電路(5版)電子教案：第7章 一階電路和二階電路的時域分析

1、動態(tài)電路的方程及其初始條件動態(tài)電路的方程及其初始條件7-1一階電路和二階電路的階躍響應一階電路和二階電路的階躍響應7-7 一階電路的零輸入響應一階電路的零輸入響應7-2一階電路和二階電路的沖激響應一階電路和二階電路的沖激響應 7-8 一階電路的零狀態(tài)響應一階電路的零狀態(tài)響應7-3卷積積分卷積積分*7-9 一階電路的全響應一階電路的全響應7-4狀態(tài)方程狀態(tài)方程*7-10 二階電路的零輸入響應二階電路的零輸入響應7-5 二階電路的零狀態(tài)響應和全響應二階電路的零狀態(tài)響應和全響應7-6 動態(tài)電路時域分析中的幾個問題動態(tài)電路時域分析中的幾個問題 *7-11 首首 頁頁 本章重點本章重點 第七章第七章 一

2、階電路和二階電路一階電路和二階電路 的時域分析的時域分析 2.2.一階和二階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響一階和二階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響 應和全響應的概念及求解應和全響應的概念及求解 l 重點重點 3.3.一階和二階電路的階躍響應概念及求解一階和二階電路的階躍響應概念及求解 1.1.動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定 返 回 含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱為動態(tài)電路。含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱為動態(tài)電路。 1 1. . 動態(tài)電路動態(tài)電路 7-1 動態(tài)電路的方程及其初始條件動態(tài)電路的方程及其初始條件 當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(換路換

3、路)，需要，需要 經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這 個變化過程稱為電路的過渡過程。個變化過程稱為電路的過渡過程。 下 頁上 頁 特點 返 回 下 頁上 頁返 回 500kV斷路器斷路器 O t i 2S /RUi S12 ()iURR 過渡期為零過渡期為零 電阻電路電阻電路 下 頁上 頁 + - US R1 R2 （t = 0） i 返 回 電容電路電容電路 下 頁上 頁 S + uC US R C i (t = 0) + - - (t ) + uC US R C i + - - 返 回 i = 0 , uC= US i = 0 , uC = 0

4、 S接通電源后很長時間接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達，電容充電完畢，電路達 到新的穩(wěn)定狀態(tài)：到新的穩(wěn)定狀態(tài)： S未動作前未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)： 前一個穩(wěn)定狀態(tài)前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)過渡狀態(tài) 新的穩(wěn)定狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài) t1 US uC t O ?i R US 有一過渡期有一過渡期 uL= 0, i=US /R i = 0 , uL = 0 S接通電源后很長時間接通電源后很長時間，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)， 電感視為短路：電感視為短路： S未動作前未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)： 電感電路電感電路 下 頁上 頁 前一個穩(wěn)定狀態(tài)前

5、一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)過渡狀態(tài) 新的穩(wěn)定狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài) t1 US/R i t O ? uL S U 有一過渡期有一過渡期 返 回 - - S + uL US R L i (t = 0) + (t ) + uL US R L i + - - 下 頁上 頁 S未動作前未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：uL= 0, i=US /R S斷開瞬間斷開瞬間 i = 0 , uL = 工程實際中在切斷電容或電感電路時工程實際中在切斷電容或電感電路時 會出現(xiàn)過電壓和過電流現(xiàn)象。會出現(xiàn)過電壓和過電流現(xiàn)象。 注意 返 回 (t ) + uL US R L i + - - S + uL US R L

6、 i (t ) + 過渡過程產(chǎn)生的原因過渡過程產(chǎn)生的原因 電路內(nèi)部含有儲能元件電路內(nèi)部含有儲能元件 L、C，電路在換路時，電路在換路時 能量發(fā)生變化，而能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的能量的儲存和釋放都需要一定的 時間來完成。時間來完成。 t W p 電路結構、狀態(tài)發(fā)生變化電路結構、狀態(tài)發(fā)生變化 換路換路 支路接入或斷開支路接入或斷開 電路參數(shù)變化電路參數(shù)變化 p 0 t 下 頁上 頁返 回 )( d d S tuu t u RC C C 應用應用KVL和電容的和電容的VCR得得 若以電流為變量若以電流為變量 )(d 1 S tuti C Ri t tu C i t i R d )

7、(d d d S 2. 動態(tài)電路的方程動態(tài)電路的方程 下 頁上 頁 (t 0) + uC uS R C i + - - )( S tuuRi C t u Ci C d d RC電路電路 返 回 )( S tuuRi L )( d d S tu t i LRi 應用應用KVL和電感的和電感的VCR得得 t i LuL d d 若以電感電壓為變量若以電感電壓為變量)(d S tuutu L R LL t tu t u u L R L L d )(d d d S 下 頁上 頁 RL電路電路 返 回 (t 0) + uLuS R i + - - 含源含源 電阻電阻 電路電路 一個動一個動 態(tài)元件態(tài)元件

