江蘇省宿遷市高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 2.2.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2課件 蘇教版必修2

1、 學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容 一、圓的定義一、圓的定義:平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等 于定長的點(diǎn)的集合（或軌跡）是圓，于定長的點(diǎn)的集合（或軌跡）是圓， 定點(diǎn)是圓心，定長就是半徑。定點(diǎn)是圓心，定長就是半徑。 二、圓的方程二、圓的方程 1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。 圓心（圓心（a,b）,半徑為半徑為r, 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程突圓的標(biāo)準(zhǔn)方程突 出了圓心和半徑。出了圓心和半徑。 2圓的一般方程：圓的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) 圓心（圓心（ 半徑半徑r= 圓的一般方程反應(yīng)了圓方程形式的特點(diǎn)：缺圓的一般方程反應(yīng)了圓方程形式的特點(diǎn)：缺x、y

2、 項(xiàng)。項(xiàng)。 x2、y2項(xiàng)系數(shù)相等且不為項(xiàng)系數(shù)相等且不為0） 一般地：方程一般地：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表表 示圓的充要條件是示圓的充要條件是 A=C00 B=0 B=0 D D2+E+E2-4AF0-4AF0 3圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程 x=x0+rcos y=yy=y0+rsin+rsin（為參數(shù)）為參數(shù)） ) 2 , 2 ED FED4 2 1 22 三、點(diǎn)三、點(diǎn)P(x0,y0)與圓與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(或或(x- a)2+(y-b)2=r2)的關(guān)系的關(guān)系 點(diǎn)點(diǎn)P在圓上在圓上 x02+y02+Dx0+Ey0+F=0(或或(x0- a)2+(y0-b)2

3、=r2) 點(diǎn)點(diǎn)P在圓內(nèi)在圓內(nèi) x02+y02+Dx0+Ey0+F0(或或(x0- a)2+(y0-b)20(或或(x0- a)2+(y0-b)2r2) 四、直線和圓的位置關(guān)系四、直線和圓的位置關(guān)系 1直線和圓的位置關(guān)系及判定方法（設(shè)直線和圓的位置關(guān)系及判定方法（設(shè)d 為圓心導(dǎo)直線的距離）為圓心導(dǎo)直線的距離） 直線和圓相交直線和圓相交 d00） 直線和圓相切直線和圓相切 d=r（或（或=0=0） 直線和圓相離直線和圓相離 dr（或（或0R+r 外離外離 4. d|R-r| 內(nèi)含內(nèi)含 5. |R-r|dR+r 相交相交 六、圓系方程六、圓系方程 1. 過圓過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1

4、=0與圓與圓 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓的交點(diǎn)的圓 的方程：的方程： x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y +F2)=0(-1)=0(-1)。當(dāng)。當(dāng)( (-1)-1)時(shí)，表時(shí)，表 示兩圓的公共弦所在的直線方程。示兩圓的公共弦所在的直線方程。 2. 過圓過圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線與直線 l:Ax+By+C=0的交點(diǎn)的圓的方程：的交點(diǎn)的圓的方程： x2+y2+Dx+Ey+F+(A(Ax+By+C)=0)=0 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求 1掌握圓的方程及直線和圓的位掌握圓的方程及直線和圓的位 置關(guān)系。置關(guān)系。 2學(xué)會(huì)求圓的方程的方法及判斷學(xué)

5、會(huì)求圓的方程的方法及判斷 直線和圓的位置關(guān)系的方法及求圓直線和圓的位置關(guān)系的方法及求圓 切線的方法切線的方法 。 學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1本講重點(diǎn)：圓的方程及直線和圓本講重點(diǎn)：圓的方程及直線和圓 的位置關(guān)系，求圓的切線方程。的位置關(guān)系，求圓的切線方程。 2本講難點(diǎn)：求圓的切線方程，用本講難點(diǎn)：求圓的切線方程，用 待定系數(shù)法求圓方程。待定系數(shù)法求圓方程。 3剖析：加深對概念的理解，才能剖析：加深對概念的理解，才能 靈活運(yùn)用知識解決問題靈活運(yùn)用知識解決問題。 典型例題解析典型例題解析 例例1：求下列圓的方程：求下列圓的方程 與與y軸相切，被直線軸相切，被直線y=x截得的弦長為截得的弦長為 ，圓心，圓心

6、 在在x-3y=0上上 經(jīng)過經(jīng)過P(-2,4),Q(3,-1)兩點(diǎn)，并且在兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的軸上截得的 弦長等于弦長等于6 圓心在圓心在x-y-4=0上，并且經(jīng)過兩圓上，并且經(jīng)過兩圓C1: x2+y2- 4x-3=0和和C2: x2+y2-4y-3=0的交點(diǎn)的交點(diǎn) 過過A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圓的圓 與與x軸相切于點(diǎn)軸相切于點(diǎn)A(3,0),并且在并且在y軸上截得的弦長軸上截得的弦長 為為6 過直線過直線3x-4y-7=0和圓和圓(x-2)2+(y+1)2=4的交點(diǎn)且的交點(diǎn)且 過點(diǎn)過點(diǎn)(1,2)的圓的方程的圓的方程 72 解解:圓心在圓心在x-3y=0上上, 設(shè)所求圓的

