數(shù)值分析試題及答案講訴

1、數(shù)值分析試題填空題(2 OX 2)1.2，x 二 3IL- 32 設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，貝U x有_230123456 7-.x + 1 ,貝Uf2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 = 1位有效數(shù)字2.3.若 f(x)=x7f20,21,22,23,24,25,26,27,28=,11 X | *II AX | * 15 _04. 非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x= (x)在有解區(qū)間滿足I：)1 1，計算時不會放大 f(xi)的誤差。8. 要使 20的近似值的相對誤差小于0.1%,至少要取4位有效數(shù)字。9. 對任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組

2、的迭代公式x(k+1)=Bx)+g(k=0,1，)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是(B)v110.由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是 5ox00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛頓下山法的下山條件為 一|f(xn+1)|f(xn)|o12. 線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri (i=0,1-,n)來實現(xiàn)的，其中的殘差ri = (bj_-ai丄x1-agx2-ainxn)/aii， (i=0,1,，n)。13. 在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號，則初始點X0的選

3、取依據(jù)為f（xO）f ”x0）014. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計算 、判斷題（10xT）1、2、若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX= b一定可以使用高斯消元法求解解非線性方程f（x）=O的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式aii(i 二 1,2,n)n送 aijJT則解線性方程組AX= b的高斯一一塞德爾迭代法一定收斂。4、樣條插值一種分段插值。5、如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。7、解線性方程組的的平方

4、根直接解法適用于任何線性方程組AX= bo迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到最后一步迭代計算的舍入誤差。（X ）9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差二舍入誤差。（）10、 插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。（X ）三、計算題（5X 10）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。x“ - x2x3 = 45洛 - 4x2 3x3 = T22Xq x2 x3 = 11解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交換第一與第二行:5x“ - 4x2 3x3 = -12| X1 一 X2+ X342Xqx2 x3 = 11L2i=1

5、/5=0.2,l3i=2/5=0.4 方程化為:5Xq - 4x2 + 3x3 = -12-0.2x204x3 = -1.62.6x2 一 0.2x3 = 15.8(-022.6)最大元在第三行，交換第二與第三行:5Xq - 4x2 十 3x3 = -122.6x2 一 0.2x3 二 15.8-0.2x20.4x3 = 1.6L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化為：5Xq - 4x2 + 3x3 = -122.6x2 一 0.2x3 二 15.80.38462x3 二 0.38466回代得：x廠3.00005x2 二 5.99999x3 二 1.000102、用牛頓一一埃爾米特

6、插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4（x），并寫出其截斷誤差的表達式（設(shè)f（x）在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）。Xi012f(Xi)1-13f (Xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯一一 賽德

7、爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代 法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。2X4 - X2 +X4 = 1Xj -X3 + 5x4 = 6|X2 + 4X3 X4 = 8-x4 3x2 - x3=3解答：交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)：2x4 - x2 + x4 = 1- x4 + 3x2 - x3=3|x2 +4x3 _ x4 = 8Xi -X35x4 二 6雅克比迭代公式：2x4 - x2 + x4 = 1- x4 + 3x2 - x3=3IX2 +4X3 - X4 = 8Tx4 -x35x4 = 6計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題一、單

8、項選擇題(每小題3分，共15分)1. 已知準確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值x= 0.0a1a2anx 10s(a-0)的絕對誤差x () s 1 ts t(A) 0.5 X 10(B) 0.5 X 102. 以下矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣的為s+ 1 ts+ t(C) 0.5 X 10(D) 0.5 X 10( )2-1005210-12-101,(B)4100-12-111410-12 _012一(A)52-10 1142111142-1(D)141021412-141衛(wèi)012 _1 11315 一(C)4), (3, 1)點的分段線性插值函數(shù)1),(2,P(x)=(3.過(0,3x 1(A

9、) 2-3x +10x1(B) 2-3x1 2 103x 1(C)2-3x 100 _x _2?x+1(D)2-x 4 2 ： x _34.等距二點的求導(dǎo)公式是(A)(B)1f (xk)(m ykJh1f (xk 1)5 -yk 1)h1f (xk)(yk-ykJh, 1f (xk 1) (yk - yk 1)h(C)(D)5.解常微分方程初值問題的平均形式的改進歐拉法公式是1yk 1 =2皿yc)那么yp,yc分別為()Yk hf (Xk,yQ二 yk hf(Xk1,yQ(A)丿ycypyc二 yk f g yk)=yk似，yp)二、填空題(每小題3分，共15分)yc=yk hf (Xk i