8、 一階一階 電路電路 下 頁上 頁 結論 含有一個動態(tài)元件電容或電感的線性電含有一個動態(tài)元件電容或電感的線性電 路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱 為一階電路。為一階電路。 返 回 )( d d d d S 2 2 tuu t u RC t u LC C CC )( S tuuuRi CL 二階電路二階電路 t u Ci C d d 2 2 d d d d t u LC t i Lu C L 下 頁上 頁 RLC電路電路 應用應用KVL和元件的和元件的VCR得得 含有二個動態(tài)元件的線性電路，其電路方程含有二個動態(tài)元件的線性電路，其電路方程 為二階線性常

9、微分方程，稱為二階電路。為二階線性常微分方程，稱為二階電路。 返 回 (t 0) + uLuS R i + - - C uC 一階電路一階電路 一階電路中只有一個動態(tài)元件一階電路中只有一個動態(tài)元件, ,描述描述 電路的方程是一階線性微分方程。電路的方程是一階線性微分方程。 描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程。描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程。 動態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動動態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動 態(tài)元件的個數(shù)。態(tài)元件的個數(shù)。 0)( d d 01 ttexa t x a 0)( d d d d 01 2 2 2 ttexa t x a t x a 二階電路二階電路二階電路中有二個

10、動態(tài)元件二階電路中有二個動態(tài)元件, ,描述描述 電路的方程是二階線性微分方程。電路的方程是二階線性微分方程。 下 頁上 頁 結論 返 回 高階電路高階電路 電路中有多個動態(tài)元件，描述電路中有多個動態(tài)元件，描述 電路的方程是高階微分方程。電路的方程是高階微分方程。 1 110 1 ddd ( )0 ddd nn nn nn xxx aaaa xe tt ttt 動態(tài)電路的分析方法動態(tài)電路的分析方法 根據(jù)根據(jù)KVL、KCL和和VCR建立微分方程。建立微分方程。 下 頁上 頁返 回 復頻域分析法復頻域分析法 時域分析法時域分析法 求解微分方程。求解微分方程。 經(jīng)典法經(jīng)典法 狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法 數(shù)值

11、法數(shù)值法 卷積積分卷積積分 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法 傅氏變換傅氏變換 本章本章 采用采用 工程中高階微分方程應用計算機輔助分析求解。工程中高階微分方程應用計算機輔助分析求解。 下 頁上 頁返 回 穩(wěn)態(tài)分析和動態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)分析和動態(tài)分析的區(qū)別 穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)動態(tài)動態(tài) 換路發(fā)生很長時間后狀態(tài)換路發(fā)生很長時間后狀態(tài) 微分方程的特解微分方程的特解 恒定或周期性激勵恒定或周期性激勵 換路發(fā)生后的整個過程換路發(fā)生后的整個過程 微分方程的通解微分方程的通解 任意激勵任意激勵 S01 d d Uxa t x a 0 d d t x t S0 Uxa 下 頁上 頁 直流時直流時 返 回

12、 t = 0與與t = 0的概念的概念認為換路在認為換路在t=0時刻進行時刻進行 0 換路前一瞬間 換路前一瞬間 0 換路后一瞬間 換路后一瞬間 3.3.電路的初始條件電路的初始條件 )(lim)0( 0 0 tff t t )(lim)0( 0 0 tff t t 初始條件為初始條件為 t = 0時，時，u 、i 及其各階導及其各階導 數(shù)的值。數(shù)的值。 下 頁上 頁 注意 O f(t) )0()0( ff 00 )0()0( ff t 返 回 圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo， 求開關閉合后電容電壓隨時間的變化。求開關閉合后電容電壓隨時間的變化。

13、例例1-1 解解 0 d d C C u t u RC )0( 0tuRi C 特征根方程：特征根方程： 01RCpRCp1 通解：通解： o Uk RC t pt C kktu ee)( 代入初始條件得：代入初始條件得： RC t C Utu e)( o 在動態(tài)電路分析中，初始條件是得在動態(tài)電路分析中，初始條件是得 到確定解答的必需條件。到確定解答的必需條件。 下 頁上 頁 明確 R + C i uC (t=0) 返 回 1 ( )( )d t C uti C 0 0 11 ( )d( )d t ii CC d)( 1 )0( 0 t C i C u t = 0+ 時刻時刻 d)( 1 )0

14、()0( 0 0 i C uu CC i uC C + - 電容的初始條件電容的初始條件 0 下 頁上 頁 當當i()為有限值時為有限值時 返 回 q (0+) = q (0) uC (0+) = uC (0) 換路瞬間，若電容電流保持為有限值，換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則電容電壓（電荷）換路前、后保持不變。則電容電壓（電荷）換路前、后保持不變。 q =C uC 電荷電荷 守恒守恒 下 頁上 頁 結論 返 回 1 ( )( )d t LL itu L 0 0 11 ( )d( )d t LL uu LL d)( 1 )0()0( 0 0 u L ii LL 電感的初始條件電感的初始條

