蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第七章§7.1~7.5章節(jié)知識(shí)點(diǎn)與典例精練

1、 7.1 探究直線平行的條件【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1 、同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的定義如圖所示，兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成的八個(gè)角中，具有 1 與 5 這樣的位置關(guān)系稱為同位角；具有 4 與 6 這樣的位置關(guān)系稱為同位角； 具有 4 與 5 這樣的位置關(guān)系稱為同位角；2 、兩直線平行的判定方法方法一：同位角相等，兩直線平行符號(hào)語(yǔ)言：方法二：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行符號(hào)語(yǔ)言：方法三： 同旁內(nèi)角互補(bǔ)， 兩直線平行符號(hào)語(yǔ)言：方法四：若兩直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行符號(hào)語(yǔ)言：方法五：垂直于同一條直線的兩直線互相平行符號(hào)語(yǔ)言：例 1：如圖所示，直線 AB 、 CD 被直線 EF 所截，則

2、3 的同旁內(nèi)角是（ ）A.1B. 2C.4D. 5圖例 3 圖例 2 ：如圖所示，已知1= 2 ，則圖中互相平行的線段是1例3 ：學(xué)習(xí)了平行線后，小敏相處了過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線的新方法，她是通過對(duì)折一張半透明的紙得到的（如圖（ 1 ）（ 4 ），從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（）兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行A B C D 例 4 ：如圖所示，是判斷 1與 2，1 與 7，1與 BAD ， 2與 9 ， 2 與 6 ， 5 與 8 各對(duì)角的位置關(guān)系例 4 圖例 5 圖例 5 ：如圖所示， 已知 C=100 ，若增加

3、一個(gè)條件， 使得 AB CD ，試寫出符合要求的一個(gè)條件：4 、添加輔助線，說明兩直線平行例 6 ：如圖所示，已知 B=25 ， BCD=45 ， CDE=30 ， E=10 ，試說明 AB EF【課后練習(xí)】一、選擇題：1 如圖（ 1 ），與 A 組成同位角的角有 （）A2 對(duì)B 3對(duì)C4 對(duì)D5 對(duì)2 、如圖（ 2 ），能與構(gòu)成同位角的角有（）A4 個(gè)B3 個(gè)C2 個(gè)D1 個(gè)ADADAE1432EFD 2BCBCBC（1）（2）(3)(4)(5)3 、一學(xué)員在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是()A第一次向左拐300 ，第二次向右拐300B 第

4、一次向右拐500 ，第二次向左拐1300C 第一次向右拐500 ，第二次向右拐1300D 第一次向左拐 500 ，第二次向左拐 13004、如圖 3, 下列條件中 ,能判斷 AB CD的是 ()A. BAD= BCDB. 1= 2;C.3= 4D. BAC= ACD5如圖 4, 如果 D= EFC, 那么 ()A.AD BCB.EF BCC.AB DCD.AD EF6如圖 5, 能判斷 AB CE 的條件是 ()A. A= ACEB. A=ECDC. B= BCAD. B= ACE7如圖6，已知1= 2=3=4，則圖形中平行的是（）AABCD EF;B CD EF;CAB EF;D AB CD

5、 EF ，BC DE8 如圖 7，已知 1= 2 ，則在結(jié)論：（ 1 ）3= 4 ，（ 2 ）AB CD ，（3）AD BC 中（）A 三個(gè)都正確B 只有一個(gè)正確;C 三個(gè)都不正確D 只有一個(gè)不正確9. 如圖 8 ，在 ABC 中， D 、E 、F 分別在 AB 、 BC 、AC 上，且 EFAB ，要使 DF BC ，只需再有下列條件Ac 2中的（）A1=4132DF12657 8BECa3bB 1= DFEC 1= AFDD 2= AFD（6）（7）（8）(9)10 如圖9 ，直線a,b 被直線c 所截 ,現(xiàn)給出下列四個(gè)條件:? 1=5; 1= 7; 2+ 3=180 ; 4= 7. 其中

