(shù)學(xué)專業(yè)的三座大山：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何。數(shù)學(xué)分析不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)，也是后續(xù)許多課程包括常微分方程、偏微分方程、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)等等的基石。而高等代數(shù)，則是代數(shù)學(xué)的引路，之后的抽象代數(shù)，矩陣論，群論，數(shù)值代數(shù)都是它的衍生品，你看似簡單的解析幾何，高等幾何是之后微分幾何，微分流形，代數(shù)幾何的先修課，著名的華裔數(shù)學(xué)家丘成桐先生也因為在微分流形的杰出貢獻(xiàn)被授予數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎沃爾夫數(shù)學(xué)終身成就獎。不知道大家在上了各門課的第一堂課后有什么樣的感受？是

2、一下子懵了，還是興致勃勃？作為一個過來人，希望給大家一些經(jīng)驗，如何學(xué)好這些課，選擇一些什么樣的素材來補充自己。文章寫的比較長，希望大家有耐心看完。我想會對你非常有幫助。數(shù)學(xué)分析篇一、一些還不錯的教材 直接進入主題好的教材是相當(dāng)重要的。所以讓我們從教材開始。 先說說國內(nèi)。應(yīng)當(dāng)來說國內(nèi)公認(rèn)的比較好的數(shù)學(xué)分析教材一共有三套，這里只介紹兩套。1.數(shù)學(xué)分析，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社 這套教材也是北科大數(shù)學(xué)系一直使用的課本（不過聽說自2011級開始理科實驗班換成了數(shù)學(xué)分析，李忠，高等教育出版社，個人對這套教材保留意見）。這本教材堪稱數(shù)學(xué)分析的經(jīng)典，如果我沒有記錯第一版發(fā)行于1978年，已經(jīng)有四十

3、多年的歷史，現(xiàn)在最新的是第四版。這么長時間，經(jīng)久不衰是其品質(zhì)最好的檢驗。就難度而言，這本教材應(yīng)該算中上。第三版第四版就知識結(jié)構(gòu)來說沒有什么大的變動，小的變動可以看書的第四版的前言。但是，在課后題，例題上有了較大的更新，豐富了題目的數(shù)量與質(zhì)量（一些題都是吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集里的題目，另一些題是一些高校的考研試題）。所以要學(xué)好數(shù)學(xué)分析，先必須搞懂課本知識，把每個題目做會了，做出感覺來，這樣算進入成功入門的第一步了。2.數(shù)學(xué)分析，復(fù)旦大學(xué) 陳紀(jì)修，高等教育出版社 這本教材被總體上與華師大介紹的內(nèi)容一樣，但是在順序上有所不同。除此之外比較明顯的一點，加強了向量函數(shù)的概念，介紹了梯度散度這些在華師大

4、的書里選學(xué)的內(nèi)容。難度上來說兩本書差不多。據(jù)說復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系的同學(xué)就是用的這本書。這里值得一提的是，這兩本書都以蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家菲赫金哥爾茨的微積分學(xué)教程為藍(lán)本編寫，很多地方都能看是援引那里的許多材料。（這里插一句廢話，由于國情原因，應(yīng)當(dāng)說中國高等數(shù)學(xué)的教材（2000年以前的）基本上參考了蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)知識體系，所以，在學(xué)習(xí)國內(nèi)一些教材的時候，想挖掘的深入一些，可以看看一些選譯的俄羅斯教材。因為俄羅斯的數(shù)學(xué)，特別是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)真的很強。）對于這部微積分學(xué)教程，我要念叨幾句。第一，我們的老師，我們老師的老師，我們的老師的老師的老師，很多以前都讀過這本書或者翻譯過這本書，如果沒有讀過起碼也是聽過或者參考過部

5、分章節(jié)。如果說華師大的數(shù)學(xué)分析是經(jīng)典之作。那么這本微積分教程堪稱劃時代的巨著，數(shù)學(xué)的名著里面例題材料之豐富，知識體系的構(gòu)架的完整，我想迄今為止沒有一部其他的分析書可以超越。盡管這本書寫于上個世紀(jì)40時年代，站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的角度上，有很多理論已經(jīng)是較為落后的，但是這本書仍然不失為一本名著。第二，這本書一共三卷，1700多頁，高等教育出版社出版了中文版，目前更新到第八版，圖書館可以借閱。北京大學(xué)數(shù)學(xué)系的指定教材。所以如果各位學(xué)霸，以及真正想學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門課的同學(xué)，如果你學(xué)有余力，可以閱讀一下。我不建議所有人都看，因為這實在是一個巨大的工程，不少地方寫的有點深，大家根據(jù)自己的興趣來抉擇。第三，正