15、件 t = 0+時刻時刻 0 d)( 1 )0( 0 t LL u L i 下 頁上 頁 當當uL為有限值時為有限值時 返 回 iL uL L + - L (0)= L (0) iL(0)= iL(0)磁鏈磁鏈 守恒守恒 換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，換路瞬間，若電感電壓保持為有限值， 則電感電流（磁鏈）換路前、后保持不變。則電感電流（磁鏈）換路前、后保持不變。 下 頁上 頁 結論 返 回 =LiL L (0+)= L (0) iL(0+)= iL(0) qC(0+) = qC(0) uC (0+) = uC (0) 換路定律換路定律 電容電流和電感電壓為有限值是換路定電容電流和電感電壓為

16、有限值是換路定 律成立的條件。律成立的條件。 換路瞬間，若電感電壓保持換路瞬間，若電感電壓保持 為有限值，則電感電流（磁鏈）為有限值，則電感電流（磁鏈） 換路前、后保持不變。換路前、后保持不變。 換路瞬間，若電容電流保持換路瞬間，若電容電流保持 為有限值，則電容電壓（電荷）為有限值，則電容電壓（電荷） 換路前、后保持不變。換路前、后保持不變。 換路定律反映了能量不能躍變。換路定律反映了能量不能躍變。 下 頁上 頁 注意 返 回 電路初始值的確定電路初始值的確定 (2)由換路定律由換路定律 uC (0+) = uC (0)=8V 0.2mAmA 10 810 )( 0iC (1) 由由0電路求電

17、路求 uC(0) uC(0)=8V (3) 由由0+等效電路求等效電路求 iC(0+) iC(0+) iC(0) 例例1-2 求求 iC(0+)。 電電 容容 開開 路路 下 頁上 頁 + - 10V i iC + uC -S 10k 40k + - 10V + uC - 10k 40k + 8V - 0+等效電路等效電路 + - 10V iiC 10k 電電 容容 用用 電電 壓壓 源源 替替 代代 注意 返 回 (0 )(0 ) LL uu iL(0+)= iL(0) =2A V8V42)0( L u 例例1- 3 t = 0時閉合開關時閉合開關S , ,求求 uL(0+)。 先求先求 A

18、2A 41 10 )0( L i 應用換路定律應用換路定律: : 電電 感感 用用 電電 流流 源源 替替 代代 )0( L i解解 電感電感 短路短路 下 頁上 頁 iL 10V 14 + - 由由0+等效電路求等效電路求 uL(0+) 2A + uL - 10V 14 + - 注意 返 回 iL + uL - L 10VS 14 + - 求初始值的步驟求初始值的步驟: : 1.1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0)和和iL(0)。 2.2.由換路定律得由換路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。 3.3.畫畫0+等效電路。等效電路。 4.4.由由0+電路求所

19、需各變量的電路求所需各變量的0+值。值。 (2)電容（電感）用電壓源（電流源）替代。電容（電感）用電壓源（電流源）替代。 (1)換路后的電路換路后的電路; ; （取（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電時刻值，方向與原假定的電容電壓、電 感電流方向相同）。感電流方向相同）。 下 頁上 頁 小結 返 回 iL(0+) = iL(0) = iS uC(0+) = uC(0) = RiS uL(0+)= - RiS 求求 iC(0+) , uL(0+)。 0)0( S S R Ri iiC 例例1-4 解解由由0電路得電路得 下 頁上 頁 由由0+電路得電路得 R iS 0電路電路 uL + i

20、C R iS RiS + 返 回 S(t=0) +uL iL C + uC L R iSiC V24V122 )0()0( CC uu A12A4/48 )0()0( LL ii 例例1-5 求求S閉合瞬間各支路電流和電感電壓。閉合瞬間各支路電流和電感電壓。 解解 A8A3/ )2448()0( C i A20A)812()0( i V24V)12248()0( L u 下 頁上 頁 由由0電路得電路得 由由0+電路得電路得 iL 2 + - 48V 3 2+ uC 返 回 iL + uL - L S 2 + - 48V 3 2C 12A 24V + - 48V 3 2 + - iiC + -

21、 uL 求求S閉合瞬間流過它的電流值。閉合瞬間流過它的電流值。 解解 確定確定0值值 A1A 20 20 )0()0( LL ii V10)0()0( CC uu 給出給出0等效電路等效電路 A2A) 1 10 10 10 20 ()0( S i V1010)0()0( LL iu A110/ )0()0( CC ui 下 頁上 頁 例例1-6 iL + 20V - 10 + uC 10 10 返 回 1A 10V S i + uL iC + 20V - 10 + 10 10 iL + 20V - L S 10 + uC 10 10 C 7-2 一階電路的零輸入響應一階電路的零輸入響應 換路后

22、外加激勵為零，僅有換路后外加激勵為零，僅有 動態(tài)元件初始儲能產(chǎn)生的電動態(tài)元件初始儲能產(chǎn)生的電 壓和電流。壓和電流。 1.1.RC電路的零輸入響應電路的零輸入響應 已知已知 uC (0)=U0 0 CR uu t u Ci C d d uR= Ri 零輸入響應零輸入響應 下 頁上 頁 iS(t=0) + uR C + uCR 返 回 0 )0( 0 d d Uu u t u RC C C C RC p 1 特征根特征根 特征方程特征方程RCp+1=0 t RC A 1 e pt C Aue則則 下 頁上 頁 代入初始值代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0 A=U0 返 回 iS(t=0)

