2021年中考數(shù)學(xué)探究題、變式題word版

1、數(shù)學(xué)中考探究題、變式題1、已知，點p是直角三角形abc斜邊ab上一動點（不與a，b重合），分別過a，b向直線cp作垂線，垂足分別為e，f，q為斜邊ab的中點（1）如圖1，當(dāng)點p與點q重合時，ae與bf的位置關(guān)系是 _aebf，qe與qf的數(shù)量關(guān)系式_；qe=qf（2）如圖2，當(dāng)點p在線段ab上不與點q重合時，試判斷qe與qf的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點p在線段ba（或ab）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明3、3（1）如圖（1），已知在abc中，bac=9，ab=ac，直線m經(jīng)過點a，bd直線m，ce直線m，垂足分別為點d、e證明de=bd+ce（2）

2、如圖（2），將（1）中的條件改為在abc中，ab=ac，d、a、e三點都在直線m上，并且有bda=aec=bac=，其中為任意銳角或鈍角請問結(jié)論de=bd+ce是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由（3）拓展與應(yīng)用如圖（3），d、e是d、a、e三點所在直線m上的兩動點（d、a、e三點互不重合），點f為bac平分線上的一點，且abf和acf均為等邊三角形，連接bd、ce，若bda=aec=bac，試判斷def的形狀有一副直角三角板，在三角板abc中，bac=9，ab=ac=6，在三角板def中，fde=9，df=4，de=4將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放，點b與點f重合，直角

3、邊ba與fd在同一條直線上現(xiàn)固定三角板abc，將三角板def沿射線ba方向平行移動，當(dāng)點f運(yùn)動到點a時停止運(yùn)動（1）如圖2，當(dāng)三角板def運(yùn)動到點d到點a重合時，設(shè)ef與bc交于點m，則emc=_度；15（2）如圖3，當(dāng)三角板def運(yùn)動過程中，當(dāng)ef經(jīng)過點c時，求fc的長；（3）在三角板def運(yùn)動過程中，設(shè)bf=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對應(yīng)的x取值范圍已知acd=9，mn是過點a的直線，ac=dc，dbmn于點b，如圖（1）易證bd+ab=cb，過程如下過點c作cecb于點c，與mn交于點eacb+bcd=9，acb+ace=9，bcd=ace四邊形acd

4、b內(nèi)角和為36，bdc+cab=18eac+cab=18，eac=bdc又ac=dc，acedcb，ae=db，ce=cb，ecb為等腰直角三角形，be=cb又be=ae+ab，be=bd+ab，bd+ab=cb（1）當(dāng)mn繞a旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，bd、ab、cb滿足什么樣關(guān)系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明（2）mn在繞點a旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)bcd=3，bd=時，則cd=_，cb=_已知如圖，在平行四邊形abcd中，ab=12，bc=6，adbd以ad為斜邊在平行四邊形abcd的內(nèi)部作rtaed，ead=3，aed=9（1）求aed的周長；（2）若aed以每秒2個單位長

5、度的速度沿dc向右平行移動，得到aed，當(dāng)ad與bc重合時停止移動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，aed與bdc重疊的面積為s，請直接寫出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）如圖，在（2）中，當(dāng)aed停止移動后得到bec，將bec繞點c按順時針方向旋轉(zhuǎn)（18），在旋轉(zhuǎn)過程中，b的對應(yīng)點為b1，e的對應(yīng)點為e1，設(shè)直線b1e1與直線be交于點p、與直線cb交于點q是否存在這樣的，使bpq為等腰三角形？若存在，求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由在abc中，cab=9，adbc于點d，點e為ab的中點，ec與ad交于點g，點f在bc上（1）如圖1，acab=12，efcb，求證ef=cd（2）如圖2

6、，acab=1 ，efce，求efeg的值9、正方形abcd的頂點a在直線mn上，點o是對角線ac、bd的交點，過點o作oemn于點e，過點b作bfmn于點f（1）如圖1，當(dāng)o、b兩點均在直線mn上方時，易證af+bf=2oe（不需證明）（2）當(dāng)正方形abcd繞點a順時針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時，線段af、bf、oe之間又有怎樣的關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明1、如圖1，abc為等腰直角三角形，acb=9，f是ac邊上的一個動點（點f與a、c不重合），以cf為一邊在等腰直角三角形外作正方形cdef，連接bf、ad（1）猜想圖1中線段bf、ad的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直