6、如剛剛所說，這本書的例子特別豐富，所以大家在第一節(jié)課上聽到老師推薦的吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集有近30%的題目取材于這本書。 既然說到了俄羅斯。那就來說說國外的數(shù)學(xué)分析教材吧。 首先，我要說不太贊成新人看國外的數(shù)學(xué)分析教材，即便是中譯本?？赡苣銜蚵犚恍┠愀咧袝r候比較牛的，考到比較牛的大學(xué)里的同學(xué)數(shù)學(xué)分析用什么教材。不否認(rèn)有部分學(xué)校諸如浙江大學(xué)丘成桐班，北京大學(xué)元培實驗班，清華大學(xué)基地班等等直接上國外的教材。但是那些同學(xué)是什么水平，你應(yīng)該比我清楚。所以，我建議我們自己還是按部就班的來，其實我們的教材未必比那些學(xué)校的教材差?；A(chǔ)扎實了，后面學(xué)起來就輕松了。 又扯遠(yuǎn)了?；氐秸}。為什么不推薦。理由有

7、以下幾個： 第一，我剛剛提到過，我們的數(shù)學(xué)教材，不管是數(shù)分高代還是其他學(xué)科，基本上照搬了蘇聯(lián)那一套。但是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析（你應(yīng)該知道現(xiàn)在的數(shù)學(xué)中心是美國吧），一些主流的歐美教材都是不太注重公理化體系的。他們一般都是站在現(xiàn)代分析的觀念上去研究數(shù)學(xué)，他們的數(shù)分一開始講的是拓?fù)?，什么集合的性質(zhì)，連通性，反正這些東西基本一看就暈了。就像Harvard University著名數(shù)學(xué)家Rudin寫過一本數(shù)學(xué)分析原理，真的很不錯，但是可惜的是它除了講了一些數(shù)分，還講了一些實分析泛函的東西，如果大家一開始看這些，那就真的成天書了。國外教材中心專家推薦，這本書應(yīng)該是高年級數(shù)學(xué)系學(xué)生看，比如你學(xué)完數(shù)學(xué)分析、實變函數(shù)去

8、看這本書就為了求一些經(jīng)典教材，追逐一流高校的教材，反而學(xué)不好，喪失了信心與興趣。 第二，我的一位導(dǎo)師跟我說，他認(rèn)為數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，有一本主要的教材，其他教材當(dāng)作補充材料，課外閱讀素材，先扎實基礎(chǔ)，再拓寬知識面，才能學(xué)的好。但是怎么選擇一本好的教材，我想我們用的數(shù)學(xué)分析教材絕對算的上是上乘的，所以建議大部分同學(xué)以這本書為中心，把課本每個知識點，定理，推論搞明白了，再把后面題目做會了，做出感覺了，你又何愁數(shù)分學(xué)不好呢？一開始定位的太高，只會摔得粉身碎骨。二、習(xí)題集1.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集 我想幾乎所有大學(xué)第一節(jié)數(shù)學(xué)分析課，老師都會給大家推薦這本盛行了幾十年的吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集，據(jù)說花了1

9、5年才寫成了這本習(xí)題集。這本書目前官方授權(quán)高等教育出版社發(fā)行，似乎出到了2010年版，大題據(jù)說有4000多個，小題合計在一起大概在5500個。我聽聞基本上是北大數(shù)學(xué)的學(xué)生都會做完這本書，這本書的重要性不言而喻。 不過這里，筆者和曾經(jīng)講授數(shù)學(xué)分析的牛敏老師保持一致觀點，這本習(xí)題集題目多，但是同一類型的題目也多，偏題怪題也多，個人并不是很推薦。市面上有很多吉米多維奇習(xí)題集的解答，以南京大學(xué)和山東大學(xué)的解答為主。2010年高等教育出版社出版了蘇州大學(xué)謝惠民老師編寫的吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集學(xué)習(xí)指引一共三本，個人覺得比市面上那些吉米多維奇習(xí)題集的解答好的多，一方面，它遴選了具有典型意義典型方法的題目講

