（北京專用）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值課件 理

1、第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 總綱目錄 教材研讀 1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 考點(diǎn)突破 2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 考點(diǎn)二運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題考點(diǎn)二運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題 考點(diǎn)一運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題 考點(diǎn)三函數(shù)極值與最值的綜合應(yīng)用考點(diǎn)三函數(shù)極值與最值的綜合應(yīng)用 教材研讀教材研讀 1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)的極小值 若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值 都小,f(a)=0,而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f(x)0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值. (2)函數(shù)的極大值 若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=

2、b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值 都大,f(b)=0,而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)-1時(shí),y0;當(dāng)x-1時(shí),y0.當(dāng) x=-1時(shí)函數(shù)取得最小值,且ymin=-.故選C. C 3.已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=(x+1)3ex+1,那么函數(shù)f(x) 的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是() A.5B.4C.3D.2 答案答案C當(dāng)x0時(shí),x=4也是原函數(shù)的極值點(diǎn),又因?yàn)榇?函數(shù)為偶函數(shù),故y軸左、右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性不一致,即x=0也是極值 點(diǎn),故選C. C 4.函數(shù)f(x)=x-alnx(a0)的極小值為a-alna. 答案答案a-alna 解析解析f(x

3、)的定義域?yàn)?0,+),易知f(x)=1-. 由f(x)=0,解得x=a(a0). 又當(dāng)x(0,a)時(shí),f(x)0, 函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-alna. a x 考點(diǎn)一運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題考點(diǎn)一運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題 命題方向一求已知函數(shù)的極值命題方向一求已知函數(shù)的極值 典例典例1若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為() A.-1B.-2e-3 C.5e-3D.1 考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破 A 答案答案A 解析解析由題意可得f(x)=ex-1x2+(a+2)x+a-1.x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)e

4、x-1 的極值點(diǎn),f(-2)=0,a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,f(x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x- 1)(x+2),x(-,-2),(1,+)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增;x(-2,1)時(shí),f(x)0恒成立, 所以f(x)0 x1,f(x)00 x1. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1). (3)若f(x)在(0,1)內(nèi)有極值,則f(x)在(0,1)內(nèi)有解. 2 e (1) x x x 1 x 2 e (1) x x x 1 1 x 2 e (1)(1) x xax x x 2 (e)(1) x ax x x 令f(x)=0(x

5、(0,1)ex-ax=0a=. 設(shè)g(x)=,x(0,1), 所以g(x)=,當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)e時(shí),f(x)=0在(0,1)內(nèi)有解. 設(shè)H(x)=ex-ax,則H(x)=ex-a0,H(1)=e-ae時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一.當(dāng)ae時(shí),f(x)0在(0,1) 上恒成立,則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,不符合題意. 綜上,a的取值范圍為(e,+). x(0,x0)x0(x0,1) H(x)+0- f(x)-0+ f(x)極小值 方法技巧方法技巧 1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程 2.已知函數(shù)極值點(diǎn)和極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng) (1)列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值列方程

6、組,利用待定系數(shù)法求解. (2)驗(yàn)證:因?yàn)橐稽c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所 以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性. 1-1已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b)(bR). (1)當(dāng)b=4時(shí),求f(x)的極值; (2)若f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求b的取值范圍. 12x 1 0, 3 解析解析(1)當(dāng)b=4時(shí),f(x)=(x+2)2,定義域?yàn)? f(x)=2(x+2)+(x+2)2(-2)=. 令f(x)=0,解得x1=-2,x2=0. 當(dāng)x-2或0 x時(shí),f(x)0,所以f(x)在(-,-2),上單調(diào)遞減;當(dāng)-2x0,所以f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x=-2時(shí)

