反射變換與旋轉變換

1、【問題引入】在平面直角坐標系中，第一象限內(nèi)有一點P(x,y)，將它做尖于x軸，y軸和坐標原點的對稱的變換，分別得到點PRE.由題意知：假設三個變換分別為 飛，丁 2兀，對應的變換矩陣分別為M3，則有：XXX1 0TMiyyy0 1XXX1 0T2M2yyy0 1XXX1 0T3M3yyy0 11 反射變換概念:像1 0 1 01。這樣將一個平面圖形F變?yōu)榧? 1 0 10 1于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣，稱之為反射變換矩陣，對應 的變換叫做反射變換，相應地，前者稱作軸反射，后者稱做中心反射,其中定 直線稱為反射軸，定點稱做反射點.2反射變換的分類：與矩陣M1 對應的變換是尖于x軸的軸

2、反射變換.n 1與矩陣m2 1。對應的變換是尖于y軸的軸反射變換0 1與矩陣Ma對應的變換是尖于原點的中心反射變換.0 1與矩陣m4對應的變換是尖于直線yx的中心反射變換1 o3線性變換的概念：一般地，二階非零矩陣對應的變換把直線變成直線，這種把直線變?yōu)橹本€的變換，通常叫做線性變換考查點1 :有尖反射變換的問題例1 求直線y 6x在矩陣對應的變換下所得的圖形的表達式1 例2求出曲線y x(X 0)在矩陣作用下變換得到的曲線的表達式0 1例3求曲線C：X2 f 9在矩陣M “對應的反射變換作用下得到的1 0圖形的周長例4 :研究直線3x2y10在矩陣1。對應的變換作用下變成曲線的表1 -1 達式

3、1 n解：任取直線3x2y1 0的一點P(Xo,y。)，它在矩陣對應的變換1 -1 作用下變?yōu)镻(滄”。),則有 1 0 Xo Xo 故 Xo Xo 即 Xo Xo1-1 yo y= Xo y= y/ y Xo y。又因為點P在直線3x 2y 1 0上，所以3Xo 2y. 1 0即有 3Xo2( Xo y J10, Xo 2 y。 101 0從而直線3x2y1 0在矩陣。作用下變成直線X 2y 1 0 o1 -1旋轉變換【問題引入】假設大風車的葉片在同一個平面內(nèi)轉動，以旋轉中心。為 坐標原點建立坐標系，在大風車的葉片上任取一點P(x,y)，它圍繞中心點o逆 時針旋轉角后得到另外一點P(x,y)

4、，貝S旋轉前后葉片上的點的位置變化也 可以看做是一個幾何變換，怎樣用矩陣來刻畫這一變換呢？r cos設0P與X軸正向夾角為，|0P| |0P I r，則有r sin)rcos cos rsin sin將 x rcos5y sinx rcos(y rsin(X代入有xcos ysin xsi n ycos)rsin cos rcos sin由題意知：T：xxyyxcos ysi n xsin ycos即T:%yxcos sin xysin cos y所以得到變換矩陣為cos sinsin cos通常稱為旋轉變換矩陣，對應1旋轉變換的概念：矩陣cos sinsin cos的變換稱做旋轉變換，其中角

5、叫做旋轉角，定點。叫做旋轉中心.2知識擴展(1) 當旋轉中心為坐標原點且逆時針旋轉角時，旋轉變換的變換 矩陣為dn ;當旋轉中心為坐標原點用順時針旋轉角時，sin COS 旋轉變換的矩陣為ex血.sin cos(2) 旋轉變換只改變幾何圖形的相對位置，不改變幾何圖形的形狀和大小.(3) 圖形的旋轉由旋轉中心和旋轉的角度共同決定.(4) 顯然，繞定點旋轉180的變換相當于尖于原點的中心反射變換【典例剖析】考查點1:有尖旋轉變換的問題例1 ：已知A(0,0) B(2,0) C(2,1) D(0,1)，求矩形ABCD繞原點逆時針旋轉90后得到的圖形的頂點坐標.例2 :將雙曲線C: x2 y2形 1上

6、點繞原點逆時針旋轉45 ，得到新圖 C 試求C的方程。解：由題意得旋轉變換矩陣M= 8測。罰45辺，2 2TM乍用下變sin45 cos45任意選取雙曲線x2 y21上的一點P(x,y) 它在變換P(x, y)，則有M. x。yo&，故yox0,2(X。Yq I2Xo又因為點P在曲線w 即有2x7 1 y21上，所以xo2y。22yo)遼2(yo Xo)所求的c方程【自我評價】1 已知點A(2,3)和點B(3,5),求向量AB在矩陣M1對應的反射變換0作用下得到的向量的坐標.2求直線y 3x在矩陣M c1對應的反射變換作用下得到的圖形的方2/在經(jīng)過矩陣M1對應的變換后所得的曲線是什么圖0形？4. 已知點P(3,1)在軸反射變換下的新坐標為0(1,3).(1) 求該反射變換所對應的變換矩陣；(2) 求曲線y