圓-圓與直線的位置關(guān)系5師

1、第9講圓與直線的位置關(guān)系在圓的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，發(fā)展出直線與圓的位置關(guān)系的重要定理這部分主要內(nèi)容有：直線與圓的 三種位置關(guān)系，切線的判定定理，切線的性質(zhì)定理及兩個推論，切線長定理，張切角定理，切割線定理及 其推論.一、基礎(chǔ)知識1. 直線與圓的三種位置關(guān)系直線與圓有三種位置關(guān)系：直線與圓相交、直線與圓相切、直線與圓相離.當(dāng)宜線與圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做圓與直線相切。與圓0相交的宜線叫做圓的割線，與圓0相切的直線叫做圓的切線如果00的半徑為“ 00到直線1的距離 為d,那么(1) 宜線1和00相交Odvc(2) 直線1和00相切Od = r；(3) 直線1和00相離Od兒2. 切線的判定和性質(zhì)判定定

2、理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；推論(1):經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).推論(2)：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.切線長定理：從圓外一點(diǎn)到圓有兩條切線，它們的切線長(圓外一點(diǎn)到)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線B平分兩條切線的夾角.3. 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角. 表示方法：PA與OO相切，則ZPAB=ZC4. 三角形的內(nèi)切圓在三角形內(nèi)與三邊均相切的圓稱為三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓圓心叫作三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是 三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)內(nèi)心到各邊的距離為三角形內(nèi)切圓半徑的長內(nèi)心的性質(zhì)還有:設(shè)I是ZABC的

3、內(nèi)心，則ZBIC=90+lzA；2ZAIC=904-lzB； ZBIA=90+丄 ZC；2 2如圖，設(shè)I是JABC的內(nèi)心，AI的延長線交ZABC的外接圓于D,則DI=DB=DC(3) 設(shè)OO為ZABC的內(nèi)切圓，I為內(nèi)切圓半徑小、隊(duì)(為ZABC三邊長，S為/ABC的面積，則S = (a+b+c)r(4) Rt/ABC的三邊長為ju b、c,其中c為斜邊，則內(nèi)接圓半徑廠=(a+b c)二、 例題（切線的判定）例1 （2002年北京市海淀區(qū)中考）如圖，AB是OO的直徑，AE平分ZBAF交OO于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作 宜線CD丄AF與AF延長線交于點(diǎn)D,且交AB延長線于C,求證：CD與OO相切于點(diǎn)E；【證明】

4、連結(jié)0E OA = OE9AE 平分 Z.BAF, Zl = Zi = Z3 oe Had AD 丄CD,/. OE LCD.CD與Go相切于點(diǎn)E例2 （2001年上海中考）如圖，在Rt/ABC中，ZB=90, ZBAC的平分線交BC于D,以D為圓心, BD長為半徑作OD,求證：AC是OD的切線證明過D作DE 1.4 C于E. T ad 平分 Aba c, bd 1.-15. BD = DE.二點(diǎn)D到/C的距離等于OD的半徑 蟲U是。D的切線.例3 （2002年內(nèi)蒙古包頭中考題）如圖，AB是OO的直徑，AD丄CD, BC丄CD,且AD+BC=AB, 求證：）0與CD相切.I)C證明（I）過。作

5、OE丄CZ）干E.T AD 丄CD,BC 丄CD, AD HOE HBC.又OAB的中點(diǎn)， OE是梯形的中位線. OEfADr BC）T AD- BC = AB t OEAB,又 O丄CD,CD與00相切.例4年南寧中考題）如圖，BC是OO的直徑，A是弦BD延長線上一點(diǎn)，切線DE平分AC于E,證明連結(jié)ODOE,求證：AC是OO的切線.CE= A E,Z2= Z3.Z3= Zl.OE= OE,BO= OC, OE !iAB.Zi = Lb fOB = OD.Z2= ZB.OC9oce= Lode.DE GO的切線,Zope = 90 , /oce = 9o 4C是Go切線.例5 （）如圖，已知：

6、AB是圓O的直徑，BC是圓O的切線，切點(diǎn)為B, OC平行于弦AD,求證：DC 是圓O的切線.分析連結(jié)OD欲證DC是園O的切 線只須證 PC丄OQ CXJ/7 AD.:.乙HOC = DAO.ADO= COD. AODO.9. Z/MO=DX=Z(、OQ: CfB =OD OC = OC ABO = 90.得證例6 （）已知如圖，AB=AC, AB是OO直徑，BC、AC分別交G）O于D、E, EF與OO相切，OD的延長線交EF于F,求證：BF與OO相切.證明連按”伙/W7.IM AH肚G八工徑冇川丄 乂 PJ A Li = AC Z / ZCA D./JlAD yZHOD.J/(亠舟 ZMK.O

7、B=OE9OF=OF 則化 ZORF=ZOEF 乂由EF與相切. 可知ZOEF=9(T ZOBF = 90S 即BFO切線.三、 例題（切線的性質(zhì)）例7 （, 95年天津中考）如圖，已知P為圓O外一點(diǎn),PA、PB分別切圓O于A、B, OP與AB相交于M, C是AB上一點(diǎn)，求證：ZOPC=ZOCM.分析欲vEXOPC OCM只須證 廠OCs/lOCM因ZFOC = ZOOM矽尸 須證O0 = OMOP CK連釣局、另譏 Ri 厶 FOBsRt 厶 J3OM : .n sOB而OLiOC.于是f泳雹得ii 證明由諫 昔白己完成例8 （,湖北中考）ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，BA、CD的延長線交于E

