平面幾何的立體幾何類比講解

1、從三角形到三棱錐性質 1：在平面上到ABC 三個頂點距離相等的點是三角形三邊的垂直平分 線的交點，這個點也稱為三角形的外心（外接圓圓心） .如果把“在平面上”幾個字去掉，再來研究到三角形三個頂點距離相等的點會 是一種什么情形呢？首先這樣的點肯定存在（三角形外心就是一例） ，在平面 ABC 外是否還有這樣的點呢？我們先把研究的問題具體化 .ABC 所在平面外滿足 PA=PB=PC的點 P 是否存在？先考慮到 A、B距離相等的點 .在平面中這樣的點的軌跡為線段 AB 的垂直平 分線，不難證明在空間滿足此條件的點的軌跡為線段 AB 的垂直平分面（即過 AB 中點且與 AB 垂直的平面 .記為 ）.同

2、理，到 A 、C 兩點距離相等的點的軌跡 為線段 AC 的垂直平分面（記為 ）.顯然這兩個平面不平行，記交線為 m,因為 直線 m 上的任意一點 P都滿足 PA=PB，PA=PC，所以有 PB=PC，可知點 P 也應 在線段 BC 的垂直平分面上，即直線 m 是 AB 、AC、BC 三條線段的垂直平分面 的交線 .由此可得：在空間到三角形三個頂點距離相等的點在其三邊的垂直平分面的交線上，易證， 這條直線垂直于三角形所在平面且通過三角形的外心， 這條 直線我們不妨稱之為三角形的外心線 .這個結論還可以如下的角度來表述：如圖 1，如果平面 ABC 外有一點 P且 PA=PB=PC，那么點 P在過

3、ABC 外心且與平面 ABC 垂直的直線上 .也可以說，到 ABC 三個頂點距離相等的點在平面 ABC 內的射影 是ABC 的外心 .思考：三角形還有哪些類似的性質可以推廣到空間去？不難想到三角形的內心（三條角平分線的交點） 、垂心（三條高線的交點）都可以在空間找到對應的圖形 .對這些性質我們不妨先大膽寫出結論，再進行嚴格證明 .在類比中，我們看到，平面中的點常對應空間中的線，平面中的線則常圖1對應空 間中的面 .在平面幾何中有這樣一個性質：如圖 2，ABC 中，B和C分別在邊AB 、AC 上，則有S AB CAB ACS ABCAB AC1用公式 SABC = bcsin A 易證）圖2將這

4、一性質類比到空間得到相應結論：AD 上各有一點 B、C、D，則有性質 2：如圖 3，已知四面體 ABCD 中，棱 AB 、VA B CDAB AC ADSA BCDAB AC AD證明：作 DP平面ABC 于 P，連結 A 、P并延長 AP交 BC于 E.則平面 APD平 面 ABC. 過 D作D Q AP 于 Q，則 D Q 平面ABC ，于是有1VA B CDS ABC D Q,3V1SDP.VABCD3S ABC DP.又因為 S ABC AB AC ,DQADAB AC DPAD所以 VA BC D AB AC ADVA BCDAB AC AD練習：下面這些平面中的性質類比到空間應怎樣

5、敘述？它是正確的嗎？ 如果正確，你能證明它嗎？性質 3：如圖 4，正ABC，過其內任一點 P 作三邊垂線，垂足分別為 D、E、F，則 PE+PF+PD為定值 .性質 4：如圖 5，點 O是ABC 內任意一點，連結 AO、BO、CO 并延性質 3、4 向空間類比所得命題都是正確的，它們分別可表述為性質 3：如圖6，過正四面體內一點 P 向四個面作垂線，垂足分別為M1、M2、M3、M4，則 PM1+PM2+PM3+PM4 為定值.性質 4：如圖 7，P為四面體 ABCD內任意一點，連結 AP、BP、CP、DP并延長分別交 A、B、C、D 所對的平面于 A1、B1、C1、D1，則圖 6 圖 7PA1