6、能說明a b 的條件序號(hào)為()A. B. C. D. 11 、下圖中， 1 與 2 是內(nèi)錯(cuò)角的是（）AB、C、D、三、解答題12 、如圖，直線AB 、 CD 被直線EF 所截， 1= 2 ，直線AB 和CD 平行嗎？為什么？13 、如圖所示， BE 平分 ABD ，DE 平分 BDC ， 1+ 2=90 ，那么，直線 AB 、 CD 的位置關(guān)系如何？說明你的理由13 、一輛汽車在筆直的公路上行駛，第一次向左拐45 ，再在筆直的公路上行駛一段后，第二次向右拐45 ，請(qǐng)判斷這輛汽車行駛的方4向是否和原來的方向相同？為什么？14 、（1 ）如圖，已知 1= 2 ，BD 平分 ABC ，可推出哪兩條線

7、段平行？為什么？（ 2 ）如果要推出另兩條線段平行， 則怎樣將以上兩條件之一作改變？為什么？15 、如圖， AB CD ，AE 平分 BAD ，CD 與 AE 相交于 F， CFE= E求證： AD BC 16 、如圖， 1+ 2=180 ， DAE= BCF ，DA 平分 BDF （ 1 ） AE 與 FC 會(huì)平行嗎？說明理由（ 2 ） AD 與 BC 的位置關(guān)系如何？為什么？（ 3 ） BC 平分 DBE 嗎？為什么？517 、如圖，已知AD BC ，EF BC ， 3= C，求證： 1= 2 7.2 探究平行線的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1 、平行線的性質(zhì)（1 ）兩直線平行，同位角相等。 （ 2

8、 ）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（ 3 ）兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。上述三條性質(zhì)是我們通過實(shí)驗(yàn)操作得到的，事實(shí)上性質(zhì)（ 2 ）（ 3 ）可以借助性質(zhì)（ 1 ）推理得出。例 1 ：如圖， ED AB ， AF 交 ED 于點(diǎn) C ， ECF=138 ，則 A例 2：如圖所示， AB CD ， AD 平分 BAC ，且 C=80 ，則 D的度數(shù)為例3 ：如圖所示， AB CD EF ， ABC=46， CEF=154 ，則 BCE=AB23FABAB1ECDCDEABFDCCD例 1 圖例 2 圖例 3 圖例 463 、平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別平行線的判定是由“數(shù)量關(guān)系”得出“位置關(guān)系” ，即把角相等

9、或互補(bǔ)作為判斷兩直線平行的依據(jù)。因此，角相等或互補(bǔ)是條件，兩直線平行是結(jié)論。平行線的性質(zhì)，是由“位置關(guān)系”得出“數(shù)量關(guān)系” ，即兩直線平行是條件，角相等或互補(bǔ)是結(jié)論。例 4 ：如圖所示， AB CD,AC BD ，求證： 1= 3.例 5 ：已知B 1如圖， 1+ 2=180 ， A= C,AD 平分BDF,A 求證： EBC 平分 DBEDF2C4 、平行線的性質(zhì)與判定的總和應(yīng)用由角與角的關(guān)系判定線平行，再利用平行線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)角與角之間的關(guān)系，然后通過推理計(jì)算就可以解決問題。或者由線平行得角與角之間的關(guān)系，再利用角與角之間的關(guān)系得線平行，從而解決問題。例 6：閱讀：如圖 1 所示， CE A

10、B ，所以 1= A， 2= B，所以 ACD= 1+ 2= A+ B, 這是一個(gè)有用的結(jié)論。請(qǐng)用這個(gè)結(jié)論，在圖 2 的四邊形 ABCD 內(nèi)引一條和邊平行的直線， 求 A+ B+ C+D 的度數(shù)。ADAE1BCB2CD圖1圖25 、添加平行線，應(yīng)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和推理7例 7 ：如圖所示， AB CD ，如果 ABE=130BA如圖所示， MN 、 EF 表示兩面平行的鏡子，ECD152 ，求 BED 的度例數(shù)7。圖AB 照射到鏡面MN 上，反射光線為BC ，2 ；光線 BC 經(jīng)鏡面 EF 反射后的光， CDE=例 8：一束光線此時(shí)， 1=線為CD，此時(shí)， 3= 4 ；，判斷 AB