10、, yk)=ykhf (Xk, yp)yp 二 yk hf (xk, yk)二 yk hf (Xk 1, yp)Jc6. 設(shè)近似值 xi,X2滿足(x=0.05 , (X2)=0.005，那么(xiX2)=.7. 三次樣條函數(shù) S(x)滿足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且滿足S(x)在每個子區(qū)間x&xk+i上是.bnn8. 牛頓科茨求積公式J f(x)dx吧無Akf(xQ，則無Ak =.ak 亠k,9. 解方程f(x)=0的簡單迭代法的迭代函數(shù)(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi) ,則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點作為初始值，迭代解都收斂.10. 解常微分方程初

11、值問題的改進歐拉法預(yù)報一一校正公式是預(yù)報值：yk 彳=ykhf (xk, yk)，校正值：yk+1=.三、計算題(每小題15分，共60分)11. 用簡單迭代法求線性方程組8% _3x2 +2x3 =204論 +11x2 + x3 = 336捲 +3x2 +12x3 =36的X.取初始值(0,0,0)T,計算過程保留4位小數(shù).12. 已知函數(shù)值 f(0)=6 , f(1)=10 , f(3)=46 , f(4)=82 , f(6)=212，求函數(shù)的四階均差f(0,1,3,4,6)和二階均差 f(4, 1 , 3).13. 將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計算定積分V x2dx，計算過程保留4位小

12、數(shù).14. 用牛頓法求 J15的近似值，取x=10或11為初始值，計算過程保留4位小數(shù).四、證明題(本題10分)15. 證明求常微分方程初值問題f(x, y)*0)=y在等距節(jié)點a=xx1Xn=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為hy(Xk+1)：-yk+1=yk+f(xk,yk)+f(Xk+1,yk+1)2其中 h=Xk+1 Xk(k=0,1,2,n 1)計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題答案一、單項選擇題(每小題3分，共15分)I. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空題(每小題3分，共15分)6. 0.05 X2 +0.005 X17.3 次多項式h8. b a9. (x) -r1

13、10. yk+ f (Xk, yk)f (Xk 1, Yk 1) hf(xk+1, yk 1).2三、計算題(每小題15分，共60分)II. 寫出迭代格式=0 0.375x2k) -0.25x3k) 2.5=-0.3636x1k) 0 0.090 9x3k) 3=0.5x；k) 0.25x2k) 0 3 因為 f(x)=2x, f (x)=2 , f(10)f (10)=(100 - 115)X 20 取 xo=11 .(0)TX()=(0,0,0).1x1 xj(1)=0 0.375 0-0.25 0 2.5 =2.5-0.3636 0 0 0.0909 0 3 = 3-0.5 0 - 0.

14、25 0 0 3 = 3得到X(1) = (2.5,x12)x22)x32)3, 3)t=0 0.375 3-0.25 3 2.5 = 2.875二-0.363 6 2.5 0 0.0909 3 3 二 2.363 7= 0.5 2.5-0.25 3 0 3 =1.0000得到(2)TX( )=(2.875 , 2.363 7, 1.000 0)X1(3) =0 0.375 2.3637 0.25 1 2.5 = 3.1364 x23) = -0.363 6 2.875 0 0.090 9 1 3 = 2.0456 x33) 一0.5 2.875-0.25 2.3637 0 3 = 0.971

15、6得到(3)TX()=(3.136 4 , 2.045 6, 0.971 6).12.計算均差列給出.Xkf(Xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)= 15f(4, 1,3)=62 213. f(x)= 1 X ,h=0.25 .分點 X0=1.0, X1=1.25 , X2=1.5 , X3=1.75 , X4=2.0, X5=2.25, X6=2.50 ,8X7=2.75, X8=3.0.函數(shù)值：f(1.0)=1.414 2, f(1.25)=1.600 8, f(1.5)=1.

16、802 8, f(1.75)=2.015 6, f(2.0)=2.236 1 , f(2.25)=2.462 2 , f(2.50)=2.692 6 , f(2.75)=2.926 2 , f(3.0)=3.162 3 .3h1 f (x)dx =? f(x。)f (X8)2(f(Xi) f(X2) f(X3) f(X4) f(X5)f(X6) f(X7) (9 分)025 X 1.414 2+3.162 3+2 X (1.600 8+1.802 8+2.015 6 2+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 X (4.576 5+2 X 15.736 3

17、)=4.506 114.設(shè)x為所求，即求x2 115=0的正根.f(X)=X2- 115.有迭代公式2f (Xk)Xk -115 Xk 115Xk+1=Xk = Xk(k=0,1,2,)f (Xk)2Xk22Xk11115X1= 10.727 32 2 1110.727 3115X2= 10.723 82210.727 310.723 8115X3= 10.723 82210.7238x* 10.723 8四、證明題(本題10分)15.在子區(qū)間Xk+1,Xk上，對微分方程兩邊關(guān)于x積分，得Xk半y(xk+1) y(xk)= J f (x,y(x)dxXk用求積梯形公式，有y(xk+1) y(x