10、解，在解答的時候經(jīng)常一題多解；另一方面，它的著眼點不是告訴你不知是答案是什么，而力求告訴你怎么得到這個答案。編者是怎么分析這些題目，怎么思考的。正如我們所知道，在一開始，這些模仿很重要！等你累積了足夠的經(jīng)驗，自己就能完整地挑戰(zhàn)難題了。2.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義，謝惠民，高等教育出版社 這本數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義一共2本。是國家級數(shù)學(xué)分析精品教學(xué)團隊蘇州大學(xué)的習(xí)題課的講義，這本書，除了印刷上的一些錯誤，個人認(rèn)為可以稱為國內(nèi)目前數(shù)學(xué)分析最好的習(xí)題書。一方面，它有知識的歸納整理，以及一些定理的拓展和發(fā)散，加深了對知識的應(yīng)用和理解；另一方面，它附有豐富的習(xí)題，一些來自于吉米多維奇習(xí)題集，一些來自于常規(guī)數(shù)學(xué)分析

11、課后習(xí)題，一些來自考研題，一些來自數(shù)學(xué)競賽題，一些來自數(shù)學(xué)分析一些理論的論文，理論與應(yīng)用相得益彰。每節(jié)設(shè)有思考題和練習(xí)題，思考題多是對一些容易混淆的概念的辨別，數(shù)學(xué)分析中的一些反例。練習(xí)題由基礎(chǔ)題和中等題組成（比我們的課后題難）。每章最后附有參考題，都是一些很難的競賽題和考研題。那些對數(shù)分感興趣的同學(xué)可以好好研究一下。 當(dāng)然最值得一提的是，這本書是沒有答案的。所以可以徹底斷了你看答案的念頭。當(dāng)然同時造成了不知道自己做的是錯的還是對的問題，筆者一直在做這本書，有共同意向的同學(xué)可以聯(lián)系我，我們可以交流。 如果能把上面的題目做會了，理解了，吸收了，我想數(shù)學(xué)競賽就算在清北北師大高手如云的北京賽區(qū)，拿一

12、等獎也是可能的！北京大學(xué)等一線高校都選用這本書做習(xí)題課的指定用書。3.數(shù)學(xué)分析解題指南，林源渠，北京大學(xué) 在北京大學(xué)的習(xí)題課里也會使用這本書。這本書是在北大前幾年和周民強老師的數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練吉米多維奇習(xí)題集都是北大數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的用書。 我不知道大家學(xué)了數(shù)分之后是不是覺得，數(shù)學(xué)的證明變得太機械化，不夠富有技術(shù)含量。那么不得不說，這本數(shù)學(xué)分析習(xí)題指南里面的習(xí)題解答都有很強的技巧性，如果對解題技巧感興趣的同學(xué)，相信會很喜歡這本書。這本書很多題都用巧妙的方法解答出來，短短幾行完成了他人一頁多的答案，頗為精彩。 提一句，校內(nèi)數(shù)學(xué)競賽很多題目都出自這本書。4.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法，裴禮文，高等教

13、育出版社 這本書俗稱磚頭書，跟一塊磚頭那么大。 這本書按課本章節(jié)編寫，對每一類問題比如求數(shù)列極限，大概歸納了十幾種方法然后每種方法對應(yīng)例題。但是比較遺憾的是，這本書主要是寫給考研或者數(shù)學(xué)競賽的人看的，所以當(dāng)初學(xué)者看的時候，很多提到的方法都要用到還沒學(xué)到的知識，比較尷尬。但是這本書相當(dāng)好，題目豐富且典型。關(guān)于習(xí)題集暫且就推薦這四本吧。三、關(guān)于怎么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析對大多數(shù)同學(xué)來說都是一種折磨，特別是到了第二、第三學(xué)期，后來就基本聽不懂老師在講什么東西了。原因很簡單，因為前面沒學(xué)好。你會發(fā)現(xiàn)數(shù)分和高代有那么點不同。數(shù)分是一環(huán)扣著一環(huán)的（高代比如線性變換和行列式，多項式還可以分割開來，當(dāng)然在一些

14、深入一些的高等代數(shù)書里，這些知識點之間都因為秩，多項式緊密相連）學(xué)完數(shù)列極限就是函數(shù)極限，極限完了是連續(xù)，連續(xù)完了就是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)完了就是微分定理，然后微分完了就是積分了，先不定積分后定積分，最后反常積分。然后是級數(shù)，級數(shù)完了就跳到多元函數(shù)了，再討論一遍極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，積分所以數(shù)學(xué)分析只要一環(huán)出了錯，你后面學(xué)起來就會很累。 其實一開始所有人都是站在同一條起跑線上的。但是為什么后來出現(xiàn)了差異，那就是你后天努力的原因了。所以才有良好的開始，成功的一半。大一第一年基本奠定了你大學(xué)四年的風(fēng)向標(biāo)吧。 好吧。扯遠(yuǎn)了?；氐皆趺磳W(xué)數(shù)分上來。首先，是說得人神共憤N+1次的預(yù)習(xí)，一定要預(yù)習(xí)。因為老師上課講的比較快