23、 + uR C + uCR 0ee 0 0 tI R U R u i RC t RC t C 0e 0 tUu RC t C RC t RC t C R U RC CU t u Ci e) 1 (e d d 0 0 下 頁上 頁 或或 返 回 t U0 uC O I0 t i O 令令 =RC , , 稱稱 為一階電路的時間常數(shù)。為一階電路的時間常數(shù)。 秒 伏 安秒 歐 伏 庫 歐法歐 RC 電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)。電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)。 連續(xù)連續(xù) 函數(shù)函數(shù) 躍變躍變 響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與RC有關

24、。有關。 下 頁上 頁 表明 返 回 時間常數(shù)時間常數(shù) 的大小反映了電路過渡過程時間的長短的大小反映了電路過渡過程時間的長短 = RC 大大過渡過程時間長過渡過程時間長 小小過渡過程時間短過渡過程時間短 電壓初值一定：電壓初值一定： R 大大（ C一定一定） i=u/R 放電電流小放電電流小 放電時間長放電時間長 U0 t uC O 小 大 C 大大（R一定一定） W=Cu2/2 儲能大儲能大 11 RC p 物理含義物理含義 下 頁上 頁返 回 :電容電壓衰減到原來電壓電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。所需的時間。 工程上認為工程上認為, , 經(jīng)過經(jīng)過 3 5 , 過渡過程結束。過

25、渡過程結束。 U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t 0 2 3 5 t C Uu 0e U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 下 頁上 頁 注意 返 回 t2 t1 t1時刻曲線的斜率等于時刻曲線的斜率等于 21 1 1 0 0)( )( 1 e d d 11 tt tu tu U t u C Ct t t C U0 t uC O t1t2 )(368. 0)( 12 tutu CC 次切距的長度次切距的長度 下 頁上 頁 RC t Uu 0C e 返 回 時間常數(shù)時間常數(shù) 的幾何意義：的幾何意義： 能量關系能量關系 2 0 d

26、 R Wi R t 電容不斷釋放能量被電阻吸收電容不斷釋放能量被電阻吸收, , 直到全部消耗完畢。直到全部消耗完畢。 設設 uC(0+)=U0 電容放出能量：電容放出能量： 2 0 2 1 CU 電阻吸收（消耗）能量：電阻吸收（消耗）能量： 2 0 0 (e)d t RC U R t R 2 0 2 1 CU 22 0 0 ed t RC U t R 22 0 0 (e) 2 t RC URC R 下 頁上 頁返 回 uCR + C i 例例2-1圖示電路中的電容原充有圖示電路中的電容原充有24V電壓，求電壓，求S閉合后，閉合后， 電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。電容電壓和各支路電流隨時

27、間變化的規(guī)律。 解解這是一個求一階這是一個求一階RC 零輸入響應問題，有零輸入響應問題，有 + uC 4 5F i1 t 0 等效電路等效電路 C0e 0 t RC uUt 下 頁上 頁 i3 S 3 + uC 2 6 5F i2 i1 s 20s45 V 24 0 RCU 返 回 0 Ve24 20 tu t C 分流得分流得 Ae64 20 1 t C ui 20 21 1 4eA 3 t ii 20 31 2 2eA 3 t ii 下 頁上 頁返 回 + uC 4 5F i1 i3 S 3 + uC 2 6 5F i2 i1 下 頁上 頁 例例2-2 求求:(1)圖示電路圖示電路S閉合后

28、各元件的電壓和電流閉合后各元件的電壓和電流 隨時間變化的規(guī)律隨時間變化的規(guī)律; ;(2）電容的初始儲能和最電容的初始儲能和最 終時刻的儲能及電阻的耗能。終時刻的儲能及電阻的耗能。 解解這是一個求一階這是一個求一階RC 零輸入響應問題，有零輸入響應問題，有 F4 21 12 CC CC C u (0+)=u(0)=-20V 返 回 U1(0-) =4V u S C1=5F + + - - - i C2=20FU2(0-) =24V 250k + 下 頁上 頁 u S 4F + + - - i -20V 250k 20eV0 t ut s 1s104052 3 RC 3 80e A 250 10

29、t u i 11 00 1 11 (0)( )d480e d 5 ( 16e20)V tt t t uui t C 22 00 2 11 (0)( )d2480e d 20 (4e20)V tt t t uui t C 返 回 下 頁上 頁 初始儲能初始儲能 最終儲能最終儲能 電阻耗能電阻耗能 返 回 62 12 1 (520)1020 J5000J 2 WWW 5760J )241020( 2 1 26- 2 W J 40J )16105( 2 1 6- 1 WJ (58005000) J 232 R 00 d250 10(80e ) d800J t t WRitt 2.2. RL電路的零輸

