信號(hào)與系統(tǒng)第6講-連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示

1、第六講第六講 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) 的傅里葉級(jí)數(shù)表示的傅里葉級(jí)數(shù)表示 信息與通信工程系信息與通信工程系 2014-03 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 引言 LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng) 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 引言 LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng) 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示 為什么要引入頻域分析為什么要引入頻域分析 時(shí)域方法在研究信號(hào)特性和設(shè)計(jì)信號(hào)處理 算法時(shí)不夠直觀 時(shí)域方法在系統(tǒng)辨識(shí)和分析系統(tǒng)特性時(shí)不 夠方便 頻域分析的引入體現(xiàn)了化歸的思想 傅里葉及傅里葉分析傅里葉及傅里葉分析 J. B. Joseph Fourier (1768-1830) 1768年3月

2、21日生于 法國奧賽爾(Auxerre) 的一個(gè)裁縫家庭，在 全家12個(gè)孩子中排行 第9 9歲時(shí)母親去世，次年 父親去世，成為孤兒， 被當(dāng)?shù)匦薜涝菏震B(yǎng) 傅里葉及傅里葉分析傅里葉及傅里葉分析 1780年進(jìn)入天主教管理的奧賽爾皇家軍校 學(xué)習(xí) 13歲時(shí)，顯現(xiàn)出對(duì)文學(xué)與數(shù)學(xué)的興趣 14歲他已讀完Bezout數(shù)學(xué)教程全六冊(cè) 19歲時(shí)他卻選擇進(jìn)入Benedictine(圣本篤)修 道院，希望成為神父。此后三年，他不斷 掙扎于數(shù)學(xué)與宗教之間 傅里葉及傅里葉分析傅里葉及傅里葉分析 1793年參加奧賽爾革命委員會(huì)，1794年被 捕入獄，后因政治氣氛改變而獲得釋放 1795年1月成為法國巴黎高等師范學(xué)院的數(shù) 學(xué)教

3、授，與拉普拉斯、拉格朗日、孟濟(jì)等 人共事 1797年任教于當(dāng)時(shí)極富盛名的法國巴黎綜 合理工學(xué)院 1790年回到母校任教 傅里葉及傅里葉分析傅里葉及傅里葉分析 1801回國繼續(xù)任教，1802年被任命為法國 南部伊澤爾行政區(qū)的行政長官 抽干了一個(gè)沼澤的水 鋪了一條從Grenoble到Turin的公路 創(chuàng)立格勒諾布爾大學(xué)，后改稱約瑟夫傅里 葉大學(xué) 1798年傅里葉隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，被任命 為下埃及的總督。他致力于考古探測(cè)，并 創(chuàng)立了開羅學(xué)院 傅里葉及傅里葉分析傅里葉及傅里葉分析 1811年，上述論文獲得法國科學(xué)院頒發(fā)的 論文獎(jiǎng)，但卻未能正式出版 1807完成論文固體中的熱傳導(dǎo)，提出 任何周期函數(shù)都可

4、以用正弦函數(shù)的級(jí)數(shù)來 表示這一觀點(diǎn) 1817年當(dāng)選法蘭西科學(xué)院院士 1822年當(dāng)選法蘭西科學(xué)院終身秘書，全面 負(fù)責(zé)科學(xué)院的行政事務(wù) 傅里葉及傅里葉分析傅里葉及傅里葉分析 1822年出版專著熱的分析理論，提出 了兩個(gè)重要觀點(diǎn)：周期信號(hào)都可以表示為 成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和；非周期 信號(hào)都可以表示為正弦信號(hào)的加權(quán)積分 1824年發(fā)現(xiàn)“溫室效應(yīng)” 1829年狄里赫利給出傅里葉級(jí)數(shù)收斂條件 1830年傅里葉病逝于巴黎，葬于巴黎著名 的拉雪茲神父公墓 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 引言 LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng) 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示 信號(hào)分解信號(hào)分解 時(shí)域分解 ( )( ) ()x txtd k

5、 x nx knk 基本信號(hào)的要求 把信號(hào)表示 為基本信號(hào) 的線性組合 由這些信號(hào)能夠表示相當(dāng)廣泛的一類信號(hào) LTI系統(tǒng)對(duì)每一個(gè)基本信號(hào)的響應(yīng)容易確定 特征函數(shù)和特征值特征函數(shù)和特征值 s tstsst ey thedhede s H shed 令： stst esHe 可得： 特征函數(shù) 特征值 一個(gè)信號(hào)，如果系統(tǒng)對(duì)它的響 應(yīng)僅是一個(gè)常數(shù)乘以它，則稱 該信號(hào)為系統(tǒng)的特征函數(shù) 特征函數(shù)和特征值特征函數(shù)和特征值 nkn kk zy nh k x nkh k zz k k H zh k z 令： nn zH z z 可得： 特征函數(shù)特征值 特征函數(shù)和特征值特征函數(shù)和特征值 對(duì)于某一個(gè)LTI系統(tǒng)來說，

6、其特征函數(shù) 不是唯一的，也不一定具有復(fù)指數(shù)的 形式。 盡管某些LTI系統(tǒng)可能有另外的特征函 數(shù)，但復(fù)指數(shù)信號(hào)是唯一能夠成為一 切LTI系統(tǒng)特征函數(shù)的信號(hào)。 特征函數(shù)和特征值特征函數(shù)和特征值 舉例：( )(3)y tx t 2 ( ) j t x te 2(3)62 ( ) jtjj t y teee 3 ( )(3) ss H sede 262 ( )( 2) j tjj t y tH jeee 1) 2) ( )cos(4 )cos(7 )x ttt( )cos(4(3)cos(7(3)y ttt 4477 1111 ( ) 2222 j tj tj tj t x teeee 1241242

7、17217 1111 ( ) 2222 jj tjj tjj tjj t y teeeeeeee 特征函數(shù)和特征值特征函數(shù)和特征值 ( ) k s t k k x ta e () kk s ts t k eH s e ( )() k s t kk k y ta H s e 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)： 離散時(shí)間系統(tǒng)： n kk k x na z () nn kkk zH zz () n kkk k y na H zz ？ 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 引言 LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng) 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合 ( )()x tx tT 構(gòu)造如下

8、復(fù)指數(shù)信號(hào)集合： 0 jkt k te , 1, 0 k 其中： 0 2 /T 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合： 0 (2/)jktjkT t kk kk x ta ea e 傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定 0 ( ) jkt k k x ta e 000 ( ) jntjktjnt k k x t ea ee 000 ( ) jntjktjnt k TT k x t edta eedt 0 ()j k nt k T k aedt 因?yàn)椋?0 () () j k nt T edtTkn 所以： 0 1 ( ) jnt n T ax t edt T 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)

9、間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) k tTjk ke atx 2 綜合公式 分析公式 T tTjk k dtetx T a /2 1 : k a 頻譜系數(shù)(頻譜) 0 1 ( ): T ax t dt T 直流分量(平均值) , 1, 2,.,.: k akN k次諧波分量 正交分解 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 討論： 若x(t)為實(shí)信號(hào)，即： * x txt 則： 0 *jkt k k x txta e 0 *jkt k k a e 而： 0 jkt k k x ta e 所以： * kk aa 00 1 cos kk k x taAkt 沒有負(fù)頻 率分量！ k j kk aA e 舉例舉例 3 2 3 jkt k k x ta e 011