勾股定理的十六種證明方法

1、勾股定理的十六種證明方法【證法1】此主題相關(guān)圖片如下：做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形. 從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等. 即a2+b2+4*(ab/2)=c2+4*(ab/2)整理得到：a2+b2=c2?！咀C法2】 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 ab/2. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點(diǎn)在一條直線上，b、f、c三點(diǎn)在一條直線上，c、g、d三點(diǎn)在一條直線上. rthae rtebf,

2、ahe = bef. aeh + ahe = 90, aeh + bef = 90. hef = 18090= 90. 四邊形efgh是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的 正方形. 它的面積等于c2. rtgdh rthae, hgd = eha. hgd + ghd = 90, eha + ghd = 90. 又 ghe = 90, dha = 90+ 90= 180. abcd是一個(gè)邊長(zhǎng)為a + b的正方形，它的面積等于(a+b)2. (a+b)2=c2+4*(ab/2)， a2+b2=c2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法3】以a、b 為直角邊（ba）， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等

3、于ab/2. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. rtdah rtabe, hda = eab. had + had = 90， eab + had = 90， abcd是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2. ef = fg =gh =he = ba , hef = 90. efgh是一個(gè)邊長(zhǎng)為ba的正方形，它的面積等于(b-a)2. (b-a)2+4*(ab/2)=c2， a2+b2=c2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法4】 以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于ab/2. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使a、e、b三點(diǎn)在一條直線上. rte

4、ad rtcbe, ade = bec. aed + ade = 90, aed + bec = 90. dec = 18090= 90. dec是一個(gè)等腰直角三角形， 它的面積等于c2/2. 又 dae = 90, ebc = 90, adbc. abcd是一個(gè)直角梯形，它的面積等于(a+b)2/2(a+b)2/2=2*ab/2+c2/2, a2+b2=c2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法5】 做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b ，斜邊長(zhǎng)為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使d、e、f在一條直線上. 過(guò)c作ac的延長(zhǎng)線交df于點(diǎn)p. d、e、f在一條直線上, 且rtge

5、f rtebd, egf = bed， egf + gef = 90， bed + gef = 90， beg =18090= 90. 又 ab = be = eg = ga = c， abeg是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. abc + cbe = 90. rtabc rtebd, abc = ebd. ebd + cbe = 90. 即 cbd= 90. 又 bde = 90，bcp = 90， bc = bd = a. bdpc是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. 同理，hpfg是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形. 設(shè)多邊形ghcbe的面積為s，則 a2+b2=s+2*ab/2 c2=s+2*ab/2 a2+b2=c2

6、。此主題相關(guān)圖片如下：【證法6】 做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba） ，斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點(diǎn)在一條直線上. 過(guò)點(diǎn)q作qpbc，交ac于點(diǎn)p. 過(guò)點(diǎn)b作bmpq，垂足為m；再過(guò)點(diǎn) f作fnpq，垂足為n. bca = 90，qpbc， mpc = 90， bmpq， bmp = 90， bcpm是一個(gè)矩形，即mbc = 90. qbm + mba = qba = 90， abc + mba = mbc = 90， qbm = abc， 又 bmp = 90，bca = 90，bq = ba = c，

7、rtbmq rtbca. 同理可證rtqnf rtaef. 從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.此主題相關(guān)圖片如下：【證法7】 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)bf、cd. 過(guò)c作clde，交ab于點(diǎn)m，交de于點(diǎn)l. af = ac，ab = ad， fab = gad， fab gad， fab的面積等于a2/2， gad的面積等于矩形adlm的面積的一半， 矩形adlm的面積 =a2. 同理可證，矩形mleb的面積 =b2. 正方形adeb的面積 = 矩形adlm的面積 + 矩形mleb的面積 a2+b2=c2。此主題相

8、關(guān)圖片如下：【證法8】 如圖，在rtabc中，設(shè)直角邊ac、bc的長(zhǎng)度分別為a、b，斜邊ab的長(zhǎng)為c，過(guò)點(diǎn)c作cdab，垂足是d. 在adc和acb中， adc = acb = 90， cad = bac， adc acb. adac = ac ab， 即 ac2=ad*ab. 同理可證，cdb acb，從而有 bc2=bd*ab. ac2+bc2=(ad+bd)*ab=ab2，即 a2+b2=c2。此主題相關(guān)圖片如下：【證法9】做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊長(zhǎng)為c. 再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過(guò)a作afac，af交gt于

9、f，af交dt于r. 過(guò)b作bpaf，垂足為p. 過(guò)d作de與cb的延長(zhǎng)線垂直，垂足為e，de交af于h. bad = 90，pac = 90， dah = bac. 又 dha = 90，bca = 90， ad = ab = c， rtdha rtbca. dh = bc = a，ah = ac = b. 由作法可知， pbca 是一個(gè)矩形， 所以 rtapb rtbca. 即pb = ca = b，ap= a，從而ph = ba. rtdgt rtbca , rtdha rtbca. rtdgt rtdha . dh = dg = a，gdt = hda . 又 dgt = 90，dhf

10、 = 90， gdh = gdt + tdh = hda+ tdh = 90， dgfh是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. gf = fh = a . tfaf，tf = gtgf = ba . tfpb是一個(gè)直角梯形，上底tf=ba，下底bp= b，高fp=a +（ba）. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為此主題相關(guān)圖片如下：【證法10】 設(shè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊的長(zhǎng)為c. 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使a、e、g三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）. tbe = abh = 90， tbh = abe.

11、又 bth = bea = 90， bt = be = b， rthbt rtabe. ht = ae = a. gh = gtht = ba. 又 ghf + bht = 90， dbc + bht = tbh + bht = 90， ghf = dbc. db = ebed = ba， hgf = bdc = 90， rthgf rtbdc. 即 s7=s2. 過(guò)q作qmag，垂足是m. 由baq = bea = 90，可知 abe = qam，而ab = aq = c，所以rtabe rtqam . 又rthbt rtabe. 所以rthbt rtqam . 即 s8=s5. 由rtab

12、e rtqam，又得qm = ae = a，aqm = bae. aqm + fqm = 90，bae + car = 90，aqm = bae， fqm = car. 又qmf = arc = 90，qm = ar = a， rtqmf rtarc. 即s4=s6. 此主題相關(guān)圖片如下：【證法11】在rtabc中，設(shè)直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c. 如圖，以b為圓心a為半徑作圓，交ab及ab的延長(zhǎng)線分別于d、e，則bd = be = bc = a. 因?yàn)閎ca = 90，點(diǎn)c在b上，所以ac是b 的切線. 由切割線定理，得 此主題相關(guān)圖片如下：【證法12】在rtabc中，

13、設(shè)直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c（如圖）. 過(guò)點(diǎn)a作adcb，過(guò)點(diǎn)b作bdca，則acbd為矩形，矩形acbd內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有 此主題相關(guān)圖片如下：【證法13】在rtabc中，設(shè)直角邊bc = a，ac = b，斜邊ab = c. 作rtabc的內(nèi)切圓o，切點(diǎn)分別為d、e、f（如圖），設(shè)o的半徑為r. ae = af，bf = bd，cd = ce， ac+bc-ab=（ae+ce）+（bd+cd）-（af-bf） = ce+cd= r + r = 2r, 此主題相關(guān)圖片如下：【證法14】 如圖，在rtabc中，設(shè)直