30、入響應電路的零輸入響應 特征方程特征方程 Lp+R=0 L R p 特征根特征根 代入初始值代入初始值A= iL(0+)= I0 0 1 S )0()0(I RR U ii LL 00 d d tRi t i L L L pt L Atie)( 0ee)( 00 tIIti t L R pt L t 0 下 頁上 頁返 回 iL S(t=0) USL + uL RR1+ - i L + uL R RL t L L RI t i Ltu / 0e )( d d 0e)( / 0 tIti RL t L t I0 iL O 連續(xù)連續(xù) 函數(shù)函數(shù) 躍變躍變 電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)。

31、電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)。 下 頁上 頁 表明 -RI0 uL t O 返 回 i L + uL R 響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與L/R有關。有關。 下 頁上 頁 秒 安歐 伏秒 安歐 韋 歐 亨 R L 令令 稱為一階稱為一階RL電路時間常數(shù)電路時間常數(shù) = L/R 時間常數(shù)時間常數(shù) 的大小反映了電路過渡過程時間的長短。的大小反映了電路過渡過程時間的長短。 L大大 W=LiL2/2 初始能量大初始能量大 R小小 p=Ri2 放電過程消耗能量小 放電過程消耗能量小 放電慢，放電慢， 大大 大大過渡過程時間長過渡過程時間長 小小過

32、渡過程時間短過渡過程時間短 物理含義物理含義 電流初始值電流初始值iL(0)一定：一定： 返 回 能量關系能量關系 2 0 R Wi R t d 電感不斷釋放能量被電阻吸收電感不斷釋放能量被電阻吸收, , 直到全部消耗完畢。直到全部消耗完畢。 設設 iL(0+)=I0 電感放出能量：電感放出能量： 2 0 2 1 LI 電阻吸收（消耗）能量：電阻吸收（消耗）能量： 2 / 0 0 ( e) t L R IR t d 2 0 2 1 LI 2 2 / 0 0 e t L R I Rt d 2 2 0 0 / (e) 2 t RC L R I R 下 頁上 頁返 回 i L + uL R iL (

33、0+) = iL(0) = 1 A uV (0+)= 10000V 造成造成 V損壞。損壞。 例例2-3 t=0時時, ,打開開關打開開關S，求求uV / e 0 t L it 。電壓表量程：。電壓表量程：50V。 s104s 10000 4 4 V RR L 2500 VV 10000eV0 t L uR it 解解 下 頁上 頁返 回 iL S(t=0) + uV L=4H R=10 V RV 10k 10V iL L R 10V + + - - 例例2-4 t=0時時, ,開關開關S由由12，求求電感電壓和電流及電感電壓和電流及 開關兩端電壓開關兩端電壓u12。 s 1s 6 6 R L

34、 解解 A2A 63 6 63 63 24 24 )0()0( LL ii 6 6)42( 6)42( 3 R 下 頁上 頁 t 0 返 回 i + uL 6 6H iL S(t=0) + 24V 6H 3 4 4 6 + uL 2 12 0 Ve12A e2 t t i Lui t L L t L d d Ve424 2 424 12 t L i u 下 頁上 頁返 回 iL S(t=0) + 24V 6H 3 4 4 6 + uL 2 12 i + uL 6 6H 一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初始值一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初始值 引起的響應引起的響應, , 都是由初始值衰減

35、為零的指數(shù)衰都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰 減函數(shù)。減函數(shù)。 t yty e )0()( iL(0+)= iL(0) uC (0+) = uC (0) RC電路：電路： RL電路：電路： 下 頁上 頁 小結 返 回 一階電路的零輸入響應和初始值成正比，一階電路的零輸入響應和初始值成正比， 稱為零輸入線性。稱為零輸入線性。 衰減快慢取決于時間常數(shù)衰減快慢取決于時間常數(shù) 。 同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。 下 頁上 頁 小結 = R C = L/R R為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。 RC 電路電路 RL

36、電路電路 返 回 動態(tài)元件初始能量為零，由動態(tài)元件初始能量為零，由t 0時刻時刻 電路中外加激勵作用所產(chǎn)生的響應。電路中外加激勵作用所產(chǎn)生的響應。 S d d Uu t u RC C C 方程：方程： 7-3 一階電路的零狀態(tài)響應一階電路的零狀態(tài)響應 解答形式為：解答形式為： CCC uuu 1.1.RC電路的零狀態(tài)響應電路的零狀態(tài)響應 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 非齊次方程特解非齊次方程特解 齊次齊次 方程方程 通解通解 下 頁上 頁 i S(t=0) US + uR C + uC R uC (0)=0 + 非齊次線性常微分方程非齊次線性常微分方程 返 回 與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解

37、。與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解。 RC t C Au e 變化規(guī)律由電路參數(shù)和結構決定。變化規(guī)律由電路參數(shù)和結構決定。 的通解的通解 0 d d C C u t u RC S UuC 通解（自由分量，瞬態(tài)分量）通解（自由分量，瞬態(tài)分量） C u 特解（強制分量）特解（強制分量） C u S d d Uu t u RC C C 的特解的特解 下 頁上 頁返 回 全解全解 uC (0+)=A+US= 0 A= US 由初始條件由初始條件 uC (0+)=0 定積分常數(shù)定積分常數(shù) A RC t CCC AUuutu e)( S 下 頁上 頁 ) 0( )e1 (e S SS tUUUu

