2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義[教資優(yōu)擇]

1、如圖如圖,等邊三角形等邊三角形ABC中中,求：求： （1）AB與與AC的夾角；的夾角； （2）AB與與BC的夾角的夾角_ A B C 通過(guò)平移通過(guò)平移 變成共起點(diǎn)！變成共起點(diǎn)！ 120 60 C D D 0 120 問(wèn)題情境問(wèn)題情境: : 情境情境1:1:前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法向量的加法、減法 和數(shù)乘和數(shù)乘三種運(yùn)算,那么向量與向量能否“相乘相乘” 呢？ 情境情境2:2:一個(gè)物體在力F的作用下發(fā)生了位移s， 那么該力對(duì)此物體所做的功為多少？ F s 位移S O A 一個(gè)物體在力一個(gè)物體在力 的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移 , 那么力那么力 所做的功所做的功 W= 表示力 的方向與位

2、移 的方向的夾 角。 F F S cosSF 我們將功的運(yùn)算類比到兩個(gè)向量的一種運(yùn)我們將功的運(yùn)算類比到兩個(gè)向量的一種運(yùn) 算，得到向量算，得到向量“數(shù)量積數(shù)量積”的概念。的概念。 cosSFW |a|b cos ba 這就是本節(jié)課所這就是本節(jié)課所 要學(xué)習(xí)的平面向要學(xué)習(xí)的平面向 量的數(shù)量積量的數(shù)量積 平面向量數(shù)量積的定義平面向量數(shù)量積的定義: 已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量 和和 ，它們的夾角為，它們的夾角為 , 我們把數(shù)量我們把數(shù)量 叫做叫做 與與 的數(shù)量積的數(shù)量積 (或內(nèi)積或內(nèi)積),記作記作 . a b ba cosba a b cosbaba 規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與

3、任意向量的數(shù)量積為0 00 a 注意：注意： (1) 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)， 不是向量不是向量 (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫(xiě)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫(xiě) 成成 a b ab 即即 ab a b 注意：注意： (3) 向量的數(shù)量積和實(shí)數(shù)與向量的積向量的數(shù)量積和實(shí)數(shù)與向量的積 (數(shù)乘數(shù)乘)不是一回事不是一回事 數(shù)量積數(shù)量積 的結(jié)果是一個(gè)的結(jié)果是一個(gè) 數(shù)量數(shù)量(實(shí)數(shù)實(shí)數(shù))； 實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積(數(shù)乘數(shù)乘)還是一個(gè)向量還是一個(gè)向量 |cosa bab ，求的夾角為與，已知例 o baba12045:1 ba 解：解：ba o ba120cos 10)

4、2 1 (42 練習(xí)：課本 106頁(yè) 1 為正；時(shí)當(dāng) ba_ ;_為負(fù)時(shí)當(dāng) ba a b 當(dāng)_時(shí)為零; a bab 當(dāng)_時(shí)=| | |; |.a bab 當(dāng)_時(shí) 090 90180 90 0 180 ba垂直即 此時(shí)兩向量 |cosa bab 向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它何時(shí)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它何時(shí) 為正，何時(shí)為負(fù)，何時(shí)為零？為正，何時(shí)為負(fù)，何時(shí)為零？ 練習(xí)：課本 106頁(yè) 2 向量數(shù)量積的性質(zhì)向量數(shù)量積的性質(zhì) 是非零向量、設(shè) ba 當(dāng)且僅當(dāng)兩向量當(dāng)且僅當(dāng)兩向量 共線時(shí)等號(hào)成立共線時(shí)等號(hào)成立 _;0) 1 ( ba ba ；同向時(shí)，與當(dāng)_)2( baba | ba ._) 3( b

5、aba反向時(shí)，與當(dāng) | ba ._|_ 2 aaaa或特別地 2 | a 2 a (4)| _ |a bab .,90,0cos ,0cos|,0 ba baba 則 |, 1cos,0 baba則 2 | , 1cos,0 aaaaa | , 1cos,180 baba則 (B1) B1 B1 如圖，作出 cos，并說(shuō)出它的幾何意義； cos的幾何意義有是什么？ b a a O BB A B AOOA (1)(2) （3） b a a b b 平面向量數(shù)量積幾何意義 cos cos叫做向量叫做向量 在向量在向量 方向上的投影，方向上的投影， cos cos叫做向量叫做向量 在向量在向量 方向

6、上的投影方向上的投影. b b ba a a B1 O A B b a A1 O A B b a cos| 1 aOA cos| 1 bOB 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上 (向量向量 在在 方向上方向上)的的投影投影. b a )cos(cosba b a 向量向量 在方向在方向 上的上的投影投影是數(shù)量是數(shù)量,不是向量不是向量, 什么時(shí)候?yàn)檎裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？什么時(shí)候?yàn)檎裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？ cosb b a O A B a b 1 B OA B a b )( 1 B B OA a b 1 B OA B b a OAB ba 0cosb0cosb 0cosb bbcos bbcos cos.

