[高考]解析幾何壓軸題

1、13橢圓例1如圖：直線l：與橢圓c：交于a、b兩點，以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oapb。求證：橢圓c：與直線l：總有兩個交點。當時，求點p的軌跡方程。（3）是否存在直線l，使oapb為矩形？若存在，求出此時直線l的方程；若不存在，說明理由。解：(1)由得橢圓c：與直線l：總有兩個交點。(2)設,與交于點，則有即，又由（1）得， （2）得 （3）將（3）代入（2）得點p的軌跡方程為當時，這樣的直線不存在；當時，存在這樣的直線，此時直線為例2. 設橢圓的兩個焦點是與，且橢圓上存在一點，使得直線與垂直.（1）求實數的取值范圍；（2）設是相應于焦點的準線，直線與相交于點，若，求直線的方程.解：（）

2、由題設有 設點p的坐標為由pf1pf2，得 化簡得 將與聯立，解得 由 所以m的取值范圍是.（）準線l的方程為設點q的坐標為，則 將 代入，化簡得 由題設 ，得 ， 無解.將 代入，化簡得 由題設 ，得 .解得m=2. 從而，得到pf2的方程 例3.（08安徽）設橢圓過點，且左焦點為（）求橢圓的方程；（)當過點的動直線與橢圓相交于兩不同點時，在線段上取點，滿足。證明：點q總在某定直線上。解：（）由題意：，解得.所求的求橢圓的方程.（)方法一：設點，由題設，、均不為0，且，又四點共線，可設，于是 ，由于，在橢圓上，將分別帶入的方程，整理得：由-得 .，.即點總在直線上.方法二：設點，由題設，、均

3、不為0，記，則且.又四點共線，從而，于是：，；，.從而 又點在橢圓上，即+2并結合，得，即點總在直線上.14.雙曲線例1.已知雙曲線設過點的直線l的方向向量當直線l與雙曲線c的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；證明：當時，在雙曲線c的右支上不存在點q使之到直線l的距離為。解：（1）雙曲線c的漸近線，即 直線的方程 直線與m的距離 （2）證法一：設過原點且平行于的直線則直線與的距離，當時，。 又雙曲線c的漸近線為，雙曲線c的右支在直線的右下方，雙曲線c右支上的任意點到直線的距離大于。故在雙曲線c的右支上不存在點q到到直線的距離為 證法二：假設雙曲線c右支上存在點q到直線的距離為，

4、則 由（1）得， 設當時，： 將代入（2）得， （*），方程（*）不存在正根，即假設不成立，故在雙曲線c的右支上不存在點q到直線的距離為 例2. （07江西）設動點到點和的距離分別為和，且存在常數，使得（1）證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）過點作直線雙曲線的右支于兩點，試確定的范圍，使，其中點為坐標原點解：（1）在中，即，即（常數），點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線方程為：（2）解法一：設，當垂直于軸時，的方程為，在雙曲線上即，因為，所以當不垂直于軸時，設的方程為由得：，由題意知：，所以，于是：因為，且在雙曲線右支上，所以由知，解法二：設，的中點為當時，因為，所以；當時，又所以

5、；由得，由第二定義得所以于是由得因為，所以，又，解得：由知15.拋物線例1已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點（）證明：拋物線在點處的切線與平行；（）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，說明理由解：（）如圖，設，把代入得，xay112mnbo由韋達定理得，點的坐標為設拋物線在點處的切線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線相切，即（）假設存在實數，使，則，又是的中點，由（）知軸，又 ，解得即存在，使例2. 如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點abcpqo如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向

6、上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于點（1）若，求的值；（5分）（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（5分）（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由（4分）xyl（1）若，求的值； （2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線； （3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由 解：（1）設直線的方程為，將該方程代入得令，則因為，解得，或（舍去）故（2）由題意知，直線的斜率為又的導數為，所以點處切線的斜率為，因此，為該拋物線的切線（3）（2）的逆命題成立，證明如下：設若為該拋物線的切線，則，又直線的斜率為，所以，得，因，有故點的橫坐標為，即點是線段

