小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及公式總匯(必背)

1、小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及公式總匯（必背）1和差倍問題22年齡問題的三個(gè)基本特征：3歸一問題的基本特點(diǎn)：4植樹問題5雞兔同籠問題6盈虧問題37牛吃草問題8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律9平均數(shù)10抽屜原理411定義新運(yùn)算12數(shù)列求和13二進(jìn)制及其應(yīng)用514加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)616約數(shù)與倍數(shù)17數(shù)的整除718余數(shù)及其應(yīng)用19余數(shù)、同余與周期20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用821分?jǐn)?shù)大小的比較922分?jǐn)?shù)拆分23完全平方數(shù)24比和比例1025綜合行程26工程問題27邏輯推理1128幾何面積29立體圖形30時(shí)鐘問題快慢表問題1231時(shí)鐘問題鐘面追及32濃度與配比33經(jīng)濟(jì)問題1333經(jīng)濟(jì)問題34簡單方程35不定方程3

2、6循環(huán)小數(shù)1411 和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系圍( 和差 ) 2=較小數(shù)較小數(shù)差 =較大數(shù)和 ( 倍數(shù) 1)=差 ( 倍數(shù) -1)= 小公式和較小數(shù) =較大數(shù)小數(shù)數(shù)( 和差 ) 2=較大小數(shù)倍數(shù) =大數(shù)小數(shù)倍數(shù) =大數(shù)數(shù)和小數(shù) =大數(shù)小數(shù)差 =大數(shù)較大數(shù)差 =較小數(shù)和較大數(shù) =較小數(shù)求出同一條件下的關(guān)鍵問題和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2年齡問題的三個(gè)基本特征：兩個(gè)人的年齡差是不變的；兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3歸一問題的基本特點(diǎn)：問題中有一個(gè)不變的量，一般是

3、那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度” 等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4植樹問題在直線或者不封閉在直線或者不封閉的基本類的曲線上植樹， 兩端曲線上植樹，兩端都不型都植樹植樹在直 線或者不封閉 的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹基本公棵數(shù) =段數(shù) 1棵數(shù) =段數(shù) 1棵數(shù) =段數(shù)式棵距段數(shù) =總長棵距段數(shù) =總長棵距段數(shù) =總長關(guān)鍵問確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系題5雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為 置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：2假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的

4、差，找出這個(gè)差是多少；每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子： 雞數(shù)（兔腳數(shù)總頭數(shù)總腳數(shù)）（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞： 兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)總頭數(shù)） （兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6盈虧問題基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的

5、總量基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式： 總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式： 總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L量 =（較長時(shí)間長時(shí)間牛頭數(shù) - 較短時(shí)間短時(shí)間牛頭數(shù)）（長時(shí)間 -

6、短時(shí)間）；總草量 = 較長時(shí)間長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間生長量；8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有 366 天；3年份能被 4 整除；如果年份能被100 整除，則年份必須能被400 整除；平年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被400 整除；9平均數(shù)基本公式： 平均數(shù) =總數(shù)量總份數(shù)總數(shù)量 =平均數(shù)總份數(shù)總份數(shù) =總數(shù)量平均數(shù)平均數(shù) =基準(zhǔn)數(shù)每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算 . 基準(zhǔn)數(shù)法

7、：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式10抽屜原理抽屜原則一：如果把（ n+1）個(gè)物體放在 n 個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把 4 個(gè)物體放在 3 個(gè)抽屜里，也就是把4 分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2 個(gè)或多于 2 個(gè)物體，也就是

8、說必有一個(gè)抽屜中至少放有2 個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n 個(gè)物體放在 m個(gè)抽屜里，其中nm，那么必有一個(gè)抽屜至少有: k=n/m +1 個(gè)物體：當(dāng) n 不能被 m整除時(shí)。 k=n/m 個(gè)物體：當(dāng) n 能被 m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)： X 表示不超過 X 的最大整數(shù)。例 4.351=4 ； 0.321=0 ；2.9999=2 ；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行

9、運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。124數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰 兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1 表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n 表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d 表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an 表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n, sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四

10、個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)?；竟剑和?xiàng)公式：an = a1+（ n 1）d；通項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)一1)公差 ；數(shù)列和公式： sn,= ( a1+ an) n 2；數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2；項(xiàng)數(shù)公式： n= ( an+ a1) d 1；項(xiàng)數(shù) =（末項(xiàng) - 首項(xiàng)）公差1；公差公式： d = （ an a1）（ n 1）；公差 =（末項(xiàng)首項(xiàng)）（項(xiàng)數(shù) 1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；513二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用 09 十個(gè)數(shù)字表示，逢 10 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=