8、, FG切圓O于G,且與CB的延長線交于F,若FG=FE,求證：AD/7FE.分析欲證AD/TFE.只須證DAE = ZBEFZO故只須 uLBEF=ZC4FBE s FEC “ /BFE = XEFC 7?F i EF = EF FCo &徑.HC/PO.勺而一卞付麗一頁.而 PAPH.OAOC,PA (TA9四、 例題（三角形內(nèi)心的性質(zhì)）例10 （）設(shè)I為JABC的內(nèi)心，AI交BC于點(diǎn)K,交JABC的外接圓于D,求證:id2 = adkd證明：連結(jié)BIBE. V點(diǎn)/是ABC的內(nèi)心, AZ1 = Z2 Z3 - Z4.又 ZBIE 二 Z1 丄2 Z4 十 Z5, Z5 = Z2 、乙乙IE

9、E,：BE = IE.又 AAEE “ BED,：.AEtBE = BE：DE, BE2 = AE DE, :JE2 = AE DE.例11 ()設(shè)I為J ABC的內(nèi)心，BC=a, AC=b, AB=c, ZBAC的平分線交BC于K,交ZABC 品機(jī)任IH1工c 4 M AD DI b + cKI DI DK a【證明】：AI AB AC _ AB + AC _b + cKIBKKC BK + KCa易得 ZDKBsZDBAAD BD AB b + c故=BD KD BK a而 BD=DI=DCAI AD DI b + c故= =KI DI DK a例 12 ()在/ABC 中，AB=4, A

10、C=6, BC=5, ZBAC 的平分線 AD 交ZABC 的外接圓于 K； O、于是 OI R AE從而 ZOIK=上K4E=90二故 O1 丄4 K.例13 ()在21 ABC中，O分別為J ABC的外心，內(nèi)心，若OI丄AI；求證：AB+AC=2BC【證明】:因此只需證AP=AE =丄比，由于0：丄AI,則AI=IK=KB2易得/BFK絲 ZAEI,故 AE=BF=BC2故 AB+AC=2BC由例11可知AK b + ckcT而OI丄AI易得=2KI故出=2a例14 ()如圖，設(shè)點(diǎn)M是/ABC的BC邊的中點(diǎn)，I是其內(nèi)心，AH是BC邊上的高，E為直線11與AH的交點(diǎn)，求證：AE等于內(nèi)切圓半徑

11、門 【證明】：證明設(shè)P為內(nèi)切惻與邊3C 的切點(diǎn)，連結(jié)IP,設(shè)BC= g CA b =bfAB - c則.WC = d, PC-/0A2a由3Ps 冇氣嘔-MC_ pc又 A. H Q = 2 S 二d+6+c丿“卩-再由嚴(yán)=計(jì)/注愆心EH.五、 練習(xí)題1. ()已知正方形ABCD的邊長為1, O為對角線交點(diǎn)，以O(shè)為圓心，分別以丄；匹422為半徑作OO,則AB與OO的位置關(guān)系分別為(1)； (2)； (3)；【解】(1)相離；相切；(3)相交；2. () 一個三角形的三邊分別是12cm, 5cm, 13cm,那么這個三角形內(nèi)切圓半徑為；【解】(12+5-13) F2=2cm；3. ()銳角ZAB

12、C的三條高線的垂足為D、E、F,則ZABC的垂心是/DEF的()A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心【解】A4.()圓內(nèi)兩弦相交，一弦長為8cm,且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分成1:4,則另一弦長為()A. 2cmB. 8cmC. 10cmD. 16cm【解】C5. () P為(DO外一點(diǎn)，PAx PB切G)O于A、B, OP與AB相交于M點(diǎn)，過M作弦CD,連結(jié)PC OD,求證：ZCPO=ZCDO切一血圖連接 v PA.rn 與 相切, ：.OA丄/M.O丄卩乩 :.P.a.oji四點(diǎn)玻創(chuàng) :.MA MO.9：MA MEH Ml). :.A/1 W、 MP_MC 卅而廠而(二乙 DM nwszw6.

13、()已知如圖，圓內(nèi)接四邊形兩邊BA、CD延長線交于E, EG與OO相切，AD延長線交EG6；勺。相切.； f(;: m 心.rtibm e 于 F,且 FE=FG,求證：EGBC.又 S：FD=SFE.毛乙FED=/FAE VZFA=ZC=m 故 Kif/HC.7.()已知ZABC內(nèi)接于0O,過C點(diǎn)的切線與AB的延長線交于P,過P的一條割線，與OO交于D. E,與AC交于F,與BC交于G,且平分ZAPC；求證:(1)CF=CG；CF2=AF G；(Qi P與I + Z2.Z4-Z5 I ZltZ1 = Z2-HZ4即 LF=(、G.2)VZ1 = Z2 r； PC AF rS7 riVCF PC*/JC /40O 梧切：zn：zb 2_少 AF兩一TT而CF*心 YGYW = AF DG.8.()已知如圖，PA和PB切OO于A、B兩點(diǎn)，AC為的直徑，PC交于D點(diǎn)；求PAC 的度數(shù)；（2