如何用線性回歸分析和水平測(cè)試成績(jī)

1、如何用線性回歸分析和水平測(cè)試成績(jī)估計(jì)學(xué)生高考成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)學(xué)生和學(xué)校的進(jìn)步情況“普通高中新課程學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)研究 ”項(xiàng)目組從 2005 年開(kāi)始，教育部 “普通高中新課程學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)研究 ”項(xiàng)目組開(kāi)始高中必修課 學(xué)業(yè)水平測(cè)試的研究活動(dòng)。作為高中必修課的學(xué)業(yè)水平測(cè)試，具有三個(gè)方面的功能：第一，檢 查學(xué)生經(jīng)過(guò)必修課學(xué)習(xí)后達(dá)到的水平，幫助學(xué)生建構(gòu)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)；第二，診斷教學(xué)中存在的 問(wèn)題，為教師搞好選修階段的教學(xué)以及高考復(fù)習(xí)做準(zhǔn)備；第三，預(yù)測(cè)學(xué)生在高考中可能達(dá)到的 成績(jī)水平。前兩方面的功能是顯而易見(jiàn)的，我們通過(guò)每年測(cè)試后的信息反饋和分析報(bào)告，已經(jīng) 做了這項(xiàng)工作。第三項(xiàng)工作是大家所關(guān)心的，然而要如何做才

2、能達(dá)到呢？通過(guò)回歸分析，我們 可以計(jì)算出每一位同學(xué)、每一間學(xué)校從必修課水平測(cè)試到高考這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)步情況，建立起 高考與水平測(cè)試之間的關(guān)系模型，進(jìn)而粗略地預(yù)計(jì)新參加水平測(cè)試的學(xué)生將來(lái)參加高考可能達(dá) 到的成績(jī)區(qū)間。下面簡(jiǎn)單介紹線性回歸分析的方法和如何解讀數(shù)據(jù)的方法。1、線性回歸分析 線性回歸是利用線性方程來(lái)模擬表示兩組相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系的方法。如果兩組相關(guān)數(shù)據(jù)， 比如說(shuō)，必修課水平測(cè)試與高考成績(jī)之間存在著相關(guān)關(guān)系，這種關(guān)系可以近似地用一個(gè)線性方 程來(lái)表達(dá)，即高考的成績(jī) y高考與水平測(cè)試的成績(jī)x水平之間的關(guān)系可以表示為： y 高考 ax 水平 b ，其中 a 和 b 為兩個(gè)常數(shù)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析可以把

3、這兩個(gè)常數(shù)找出來(lái)。這樣對(duì) 應(yīng)于每一個(gè)x水平的值，就可以找到相應(yīng)的 y高考值，即可以用這一關(guān)系來(lái)預(yù)測(cè)高考的期望成績(jī)。由于新課程實(shí)施后的高考是以必修課的內(nèi)容為主要的測(cè)試對(duì)象，學(xué)生經(jīng)過(guò)必修課的學(xué)習(xí)基 本上奠定了高考的知識(shí)基礎(chǔ)，掌握了相關(guān)學(xué)科的基本能力，又因?yàn)槲覀兊臏y(cè)試題目的目標(biāo)要求 與高考的目標(biāo)要求在本質(zhì)上是一致的，必修課水平測(cè)試的成績(jī)與高考成績(jī)應(yīng)該存在著高度相關(guān) 的關(guān)系。我們的研究也證實(shí)了這種關(guān)系的存在。在 2005 年，佛山市順德區(qū)和禪城區(qū)的高二學(xué) 生參與了我們的必修課水平測(cè)試，在 2007 年他們又參加了高考。根據(jù)這些考生兩次考試的成 績(jī)，我們計(jì)算得到兩次測(cè)試的語(yǔ)文科相關(guān)系數(shù)為 0.454，數(shù)

4、學(xué)科（文）的相關(guān)系數(shù)為 0.429，數(shù)學(xué)科（理）的相關(guān)系數(shù)為0.450,英語(yǔ)科的相關(guān)系數(shù)為0.608,語(yǔ)數(shù)英三科總分（文）的相關(guān)系數(shù)為0.680,語(yǔ)數(shù)英三科總分（理）的相關(guān)系數(shù)為0.693。由于高考是在必修課水平測(cè)試施測(cè)一年后才進(jìn)行的，因而上述相關(guān)系數(shù)都是比較可觀的，尤其是語(yǔ)數(shù)英三科總分（理）的相關(guān)系數(shù) 高達(dá)0.693。因此，通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析確定上述回歸方程是可能的。以下以英語(yǔ)學(xué)科為例來(lái)具體說(shuō)明如何運(yùn)用線性回歸分析來(lái)估計(jì)學(xué)生高考可能達(dá)到的成績(jī)。2、利用回歸直線與回歸方程估計(jì)高考成績(jī)?cè)谘芯?5年必修課水平測(cè)試和 07年英語(yǔ)高考成績(jī)的關(guān)系時(shí)，以橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示各考生必修課水平測(cè)試中英語(yǔ)成績(jī)和高考

