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1、。奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)一 質(zhì)數(shù)和合數(shù)( 1)一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身,不再有別的約數(shù),這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素?cái)?shù)) 。一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身,還有別的約數(shù),這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。( 2)自然數(shù)除 0 和 1 外,按約數(shù)的個(gè)數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。任何一個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。要特別記?。?0 和 1 不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。( 3)最小的質(zhì)數(shù)是 2 ,2 是唯一的偶質(zhì)數(shù),其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù);最小的合數(shù)是4。( 4)質(zhì)數(shù)是一個(gè)數(shù),是含有兩個(gè)約數(shù)的自然數(shù) ?;ベ|(zhì)數(shù)是指兩個(gè)數(shù), 是公約數(shù)只有一的兩個(gè)數(shù),組成互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)可能是兩個(gè)質(zhì)數(shù)(和),可能是一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)合數(shù)(和),可能是兩個(gè)合數(shù)(和)或1 與
2、精選資料,歡迎下載。另一個(gè)自然數(shù)。()如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù),那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解質(zhì)因數(shù)。()以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有個(gè):、二 整除性()概念一般地,如 a、b、c 為整數(shù), b 0,且 a b=c,即整數(shù) a 除以整除 b(b 不等于 0),除得的商 c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù) (或者說余數(shù)是 0),我們就說, a 能被 b 整除(或者說 b 能整除 a)。記作 b a. 否則,稱為 a 不能被 b 整除,(或 b 不能整除 a),記作 b a。如果整數(shù) a 能被整數(shù) b 整除, a 就叫做 b 的精選資料,歡迎下載。倍數(shù), b 就叫做 a
3、的約數(shù)。()性質(zhì)性質(zhì) 1:(整除的加減性)如果a、b 都能被c 整除,那么它們的和與差也能被c 整除。即:如果 ca,cb,那么 c(a b)。例如:如果 210,26,那么 2(10 6),并且 2( 10 6)。也就是說, 被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對(duì)它的整除性。性質(zhì) 2:如果 b 與 c 的積能整除 a,那么 b 與 c 都能整除 a.即:如果 bca,那么 b a,ca。性質(zhì) 3:(整除的互質(zhì)可積性)如果 b、c 都能整除 a,且 b 和 c 互質(zhì),那么 b 與 c 的積能整除 a。即:如果 ba, ca,且( b,c)=1,那么 bc a。例如:如果2 28,728,且
4、( 2,7)=1,那么( 27) 28。性質(zhì) 4:(整除的傳遞性)如果 c 能整除 b, b 能整除 a,那么 c 能整除 a。精選資料,歡迎下載。即:如果 c b, b a,那么 c a。例如:如果 3 9,9 27,那么 3 27。()數(shù)的整除特征能被 2 整除的數(shù)的特征: 個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8 的整數(shù) .能被 5 整除的數(shù)的特征: 個(gè)位是 0 或5。突破口能被 3(或 9)整除的數(shù)的特征:各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被 3(或 9)整除。判斷能被3(或 9)整除的數(shù)還可以用“棄(或)法” :例如:能被整除么?解:,在數(shù)字中只剩,不是的倍數(shù),所以不能被整除。能被 4(或 25)整除的數(shù)的特征
5、:末兩位數(shù)能被 4(或 25)整除。能被8(或 125)整除的數(shù)的特征:末三位數(shù)能被8(或 125)整除。能被 11 整除的數(shù)的特征:這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差(大減?。┦?11 的倍數(shù)。精選資料,歡迎下載。能被 7(11 或 13)整除的數(shù)的特征: 一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差(以大減?。┠鼙?(11 或 13)整除,依此反復(fù)檢驗(yàn)。例如:判斷3546725 能否被 13 整除?解:把 3546725 分為 3546 和 725 兩個(gè)數(shù) . 因?yàn)?3546-725=2821. 再把 2821 分為 2 和821 兩個(gè)數(shù),因?yàn)?821 2819,又