7、接寫出結(jié)論；將圖1中的正方形cdef，繞著點c按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、圖3的情形圖2中bf交ac于點h，交ad于點o，請你判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中的等腰直角三角形abc改為直角三角形abc，acb=9，正方形cdef改為矩形cdef，如圖4，且ac=4，bc=3，cd=，cf=1，bf交ac于點h，交ad于點o，連接bd、af，求bd2+af2的值11、數(shù)學(xué)活動-求重疊部分的面積問題情境數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片abc和def疊放在一起，其中acb=e=9，bc=de=6，ac=fe=8

8、，頂點d與邊ab的中點重合，de經(jīng)過點c，df交ac于點g求重疊部分（dcg）的面積（1）獨立思考請回答老師提出的問題（2）合作交流“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將def繞點d旋轉(zhuǎn)，使deab交ac于點h，df交ac于點g，如圖2，你能求出重疊部分（dgh）的面積嗎？請寫出解答過程（3）提出問題老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將def繞點d旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題“愛心”小組提出的問題是如圖3，將def繞點d旋轉(zhuǎn)，de，df分別交ac于點m，n，使dm=mn，求重疊部分（dmn）的面積任務(wù)請解決“愛心”小組提出的問題，直接寫出dmn的面積是_ 請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符合

9、老師要求的問題，并在圖4中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注也可在圖1的基礎(chǔ)上按順時針旋轉(zhuǎn)）12、如圖，正方形abcd的邊長是3，點p是直線bc上一點，連接pa，將線段pa繞點p逆時針旋轉(zhuǎn)9得到線段pe，在直線ba上取點f，使bf=bp，且點f與點e在bc同側(cè)，連接ef，cf（1）如圖，當(dāng)點p在cb延長線上時，求證四邊形pcfe是平行四邊形；（2）如圖，當(dāng)點p在線段bc上時，四邊形pcfe是否還是平行四邊形，說明理由；（3）在（2）的條件下，四邊形pcfe的面積是否有最大值？若有，請求出面積的最大值及此時bp長；若沒有，請說明理由13如圖，在梯形abcd中，abdc，b=9，且ab=1，bc=6

10、，cd=2點e從點b出發(fā)沿bc方向運(yùn)動，過點e作efad交邊ab于點f將bef沿ef所在的直線折疊得到gef，直線fg、eg分別交ad于點m、n，當(dāng)eg過點d時，點e即停止運(yùn)動設(shè)be=x，gef與梯形abcd的重疊部分的面積為y（1）證明amf是等腰三角形；（2）當(dāng)eg過點d時（如圖（3），求x的值；（3）將y表示成x的函數(shù)，并求y的最大值14分別以abcd（cda9）的三邊ab，cd，da為斜邊作等腰直角三角形，abe，cdg，adf（1）如圖1，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接gf，ef請判斷gf與ef的關(guān)系（只寫結(jié)論，不需證明）；（2）如圖2，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平

11、行四邊形內(nèi)部時，連接gf，ef，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由15abc是等邊三角形，點a與點d的坐標(biāo)分別是a（4，），d（1，）（1）如圖1，當(dāng)點c與點o重合時，求直線bd的解析式；（2）如圖2，點c從點o沿y軸向下移動，當(dāng)以點b為圓心，ab為半徑的b與y軸相切（切點為c）時，求點b的坐標(biāo)；（3）如圖3，點c從點o沿y軸向下移動，當(dāng)點c的坐標(biāo)為c（，-2）時，求odb的正切值16、已知等腰三角形abc中，acb=9，點e在ac邊的延長線上，且dec=45，點m、n分別是de、ae的中點，連接mn交直線be于點f當(dāng)點d在cb邊上時，如圖1所示，易證mf+fn=be（

12、1）當(dāng)點d在cb邊上時，如圖2所示，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給與證明；若不成立，請寫出你的猜想，并說明理由（2）當(dāng)點d在bc邊的延長線上時，如圖3所示，請直接寫出你的結(jié)論（不需要證明）17、如圖所示，在rtabc中，ab=bc=4，abc=9，點p是abc的外角bcn的角平分線上一個動點，點p是點p關(guān)于直線bc的對稱點，連結(jié)pp交bc于點m，bp交ac于d，連結(jié)bp、ap、cp（1）若四邊形bpcp為菱形，求bm的長；（2）若bmpabc，求bm的長；（3）若abd為等腰三角形，求abd的面積18閱讀下面材料小明遇到這樣一個問題如圖1，在邊長為a（a2）的正方形abcd各邊上分別截取ae=