5、英語(yǔ)成績(jī)畫(huà)點(diǎn)（見(jiàn)圖1 ）。我們發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)均勻地分散在圖中的紅色線周圍。紅色線基本展示了必修課水平測(cè)試中英語(yǔ)成績(jī)和高考英語(yǔ)成績(jī)的關(guān) 系，我們稱之為兩者的回歸直線?；貧w直線對(duì)應(yīng)的線性方程稱為回歸方程，下圖紅色線對(duì)應(yīng)的 回歸方程為：y 高考=37.887+0.790 x 水平。OCT 30.QC 燈 S 60UW 0QCO IDOuQD 1XW圖1: 05年必修水平測(cè)試與07年高考 英語(yǔ)科 回歸圖線1KGO-1+CC9130 0）3QCD-我們可以利用回歸方程來(lái)預(yù)測(cè)高考的期望成績(jī)。例如，在05年的必修課水平測(cè)試中，張恒源同學(xué)的英語(yǔ)成績(jī)是 25分。由回歸方程y高考=37.89+0.79 x水平我們可

6、以得到其英語(yǔ)高考成 績(jī)期望值為57.64分。不過(guò)，由于在必修課水平測(cè)試與高考之間，學(xué)生還要經(jīng)過(guò)一年多的選修課學(xué)習(xí)以及高考復(fù) 習(xí)。在這段時(shí)間內(nèi)的許多因素，如：學(xué)生本身的努力程度，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，教師的教學(xué)水平 和教學(xué)方法等等，都會(huì)對(duì)學(xué)生的高考成績(jī)產(chǎn)生影響，水平測(cè)試成績(jī)與高考成績(jī)之間的關(guān)系不可能是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，由線性方程y高考 ax 水平 b計(jì)算得到的y高考跟考生咼考的實(shí)際成績(jī)未 必一致。加上水平測(cè)試和高考本身都存在測(cè)量誤差，因此需要在回歸方程的基礎(chǔ)上加一個(gè)反映估計(jì)誤差的區(qū)間，以此來(lái)估計(jì)學(xué)生的高考可能達(dá)到的成績(jī)。在回歸分析中，有一個(gè)概念估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤” S,就是用來(lái)表示估計(jì)誤差的。當(dāng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)正態(tài)分布

7、時(shí)，考生高考的實(shí)際成績(jī)落在區(qū)間y高考一S, y高考+ S的概率是68%，而落在區(qū)間y高考一1.9S, y高考+ 1.9S的概率是95%。一般的，我們采取y高考- S, y高考+S作為高考成績(jī)的期望區(qū)間。當(dāng)然，用這樣的方式來(lái)估 計(jì)學(xué)生的成績(jī)不可能是非常精確的，但是也可以讓學(xué)生和教師明確自己的努力方向，可以判斷 學(xué)生和學(xué)校的進(jìn)步情況，從而為評(píng)價(jià)學(xué)校的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供依據(jù)。在上例中，由SPSS計(jì)算可得估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤為17.21。由于張恒源同學(xué)的英語(yǔ)高考成績(jī)期望值為57.64分，所以他的英語(yǔ)高考成績(jī)的期望區(qū)間為17.21+ 57.64, 17.21+ 57.64,即40.43, 74.85。由于高考的

8、延續(xù)性和考生總體水平的相對(duì)穩(wěn)定性，我們可以利用05 07年的回歸分析結(jié)果，預(yù)測(cè) 06年參加水平測(cè)試的學(xué)生在 08年參加高考時(shí)可能得到的成績(jī)。比如說(shuō)，06年有一位考生的英語(yǔ)水平測(cè)試成績(jī)和張恒源一樣是25分，可以粗略地預(yù)測(cè)他 08年參加高考的英語(yǔ)成績(jī)可能在40 75分之間。經(jīng)過(guò)我們對(duì)05年參加必修課水平測(cè)試、07年參加高考的考生的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，我們得到的回歸方程如表1所示。表1： 05年必修水平測(cè)試與07年高考回歸分析數(shù)據(jù)表科目語(yǔ)文數(shù)學(xué)（文）數(shù)學(xué)（理）英語(yǔ)三科總分（文）三科總分（理）匹配的考生數(shù)892743703821853135893459匹配的學(xué)校數(shù)201919201717相關(guān)系數(shù)0.45

9、40.4290.4500.6080.6800.693回歸方程Y = 63.03+0.43XY = 60.62 +0. 59XY = 55.58 +0. 52XY = 37.89+0.79XY = 100.92 +0.90X Y = 94.35 +0.88X估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤10.9422.6618.8117.2135.7733.713、進(jìn)步值用回歸分析來(lái)預(yù)測(cè)高考的期望成績(jī)，得到的是一個(gè)以期望值為中值、標(biāo)準(zhǔn)誤為幅度的區(qū)間。如圖1所示，兩條藍(lán)色線分別為方程 y= y高考+S和y= y高考一 S對(duì)應(yīng)的直線。這兩條藍(lán)色線分別表示期望區(qū)間的上下界。當(dāng)表示考生兩次成績(jī)的點(diǎn)落在兩條藍(lán)色線之間時(shí)，則認(rèn)為他正常發(fā)揮，該

