八級數(shù)學(xué)下冊 第一章 三角形的證明 1.1.1 等腰三角形課件 （新版）北師大版

1、八年級數(shù)學(xué)八年級數(shù)學(xué)下下 新課標(biāo)新課標(biāo) 北師北師 第一章第一章 三角形的證明三角形的證明 學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知檢測反饋檢測反饋 問題思考問題思考 我們已經(jīng)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論我們已經(jīng)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論, ,運(yùn)用下面的公運(yùn)用下面的公 理和已經(jīng)證明的定理理和已經(jīng)證明的定理, ,我們還可以證明有關(guān)三角形的一我們還可以證明有關(guān)三角形的一 些結(jié)論些結(jié)論. . 我們已學(xué)過的部分基本事實我們已學(xué)過的部分基本事實: : 1 1. .兩條直線被第三條直線所截兩條直線被第三條直線所截, ,如果同位角相等如果同位角相等, ,那么那么 這兩條直線平行；這兩條直線平行； 2 2. .兩條平行直線被第三條直線所

2、截兩條平行直線被第三條直線所截, ,同位角相等；同位角相等； 3 3. .兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 ( (SAS) )； 4 4. .兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 ( (ASA) )； 5 5. .三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 ( (SSS) ). . 你能用上面的公理證明下面的命題嗎？你能用上面的公理證明下面的命題嗎？ 兩角及其中一角的對應(yīng)邊相等的兩個三角形全等兩角及其中一角的對應(yīng)邊相等的兩個三角形全等(AAS)(AAS) 證明證明: : A=A,C=C A=A,C=C（已

3、知）（已知）B=BB=B（三角形內(nèi)角和定（三角形內(nèi)角和定 理）理） 在在ABCABC與與ABCABC中中 A=A A=A （已知）（已知）, , AB=AB AB=AB（已知）（已知）, , B=B B=B （已證）（已證）, , ABCABCABCABC（ASAASA）. . A B C A B C 已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC和和ABCABC中中, , A=A, C=C, AB=AB.A=A, C=C, AB=AB. 求證求證: :ABCABCABC.ABC. 定理定理: : 兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角 形全

4、等（形全等（AASAAS）. . 在在ABCABC與與ABCABC中中 A=A A=A C=C C=C AB=AB AB=AB ABCABCABCABC（AASAAS）. . A A B B C C AA BB CC w證明后的結(jié)論證明后的結(jié)論, ,以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. . 你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎? ? 推論推論: : 等腰三角形頂角的平分線等腰三角形頂角的平分線, ,底邊上的中線底邊上的中線 底邊上的高互相重合底邊上的高互相重合( (三線合一三線合一).). 你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎你能利用已有的公理和定理證明

5、這些結(jié)論嗎? ? 定理定理: : 等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等. . 等腰三角形的兩底角相等 按圖示的方法先獨(dú)自折紙觀察,再探索并寫出等腰三角形的性質(zhì). 定理:等腰三角形的兩底角相等. 這一定理可以簡述為:等邊對等角. 已知:如圖所示，在ABC中，AB=AC. 求證B=C. 解析我們曾經(jīng)利用折疊的方法說明了這兩個底角相 等.實際上,折痕將等腰三角形分成了兩個全等三角形.這啟 發(fā)我們,可以作一條輔助線把原三角形分成兩個全等的三角 形,從而證明這兩個底角相等. 證明:取BC的中點(diǎn)D，連接AD.(如圖所示) AB=AC，BD=CD，AD=AD， ABD ACD(SSS). B=C

6、 (全等三角形的對應(yīng)角相等). 已知：已知： 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC. 求證：求證： B= B= C.C.A A B BC C D D 證明：證明： 作底邊的中線作底邊的中線ADAD， 則則BD=CDBD=CD AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) ) BD=CD ( BD=CD ( 已作已作 ) ) AD=AD (AD=AD (公共邊公共邊) ) BAD BAD CAD (SSS).CAD (SSS). B= C (B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角相等).). 在在BADBAD和和CADCAD中中 方法二：作底邊上的中線方法二：

7、作底邊上的中線 已知：已知： 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC. 求證：求證： B= B= C.C.A BC D D 證明：證明： 作底邊的高線作底邊的高線ADAD，則，則 BDA=CDA=90BDA=CDA=90 AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) ) AD=AD (AD=AD (公共邊公共邊) ) RtRtBAD RtBAD RtCAD (HL).CAD (HL). B= C (B= C (全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角相等).). 方法三：作底邊的高線方法三：作底邊的高線 在在RtRtBADBAD和和RtRtCADCAD中中 三線合一三線合一

8、 推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上 的高線互相重合. 證明:過頂點(diǎn)A作BAC的平分線AD,交BC于點(diǎn)D, AD是ABC中的角平分線, BAD=CAD. 在ABD和ACD中， ABAC ADAD BADCAD ， ， ， ABD ACD(SAS), BD=CD(全等三角形的對應(yīng)邊相等), ADB=ADC(全等三角形的對應(yīng)角相等). AD是BC邊上的中線, BDA=90, AD是BC邊上的高, 等腰三角形頂角的平 分線、底邊上的中線及底 邊上的高線互相重合. 知識拓展“等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中 線及底邊上的高線互相重合”的定理是將“等腰三角形” 作為一個前提條件得到的三

