圓的垂徑定理應(yīng)用精選

1、圓的垂徑定理應(yīng)用精選一、雙基導(dǎo)學(xué)：1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理推論 的規(guī)律：對于一個圓和一條直線來說，如果具備下列五個條件中的任何兩 個，那么也具有其它三個：垂直于弦，過圓心，平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧，C 平分弦所對的劣弧。(當(dāng)以、為題設(shè)時，“弦”不能是直徑。2、運用垂徑定理的注意事項：(1) 牢記基本圖形及變式圖形(如右圖)(2) 半徑r、弦長a、弦心距d和弓形高h(yuǎn)四者的關(guān)系是：d+h=r; r2=d2+(色)22當(dāng)不能用勾股定理直接計算時，要用勾股定理列方程求解。(3) 當(dāng)弦是特殊的直徑時，有的推論不成立。(4) 常用輔助線：連接與弦的端點、過圓心作弦的

2、垂線。二、垂經(jīng)定理的應(yīng)用1、禾U用平分弦，解有關(guān)線段問題(1)證明線段間的關(guān)系(相等、和、差、倍、分等)例：如圖，于 N、M,DM?丄 CD,?分別交AB(2)求半徑AB為O 0的直徑，CD為弦，過C、D分別作CN丄CD、 請問圖中的AN與BM是否相等，說明理由.例.高速公路的隧道和橋梁最多.圖3是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以0為圓心的圓的一部分，路面 AB=10米，凈高CD =7米，求圓的半徑 0A析解：由垂徑定理可知 AOD是直角三角形，解決本題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出方程1徑 OA=x米，貝U 0D=CD0C=7 x (米).因為 ODL AB所以 AD AB =52.設(shè)半（米）.在

3、Rt AOD中，因為AD2 OD2 OA2，所以52 (7 x)2 x2，解這個方程得:37x7(3)求弦長例.工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的直徑，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm測得鋼珠頂端離零件表面的距離為 8mm如圖4所示，則這個小孔的直徑 ABmm圖析解：要求小孔的直徑 AB ,關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決.如圖5,設(shè)圓心為 Q連接 0A過點0作OCL AB交劣弧于 D, C為垂足，則 AC=CBOA=OD1 10 5mm 0(=8-5=3mm 在 Rt AQC中, AAC_QC2 5_4，所2以 AB=2AC=2X 4=8(mm).(4 )、求弦心距例.如圖6,00

4、的半徑為5，弦AB 8 , QC AB于C，則0C的長等于.11析解：連接QA因為0C AB于C，所以由垂徑定理可得 AOAB 8 4.在Rt AQC22中，由勾股定理可得 Q(= .QA2 AC2 .5 42 3.2、利用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題例：有一座圓弧形拱橋，橋下水面 AB寬24m，拱頂高出水面8m.。現(xiàn)有一艘高出水面 部分的截面為長方形的船要經(jīng)過這里，長方形的長為8m、高為7m。此船能順利通過這座橋嗎？例興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖5所示，已知 AB=16m半徑QA=10m高度CD為m11析解：由垂徑定理可得 AD= AB 168 .在 Rt AQC中，

5、22QDAD7 J102 82 6 ,所以 CD=Q- QD=0 - 6=4(m).3、利用弦所對的弧等，進(jìn)行角的計算與證明例： 如圖，0 0的直徑CD過弦EF的中點G,/ EQD = 40C求/ DCF的度數(shù)。圖10例：.如圖10，在O Q中，AB為O Q的直徑，弦CDLAB / AQC60O，則/ B=析解：因為cdlab, ab為直徑，所以由垂徑定理可知 Ad Ac，利用“在同圓或等圓中， 同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”定理可得11/ B= AOC= 6030 .224、探究線段的最小值例6.如圖7,0 O的半徑O/=10cm 弦AB=16cm, P為AB上一動點，則點 P到圓心O的最短距離為cm .析解：因為連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，所以需作出弦11AB的弦心距.過點O