38、RC t RC t C 從以上式子可以得出從以上式子可以得出 RC t C R U t u Ci e d d S 返 回 US uC uC US t i R U S O t uC O 電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函 數(shù)；電容電壓由兩部分構成：數(shù)；電容電壓由兩部分構成： 連續(xù)連續(xù) 函數(shù)函數(shù) 躍變躍變 穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）瞬態(tài)分量（自由分量）瞬態(tài)分量（自由分量） 下 頁上 頁 表明 + 返 回 響應變化的快慢，由時間常數(shù)響應變化的快慢，由時間常數(shù) RC決定；決定； 大，大， 充電慢，充電慢， 小充電就快。小充電就快。 響應與外加

39、激勵成線性關系。響應與外加激勵成線性關系。 能量關系：能量關系： 2 S 2 1 CU 電容儲存能量電容儲存能量 電源提供能量電源提供能量 2 SSS 0 dU i tU qCU 2 S 2 1 CU 電阻消耗能量電阻消耗能量 2 S 00 2 d()d RC t U i R tR t R e 電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半 轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中。轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中。 下 頁上 頁 表明 R C + - US 返 回 例例3-1 t=0時時, ,開關開關S閉合，已知閉合，已知 uC(0)=0，求求(1)電容電容 電壓和電流電壓和電流；(2

40、) uC80V時的充電時間時的充電時間t 。 解解 (1)(1)這是一個這是一個RC電路零電路零 狀態(tài)響應問題，有：狀態(tài)響應問題，有： )0( V)e1 (100 )e1 ( 200 S tUu t- RC t C s105s10500 35 RC Ae2 . 0e d 200 S t RC t C R U t u Ci d (2)(2)設經(jīng)過設經(jīng)過t1秒秒，uC80V 1 200 1 80100(1 e)8 045ms -t t. 下 頁上 頁 500 10F + - 100V S + uC i 返 回 2. . RL電路的零狀態(tài)響應電路的零狀態(tài)響應 S UiR t i L L L d d

41、)e1 ( S t L R L R U i 已知已知iL(0)=0，電路方程為，電路方程為 LLL iii t iL R US O R U AiL S 0)0( t L R A R U e S 下 頁上 頁返 回 iL S(t=0) US + uR L + uL R + )e1 ( S t L R L R U i t L R L L U t i Lu e d d S uL US t O 下 頁上 頁返 回 iL S(t=0) US + uR L + uL R + 例例3-2 t=0時時, ,開關開關S打開，求打開，求t 0后后iL、uL的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 解解 這是這是RL電路零狀態(tài)響應

42、問題，先化簡電路，有電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有 200 300200 300200 80 eq Rs01. 0s 200 2 eq R L t 0 下 頁上 頁 10A L i A)e1 (10)( 100t L ti Ve2000e10)( 100100 eq tt L Rtu 返 回 iL S + uL2H R80 10A 200 300 iL + uL2H 10A Req 例例3-3t=0開關 開關S打開，求打開，求t 0后后iL、uL及電流源的電壓。及電流源的電壓。 解解 這是這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有 201010 eq RV

43、20V102 oc U s1 . 0/ eq RL 下 頁上 頁 t 0 oceq /1A L iUR A)e1 ()( 10t L ti Ve20e)( 1010 oc tt L Utu )Ve1020(105 10 S t LL uiIu 返 回 iL S + uL 2H 10 2A 10 5 + u iL + uL 2H Uoc Req+ 7-4 一階電路的全響應一階電路的全響應 電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外 加激勵源作用時電路中產(chǎn)生的響應。加激勵源作用時電路中產(chǎn)生的響應。 S d d Uu t u RC C C 以以RC電路為例，電路微分方程：電路為

44、例，電路微分方程：1. 1. 全響應全響應 全響應全響應 下 頁上 頁 解答為解答為 uC(t) = uC + uC 特解特解 uC = US 通解通解 t C Au e = RC 返 回 S(t=0) US +uR C + uC R i uC (0)=U0 uC (0+)=A+US=U0A=U0 - US 由初始值定由初始值定A 下 頁上 頁 0e )(e S0SS tUUUAUu tt C 強制分量強制分量( (穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解) )自由分量自由分量( (瞬態(tài)解瞬態(tài)解) ) 返 回 2. 2. 全響應的兩種分解方式全響應的兩種分解方式 uC -USU0 瞬態(tài)解瞬態(tài)解 uCUS 穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 U

45、0 uC 全解全解 t uC O 全響應全響應 = 強制分量強制分量( (穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解) )+ +自由分量自由分量( (瞬態(tài)解瞬態(tài)解) ) 著眼于電路的兩種工作狀態(tài)著眼于電路的兩種工作狀態(tài) 物理概念清晰物理概念清晰 下 頁上 頁返 回 全響應全響應 = = 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 + + 零輸入響應零輸入響應 )0(e)e1 ( 0S tUUu tt C 著眼于因果關系著眼于因果關系便于疊加計算便于疊加計算 下 頁上 頁 零輸入響應零輸入響應 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 S(t=0) US C + R uC (0)=U0 返 回 S(t=0) US C + R uC (0)=0 + S(t=0) US