7、 a baaba b 數(shù)量積等于 的長(zhǎng)度與 在 的 方向上的投影數(shù)量的乘積 a b B A O 平面向量數(shù)量積的幾何意義平面向量數(shù)量積的幾何意義: cos|b cosbaba 1向量a的模為10，它與x軸正方向的夾角為150， 則它在x軸上的投影為() 全優(yōu)92頁(yè)限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 A 【例3】 已知|a|3，|b|5，ab12，則向量a在向量b 的方向上的投影為_(kāi) 解析：(為a與b的夾角)， 全優(yōu)57頁(yè)典例剖析 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算率平面向量數(shù)量積的運(yùn)算率: (1)交換律交換律： (2)數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律： (3)分配律分配律： abba )()()(bababa cbcacba )( 數(shù)量積不

8、滿足數(shù)量積不滿足結(jié)合律結(jié)合律和和消去率消去率 )()(cbacba bacbca (1)|cos .e aa ea (2)0.aba b ; )3(bababa 同同向向時(shí)時(shí)，與與、當(dāng)當(dāng) . bababa 反反向向時(shí)時(shí)，與與當(dāng)當(dāng) aaaaaa 2 或或特特別別地地， (4) cos, | a b ab (5) | |.a bab ) ( 2 aaa可可簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫(xiě)寫(xiě)成成 B1 b B a AO e 為非零向量，為單位向量，bae, 1下列命題中正確的是() A|ab|a|b| Babba C(a)ba(b) D非零向量a與b的夾角余弦值為 D 全優(yōu)58頁(yè)基礎(chǔ)夯實(shí) 3在ABC中，三個(gè)式子 中可以成立的

9、() A至少1個(gè) B至多1個(gè) C一個(gè)也沒(méi)有 D三式可以同時(shí)成立 B 3(2015年廣州綜合測(cè)試)在ABC中，若 則邊AB的長(zhǎng)等于_2 全優(yōu)92頁(yè)限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 例2.證明： ）（）（）（證明：（bababa 2 1 bbabbaaa 22 2bbaa 22 2 2)(1bbaaba）（ 22 )()2bababa（）（ bbbabaaababa)()(2( 例2.證明： 22 ba 22 2 2)(1bbaaba）（ 22 )()2bababa（）（ 例3 .已知 求 ）（）（baba32 bbbabaa623 2 ，的夾角為與 60, 4| , 6|baba )3()2(baba解： bbba

10、a6 2 22 |6cos|bbaa 7216660cos4636 24基礎(chǔ)課件 互相垂直？與向量值時(shí)， 為何不共線，與且已知例 bkabka kbaba , 4| , 3|. 4 0)()bkabka（ 解：由題意可知解：由題意可知 0 2 2 2 bka即16,9 22 ba又 0169 2 k 4 3 k 25基礎(chǔ)課件 練習(xí)： 課本 108頁(yè) 7 ，的夾角為與解：設(shè)ba )2()32(baba 22 |362|4bbabaa 22 |34|4bbaa 27cos|4-64ba61cos4837 , 2 1 cos 120 練習(xí)： 課本 108頁(yè) 3 |ba解： 2325)3(24 2 )

11、(ba 22 |2|bbaa |ba 3525)3(24 2 )(ba 22 |2|bbaa 5已知|a|4，|b|2且a與b的夾角為120.求： (1)|2ab|； 【解析】 (1)因?yàn)閨2ab|2 4a24abb2 (2)(a2b)(ab)； (2)(a2b)(ab)a2ab2b2 全優(yōu)92頁(yè)限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 5已知|a|4，|b|2且a與b的夾角為120.求： 【解析】 全優(yōu)92頁(yè)限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 (3)a與ab的夾角； (3)因?yàn)閨ab|2a22abb2 設(shè)a與ab的夾角為， 可得a與ab的夾角為 5已知|a|4，|b|2且a與b的夾角為120.求： 【解析】 全優(yōu)92頁(yè)限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 (4)若(ab)(ab)，求的值 (4)因?yàn)?ab)(ab)， 所以(ab)(ab)0，