6、 PB1 PC1 PD1 1.A1A B1B C1C D1D 這些性質的證明方法與性質本身的證明類似可以從相應平面性質的證 明中類比得到 .如性質 3、4 的證明用到了面積割補思想，類比到空間就是體 積割補思想，性質 3、4的證明問題就迎刃而解了.一、轉化的思想方法研究問題時， 將研究對象在一定條件下轉化為熟悉的、簡單的、基本的研究 對象的思維方法稱為轉化的思想方法。 這種思想方法是立體幾何中最重要的思想 方法，貫穿在立體幾何教學的始終。 立體幾何中轉化的思想方法主要體現在如下 幾個方面：1、空間問題向平面問題轉化 將空間問題轉化為熟知的平面問題是研究立體幾何問題最重要的數學方法之 一。如線面

7、垂直的判定定理轉化為三角形全等的平面幾何問題； 教材中的幾種多 面體和旋轉體的側面積公式的推導（除球面和球冠外） 、側面上最短線問題都是 通過側面展開轉化為平面幾何問題； 旋轉體的有關問題不也是轉化為關于軸截面 的平面幾何問題嗎？其實，立體幾何中的三種角（線線角、線面角、二面角）和四種距離（線線距、點面距、線面距、面面距）從定義到具體的計算以及三垂線 定理都體現了空間到平面的轉化。例 1. 正三棱錐 A-BCD ，底面邊長為 a，側棱為 2a，過點 B 作與側棱 AC 、AD 相交的截面，在這樣的截面三角形中，求周長的最小值。DB AB a 2a 2解析：沿側棱 AB把正三棱錐的側面剪開展成平

8、面圖 .如圖 1，當周長最小時， EF 在直線 BB上，ABEBAF，AEAF， ACAD，BBCD，123，BE BCa，同理 BFBDa.FDBADB，DF DB ， DF a 1,DF 1 a,AF 3 a.又AEFACD，BBa+ 3 a+a 11a, 截面三角形的周長的最2 2 4 4 11小值為 11a.評析 把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉化為平面上兩點間距離的問題， 從而使問題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法 .又如異面直線所成的角、 線面角、 面面角的計算， 最終都是轉化為平面上兩 相交直線成的角來進行的。實現空間問題向平面問題轉化的方法很多，常用的就有：平移法

9、、射影法、 展開法和輔助面法等等。2、位置關系的轉化線線、 線面、面面平行與垂直的位置關系既互相依存， 又在一定條件下不僅 能縱向轉化：線線平行（或垂直） 線面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直） ， 而且還可以橫向轉化：線線、線面、面面的平行 ; 線線、線面、面面的垂直。這些轉化關系在平行或垂直的判定和性質定理中得到充分體現。 平行或垂直關系 的證明（除少數命題外） ，大都可以利用上述相互轉化關系去證明。例 2. 如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1中， E在 AB1上， F 在 BD上，且 B1EBF.求證： EF平面BB1C1C.證法一：連 AF延長交 BC于 M，連結 B1M.A

10、DBCAFDMFB AF DFFM BF又BDB1A，B1EBFDFAE AF AEFM B1EEFB1M， B1M 平面 BB1C1CEF平面BB1C1C.證法二：作 FHAD交 AB于 H，連結 HEADBCFHBC，BC BB1C1CFH平面BB1C1C由 FHAD可得BFBDBHBA又 BF B1E， BDAB1B1E BHAB1 BA EHB1B， B1B 平面 BB1C1CEH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面BB1C1CEF 平面 FHEEF平面BB1C1C 說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行 .證法二則是證線面平行，先證面 面平行，然后說明直線在其中一個平面內 .

11、3、位置關系中的定性與定量的轉化立體幾何中對點、 線、面在空間中特定位置關系的研究是從定性和定量兩個方向進行的。這兩者既有聯系又有區(qū)別， 在一定條件下還可以互相轉化。 線線、線面、面面平行 ,這些定性描述 ,表示線線、線面、面面的成角是 0,反之則不然；線線、線面、面面的成角是 90，這些量的結果，則反映了它們的垂直關系，反 之亦然。可見教材中深刻地蘊含著位置關系中的定性與定量的轉化關系。例 3. 空間四邊形 PABC中， PA、PB、PC兩兩相互垂直， PBA 45，PBC 60M為 AB的中點.(1) 求 BC與平面 PAB所成的角； (2) 求證： AB平面PMC.解析：此題數據特殊，先