13、bf=cg=dh=1，當(dāng)afq=bgm=ghn=dep=45時，求正方形mnpq的面積小明發(fā)現(xiàn)，分別延長qe，mf，ng，ph交fa，gb，hc，ed的延長線于點r，s，t，w，可得rqf，smg，tnh，wpe是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙不重疊），則這個新正方形的邊長為 _（2）求正方形mnpq的面積（3）參考小明思考問題的方法，解決問題如圖3，在等邊abc各邊上分別截取ad=be=cf，再分別過點d，e，f作bc，ac，ab的垂線，得到等邊rpq若srpq=，則ad的長為_ 19、如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ab

14、c和dec重合放置，其中c=9，b=e=3（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定abc，使dec繞點c旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點d恰好落在ab邊上時，填空線段de與ac的位置關(guān)系是_；deac設(shè)bdc的面積為s1，aec的面積為s2，則s1與s2的數(shù)量關(guān)系是_（2）猜想論證當(dāng)dec繞點c旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中s1與s2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了bdc和aec中bc、ce邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究已知abc=6，點d是角平分線上一點，bd=cd=4，deab交bc于點e（如圖4）若在射線ba上存在點f，使sdcf=sbde，請直接寫出相應(yīng)的bf的長2、已知兩個共一個頂點的等腰r

15、tabc，rtcef，abc=cef=9，連接af，m是af的中點，連接mb、me（1）如圖1，當(dāng)cb與ce在同一直線上時，求證mbcf；（2）如圖1，若cb=a，ce=2a，求bm，me的長；（3）如圖2，當(dāng)bce=45時，求證bm=me21、如圖，在正方形abcd中，p是對角線ac上的一點，點e在bc的延長線上，且pe=pb（1）求證bcpdcp；（2）求證dpe=abc；（3）把正方形abcd改為菱形，其它條件不變（如圖），若abc=58，則dpe=_度5822、在rtabc，c=9，d為ab邊上一點，點m、n分別在bc、ac邊上，且dmdn作mfab于點f，neab于點e（1）特殊驗證

16、如圖1，若ac=bc，且d為ab中點，求證dm=dn，ae=df；（2）拓展探究若acbc如圖2，若d為ab中點，（1）中的兩個結(jié)論有一個仍成立，請指出并加以證明；如圖3，若bd=kad，條件中“點m在bc邊上”改為“點m在線段cb的延長線上”，其它條件不變，請?zhí)骄縜e與df的數(shù)量關(guān)系并加以證明23、如圖，在正方形abcd中，對角線ac與bd相交于點o，點e是bc上的一個動點，連接de，交ac于點f（1）如圖，當(dāng) 時，求 的值；（2）如圖當(dāng)de平分cdb時，求證af=oa；（3）如圖，當(dāng)點e是bc的中點時，過點f作fgbc于點g，求證cg=bg24、某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性

17、質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程（1）操作發(fā)現(xiàn)在等腰abc中，ab=ac，分別以ab和ac為斜邊，向abc的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中dfab于點f，egac于點g，m是bc的中點，連接md和me，則下列結(jié)論正確的是_（填序號即可）af=ag=ab；md=me；整個圖形是軸對稱圖形；mdme（2）數(shù)學(xué)思考在任意abc中，分別以ab和ac為斜邊，向abc的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，m是bc的中點，連接md和me，則md和me具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；（3）類比探究（i）在任意abc中，仍分別以ab和ac為斜邊，向abc的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，m是bc的中點，連接md

18、和me，試判斷med的形狀答_ 等腰直角三角形（ii）在三邊互不相等的abc中（見備用圖），仍分別以ab和ac為斜邊，向abc的內(nèi)側(cè)作（非等腰）直角三角形abd和（非等腰）直角三角形ace，m是bc的中點，連接md和me，要使（2）中的結(jié)論此時仍然成立，你認(rèn)為需增加一個什么樣的條件？（限用題中字母表示）并說明理由25、通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的下面是一個案例，請補(bǔ)充完整原題如圖1，點e、f分別在正方形abcd的邊bc、cd上，eaf=45，連接ef，則ef=be+df，試說明理由（1）思路梳理ab=cd，把a(bǔ)be繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)9至adg，可使ab與ad重合a

19、dc=b=9，fdg=18，點f、d、g共線根據(jù)_ ，易證afg _，得ef=be+dfsasaef（2）類比引申如圖2，四邊形abcd中，ab=ad，bad=9點e、f分別在邊bc、cd上，eaf=45若b、d都不是直角，則當(dāng)b與d滿足等量關(guān)系b+d=18時，仍有ef=be+df（3）聯(lián)想拓展如圖3，在abc中，bac=9，ab=ac，點d、e均在邊bc上，且dae=45猜想bd、de、ec應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程26、小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究問題情境如圖1，四邊形abcd中，adbc，點e為dc邊的中點，連接ae并延長交bc的延長線于點f，求證s四邊形