7、設(shè)所求圓的 圓心圓心O(3a,a)， 圓圓O到直線到直線y=x的距離的距離 ,設(shè)設(shè)C 為弦中點(diǎn)為弦中點(diǎn)RtOBC中中, a=1 圓心圓心O(3,1)(3,1)或或 O(-3,-1)(-3,-1) r=3 所求圓的方程為所求圓的方程為 (x-3)2+(y-1)2=9或或(x+3)2+(y+1)2=9 O/ O C B y x |2 2 |3| a aa d 7)2()3()7( 22222 aadr 設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓心圓心 半徑半徑 ,由題意由題意: 即即D2-4F=36 (1) 又又P(-2,4),Q(3,-1)在圓上在圓上 2D-4E-F=0(2)

8、3D-E+F=-10(3) 由由、(2) 、(3)聯(lián)立得聯(lián)立得 D=-2 D=-6 E=-4 或或 E=8 F=-8 F=0 所求圓的方程為所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或或x2+y2-6x-8y=0 ) 2 , 2 ( ED FEDr4 2 1 22 4 3)4( 4 1 ) 2 (3 2 222222 E FED E r 設(shè) 所 求 圓 的 方 程 為設(shè) 所 求 圓 的 方 程 為 x 2 + y 2 - 4 x - 3+(x2+y2-4x-3)=0)=0 即即 ( 1 + ) x 2 + ( 1 + ) y 2 - 4 x - 4 y - 3(1+)=0(-1) 圓心圓心

9、圓心在直線圓心在直線x-y-4=0上上 代入代入式得式得 所求圓的方程為所求圓的方程為x2+y2-6x+2y-3=0 ) 1 2 , 1 2 ( 04 1 2 1 2 3 1 設(shè)所求圓的方程為設(shè)所求圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0 由已知由已知 4+4+2D+2E+F=0 D=-6 25+9+5D+3E+F=0 E=2 9+1+3D-E+F=0 F=-3 所求圓的方程為所求圓的方程為x2+y2-6x+2y-3=0 設(shè)圓心設(shè)圓心(3,b),則圓的方程為則圓的方程為(x-3)2+(y- b)2=b2 由由b2=32+32=18 設(shè)所求圓的方程為設(shè)所求圓的方程為(x-2) 2+(y+1)2

10、- 4+(3(3x+4y-7)=0)=0 將將(1,2)代入得代入得 所求圓的方程為所求圓的方程為 23b 18)23() 3( 22 yx所求圓的方程為 5 3 0 5 26 5 2 5 29 22 yxyx 例例2:過圓過圓O:x2+y2=13外一點(diǎn)外一點(diǎn)P(-4,7),作作 O的的 切線切線PA、PB，A、B是切點(diǎn)。求是切點(diǎn)。求(1)PA、PB的方的方 程程 AB的方程。的方程。 解：解：設(shè)所求切線的方程為設(shè)所求切線的方程為y-7=k(x+4)，則，則 或或k=-18 所求切線的方程為所求切線的方程為2x+3y-13=0或或18x+y+65=0 OP的中點(diǎn)的中點(diǎn)M為為 以以M為圓心、為圓

11、心、 為半徑的圓為半徑的圓 它與它與O的公共弦，即的公共弦，即AB的方程為的方程為4x-7y+13=0 3 2 13 1 |47| 2 k k k 654916|OP 2 65 4 65 ) 2 7 ()2( 22 yx ) 2 7 , 2( 例例3：若圓：若圓x 2 +y 2 +x-6y+c=0與直線與直線 x+2y-3=0的兩交點(diǎn)為的兩交點(diǎn)為P、Q,滿足滿足 OPOQ(O為原點(diǎn)為原點(diǎn))。求。求C值。值。 解：設(shè)解：設(shè)P(x1,y1) 、Q(x2,y2) OPOQ yy1y y2+x+x1x x2=0=0 1 21 21 xx yy Q P O y x 由由 x2+y2+x-6y+c=0得得

12、5y2+20y+12+c=0 x x+2y-3=0+2y-3=0 yy1+y+y2=4=4 代入代入式得：式得： c=3c=3代入代入得得 y2-4y+3=0 =16-120 c=3c=3 5 12 21 c yy 15)12( 5 4 4)(69)23)(23( 21212121 cyyyyyyxx 015)12( 5 4 5 12 c c 例例4:若實(shí)數(shù)對若實(shí)數(shù)對(x,y)滿足方程滿足方程(x- 3)2+(y-2)2=2 求求 的最小值的最小值 的最小值的最小值 2x-y的范圍的范圍 A(-1,0),B(1,0) 求求P(x,y)使使|AP|2+|BP|2 取最小值取最小值 求求P(x,y

