高考數(shù)學(xué)不等式解題方法技巧

1、不等式應(yīng)試技巧總結(jié)1不等式的性質(zhì)：（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a b,c d，貝U a c b d （若a b,c d，則a c b d），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除;異向不等式可以相除，但不能相乘：若a b 0,c d 0，則 ac bd (若 a b 0,0 c d，則 a -); c d（3）左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方:若 a b 0 ,則 anbn 或 n a1 1 1 1 則；若ab 0 , a b，貝Ua bab【例】（1）對于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：若ab,則 ac2

2、bc2 ；若a2 2b 0,則 a ab b； 若a b0,則-1ab若a b0,則:a lb ；若c ab 0,則丄;若ab,11c ac bab命題是(答:）；（2）已知1 x y 1 , 1 x y 3，則3x y的取值范圍是 （答：1n b ； (4)若 ab 0 , a b ,若 ac2 bc2,則a b ；b a 右a b 0,則a b則a 0,b0。其中正確的3x y 7 )；（3）已知a b c，且a b c 0,則的取值范圍是a(答: 2,-22.不等式大小比較的常用方法 ：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商式） ； （ 3）分析法；（

3、4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性； （8）圖象法。其中比較法（作差、（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)（7）尋找中間量或放縮法【例】時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)0 a1時(shí),(2)作商）是最基本的方法。1t 11,t 0 ,比較loga t和loga的大?。ù穑寒?dāng)a1 t 1-lOgat loga（t 1 時(shí)取等號(hào)）；2 21a2 4a 2,q 2a 2，試比較p,q的大?。ù穑簆(3)比較 1+ logx 3 與 2log x 2( x0且x 1）的大?。ù穑寒?dāng)0x1或x1t 11 時(shí)，-lOgat( tq )；4時(shí)，1+ logx 3 2log x 2 ；3441 x 時(shí)，1+ log

4、 x3 v 2log x 2 ；當(dāng) x 時(shí)，1+ log x3 = 2log x 2）333.利用重要不等式求函數(shù)最值 時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。1 x2 3【例】（1）下列命題中正確的是A、y x的最小值是 2 B、y的最小值是 2 C、XVx2 2y 2 3x 4（x 0）的最大值是 2 4、3 D、y 2 3x 4 （x 0）的最小值是 2 4-3 （答：C）；xx（2）若x 2y 1，則2x 4y的最小值是 （答: 22 ）；（3）正數(shù)x, y滿足x12y 1，則 1x-的最小值為（答：y3 2 .2 )；a2 b2ab4.吊用不等式有：

5、（1）；22v ab11 （恨據(jù)曰標(biāo)不寺式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）；a b(2)a、b、c R, a2.2 2b cabbc ca （當(dāng)且僅當(dāng)a bc時(shí)，取等號(hào)）；(3)若 a b 0,m0，則-bm（糖水的濃度問題）。aam【例】如果正數(shù)a、b滿足aba b3,則ab的取值范圍是（答：9,)5、證明不等式的方法方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1常用的放縮技巧有：-n:比較法、分析法、綜合法和放縮法1的大小，然后作出結(jié)論。1 1n 1n(n 1).in S1n2n(n 1)1(比較法的步驟是：作差 ).1后通過分解因式、配【例】(1)已知a b e，求證：a2b bn11 , k 2 h. k2 e

6、a ab2be2,k2 ca12。2若n N*，求證：,(n 1)21(n 1)、n2 1 n ； 已知 a, b, e R，求證：a2b2 b2e22 2 e aabe(ab e)；1 1(3)已知 a,b,x, y R，且,x y，求證：xy ；a bx ay b 若a、b、e是不全相等的正數(shù)，求證：lga b2b e lg2lglg a lg b2lge ；abe(a b e)；(5)已知 a,b,e R，求證：a2b2 b2e2 e2a2 已知|a | |b|，求證： 回一回 回一回；|a b| |a b|(8)求證：122326. 簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）

7、分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f（x）的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集?！纠浚?）解不等式（x 1）（x 2）2 0。（答：x|x 1或x 2）；（2） 不等式（x 2）Jx2 2x 3 0 的解集是（答: x|x 3 或 x 1）；（3） 設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）的定義域都是 R,且f （x） 0的解集為x|1 x 2，g（x） 0的解集為，則不等式 f （x）gg（x） 0 的解集為 （答：（，1）U2,）；（4 ）要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2

8、 9x a 0 （解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿足不等式 2 2 81x 4x 3 0和 x6x 8 0中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（答：7, ）87. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。5 x【例】（1）解不等式 ” x 1 （答：（1,1）U（2,3）；x2 2x 3（2）關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為（1,），則關(guān)于x的不等式0的解集為 （答：x 2（,1） （2, ） 8. 絕對值不等式的解法：（1）分段討論

9、法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：3 1【例】解不等式|2 x| 2 |x | （答: x R）；4 2（2）利用絕對值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；【例】解不等式|x| |x 1| 3 （答:（, 1）U（2,）4（4）兩邊平方：【例】若不等式|3x 2| |2x a|對x R恒成立，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。（答：）39、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討 論，最后應(yīng)求并集.2 2【例】（1）若loga 1，則a的取值范圍是 （答：a 1或0

10、 a ）；3 3ax21（2）解不等式x（a R）（答：a 0 時(shí)，x| x 0 ； a 0時(shí)，x|x 或 x 0 ； a 0時(shí)，ax 1a1x| x 0或 x 0）a提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為（，1），則不等式 二乙 0ax b的解集為 （答：（一1,2）11.含絕對值不等式的性質(zhì)：a b 同號(hào)或有 0|a b| | a | |b| |a| |b| | a b | ；a b異號(hào)或有 0|a b| | a| |b| |a| |b| |a b|.【

11、例】設(shè) f（x） x2 x 13，實(shí)數(shù) a 滿足 |x a| 1，求證：|f（x） f （a） | 2（| a | 1）12.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法)1).恒成立問題若不等式f x A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間“分若不等式f x B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D 上 f x i AminD上f xmax【例】(1)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2 (y 1)2 1，當(dāng)x yc 0時(shí)，c的取值范圍是（答：.21,)；(2) 不等式x 4(3) 若不等式2x 1a對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍m(x21)對滿足m（答: a 1 ）；2的所有m都成立，則x的取值范圍（亠）；2(4)若不等式(1)na 2對于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是n（5）若不等式x2 2mx 2m1的所有實(shí)數(shù)x都成立,求m的取值范圍.(答:2).能成立問題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fA成立,則等價(jià)于在區(qū)間若在區(qū)間D