20、abcd=sabf（s表示面積）問題遷移如圖2在已知銳角aob內(nèi)有一個定點p過點p任意作一條直線mn，分別交射線oa、ob于點m、n小明將直線mn繞著點p旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，mon的面積存在最小值，請問當(dāng)直線mn在什么位置時，mon的面積最小，并說明理由實際應(yīng)用如圖3，若在道路oa、ob之間有一村莊q發(fā)生疫情，防疫部門計劃以公路oa、ob和經(jīng)過防疫站p的一條直線mn為隔離線，建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)mon若測得aob=66，pob=3，op=4km，試求mon的面積（結(jié)果精確到.1km2）（參考數(shù)據(jù)sin66.91，tan6625， 73）拓展延伸如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點，

21、點a、b、c、p的坐標(biāo)分別為（6，）（6，3）（ ）、（4、2），過點p的直線l與四邊形oabc一組對邊相交，將四邊形oabc分成兩個四邊形，求其中以點o為頂點的四邊形面積的最大值27、【閱讀】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點a（a，）（a），b（2，3），c（，3）過原點o作直線l，使它經(jīng)過第一、三象限，直線l與y軸的正半軸所成角設(shè)為，將四邊形oabc的直角ocb沿直線l折疊，點c落在點d處，我們把這個操作過程記為fz，a【理解】若點d與點a重合，則這個操作過程為fz；3【嘗試】（1）若點d恰為ab的中點（如圖2），求；（2）經(jīng)過fz45，a操作，點b落在點e處，若點e在四邊形abc

22、的邊ab上，求出a的值；若點e落在四邊形abc的外部，直接寫出a的取值范圍；【探究】經(jīng)過fz，a操作后，作直線cd交x軸于點g，交直線ab于點h，使得odg與gah是一對相似的等腰三角形，直接寫出fz，a28、在abc中，ab=ac，點d在邊bc所在的直線上，過點d作dfac交直線ab于點f，deab交直線ac于點e（1）當(dāng)點d在邊bc上時，如圖，求證de+df=ac（2）當(dāng)點d在邊bc的延長線上時，如圖；當(dāng)點d在邊bc的反向延長線上時，如圖，請分別寫出圖、圖中de，df，ac之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明（3）若ac=6，de=4，則df=2或129、某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動，過程如下如

23、圖1，正方形abcd中，ab=6，將三角板放在正方形abcd上，使三角板的直角頂點與d點重合三角板的一邊交ab于點p，另一邊交bc的延長線于點q（1）求證dp=dq；（2）如圖2，小明在圖1的基礎(chǔ)上作pdq的平分線de交bc于點e，連接pe，他發(fā)現(xiàn)pe和qe存在一定的數(shù)量關(guān)系，請猜測他的結(jié)論并予以證明；（3）如圖3，固定三角板直角頂點在d點不動，轉(zhuǎn)動三角板，使三角板的一邊交ab的延長線于點p，另一邊交bc的延長線于點q，仍作pdq的平分線de交bc延長線于點e，連接pe，若abap=34，請幫小明算出dep的面積3、已知四邊形abcd在，e，f分別是ab，ad邊上的點，de與cf交于點g（1）

24、如圖，若四邊形abcd是矩形，且decf求證；（2）如圖，若四邊形abcd是平行四邊形試探究當(dāng)b與egc滿足什么關(guān)系時，使得成立？并證明你的結(jié)論；（3）如圖，若ba=bc=6，da=dc=8，bad=9，decf請直接寫出 的值31、用如圖，所示的兩個直角三角形（部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出），完成以下兩個探究問題探究一將以上兩個三角形如圖拼接（bc和ed重合），在bc邊上有一動點p（1）當(dāng)點p運(yùn)動到cfb的角平分線上時，連接ap，求線段ap的長；（2）當(dāng)點p在運(yùn)動的過程中出現(xiàn)pa=fc時，求pab的度數(shù)探究二如圖，將def的頂點d放在abc的bc邊上的中點處，并以點d為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)def，使def的兩直角邊與abc的兩直角邊分別交于m、n兩點，連接mn在旋轉(zhuǎn)def的過程中，amn的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由32、我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題請你利用重心的概念完成如下問題（1）若o是abc的重心（如圖1），連結(jié)ao并延長交bc于d，證明；（2）若ad是abc的一條中線（如圖2），o是ad上一點