11、 與 CD 的位置關(guān)系，說明理由。MBN1 2D 7.3 圖形的平移【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】A34EF例 8 圖B BCA AC圖 7.3-11 、平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖案沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移。如圖所示，將 ABC 平移到 A B C ，從圖形的直觀性我們發(fā)現(xiàn)：(1) 平移有兩個(gè)要素：方向和距離。對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線 AA 的方向即為平移的方向；對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線 AA 的長(zhǎng)度即為平移的距離；A(2) 平移有兩個(gè)相同：平移后的圖形上的每個(gè)點(diǎn)都沿著相同的方向移動(dòng)了相同的距離；EF(3) 平移有兩個(gè)不變：平移前后的兩個(gè)圖形形B狀不變，大小不變。例 1 ：如圖所示，DEF經(jīng)過怎樣的平

12、移得CD到 ABC （）A. 把 DEF向左平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移B. 把 DEF向右平移例 1 圖4 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2 個(gè)單位長(zhǎng)度2 個(gè)單位長(zhǎng)度8C. 把 DEF 向左平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2 個(gè)單位長(zhǎng)度D. 把 DEF 向右平移4 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2 個(gè)單位長(zhǎng)度2 、平移的特征：平移后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行（或在同一條直線上）且相等。如圖 7.3-1所示， ABA B ， BCB C 。例 2 ：如圖所示，只能用其中一部分平移得到的是（）ABCD3 、如果兩條直線互相平行，那么其中一條直線上任

13、意兩點(diǎn)到另一條直線的距離相等，這個(gè)距離稱為平行線之間的距離。平行線之間的距離處處想等。例 3 ：在紙上畫一個(gè)長(zhǎng)為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，然后分別畫出將該正方形向北偏東 30 方向平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度，以及將該正方形向正東方向平移2 個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖形。4 、平移的畫圖方法： （ 1 ）分析題目要求，明確平移方向和距離； （2 ）分析圖形特征，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)； （ 3 ）沿一定的距離平移各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)； （ 4 ）連接各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并標(biāo)上相應(yīng)的字母。5 、如何由平移前、后的圖形（或圖案）確定平移的方向和平移的距離平移的方向和任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行，平移的距離為任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所成線段的長(zhǎng)度。所

14、以只要準(zhǔn)確找出一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，就能知道平移的方向和平移的距離。例 4 ：如圖所示， 將周長(zhǎng)為 8 的 ABC 沿 BC 方向平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度得到 DEF ，則四邊形 ABFD 的周長(zhǎng)為例 5 ： DEF 是 ABC 平移后的圖形， D 是 A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，請(qǐng)作出9ABC 。ADA20 米BCFE例 4 圖D32 米例 6 圖F例5圖 E6 、利用平移解幾何問題例 6 ：如圖所示，在長(zhǎng)方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下部分作為耕地，道路寬為2, 米，耕地面積為平方米。例 7 ：如圖所示，把直角梯形 ABCD沿 AD 方向平移得到梯形EFGH ，HG=24cm ， WG=8cm ，WC=6c

15、mAB，求陰影部分面積。EDFWC例 7圖HG7.4 認(rèn)識(shí)三角形【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1 、三角形的有關(guān)概念（ 1 ）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相連所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩遍公共的斷點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)，相鄰邊組成的叫叫做三角形的內(nèi)角。（2 ）三角形的表示：三角形用符號(hào)“”表示，頂點(diǎn)是 A、 B 、 C 的三角形，記作“ ABC ”,讀作“三角形 ABC ”例 1 ：如圖所示，（1 ）圖中共有 個(gè)三角形？（ 2 ）線段 AE 是哪些三角形的邊？。（ 3）B 是哪些三角形的A角？2 、三角形的分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。BD10C