15、（記得最快時候會將20頁）或者比較發(fā)散，你要是沒有預(yù)習(xí)過，很多情況下就是聽天書。大學(xué)和高中不一樣，很多東西老師不講，或者老師認(rèn)為你自己應(yīng)該學(xué)會，所以更多靠你自己學(xué)的?？赡苡腥藭?，我自己預(yù)習(xí)了都看懂了，還要聽老師講做什么。那些喜歡勸我們放下屠刀的禪師總會說“一千個讀者心中有一千個哈姆雷特”。所以對知識的理解也一樣。我們的很多老師都是很厲害的，你去聽他的課不是去聽你會的那80%，而是去聽你不懂的20%，這樣你才算沒浪費時間，沒浪費糧食，沒浪費父母辛辛苦苦掙的血汗錢。正如你現(xiàn)在正在看我扯淡，但是我有扯，也有很多實質(zhì)性的內(nèi)容和信息，如果不是全文讀完，不是認(rèn)真看一遍，你怎么知道我哪里說的是廢話，哪些是

16、對你有用的？很多知識點站在另一個角度理解起來就不一樣了。我曾經(jīng)問過幾個學(xué)弟學(xué)妹，比如我給你一道你認(rèn)為極其簡單的題目，比如求極限，你能不能一秒鐘看出來？不能的話，說明你水平不夠。再看書再做題。預(yù)習(xí)時候可以把不會的標(biāo)注出來，上課時候要格外認(rèn)真聽，會的就當(dāng)取檢驗老師有沒有講錯，看看他的理解和你的理解有什么不同。接著說聽課。聽課這件事。就我個人而言，深有體會。在第一排聽和在最后一排聽基本是兩個效果。各位看過最近人人網(wǎng)上傳的那張教室QQ表情嗎。其實坐在哪排一開始就決定了你學(xué)習(xí)的傾向，唯心主義的理論意識決定物質(zhì)：你有很強的學(xué)習(xí)欲望，強烈的上進心基本上不會坐在三排以后（新生剛來搶座位不算的話），反之吊兒郎當(dāng)

17、，對數(shù)學(xué)沒興趣，不想聽課基本上也會有意識往后坐，然后就是補覺黨，爪機黨，好吧我無力吐槽了，不然我又要扯到哲學(xué)問題上去了。上課時候認(rèn)真聽講是必要的，但是不是充分的。做筆記。這是男生的軟肋。一般來說女生都會認(rèn)真做聽課筆記，男生覺得有時候老師PPT或者黑板上寫的就是書上的內(nèi)容，或者出的題目太簡單了，不會不想不愿意做筆記。而事實是，期末考的很多題目都來自于作業(yè)，課堂例題，極少部分是全新的。不要簡單就不寫一遍，不要覺得書上有就不抄，你也知道是書上的，那是書的，不是你的。禪師還說過“絕知此事要躬行”，從心理學(xué)和生理學(xué)的角度來說，看著老師推導(dǎo)和自己推導(dǎo)，那是兩種不一樣的感受。不要覺得很簡單，往往是很簡單的你

18、還寫不清楚，你還敢說簡單？親，視覺記憶生存期很短，轉(zhuǎn)化為自己的實體記憶才能長久記憶，如果下一次見到的時候你會有一種似曾相識的趕腳，那就對了，因為你的海馬體記得你做過這個題目！ 經(jīng)常有一些數(shù)學(xué)天賦很高，但是沒有良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，自我管理意識的同學(xué)，很聰明，考試考的不高。這里允許我勢利一下?？挤终f出來很庸俗，但是俗到底，說明了你的考試能力，知識水平。你每天夸夸其談自己數(shù)學(xué)思維多么棒，有一毛錢用嗎？誰會相信。進一步，注意你的考試成績幾乎決定了你大學(xué)的命運獎學(xué)金，保研，出國，榮譽稱號等等。所以你懂的。我不再說了，不然會被認(rèn)為政治立場有問題。就此打住。 我期望各位男生們，記住禪師喜歡說的話“好記性不如爛筆頭