10、考生的進(jìn)步值為 “0”如果他的實(shí)際成績(jī)超過(guò)區(qū)間上界，即在表示上限的藍(lán)線的上方，則認(rèn)為他進(jìn)步了，進(jìn)步值=高考實(shí)際成績(jī)一區(qū)間上界；如果他的實(shí)際成績(jī)比區(qū)間下界還少，即在表示下限的藍(lán)線的下方，則認(rèn)為他退步了，進(jìn)步值=高考實(shí)際成績(jī)-區(qū)間下界。圖2給出每位同學(xué)的水平測(cè)試成績(jī)、高考成績(jī)期望區(qū)間和進(jìn)步值的情況。從圖2中可見(jiàn)，在07年的高考中，張恒源同學(xué)英語(yǔ)高考的實(shí)際成績(jī)?yōu)?2分，比區(qū)間下界還少，所以他的進(jìn)步值=高考實(shí)際成績(jī)區(qū)間下界=32- 40.43= 8.43。又如，蔡淑意同學(xué)水平測(cè)試的成績(jī)?yōu)?7.50,高考英語(yǔ)成績(jī)的期望區(qū)間為42.41，76.83,她高考的實(shí)際成績(jī)?yōu)?4分，落在期望區(qū)間,她的進(jìn)步值為0。

11、再如，黃冠鵬同學(xué)水平測(cè)試的成績(jī)?yōu)?7.00,高考英語(yǔ)成績(jī)的期望區(qū)間為49.92 , 84.34,他高考的實(shí)際成績(jī)?yōu)?01分，超出了期望區(qū)間的上界，因而他的進(jìn)步值=高考實(shí)際成績(jī)區(qū)間上界=101 84.34= 16.66.0圖2: 05年必修課水平測(cè)試與07年高考英語(yǔ)成績(jī)期望區(qū)間與進(jìn)步值巨| 出毛詹 d兮一QT SPSS Qat at E d-t oz:File I di t VITr arts formGr-i V i Kelp鋼lai國(guó)雖 fel&l MlLi23聯(lián)宕I英語(yǔ)也熔I高考預(yù)測(cè)區(qū)間上界黃冠鵬37.0057 E459 367.13英語(yǔ)送步4D.4332 -3.4344 .0049,92

12、101 0016.68區(qū)I肯下界I英需高考J4.Q575 0364 3適4、學(xué)校教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控進(jìn)而可以2）,并以此為2可見(jiàn)，學(xué)校F名列15,其進(jìn)按如上方法可以計(jì)算出各個(gè)考生的英語(yǔ)高考成績(jī)期望值、期望區(qū)間以及進(jìn)步值。計(jì)算出各學(xué)校進(jìn)步值的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，從而對(duì)各校的進(jìn)步值進(jìn)行排名（見(jiàn)表 依據(jù)來(lái)分析各個(gè)學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)校教學(xué)質(zhì)量的監(jiān)控等。例如，由表在05年的必修課水平測(cè)試中排名最后，可是在07年的高考中卻提高了 5名,步值的平均值為6.32,在所有學(xué)校中名列第一。這在一定程度上表明，雖然在必修課水平測(cè)試 時(shí)，該?？忌捷^差。然而在必修課水平測(cè)試到高考這一年多的教學(xué)中，該校的教學(xué)質(zhì)量卻很好，從

13、總體上學(xué)生獲得較大的提高。學(xué)校G和學(xué)校H，在水平測(cè)試時(shí)的成績(jī)分別排名第二和第一，但是其高考平均進(jìn)步值的排名卻倒過(guò)來(lái)為第九和第十，說(shuō)明學(xué)校G的進(jìn)步更大一些。表2: 05年必修水平測(cè)試與07年高考回歸分析英語(yǔ)學(xué)科數(shù)據(jù)表學(xué)校名稱（共20校）匹配的考生數(shù)2005年必修測(cè)試2007年咼考進(jìn)步值平均分排名平均分排名平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差排名A75256.781792.8063.708.583B94066.05795.0052.498.676C39162.101188.5981.447.237D31559.801589.1473.8110.102E17149.031979.63163.3211.214F40740.8

14、32079.64156.3213.881G32381.072111.7120.992.559H33683.991107.3230.163.3710I29969.444103.3341.233.248J47564.98984.1210-1.104.0514K29255.201873.7220-1.454.0916L27761.211380.2414-1.013.57135、小結(jié)利用線性回歸分析得出的回歸方程和標(biāo)準(zhǔn)誤，可以估計(jì)下一年度參加水平測(cè)試的學(xué)生可能 達(dá)到的高考成績(jī)區(qū)間；同時(shí)也可以回過(guò)頭來(lái)確認(rèn)已經(jīng)參加高考的這一屆學(xué)生和學(xué)校的進(jìn)步情況, 為監(jiān)控學(xué)校教學(xué)質(zhì)量作出依據(jù)。附表：一、06年參加水平測(cè)試的學(xué)生 08 年高考語(yǔ)數(shù)英總分期望表二、06年參加水平測(cè)試的學(xué)