7、,f(x)有極小值f(-2)=0;當(dāng)x=0時(shí),f(x)有極大值f(0)=4. (2)f(x)在上單調(diào)遞增f(x)0,且不恒等于0,對(duì)任意x恒成 立. 又f(x)=(2x+b)+(x2+bx+b)(-2)=, 12x 1 , 2 12x 1 2 1 1 2x 5 (2) 1 2 x x x 1 2 1 0, 2 1 0, 3 1 0, 3 12x 1 2 1 1 2x 2 523 12 xxbx x 所以-5x2-3bx+2x0,所以b. 因?yàn)?,所以b. 1 0 3 x min 25 3 x 25 3 x 1 25 3 3 1 9 1 9 典例典例3 (2017北京,19,13分)已知函數(shù)f(

8、x)=excosx-x. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 0, 2 考點(diǎn)二運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題考點(diǎn)二運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題 解析解析(1)因?yàn)閒(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0. 又因?yàn)閒(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=1. (2)設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1, 則h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx. 當(dāng)x時(shí),h(x)0, 所以h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 所以對(duì)任意x有h

9、(x)h(0)=0,即f(x)0)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為-3 和0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)的極小值為-e3,求f(x)的極大值及f(x)在區(qū)間-5,+)上的最大值. 2 e x axbxc 考點(diǎn)三函數(shù)極值與最值的綜合應(yīng)用考點(diǎn)三函數(shù)極值與最值的綜合應(yīng)用 解析解析(1)f(x)= =, 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因?yàn)閑x0,所以y=f(x)的零點(diǎn)就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零點(diǎn),且f(x)與 g(x)符號(hào)相同. 因?yàn)閍0,所以由題意知:當(dāng)-3x0,即f(x)0; 當(dāng)x0時(shí),g(x)0, 即f(x)5=f(0), 所以函數(shù)

10、f(x)在區(qū)間-5,+)上的最大值是5e5. 3 93 e abc 2 55 ex xx 5 5 e (2)由(1)知,x=-3是f(x)的極小值點(diǎn),所以有 方法技巧方法技巧 解決函數(shù)極值、最值問題的策略 (1)求極值、最值時(shí),要求步驟規(guī)范,含參數(shù)時(shí),要討論參數(shù)的大小. (2)求函數(shù)最值時(shí),不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值就是最值,要通過比較才能下 結(jié)論,即函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值,一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比 較才能確定最值. 3-1 (2017北京海淀一模,18)已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1),其中實(shí) 數(shù)a3. (1)判斷x=1是否為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),并說明理由; (2

11、)若f(x)0在區(qū)間0,1上恒成立,求a的取值范圍. 解析解析解法一:(1)由f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1)可得函數(shù)的定義域?yàn)?-1, +), f(x)=2x-2a+ = =, 由f(x)=0得x1=1,x2=a-2. 因?yàn)閍3,所以a-21. 當(dāng)a1時(shí),a-2-1. 4(1) 1 a x 2 2(1)(2) 1 xa xa x 2(1)(2) 1 xxa x x(-1,1)1(1,+) f(x)-0+ f(x)極小值 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表: 當(dāng)1a3時(shí),-1a-21. 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表: x(-1,a-2)a-2(a

12、-2,1)1(1,+) f(x)+0-0+ f(x)極大值極小值 綜上,x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn). (2)易知f(0)=0, 由(1)可知,當(dāng)a2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減, 所以有f(x)0恒成立; 當(dāng)2af(0)=0,所以不等式f(x)0不能恒成立. 所以a2時(shí)有f(x)0在區(qū)間0,1上恒成立. 解法二:(1)由f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1)可得 函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+), f(x)=2x-2a+ =, 令g(x)=x2+(1-a)x+(a-2),經(jīng)驗(yàn)證g(1)=0, 4(1) 1 a x 2 2(1)(2) 1 xa xa x 因?yàn)閍0, 說明:寫明=(1-a)2-4(a-2)=a2-6a+9=(a-3)20也可以 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,1是g(x)=x2+(1-a)x+(a-2)的異號(hào)零點(diǎn), 所以1是f(x)的異