6、 13 819,所以 13 2821,進(jìn)而 133546725.上述辦法也可以用來判斷余數(shù)和末位數(shù);對(duì)于其他的數(shù),可以將其分解成上述幾個(gè)互質(zhì)的數(shù)的乘積,再逐個(gè)考慮。三 約數(shù)與倍數(shù)()公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù), 叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè), 叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例如:是和的最大公約數(shù),可記做:( ,)精選資料,歡迎下載。()公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù), 叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個(gè), 叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如:36 是 12 和 18 的最小公倍數(shù),記作 12 , 18=36 。()最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系如果用 a 和 b 表示兩個(gè)自然數(shù)、那
7、么這兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是:( a,b) a ,b=a b。(多用于求最小公倍數(shù))、(a,b)a,ba ,b、 a ,b 是( a, b)的倍數(shù),( a, b)是 a ,b 的約數(shù)、(a,b)是 ab 和 ab 的約數(shù),也是( a,b) a ,b 和( a,b) a , b 的約數(shù)()求最大公約數(shù)的方法很多,主要推薦:短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法。例如:、(短除法) 用一個(gè)數(shù)去除 30、60、75,都能整除,這個(gè)數(shù)最大是多少?精選資料,歡迎下載。解:( 30, 60,75)=53=15這個(gè)數(shù)最大是15。、(分解質(zhì)因數(shù)法)求和的最大公約數(shù)是多少?解:(這個(gè)質(zhì)分解常用到),所
8、以最大公約數(shù)是在這種方法中,先將數(shù)進(jìn)行質(zhì)分解,而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便是最大公約數(shù)。、(輾轉(zhuǎn)相除法)用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811 和 1981 的最大公約數(shù)。解: 4811=21981+849,1981=2 849+283,849=3 283,( 4811,1981)=283。補(bǔ)充說明:如果要求三個(gè)或更多的數(shù)的最大公約數(shù),可以先求其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù), 再求這個(gè)公約數(shù)與另外一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),這樣求下去,直至求得最后結(jié)精選資料,歡迎下載。果。()約數(shù)個(gè)數(shù)公式一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù),等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)(即指數(shù))加1的連乘的積。例如:求 240 的約數(shù)的個(gè)數(shù)。解: 2
9、40243151, 240 的約數(shù)的個(gè)數(shù)是( 41)( 1+1)( 11) =20, 240 有 20 個(gè)約數(shù)。四 奇偶性( 1)奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類. 能被2 整除的數(shù)叫做偶數(shù),不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通??梢杂?2k( k 為整數(shù))表示,奇數(shù)則可以用 2k+1( k 為整數(shù))表示。特別注意,因?yàn)? 能被 2 整除,所以 0 是偶精選資料,歡迎下載。數(shù)。最小的奇數(shù)是,最小的偶數(shù)是( 2)奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì) 1:偶數(shù)偶數(shù) =偶數(shù),奇數(shù)奇數(shù) =偶數(shù)。性質(zhì) 2:偶數(shù)奇數(shù) =奇數(shù)。性質(zhì) 3:偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì) 4:奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì) 5:偶數(shù)奇數(shù) =偶數(shù),奇數(shù)奇數(shù) =奇數(shù)。偶數(shù)偶數(shù) =偶數(shù)()反證法例:桌上有 9 只杯子,全部口朝上,每次將其中 6 只同時(shí)“翻轉(zhuǎn)” . 請(qǐng)說明:無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)” ,都不能使 9 只杯子全部口朝下。解:要使一只杯子口朝下,必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)” . 要使 9 只杯子口全朝下,必須經(jīng)過 9 個(gè)奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)” . 即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù) . 但是,按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn) 6 只杯子,無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)” ,翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次 . 因此無論經(jīng)過多少次精選資料,歡迎下載?!胺D(zhuǎn)”,都不能使 9 只杯子全部
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