19、”。有了筆記，以后復(fù)習(xí)起來也會很方便。 最后說做題。 基本上老師會留一些題目作為作業(yè)，是老師認(rèn)為比較典型的題目。記住，這一部分該證明的就證明，該計算的就計算?；旧系谝粚W(xué)期大家都是好孩子，第二學(xué)期，有了筆記本，有了互聯(lián)網(wǎng)，我只想用六個字來形容這是要逆天??！作業(yè)是抄的，甚至代寫的。作業(yè)完成由當(dāng)天，變成了周末，再成了周末熄燈以后，再成了周一早上，最后成了課堂上我還要繼續(xù)說下去嗎？ 好吧。再次回來。 建議大家作為數(shù)分初學(xué)者，一開始的題目，自己獨立做。自己先做。早上做不出，再回去看書，下午做不出，再看書，晚上還是做不出，好了，下了晚自習(xí)回去和同學(xué)討論吧。這里提個建議，如果問別人怎么做，希望你問清楚的不

20、知是怎么做，還有為什么這么做？別人是怎么想到？這點很重要。授人以魚，不如授人以漁。另外一種方法，真的做不出的情況下，去看答案，把答案理解了，然后合上答案，自己寫一遍，如果寫到一半卡住了，說明你沒看懂（其實在這個過程里你會發(fā)現(xiàn)，看別人寫，聽別人說，和自己親自動手做是兩回事），再從頭看答案。當(dāng)然對應(yīng)的，合上答案書，你要重新推導(dǎo)，直到你能獨立地寫出來。然后完事了嗎？沒有。第二天晚上再把這個題目拿出來做一遍，看會不會。不會再看書復(fù)習(xí)，看答案。說明你沒理解透！過一個星期到了周末，再把這個題目找出來，再獨立做。做不出來，再重復(fù)，直到時隔很久別人問你這種類型的題目，你能不假思索地憑著直覺說出基本思路。方丈很

21、早就說過“山不在高，有仙則靈，水不在深，有魚則靈”，所以做的很多，沒理解，不如做一個自己真正理解的。當(dāng)然上面這個過程不只是重復(fù)，其實是一種模仿。一開始模仿解題者的思路，其實你多寫幾遍就能意外地發(fā)現(xiàn)其實是在理清楚解題者的思路，這對培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是很有好處的。這樣做多了，你自己也會有意識地去形成一些證明思路。到了后期你就不僅養(yǎng)成了一種獨立思考的習(xí)慣，而且有一定的水平！ 既然說到解題，我有一點想說的。大家要盡量力求一題多解。為什么要一題多解，一方面是你數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)水平的體現(xiàn)，另一方面是數(shù)學(xué)技巧的積累。比如我們說數(shù)列極限，我可以按定義求，按迫斂性求，按單調(diào)有解定理求，按Stolz公式求，一道題目你能找

22、出好多種做法來，你獲得的不僅是成就感，而是對知識的融會貫通。 接著說。要學(xué)好數(shù)學(xué)分析，有一點也很重要。就是學(xué)反例。我記得有一本叫做數(shù)學(xué)分析中的反例，比較早了，在圖書館的一樓夾層有。比如我們講導(dǎo)數(shù)的時候會知道可導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的，那連續(xù)的函數(shù)可導(dǎo)嗎？不一定。這時候就需要舉出來一個反例（我們能構(gòu)造一個處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)，就是魏爾斯特拉斯構(gòu)造的那個級數(shù)函數(shù)）。數(shù)學(xué)分析很多定理逆定理都不成立，或者修改一下條件就不能成立了，掌握一些反例能讓你更清楚的理清楚定理的本質(zhì)，和為什么有這些條件。 最后我想分別對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太好的同學(xué)說一下我認(rèn)為的看法。對那些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的同學(xué)，在確保學(xué)會了我

23、們課本上的知識，我建議你可以看難一點的書，一方面對你參加競賽有好處，因為競賽題不可能很簡單。另一方面，以后你要參加別人學(xué)校的夏令營，保研考試，考研都要用別人指定的書，特別像北大清華浙大復(fù)旦一些好的學(xué)校都有自己的教材，一般考試也考這些，這些書比我們的書要來的難，看一看有好處的。對那些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太好的同學(xué)，我建議你們買一本或者借一本我們課本的配套參考書，我指的配套參考書，不是那個什么印著配套答案的答案冊，叫做數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（第四版），和我們課本的封面一樣，是高等教育出版社出版的，由上冊由毛羽輝、吳畏、 韓士安編寫。這些人不是別人，正是寫教材的人，他們對自己寫的教材的理解程度超過任何人。你會發(fā)現(xiàn)這個學(xué)習(xí)指導(dǎo)書不僅列出了知識清單，同時也給出了解疑釋惑，很多你混淆不清的東西都有清晰的解釋，以及豐富的例題，從簡單到難排列。課后題里部分它認(rèn)為有難度或者需要說明