13、)到直線到直線x+y+1=0的最大值與的最大值與 最小值最小值 x y 1 2 x y 解解: 設(shè)設(shè) 即即y=kx 由得由得 即即 最小值為最小值為 設(shè)設(shè) 即即y+2=k(x-1) 即即kx-y-k-2=0 由由 得得k2-8k+70 1k71k7 kkmin=1=1 即即 k x y 2 1 |23| 2 k k 116116k 116 min k x y 116 k x y 1 2 2 1 |223| 2 k kk 1) 1 2 ( min x y (方法一方法一)設(shè)設(shè)2x-y=t 即即2x-y-t=0 由由 得得 (方法二方法二)令令 則則 2 12 |26| 2 t 410104t 2

14、sin2 3cos2 y x )sin(1042sin26cos222yx 410)2(104yx (方法一方法一)令令 |AP|AP|2+|BP|+|BP|2的最小值為的最小值為 2sin2 3cos2 y x )sin(26432)sin(132432 )sin2cos3(2432 2)4sin24sin29cos26cos2(2 2)(2) 1() 1(| 22 22222222 yxyxyxBPAP 26432 (方法二方法二) |AP|2+|BP|2=2(x2+y2)+2 x2+y2=|PO|2 |PO|2=x2+y2的最小值為的最小值為 |AP|AP|2+|BP|+|BP|2的最小

15、值為的最小值為 2132232| 22 min OCOP 26215)213( 2 26432 例例5:求兩圓求兩圓x2+y2+2x+6y+9=0，x2+y2- 6x+2y+1=0的外公切線及內(nèi)公切線方程的外公切線及內(nèi)公切線方程. 解解: 設(shè)外公切線的交點(diǎn)為設(shè)外公切線的交點(diǎn)為P(x0,y0) P分分c1c2得比為得比為 圓圓x2+y2+2x+6y+9=0的圓心的圓心c1(-1,-3) 圓圓x2+y2-6x+2y+1=0 的圓心的圓心c2(3,-1) 半徑分別為半徑分別為r1=1，r2=3 y x P C1 C2 P(-3,-4) 設(shè)外公切線的方程為設(shè)外公切線的方程為y+4=k(x+3) 即即

16、kx-y+3k-4=0 外公切線的方程為外公切線的方程為y+4=0或或4x-3y=0 3 1 | | 2 1 2 1 r r pc pc 3 1 4 3 1 1 ) 1() 3 1 (3 , 3 3 1 1 3 3 1 1 00 yx 1 1 |433| 2 k kk 3 4 0kk或 設(shè)內(nèi)公切線的交點(diǎn)設(shè)內(nèi)公切線的交點(diǎn)M(x0,y0)則則 ，設(shè)內(nèi)公切線方程為，設(shè)內(nèi)公切線方程為 即即2kx-2y+5=0 內(nèi)公切線方程為內(nèi)公切線方程為3x+4y+10=0或或x=0 3 1 | | 2 1 MO MO ) 2 5 , 0( Mkxy 2 5 1 124 |562| 22 k k 4 3 k 例例6：

17、圓：圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn)P0(-1,2)， AB為過點(diǎn)為過點(diǎn)P0的弦的弦 當(dāng)當(dāng)AB被點(diǎn)被點(diǎn)P0平分時(shí)，寫出直線平分時(shí)，寫出直線AB方方 程。程。 過過P0的弦的中點(diǎn)軌跡方程。的弦的中點(diǎn)軌跡方程。 斜率為斜率為2的一組平行的一組平行 弦的中點(diǎn)軌跡方程弦的中點(diǎn)軌跡方程 。 解：解：由已知：由已知：OP0AB AB的方程為的方程為 即：即：x-2y+5=0 y x O P P0 A 2 11 0 OP AB K K ) 1( 2 1 2xy B （方法一）設(shè)（方法一）設(shè)AB中點(diǎn)為中點(diǎn)為P(x,y)， 即即 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)，P(0,2)也滿足也滿足式式 當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)，時(shí)，P(-1,0)

18、滿足滿足式式 綜上，所求軌跡方程為綜上，所求軌跡方程為 ) 1( 1 2 ),0( x x y Kx x y K ABOP 1 1 2 1 x y x y KKABOP ABOP 4 5 ) 1() 2 1 ( 22 yx 4 5 ) 1() 2 1 ( 22 yx （方法二）（方法二）OPAB P的軌的軌 跡是以跡是以|OP0|為直徑的圓，圓心為為直徑的圓，圓心為OP0 的中點(diǎn)的中點(diǎn) 半徑為半徑為 所求所求P的軌跡為的軌跡為 設(shè)平行弦中點(diǎn)設(shè)平行弦中點(diǎn)P(x,y)，則，則KOP2=-1 即即x+2y=0 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)， P(0,0)也滿足上式。也滿足上式。 平行弦中點(diǎn)軌跡為平行弦中點(diǎn)軌跡為x+2y