7、的中點16 解析幾何中的參數范圍問題1、已知圓錐曲線的一個焦點為（1，0），對應這個焦點的準線方程為，又曲線過，ab是過f的此圓錐曲線的弦；圓錐曲線中心在原點，其離心率，一條準線的方程是。（1）求圓錐曲線和的方程。（2）當不超過8，且此弦所在的直線與圓錐曲線有公共點時，求直線ab的傾斜角的取值范圍。分析：本題主要考察直線、橢圓、拋物線、不等式等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。函數與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題等價轉化的思想方法解：過p作直線x=-1的垂線段pn.曲線是以為焦點，x=-1為準線的拋物線,且.曲線

8、；依題意知圓錐曲線為橢圓，.又其焦點在y軸上，圓錐曲線： （2）設直線ab：,.由拋物線定義得：，又由得，其時，。依題意有即，則直線ab的傾斜角。2. 如圖，在rtabc中，cba=90，ab=2，ac=。doab于o點，oa=ob，do=2，曲線e過c點，動點p在e上運動，且保持| pa |+| pb |的值不變.（1）建立適當的坐標系，求曲線e的方程；（2）過d點的直線l與曲線e相交于不同的兩點m、n且m在d、n之間，設， 試確定實數的取值范圍分析：本題主要考察直線、橢圓、不等式的性質等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。

9、函數與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題分類討論思想方法 數形結合思想方法講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示 . | pa |+| pb |=| ca |+| cb | y c =a o b動點p的軌跡是橢圓 . 曲線e的方程是 . （2）設直線l的方程為 , 代入曲線e的方程，得 設m1（, 則 i) l與y軸重合時， ii) l與y軸不重合時， 由得 又, 或 01 , . 而 , ,的取值范圍是 . 3. 已知向量，動點到定直線的距離等于，并且滿足，其中是坐標原點，是參數。（1）求動點的軌跡方程；（2）當時，若直線與動點的軌跡相交于、兩點，線段的垂直平分線交軸，求的取值

10、范圍；（3）如果動點的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率滿足，求的取值范圍。分析：本題主要考察直線、橢圓的方程、向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。函數與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題分類討論思想方法 數形結合思想方法解：（1）設，則由，且是原點，得，從而，根據得，即為所求軌跡方程。（2）當時，動點的軌跡方程是，即，的方程為，代入，或，。的中點為，垂直平分線方程為，令得，（）（3）由于，即，所以此時圓錐曲線是橢圓，其方程可以化為當時，此時，而，；當時，此時，而，而時，可解得。綜上可知的取值范圍是4. 如圖，為半圓，ab為半圓直徑，o為半圓圓心，且odab，

11、q為線段od的中點，已知|ab|=4，曲線c過q點，動點p在曲線c上運動且保持|pa|+|pb|的值不變.(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線c的方程；(2)過d點的直線l與曲線c相交于不同的兩點m、n，且m在d、n之間，設=，求的取值范圍.分析：本題主要考察直線、橢圓的方程、不等式的性質等基礎知識，以及應用數學知識分析解決問題能力。函數與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題分類討論思想方法 數形結合思想方法解：(1)以ab、od所在直線分別為x軸、y軸，o為原點，建立平面直角坐標系， |pa|+|pb|=|qa|+|qb|=2|ab|=4.曲線c為以原點為中心，a、b為焦點的橢圓.設

12、其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,a=,c=2,b=1.曲線c的方程為+y2=1.(2)設直線l的方程為y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.=(20k)2415(1+5k2)0,得k2.由圖可知=由韋達定理得將x1=x2代入得兩式相除得m在d、n中間，1又當k不存在時，顯然= (此時直線l與y軸重合).17 解析幾何中的最值問題1.已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，垂足為（）設點的坐標為，證明：；（）求四邊形的面積的最小值解：（）橢圓的半焦距，由知點在以線段為直徑的圓上，故，所以，（）（）當的斜率存在