18、k)=- f (Xk, y(Xk) f (Xk 1, y(Xk 1)將 y(Xk),y(Xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到hy(xk+1) ：-yk+1=yk+f(Xk,yk)+f(Xk+1,yk+1)( k=0,1,2,n 1)2數(shù)值分析期末試題-、填空題(210 = 20分)15-21(1) 設(shè) A= -210，則 |A|L =_13。382 一2.5。02xj 5x2 = 1(2) 對于方程組，Jacobi迭代法的迭代矩陣是JOXt _4x2 = 33rr*1(3) Vx的相對誤差約是 x的相對誤差的一倍。3(4)求方程X = f(X)根的牛頓迭代公式是Xn 1Xn 一Xn - f

19、(Xn)1 f(Xn)(5) 設(shè) f (x) = X3 x -1，則差商 f0,1,2,3 =1。(6) 設(shè)n x：n矩陣G的特征值是 ；2廣，肌，則矩陣G的譜半徑P(G)= maXi1 21(7) 已知A，則條件數(shù)Cond*(A) =91(8)為了提高數(shù)值計算精度，當正數(shù)x充分大時，應(yīng)將ln(x_ .x2_1)改寫為- In(xx21)。(9) n個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n - 1次。(10)擬合三點(X1 , f ( X1 )，(X2,f(X2)，(X3, f (X3)的水平直線是f(Xi) o2x1 - X2 X3 二 1二、(10分)證明：方程組 Xt + x2 +

20、 x3 = 1使用Jacobi迭代法求解不收斂性。Xp + x2 - 2x3 = 1-00.5-0.5B j =-10-10.50.50 J證明：Jacobi迭代法的迭代矩陣為Bj的特征多項式為det(klBj)=10.5-0.5 0.5人 1=九(九2 +1.25)0.5 丸Bj的特征值為1=0, 21.25i , 3 = Y1.25i ,故(Bj 1.25 1，因而迭代法不收斂性。三、(10分)定義內(nèi)積1(f,g) = 0 f(x)g(x)dx試在H 1 = Span d, X 中尋求對于f(X)二X的最佳平方逼近元素 P(X)。解：0(x)三 1 ,1(x)三 X,1 1 1 1( 0,

21、 0)= 0dx=1 ,( 1,0) = 0 xdx =, ( 1, 1) = 0 x2dx = , ( 0, f) = 0xdx = 3，(陷，f) = x才xdx =-。5法方程解得c012。所求的最佳平方逼近元素為15112HL311253.5 一p(x) 412 x，0 乞 x 乞 11515解：y(x)=c0 c1x c2x2 c3x四、（10分）給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)。1-24-81_50100 11-11-1T0100341000，A A =100340111103401301248 -3ATy =(2.

22、9,4.2,7,14.4)tA =法方程At Ac = At y的解為 c = 0.4086，c 0.39167，c 0.0857，C3 = 0.00833得到三次多項式y(tǒng)(x) = 0.40860.39167x0.0857 x20.00833x3誤差平方和為 二3 =0.000194五. （10分）依據(jù)如下函數(shù)值表x0124f(x)19233建立不超過三次的Lagra nge插值多項式，用它計算f（2.2），并在假設(shè)f（x）蘭1下,估計計算誤差。解:先計算插值基函數(shù)l0(x)x1)(x2)(x4)(0 _1)(0 _2)(0 _4)li(x)(x -0)(x -2)(x-4)(1 -0)(1

23、 -2)(1 - 4)-2x2l2（X）(x _0)(x _1)(x _4)(2 -0)(2-1)(2-4)2-xl3（X）(x _0)(x _1)(x _2)(4-0)(4-1)(4-2)1 3x241x12所求Lagrange插值多項式為L3(x)八 f(xJi(x) =l(x) 9l1(x)23l2(x) 3l3(x) = -Ux3i衛(wèi)4f (2.2) L3(2.2) =25.0683。據(jù)誤差公式R3（x）二(x-x)(x-X1)(X-X2)(X-X3)及假設(shè) f 4!（x）空1得誤差估計:f (4)R3(x)也 |(2.2 0)(2.2 1)(2.2 2)(2.2 4)蘭x 0.950

24、4= 0.0396 4!4!六. （10分）用矩陣的直接三角分解法解方程組_1010 10 1l211U22U23U2412 4 3131l321U33U340 10 3(J 41l42l431 -U44 一0202j0由矩陣乘法可求出比和打jI2110 1l311 3211 2 1l41l42l4311 i0101U22 U23 U241 0 1U33 U342 1-U44 一210 10202解下三角方程組勺151y231y3170 1U 一1 1一7 一I0 11 20 1有丫勺=5 , y2 - 3 , y3 = 6 , y4 = 4。再解上三角方程組得原方程組的解為X1=1X2 =1 ,X30廠X151X2X3=（丄12362zl）e；8765 匕XXXXmal（x） = f （1）=佃 8.43七. （10分）試用Simpson公式計算積分2丄eXdx的近似值,解：