16、E3 、三角形中邊的關(guān)系： （ 1 ）兩邊之和大于第三邊； (2) 兩邊只差小于第三邊例 2 ：下列三角形分別是什么三角形？（1）已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是50和 60（2）已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是35和 55（3）已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30和 45例 1 圖（4）已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為16cm，有兩邊的長(zhǎng)分別是4cm 和6cm 。例 3 ：以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊，哪些可以構(gòu)成一個(gè)三角形？哪些不可以？（1 ）6 、8 、10（2 ）3 、8 、11（3）3 、4 、10（4）三條線段之比為4:6:74 、三角形的三種重要線段：（1 ）高：從三角形的頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線畫垂

17、線，頂點(diǎn)和垂足AAA之間的線段，叫做三角形的高。如圖 7.4-1 ，AD 是 ABC 的高，可表示為D CBEC BF CAD BC 或 ADC=90或 ADB=90（ 2 ）中線：在三角形中，連接頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線。如圖 7.4-2 ，AE 是 ABC 的中線， 可表示為 BE=EC或 BE=1BC或2圖 7.4-1圖 7.4-2圖 7.4-3BC=2EC（ 3 ）角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。一個(gè)角的平分線是一條射線，兒三角形的角平分線是線段。如圖 7.4-3 ， AF 是 ABC的角平分

18、線，可表示為BAF= CAF 或 BAF= 12 BAC 或 BAC=2 CAF例 4 ：為估計(jì)圖中池塘 A、 B 之間的距離，陽(yáng)陽(yáng)在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn) P，測(cè)得 PA=1:2cm ，PB=16cm ，那么 PB 可以取什么樣的范圍？AB11P例 5 ：如圖，在 ABC 中， 1= 2，G 為 AD 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BG 交 AC 于 E 點(diǎn)，F(xiàn)為 AB 上的一點(diǎn)，CF AD 于 H ，下列判斷正確的有AD 為 ABE 的角平分線； BE 為 ABD 邊 AD 上的中線； CH為 ACD 邊 AD 上的高；AAH 是 ACF 的角平分線A和高線。AA1 2EFEBCFEBDCBCBDC甲乙丙圖

19、7.4-4例 5 圖5 、三角形的高、角平分線、中線的畫法（ 1 ）三角形高的畫法，如圖 7.4-4 。三種三角形都有三條高；銳角三角形的三條高交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，如圖7.4-4 甲；鈍角三角形三條高交于三角形外部一點(diǎn)，如圖 7.4-4 乙；直角三角形三條高交于三角形的直角頂點(diǎn)，如圖 7.4-4 丙。(2) 三角形中線的畫法：將三角形一邊的重點(diǎn)與這邊所對(duì)角的頂點(diǎn)連接起來，就得到三角形一邊上的中線。（ 3 ）三角形的角平分線的畫法：三角形的角平分線的畫法與角平分線的畫法相同，可以用量角器。例 6 ：下列作鈍角三角形ABC （ B 為鈍角）的高AE 的做法是否正ACACAC確，若不正確，說明錯(cuò)誤的

20、原因并給出正確的作圖。BEBB(1)EE12(2)(3)6 、面積法解題例 7 ：如圖所示，在ABC中， AB=AC ， AC 邊上的高BD=10,求AAB 邊上的高CE 的長(zhǎng)。EDBC例 8 ：如圖所示，在ABC中， AB=AC ， AC 邊上的高BD=10 ， P為邊 BC 上的任意一點(diǎn)，PM AB ， PN AC ，垂足分別為M 、N 。A求 PM+PN 的值。DNMBCPCAB 7.5 多邊形的內(nèi)角和與外交和【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】1 、三角形的內(nèi)角和定理（1）三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180 （2例 1 圖）三角形的內(nèi)角和定理的推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。例 1 ：如圖所示