13、且時，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得設，則，；因為與相交于點，且的斜率為，所以，四邊形的面積當時，上式取等號（）當的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積綜上，四邊形的面積的最小值為分析：本題主要考察直線、橢圓、不等式的性質等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。函數與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題分類討論思想方法2. （09湖南）在平面直角坐標系xoy中，點p到點f（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當p點運動時，d恒等于點p的橫坐標與18之和 （）求點p的軌跡c； （）設過點f的直線i與軌跡c相交于m，n兩點，求線段mn長度的最大值。分析：

14、本題主要考察直線、橢圓、不等式的性質等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，以及綜合應用數學知識分析問題、解決問題能力。函數與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題分類討論思想方法解（）設點p的坐標為（x，y），則3x-2由題設 當x2時，由得 化簡得 當時 由得 化簡得 故點p的軌跡c是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與 ，的交點都是a（2，），b（2，），直線af，bf的斜率分別為=，=.當點p在上時，由知. 當點p在上時，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的

15、方程為（i）當k，或k，即k-2 時，直線i與軌跡c的兩個交點m（，），n（，）都在c 上，此時由知mf= 6 - nf= 6 - 從而mn= mf+ nf= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*mn=12 - （+）=12 - 因為當 當且僅當時，等號成立。（2）當時，直線l與軌跡c的兩個交點 分別在上，不妨設點在上，點上，則知， 設直線af與橢圓的另一交點為e 所以。而點a，e都在上，且 有（1）知若直線的斜率不存在，則=3，此時綜上所述，線段mn長度的最大值為。18 解析幾何中的定值問題1如右圖，中心在原點o的橢圓的右焦點為，右準線的方

16、程為：.（）求橢圓的方程；ofp3p2p1（）在橢圓上任取三個不同點，使，證明：為定值，并求此定值.分析：本題主要考查橢圓的定義、方程及幾何性質、余弦三角函數等基礎知識、基本方法和分析問題、靈活解決問題的能力。 數形結合思想方法aq1ofp3p2p1解：（）設橢圓方程為.因焦點為，故半焦距.又右準線的方程為，從而由已知，因此.故所求橢圓方程為.（）記橢圓的右頂點為a，并設，不失一般性，假設，且.又設在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有.解得.因此，故為定值.2. 已知橢圓兩焦點分別為f1、f2，p是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過p作傾斜角互補的兩條直線pa、pb分別交橢圓于a、b兩點.（）

17、求p點坐標；（）求證直線ab的斜率為定值；（）求pab面積的最大值.yoxbapf1f2分析：本題主要考查直線、橢圓的方程及幾何性質、平面向量的數量積等基礎知識、基本方法和分析問題、解決問題的能力函數與方程思想方法解：（）由題可得，設則，點在曲線上，則，從而，得.則點p的坐標為.（）由題意知，兩直線pa、pb的斜率必存在，設pb的斜率為，則bp的直線方程為：.由得 ，設，則，同理可得，則，.所以：ab的斜率為定值.（）設ab的直線方程：.由，得，由，得p到ab的距離為，則。當且僅當取等號三角形pab面積的最大值為。19 解析幾何與向量1.設、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，

18、求的最大值和最小值;（）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.分析：本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。函數與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題解：（）解法一：易知所以，設，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，聯立，消去，整理得：由得：或又又，即 pbqmfoaxy故由、得或2oyx1lf（07福建）如圖，已知點，直線，為平面上的動點，過作直線的垂線，垂足

19、為點，且（）求動點的軌跡的方程；（）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，求的值；分析：本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力 函數與方程的思想， 等價轉化思想方法解法一：（）設點，則，由得：，化簡得（）設直線的方程為：設，又，聯立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：（）由已知，得則：過點分別作準線的垂線，垂足分別為，則有：由得：，即3如圖所示，已知圓為圓上一動點，點p在am上，點n在cm上，且滿足的軌跡為 曲線e. （i）求曲線e的方程； （ii）若過定點f（0，2）的直線交曲線e于不同的兩點g、h（點g在點f、h之間）， 且滿足，求的取值范圍. 分析：本小題主要考查直線、圓、橢圓、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力 函數與方程的思想， 等價轉化思想方法解：（i） np為am的垂直平分線，|na|=|nm|.又動點n的軌跡是以點c（1，0），a（1，0）為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2