11、200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-1 10n-2+An-2 10n-3+An-3 10n-4+An-4 10n-5+An-6 10n-7+A3102+A2 101+A1100注意： N0=； N =N（其中 N 是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用 01 兩個(gè)數(shù)字表示，逢2 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（ 2）= An2n-1+An-1 2n-2+An-2 2n-3+An-3 2n-4+An-4 2n-5+An-6 2n-7 + +A3 22+A221+A120注意： An 不是 0 就是 1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿 2 進(jìn) 1 的特點(diǎn)，用 2 連續(xù)去除這

12、個(gè)數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的 2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差為 0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理 ：如果完成一件任務(wù)有 n 類方法，在第一類方法中有 m1種不同方法，在第二類方法中有 m2種不同方法 ，在第 n 類方法中有 mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有： m1+ m2. +mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理： 如果完成一件任務(wù)需要分成n 個(gè)步驟進(jìn)行， 做第 1 步有 m1種方法，不管第

13、 1步用哪一種方法，第2 步總有 m2種方法 不管前面n-1 步用哪種方法，第n 步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1m2.mn種不同的方法。6關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù) 1+2+3+ +（點(diǎn)數(shù)一 1）；數(shù)角規(guī)律 =1+2+3+ +（射線數(shù)一 1）；數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =長的線段數(shù)寬的線段數(shù)：數(shù)長方形規(guī)律：

14、個(gè)數(shù) =11+22+3 3+ +行數(shù)列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù) ：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式： N=，其中 a1、a2、a3 an 都是合數(shù) N 的質(zhì)因數(shù)，且 a1a2a3 an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式： P=(r1+1) (r2+1) (r3+1) (rn+1) 互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)

15、數(shù)的最大公約數(shù)是 1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù) ：若整數(shù) a 能夠被 b 整除， a 叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì) ：1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如： 12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12；18 的約數(shù)有： 1、2、3、6、9、18；那么 12 和

16、 18 的公約數(shù)有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是： 6，記作（ 12，18） =6；7求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12 的倍數(shù)有： 12、24、 36、48 ；18 的倍數(shù)有： 18、36、 54、72 ；那么 12 和 18 的公倍數(shù)有： 36、 72、108 ；那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是 36，

17、記作 12 ，18=36 ；最小公倍數(shù)的性質(zhì) ：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17數(shù)的整除一、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù) a，除以一個(gè)自然數(shù) b，得到一個(gè)整數(shù)商 c，而且沒有余數(shù)，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，記作 b|a 。2、常用符號(hào)：整除符號(hào) “ | ”，不能整除符號(hào) “”；因?yàn)榉?hào) “” ，所以的符號(hào) “”；二、整除判斷方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的數(shù)字能被 2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末兩位的

18、數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25 整除。3.能被 8、125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被 3、9 整除。5. 能被 7 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11 整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11 整除。7. 能被 13 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被1

19、3 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質(zhì)：81. 如果 a、 b 能被 c 整除，那么（ a+b）與（ a-b ）也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整數(shù)，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、 c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍數(shù)整除。18. 余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù) a、b、 q、r ，如果使得 ab=q r ，且 0rb, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余數(shù)， q 叫做 a 除以 b

20、的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若 a、b 除以 c 的余數(shù)相同，則c|a-b 或 c|b-a 。 a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)加上 b 除以 c 的余數(shù)的和除以 c 的余數(shù)。 a 與 b 的積除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)與 b 除以 c 的余數(shù)的積除以 c 的余數(shù)。19余數(shù)、同余與周期一、同余的定義 ：若兩個(gè)整數(shù) a、b 除以 m的余數(shù)相同，則稱 a、b 對(duì)于模 m同余。已知三個(gè)整數(shù) a、 b、 m，如果 m|a-b ，就稱 a、b 對(duì)于模 m同余，記作 ab(mod m)，讀作 a 同余于 b 模 m。二、同余的性質(zhì) ：自身性： aa(mo

21、dm)；對(duì)稱性：若 a b(modm)，則 ba(modm)；傳遞性：若 a b(modm)，bc(modm)，則 a c(modm)；和差性：若 a b(mod m)，cd(mod m)，則 a+cb+d(mod m)， a-c b-d(mod m)；相乘性：若 a b(modm)，cd(modm)，則 a c b d(modm)；乘方性：若 a b(modm)，則 an bn(modm)；同倍性 : 若 a b(mod m) ，整數(shù) c，則 a c b c(modmc) ；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若 A=a b，則 MA=Mab=（ Ma）b若 B=c+d 則 MB=Mc+d=McMd四、