46、 C + R uC (0)=U0 )(e)e( S 0tU1Uu t 0 t C 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 零輸入響應零輸入響應 t uC O US 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 全響應全響應 零輸入響應零輸入響應 U0 下 頁上 頁返 回 例例4-1t=0 時 時 , ,開關開關S打開，求打開，求t 0后的后的iL、uL。 解解 這是這是RL電路全響應問題，電路全響應問題， 有有 s 20 1 s 12 6 . 0 R L (0 )(0 ) 24/ 4A6A LL ii (1)20 ( )6eA t L it 零輸入響應：零輸入響應： (2)20 24 ( )(1e)A 12 t L it 零狀態(tài)響應：

47、零狀態(tài)響應： )Ae42()e1 (2e6)( 202020ttt L ti 全響應：全響應： 下 頁上 頁返 回 iL S(t=0)+ 24V0.6H 4 + - uL 8 或求出穩(wěn)態(tài)分量或求出穩(wěn)態(tài)分量( )24/12A2A L i 全響應全響應 )Ae2()( 20 t L Ati 代入初值有代入初值有 62AA=4 例例4-2 t=0時時 , ,開關開關S閉合閉合，求求t 0后的后的iC、uC及電及電 流源兩端的電壓流源兩端的電壓（uC(0)=1V，C=1F）。 解解 這是這是RC電路全響電路全響 應問題，有應問題，有 下 頁上 頁 穩(wěn)態(tài)分量：穩(wěn)態(tài)分量： ( )(101)V11V C u

48、 返 回 + 10V 1A 1 + uC 1 + u 1 )Ve1011()( 5 . 0t C tu Ae5)( 5 . 0t C C t u ti d d )Ve512(111)( 5 . 0t CC uitu 下 頁上 頁 s2s1) 11 ( RC 全響應：全響應：)Ve11()( 5 . 0t C Atu 返 回 + 10V 1A 1 + uC 1 + u 1 3. 3. 三要素法分析一階電路三要素法分析一階電路 一階電路的數(shù)學模型是一階線性微分方程：一階電路的數(shù)學模型是一階線性微分方程： t Atftf e)()( 令令 t = 0+ Atff 0 )()0( 0 )()0(tff

49、A cbf t f a d d 其解答一般形式為：其解答一般形式為： 下 頁上 頁 特特 解解 返 回 t fftftf e)0()0()()( 時間常數(shù)時間常數(shù) 初始值初始值 穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 三要素三要素 )0( )( f f 分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三 個要素的問題。個要素的問題。 用用0+等效電路求解等效電路求解 用用t的穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)態(tài)電路求解電路求解 下 頁上 頁 直流激勵時：直流激勵時：( )(0 )( )f tff ( )f( ) (0 )( )e t f tff A 注意 返 回 f V2)0()0( CC uu 2 1 ( )1V0.667V 2

50、 1 C u s2s3 3 2 eq CR 0.5 0.5 0.667(20.667)eV (0.667 1.33e )V 0 t C t u t 例例4-3 已知：已知：t=0 時合開關，求換路后的時合開關，求換路后的uC(t)。 解解 t uC 2 (V) 0.667 O ( )( )(0 )( )e t CCCC utuuu 下 頁上 頁 1A 2 1 3F + - uC 返 回 例例4-4t =0時時 , ,開關閉合，求開關閉合，求t 0后的后的iL、i1、i2。 解法解法1三要素為三要素為 551 0.5/()ss 555 L R A2A 5 10 )0()0( LL ii 1020

51、 ( )()A6A 55 L i 下 頁上 頁 ( )( ) (0 )( )e t LLLL i tiii 三要素公式三要素公式 返 回 iL + 20V0.5H 55 + 10V i2 i1 0)A e46(Ae )62(6)( 55 tti tt L 下 頁上 頁 Ve10V)5()e4(5 . 0)( 55tt L L t i Ltu d d )Ae22(5/ )10()( 5 1 t L uti )Ae24(5/ )20()( 5 2 t L uti 返 回 iL + 20V0.5H 55 + 10V i2 i1 0)A e46(Ae )62(6)( 55 tti tt L 三要素為三

52、要素為 A0A 1 10 )2010( )0( 1 i A2A5/10)( 1 i A4A5/20)( 2 i 下 頁上 頁返 回 0等效電路等效電路 + 20V 2A 55 + 10V i2i1 解法解法2 A2)0( L i A6)( L i s5/1/RL A2A 1 10 )1020( )0( 2 i 0)A e46(Ae )62(6)( 55 tti tt L )Ae22(Ae)20(2)( 55 1 tt ti )Ae24(Ae)42(4)( 55 2 tt ti 例例4-5已知：已知：t=0時開關由時開關由12，求換路后的求換路后的uC(t)。 解解 三要素為三要素為 111 (