21、，是一塊三角形木板的殘余部分，量得A=100 ，B=40 ，這塊木板的另一個(gè)角是度。例 2：若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2:3:4, 那么這個(gè)三角形是13三角形。2 、三角形的外角及其性質(zhì)（1 ）三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角。如圖 7.5-1，把 BC 延長(zhǎng)至 D ， ACD 即為 ABC的一個(gè)外角。說明：三角形的一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角為三角形外角，一個(gè)外角有相鄰的相鄰?fù)饨峭饨茿E A內(nèi)角和不相鄰的內(nèi)角，如圖17.5-2DE不相鄰內(nèi)角不相鄰內(nèi)角BCB 2DACFBCD例 3圖7.5-3 圖7.5-1 圖7.5-2圖例 3 ：如圖所示， 已知 D 、E 在 ABC的邊上，

22、 DE BC ，B=60 ,AED=40，則 A=（2 ）三角形的外角的性質(zhì)：三角形的外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，如圖7.5-3. ACD= 1+ 2三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。如圖7.5-3. ACD 1， ACD 2三角形的外交和等于360 。三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處，有兩個(gè)外角，任取其中一個(gè)，那么三個(gè)頂點(diǎn)處有三個(gè)外角，這三個(gè)角的和叫做三角A7.5-3. ACD+ BAE+ CBF=360D形的外角和。如圖E 1例 4 ：如圖所示， A ， 1， 2 的大小關(guān)系是（） B2例4圖CA.A 1 2B. 2 1 AC. A2 1D.2 A 13 、多邊形的內(nèi)角和與外角和（1）多邊形的內(nèi)角

23、和定理： n 邊形的內(nèi)角和等于（n-2 ） 180 （2）多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和都等于360 例 5 ：已知一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 72 ，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和。14例 6 ：如果一張多邊形紙片的內(nèi)角和是1800 ，那么將它減去一個(gè)角之后得到的多邊形的內(nèi)角和不可能是（）A.1440B.1620C.1800 D.1980甲7.5-4圖乙說明： n 邊形的外角和恒等于360 ，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；多邊形一般有兩種，凸多邊形（如圖7.5-4- 甲）和凹多邊形（如圖7.5-4- 乙）；n 邊形有 n 個(gè)頂點(diǎn)， n 條邊， n 個(gè)內(nèi)角， 2n 個(gè)外角，有 n(n 3) 條對(duì)角2線。例

24、 7 ：一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定A 應(yīng)等于 90 ， B 、DD 應(yīng)分別是 20 、30 。李叔叔量得 BCD=142，就判定這個(gè)零件不合格，你能說出其中的道理嗎？CAB例 7 圖4 、三角形內(nèi)角和為180 的證明除課本上的兩種方法外，還常用下列作平行線轉(zhuǎn)移角的兩種方法方法一：如圖 7.5-5所示，過 BC 上任一點(diǎn) D 作 DE AC ，DF AB 。AA所以 1= C, 4= A,3= B, 2= 4= A.E因?yàn)?1+ 2+D3=180 ，所以 A+ B+ C=180 B42F13C BE方法二： 如圖 7.5-6DC7.5-5 圖7.5-6 圖所示，過點(diǎn) C 作 CD AB ，請(qǐng)完成接下來的證明過程。例 8 ：已知，如圖所示， B=10 ， C=20 ， BOC=110 ，A求 A。OCB例 8 圖155 、多邊形內(nèi)角和定理的證明方法多邊形內(nèi)角和定理， 一般是將多邊形的所有內(nèi)角通過作輔助線的方法轉(zhuǎn)化成一些三角形的PPP7.5-7 圖內(nèi)角來證明。如：方法一：如圖7.5-7 所示，在n 邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各定點(diǎn)連接起來，構(gòu)成n 個(gè)三角形，這n 個(gè)三角形的內(nèi)角和為180n ，再減去一個(gè)周角，即得到多邊形的內(nèi)角和為（n-2 ） 180 方法二： 如圖 7.5-7 所