22、被 3、9、11 除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù) M， n 表示 M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則 M n(mod 9) 或（ mod 3）；一個(gè)自然數(shù) M，X表示 M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和， Y 表示 M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 MY-X 或 M11- （X-Y）(mod 11) ；五、費(fèi)爾馬小定理 ：如果 p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）， a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap-1 1(mod p) 。20分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：9分?jǐn)?shù)：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“

23、 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不

24、論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況： A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。 C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：

25、當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1 進(jìn)行比較。大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0 比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22. 分?jǐn)?shù)拆分將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：10第一題你要拆 1/12 （也就是 1/A ） 先列出 12 的約（因

26、）數(shù)： 1、2、3、4、6、12隨便選兩個(gè)約數(shù) 分為 a1 a2 這里我選 3、4公式： 1/A=A a1（ a1+a2）/1+ A a2（ a1+a2）/1套入公式： 1/12=12 3（ 3+4）/1+ 12 4（ 3+4）/1最后等于： 1/12=1/28+1/21第二題就像上面的一樣套入公式計(jì)算，要把第一題的其中一個(gè)答案再拆分就可以了。答案是： 1/21+1/84+1/422311完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立

27、。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（ X+Y）完全平方和公式： （X+Y）222= X+2XY+Y完全平方差公式： （X-Y）2= X2-2XY+Y2費(fèi)爾馬小定理 ：如果 p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）， a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap-1 1(mod p) 。1224比和比例比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。 比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)， 比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)

28、（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積( 交叉相乘 ) ， ad=bc。正比例：若 A 擴(kuò)大或縮小幾倍， B 也擴(kuò)大或縮小幾倍（ AB的商不變時(shí)），則 A與 B 成正比。反比例：若 A 擴(kuò)大或縮小幾倍， B 也縮小或擴(kuò)大幾倍（ AB的積不變時(shí)），則 A 與 B 成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系 .基本公式：路程 =速度時(shí)間；路程時(shí)間 =速度；路程速度 =時(shí)間關(guān)

29、鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）追及問題：追及時(shí)間路程差速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?=（船速 +水速）順?biāo)畷r(shí)間逆水行程 =（船速 - 水速）逆水時(shí)間順?biāo)俣?=船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速靜水速度 =（順?biāo)俣?+逆水速度） 2水速 =（順?biāo)俣?- 逆水速度） 2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程 （相遇路程、追及路程）、 時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度 （速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26工

30、程問題13基本公式：工作總量 =工作效率工作時(shí)間工作效率 =工作總量工作時(shí)間工作時(shí)間 =工作總量工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“ 1”（和總工作量無關(guān)）；假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時(shí)間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡評(píng)：合久必分，分久必合。27邏輯推理基本方法簡介：條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè) a 是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾

31、，那么 a 一定是奇數(shù)。條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。 列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長方形表格中， 表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系， 有連線則表示 “是，有”等肯定的狀態(tài)， 沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如 A 和 B 兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。簡單歸

32、納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。28幾何面積基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3. 大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4. 利用特殊規(guī)律14等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面

33、積）梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。29立體圖形名稱圖形特征表面積體積長方體8 個(gè)頂點(diǎn)； 6 個(gè)面；相對(duì)的面相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh12 條棱；相對(duì)的棱相等；=Sh正方體8 個(gè)頂點(diǎn)； 6 個(gè)面；所有面相等；S=6a2V=a312 條棱；所有棱相等；圓柱體上下兩底是平行且相等的圓； 側(cè)面S=S側(cè)+2S底V=Sh展開后是長方形；S 側(cè)=Ch下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；l: 母線，側(cè)+S底圓錐體S=SV=Sh頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離；S 側(cè)=rl球體圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是S=4r2V=r3球的半徑。30時(shí)鐘問題快慢表問題基本思路：1、

34、按照行程問題中的思維方法解題；2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；3、路程的單位是分格（表一周為60 分格）；4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；31時(shí)鐘問題鐘面追及基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時(shí)針的初始位置；確定分針與時(shí)針的路程差；基本方法：分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成 60 小格，每小格我們稱為 1 分格。分針每小時(shí)走 60 分格，即一周；而時(shí)針只走 5 分格，故分針每分鐘走 1 分格，時(shí)針每分鐘走 112 分格。度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是 360，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60 度，即 6，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn) 360/12*60