53、 )42612V C uiii V8)0()0( CC uu 下 頁上 頁 4 + 4 i1 2i1 u + 10/10 1eq1 iuRiu 2A 4 1 0.1F + uC + 4 i1 2i1 8V + 1 2 返 回 ( )( )(0 )( )e t CCCC utuuu )V20e12(Ve )128(12)( tt C tu 下 頁上 頁 s1s1 . 010 eq CR 例例4-6已知：已知：t=0時開關閉合，求換路后的電流時開關閉合，求換路后的電流i(t) 。 解解三要素為三要素為 V10)0()0( CC uu ( )0 C u s5 . 0s25. 02 eq1 CR 返

54、回 + 1H 0.25F 5 2 S 10V i 2 ( )( )(0 )( )e10eV t t CCCC utuuu 0)0()0( LL ii ( )10/5A2A L i s2 . 0s5/1/ eq2 RL 5 ( )( ) (0 )( )e2(1 e)A t t LLLL i tiii Ae5)e1 (2 2 )( )()( 25tt C L tu titi 下 頁上 頁返 回 + 1H 0.25F 5 2 S 10V i 已知：電感無初始儲能已知：電感無初始儲能t = 0 時合時合S1 , t =0.2s 時合時合S2 ，求兩次換路后的電感電流，求兩次換路后的電感電流i(t)。

55、0 t 0.2s 2 (0.2 )1.26A /1/2s0.5s ( )10/2A5A i L R i A26. 1A)e22()2 . 0( 2 . 05 i A)e74. 35()( )2 . 0(2 t ti 下 頁上 頁返 回 i 10V + S1(t=0) S2(t=0.2s) 3 2 - A)e22( 5t i (0 t 0.2s) 下 頁上 頁 i t / s 0.2 5 /A 1.26 2 O 返 回 7-5 二階電路的零輸入響應二階電路的零輸入響應 uC(0+)=U0 i(0+)=0 0 2 C CC u t u RC t u LC d d d d 已知：已知： 1. 1.

56、二階電路的零輸入響應二階電路的零輸入響應 以電容電壓為變量：以電容電壓為變量： 電路方程：電路方程：0 CL uuRi t i Lu t u Ci L C d d d d 以電感電流為變量：以電感電流為變量： 0 2 i t i RC t i LC d d d d 下 頁上 頁返 回 R L C + - i uC 01 2 RCpLCp特征方程：特征方程： 電路方程：電路方程： 0 2 C CC u t u RC t u LC d d d d 以電容電壓為變量時的以電容電壓為變量時的初始條件：初始條件： uC(0+)=U0i(0+)=0 0 0 t C t u d d 以電感電流為變量時的以電

57、感電流為變量時的初始條件：初始條件： i(0+)=0uC(0+)=U0 )0()0( 0 0 U t i Luu t LC d d L U t i t 0 0 d d 下 頁上 頁返 回 2. 2. 零狀態(tài)響應的三種情況零狀態(tài)響應的三種情況 二二個個不不等等負負實實根根 2 C L R 二二個個相相等等負負實實根根 2 C L R 二二個個共共軛軛復復根根 2 C L R L CLRR p 2 /4 2 過阻尼過阻尼 臨界阻尼臨界阻尼 欠阻尼欠阻尼 LCL R L R1 ) 2 ( 2 2 特征根：特征根： 下 頁上 頁返 回 2 ) 1 ( C L R ee tp 2 tp 1C 21 AA

58、u 0210 )0(UAAUuC 0 2211 )0( ApAp t uC d d 0 12 1 2 0 12 2 1 U pp p A U pp p A )ee( tp 1 tp 2 12 0 C 21 pp pp U u 下 頁上 頁返 回 )( 21 12 12 0 C tptp epep pp U u U0 t uC tp 12 02 1 pp Up e tp pp Up 2 e 12 01 設設 |p2|p1| 下 頁上 頁 O 電容電壓電容電壓 返 回 )ee ( )( 21 12 0 tptp C C ppL U t u Ci d d t=0+ iC=0 , t= iC=0 iC

59、0 t = tm 時時iC 最大最大 tm iC )ee( 21 12 12 0 tptp C pp pp U u 下 頁上 頁 t U0 uC O 電容和電感電流電容和電感電流 返 回 U0 uC tm 2tm uL iC )ee( )( 21 21 12 0 tptp L pp pp U t i Lu d d 0 t 0，t tm i 減小 減小, uL 0 t=2 tm時時 uL 最大最大 0 0, , 0 LL tuUtu 下 頁上 頁 tO 電感電壓電感電壓 返 回 )ee( 21 12 12 0 tptp C pp pp U u R LC + - iC=i 為極值時，即為極值時，即

60、 uL=0 時的時的 tm 計算如下計算如下: 0)( 21 21 tptp epep 由由 duL/dt 可確定可確定 uL 為極小時的為極小時的 t 。 0)ee( 21 2 2 2 1 tptp pp m 2tt 21 1 2 )ln(2 pp p p t m2 m1 e e 1 2 tp tp p p 下 頁上 頁返 回 )ee( )( 21 21 12 0 tptp L pp pp U t i Lu d d 21 1 2 m )ln( pp p p t 能量轉(zhuǎn)換關系能量轉(zhuǎn)換關系 0 t tm uC減小減小 ，i 減小減小。 下 頁上 頁 t U0 uC tm 2tm uL iC O