9、個真命題,在學(xué)習(xí)等腰三角形 的性質(zhì)定理后,可將該定理作如下的延伸. 如圖所示，已知ABC，AB=AC，1=2， ADBC，BD=DC中，若其中任意兩組成立,可推出其 余兩組成立. A CB D 1 2 AB=AC, 1=2(AB=AC, 1=2(已知已知).). BD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（等腰三角形等腰三角形三線合一）三線合一）. . AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (已知已知).). 1=2,ADBC1=2,ADBC（等腰三角形等腰三角形三線合一三線合一） AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(已知已知).). BD=CD, 1=2BD=CD,

10、 1=2（等腰三角形等腰三角形三線合一）三線合一） 綜上可得：綜上可得：如圖如圖, ,在在ABCABC中中, , 檢測反饋檢測反饋 解析:等腰三角形底邊上的高線、底邊上的中線、頂角的平分線 是一條.故選B. 1.一個等腰非等邊三角形中,它的角平分線、中線及高線的條 數(shù)共為(重合的算一條) () A.9 B.7C.6D.5 B 2.在ABC中,如果AB=AC,那么在這個三角形中,重合的線段是 () A.A的平分線，AB邊上的中線，AB邊上的高線 B.A的平分線，BC邊上的中線，BC邊上的高線 C.B的平分線，AC邊上的中線，AC邊上的高線 D.C的平分線，AB邊上的中線，AB邊上的高線 解析:本

11、題主要考查等腰三角形三線合一的性質(zhì).故選B. B 解析:因為110的角只能是頂角,所以其余兩角均為35.故填 35,35. 3.若等腰三角形中有一個角為110,則其余兩角分 別為 . 解析解析:邊長為6 cm的邊有可能是腰也有可能是底. 4.如果等腰三角形的一邊長為6 cm,周長為14 cm,那么另外 兩邊的長分別為 . 35,35 6 cm，2 cm或4 cm，4 cm 5.如圖所示,在ABC中，AB=AC，D是AC上一點(diǎn)，且 AD=BD=BC.求A的度數(shù). 解解:設(shè)A=x, AD=BD,1=A. 2=1+A=2x. BD=BC,C=2=2x. AB=AC, ABC=C=2x. 由三角形內(nèi)角

12、和定理可知A+ABC+C=180,即 5x=180, 解得x=36.A的度數(shù)為36. 6.(2015佛山中考)如圖所示，ABC是等腰三角形，AB=AC.請你 用尺規(guī)作圖將ABC分成兩個全等三角形，并說明這兩個三角形全 等的理由.(保留作圖痕跡,不寫作法). 解:由作圖可知BAD=CAD，又AB=AC， AD=AD，則ABD ACD(SAS). （1 1）如果等腰三角形的一個底角為）如果等腰三角形的一個底角為5050， 則其余兩個角為則其余兩個角為_ _和和_ （2 2）如果等腰三角形的頂角為）如果等腰三角形的頂角為8080，則它的，則它的 一個底角為一個底角為_ （3 3）如果等腰三角形的一個

13、角為）如果等腰三角形的一個角為8080，則其，則其 余兩個角為余兩個角為_ （4 4）如果等腰三角形的一個角為）如果等腰三角形的一個角為100100，則，則 其余兩個角為其余兩個角為_ 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì), , 在在ABCABC中，中， AB=ACAB=AC時，時， (1) (1) ADBC，_ = _，_= _. (2) (2) AD是中線，是中線，_ _ ，_ =_._ =_. (3) (3) AD是角平分線，是角平分線，_ _ ，_ =_. A BC D BAD CAD CADBDCD ADBC BD BAD BCADCD 1 1（江西）已知等腰三角形的兩條邊長分別

14、（江西）已知等腰三角形的兩條邊長分別 是是7 7和和3 3，則下列四個數(shù)中，第三條邊的長是，則下列四個數(shù)中，第三條邊的長是 ( )( ) A A 8 B8 B 7 C7 C 4 D4 D 3 3 2 2( (寧波寧波) ) 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC， A=36A=36，BDBD、CECE分別是分別是ABCABC、BCDBCD的角的角 平分線，則圖中的等腰三角形有（平分線，則圖中的等腰三角形有（ ） A.5A.5個個 B.4B.4個個 C.3 C.3個個 D.2D.2個個 A A B B 3.3.如圖如圖, ,在三角形在三角形ABDABD中中,C,C是是BDBD上

15、的一點(diǎn)上的一點(diǎn), , 且且ACAC垂直垂直BD,AC=BC=CD.BD,AC=BC=CD. (1) (1) 求證求證: :ABDABD是等腰三角形是等腰三角形 (2)(2)求求ABDABD的度數(shù)的度數(shù) A A B B C C D D 4.4.將下面證明中每一步的理由寫在括號內(nèi)將下面證明中每一步的理由寫在括號內(nèi): : 已知已知: :如圖如圖,AB=CD,AD=CB.,AB=CD,AD=CB. 求證求證:A=C.:A=C. 證明證明: :連接連接BD,BD, 在在BADBAD和和DCBDCB中中, , AB=CD( ) AB=CD( ) AD=CB( ) AD=CB( ) BD=DB( ) BD=DB( ) BAD BAD DCB( )DCB( ) :A=C ( ) :A=C ( ) A A B B C C D D 5.5.已知已知: :如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)B,E,B,E, C,FC,F在同一條直線在同一條直線 上上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.,AB=DE,AC=D