35、 度，即 1/2 度。1532濃度與配比經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?=溶質(zhì)重量 +溶劑重量；溶質(zhì)重量 =溶液重量濃度；濃度 =（溶質(zhì)溶液） 100%溶劑 =溶液（ 1- 濃度）理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33經(jīng)濟(jì)問題利潤的

36、百分?jǐn)?shù) =（賣價(jià) - 成本）成本 100%；賣價(jià) =成本（ 1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；成本 =賣價(jià)（ 1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定；定價(jià) =成本（ 1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）；本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息 =本金利率期數(shù)；含稅價(jià)格 =不含稅價(jià)格（ 1+增值稅稅率）；34簡單方程代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號(hào)連起來。列方程關(guān)鍵問題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)（除 0），等式不變。移項(xiàng)：把數(shù)或

37、式子改變符號(hào)后從方程等號(hào)的一邊移到另一邊；移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去小括號(hào)。加去括號(hào)規(guī)則：在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，則添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都不變；如果括號(hào)前面是“”號(hào)，添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都要改變；括號(hào)里面的數(shù)前沒有“ +”或“”的，都按有“ +”處理。16移項(xiàng)關(guān)鍵問題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號(hào)規(guī)則。乘法分配率： a(b+c)=ab+ac解方程步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；求解；方程組：幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟。消元的方法：加減消元；代入消元。35不

38、定方程一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟： 1、列方程； 2、消元； 3、寫出表達(dá)式； 4、確定范圍； 5、確定特征； 6、確定答案；技巧總結(jié)： A、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)

39、表示范圍大的未知數(shù)； B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；36循環(huán)小數(shù)一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是 9，9 的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分?；煅h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是 9， 9 的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是 0， 0 的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù) 2 和 5，又含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必

40、定是混循環(huán)小數(shù)。一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。* 1 至30的平方1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=12112*12=14413*13=16914*14=19615*15=22516*16=25617*17=28918*18=32419*19=36120*20=40021*21=44122*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*26=67627*27=72928*28=78429*29=84130

41、*30=90017* 世界上最神奇的數(shù)字是 1 除以 7 的循環(huán)節(jié)： 1428571/7=0.142857 142857 142857.它神奇在哪里呢？1、我們把它從 1 乘到 6 看看142857 X 1 = 142857142857142857 X 2 = 285714285714142857 X 3= 428571428571142857 X 4= 571428 571428142857 X 5= 714285 714285142857 X 6= 857142857142同樣的 6 個(gè)數(shù)字，只是依此調(diào)換了位置，反復(fù)出現(xiàn)。2、我們從 1 乘到 6 除以 7 看看1/7=0.142857.2

42、/7=0.285714.3/7=0.428571.4/7=0.571428.5/7=0.714285.6/7=0.857142.1， 3， 5 分別除以 7 所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的最高位后移，后面的前移。2，4，6 分別除以 7 所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的前兩位后移，后面的前移。3 、那么把它乘以 7 是多少呢？我們會(huì)驚人的發(fā)現(xiàn)是 9999994、 142 + 857 = 99914 + 28 + 57 = 991+4+2+8+5+7=9+9+95、我們用 142857 乘以 142857=20408122449 前五位 +上后六位的得數(shù)是多少呢？20408 + 122449 = 142857“

43、142857”發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi)，它確實(shí)是一組神奇的數(shù)字。* 數(shù)學(xué)小故事：神奇美妙的“ 9 ”九，是我們中華民族所崇拜的數(shù)字，在中國古代人們的觀念中，將天稱為“九天”、“九重”、“九霄” ; 將地劃為“九州”、“九域 ”; 將宗廟稱為“九廟” ; 道路謂之“九陌” ; 山有“九崇” ; 水曰“九河” ; 地有“九泉” ; 人分“九級(jí)” ; 官為“九品”。在古樂古詩中有九辯、 九喜、九歌、九章等。九在中國人的心中竟擁有如此神奇的地位 ; 作為一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者，應(yīng)該去深入探索它的本質(zhì)及其它美妙的蘊(yùn)意。易經(jīng)上說，九數(shù)含有吉祥的意思，如果按照“陰陽”來說，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為陰，而九是陽數(shù)中最大的，稱為“極

44、陽數(shù)”。十是一個(gè)完美的數(shù)字，而九接近十而不到18十，具有很強(qiáng)的傾向性，一位數(shù)字只有十個(gè)，而九是最大的一個(gè)，故為數(shù)字之極，寓義崇高。也許，就是這個(gè)原因，九有其最多的奇妙特點(diǎn)，最多的趣味性質(zhì)。九有一個(gè)非常奇妙的性質(zhì)，是其它數(shù)字所沒有的。如果要求一個(gè)自然數(shù)除以九的余數(shù)，則只要將這個(gè)數(shù)各位數(shù)字相加，其和如果仍是兩位以上的數(shù)，則再將這個(gè)和的各位數(shù)字相加，最后所得的一位數(shù)，就是這個(gè)自然數(shù)除以九的余數(shù)。九的這一奇妙特點(diǎn)，總使數(shù)學(xué)愛好者十分著迷， 許多趣味數(shù)學(xué)游戲， 都與九的這一規(guī)律有關(guān)。 數(shù)學(xué)老師常用“湊九”法驗(yàn)算學(xué)生的算式是否有誤，而“湊九”法就是采納了這一原理。九的倍數(shù)的各位數(shù)字之和也一定是九的倍數(shù)，可

45、知九的倍數(shù)是一個(gè)非常和諧圓滿的數(shù)系。八位數(shù) 12345679，如果將它同九相乘，奇怪的很，其積竟是全由 1 組成的數(shù)字 111111111; 如再乘 18( 九的 2 倍) ，可得九個(gè) 2，乘 27( 九的 3 倍) ，可得九個(gè) 3 ，直到乘 81，就可以得到九個(gè) 9. 這種整齊統(tǒng)一的特點(diǎn)，給人以多么美妙的印象啊 ! 也許有人要問為什么把 8 去掉，填上會(huì)有規(guī)律嗎 ?若把 7、8 都去掉，或把 6、7、8 都去掉，仍用九去乘，還有規(guī)律嗎 ?答案是肯定的。九這個(gè)數(shù)字就是這么神奇，我們來看下列算式：縱觀上面九個(gè)算式，不僅算式的結(jié)果很有規(guī)律，且積的數(shù)字之和都為九。第一個(gè)算式到第九個(gè)算式的變化，更能顯

46、示出奇妙無比的秩序美。19如果你隨便找來一個(gè)兩位以上的自然數(shù)， 比如是 317，將此數(shù)打亂， 變成 173、731、 713 吧，我們現(xiàn)在求出新數(shù)與原數(shù)的差，你猜會(huì)有什么結(jié)論 ?這些差 144、414、396 竟然全是九的倍數(shù)。在這里，無論是定數(shù)字，還是打亂所找數(shù)字的順序，都是多么的隨心所欲啊 ! 可是在這種繁亂中竟能出現(xiàn)規(guī)律，這種規(guī)律的主宰者卻是九。假如再隨意找一個(gè)兩位以上的數(shù)，比方 418，先將它的各位數(shù)字之和求出 ; 用原數(shù)減去其數(shù)字之和(418-18) ，其差 405 也是九的倍數(shù)。下列算式的確是種簡明的公式： 100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b ，公式的結(jié)果竟然是一個(gè)

47、常數(shù)，且還是九的倍數(shù)，如所選的數(shù)是 4 位、5 位，是否還有規(guī)律呢 ?我們敢于肯定地說，九的奇妙一定處處再現(xiàn)，無論是多少位，九的統(tǒng)一美的光芒定會(huì)時(shí)時(shí)閃耀。九是一個(gè)神奇的反序數(shù) ，在算式 10899=9801 中可知，九乘某一個(gè)數(shù)字，能使其順序正好顛倒過來。從算式 1234567898+9=987654321中也可知，九加某數(shù)也竟能使其順序顛倒 ; 九也是一個(gè)神圣的自補(bǔ)數(shù) ，因?yàn)?92=81， 1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001， 1+999=103; 又 9947=4658，而 53+47=102， 999 321=320679，而 670+321=103，九又是一個(gè)神秘的自生數(shù)， 93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一個(gè)奇妙的再植數(shù) ，從算式 1098909=989010 中看出， 9 竟然將這個(gè)數(shù)的最高兩位變成最低兩位。 九還是有趣的勾股數(shù) 中不可缺少的成員：2+402=412、92+122=152、而 40+41=92、12+15=33=39. 啊! 九的奇特，操縱著無數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算和游戲，它不愧為一位偉大的魔術(shù)師。在除法中，九的奇異也使人迷戀?？聪铝械仁剑?1/9=0.111 ， 2/9=0.222 ， 8/9=0.888 ，多有規(guī)律啊 ! 在化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)， 九又是大顯神