12、考慮數據關系及計算、發(fā)現解題思路 .解 PA AB，APB90在 RtAPB中，ABP 45，設PAa，則 PBa,AB 2 a, PBPC，在 RtPBC中，PBC60,PBa.BC2a,PC 3 a.APPC 在RtAPC中， AC PA2 PC2 a2 ( 3a)2 2a(1) PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面 PBC上的射影是 BP.CBP是 CB與平面 PAB所成的角PBC60，BC與平面 PBA的角為 60.（2） 由上知， PAPB a,ACBC2a.M為 AB的中點，則 ABPM， ABCM.AB平面PCM.說明 要清楚線面的垂直關系，線面角的定義，通過數據特點，

13、發(fā)現解題捷徑例 4.如圖 919，在棱長為 a的正方體 ABCDAB1C1D1中，O是AC、BD 的 交點， E、F分別是 AB 與AD 的中點圖 9 19（1）求異面直線 OD1 與 A1C1所成角的大??；（2）求異面直線 EF與 A1C1所成角的大小；解析：（1） A1C1AC， OD1 與 AC 所成的銳角或直角就是 OD1與 A1C1所成 的角，連結 AD1、CD1，在AA1D1和CC1D1， AA1 CC1， A1D1 C1D1，AA1D1CC1D1 90 ，AA1D1CC1D1，AD1 CD1AD1C 是等腰三角形 O 是底邊 AC 的中點， OD1 AC ，故OD1與 A1C1所

14、成的角是 902） E、F 分別是 AB、AD 中點， EFBD，又 A1C1AC， AC與 BD 所成的銳角或直角就是 EF 與 A1C1所成的角 四邊形 ABCD 是正方形，ACBD， EF與 A1C1所成的角為 904、體積問題中的轉化研究簡單幾何體體積問題的過程中， 利用祖暅定理， 將一般柱體體積問題轉 化為長方體體積問題， 一般錐體體積問題轉化為三棱錐體積問題， 從而推導出柱 體和錐體體積公式等。三棱錐體積公式推導過程中， “補法”和“割法”的先后運用， 臺體的體積，即補臺成錐。所展示的割補轉化；利用四面體、平面六面體等幾何 體體積的自等性， 以體積為媒介溝通有關元素間的聯系， 從而

15、使問題獲解的等積 轉化等，均是轉化的思想方法在體積問題中的體現。所有上述這些都充分展現了轉化的思想方法在立體幾何中的“用武之地” 。教 學中的適時揭示與恰當運用， 確能強化學生思維的目標意識， 增強思維的敏捷性 和靈活性，提高學習效率。例 5. 如圖，平行六面體 ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為 1 的正方形，側棱 AA1 長為 2，且A1ABA1AD60則此平行六面體的體積為解析：一 求平行六面體 ABCDA1B1C1D的體積，應用公式 . 由于底面是正方形， 所以關鍵是求高，即 A1 到底面 ABCD的距離解法一：過點 A1做A1O平面ABCD，垂足為 O，過 O做OEAB，OFAD

16、，垂足分別 為 E、F，連結 A1E， A1F，可知 O在BAD的平分線 AC上.OA AF AFcosA1AOcosOAF OA AF AF cosA1AFAA1 AO AA1即 cos A1AOcos45 cos60 cosA1AO 2 sin A1AO2A1O A1Asin A1AO 2 V SABCDA1O 2分析二 如圖，平行六面體的對角面 B1D1DB把平行六面體分割成兩個斜三棱柱， 它們等底面積、等高、體積相等，考察其中之一三棱柱 A1B1D1ABD.解法二：過 B 作 BEA1A，連結 DE，可知面 BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成 上下兩部分，若把兩部分重新組合， 讓面 A

17、1D1B1與面 ADB重合，則得到一直棱柱， BDE是其底面， DD1 是其側棱，并且和斜三棱柱 A1B1D1ABD的體積相等 .取 BD中點 O，連結 OE，易知SBED 1 BDOE 1 BD DE2 OD 222V 直棱柱 SDEBDD1 VA1B1D1 ABDVA1B1C1D1 ABCD 2VA1B1D1 ABD點評 在解決體積問題時，“割“補”是常用的手段，另外本題分析二給出了求斜棱 柱體積的另一方法：斜棱柱的體積直截面面積側棱長 .例 6. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的 2 倍 .證明： 設球的半徑為 R，正四面體的高為 h，側面積為 S，則有 VA BCD VO ABC

18、+VO11ABD+VOBCD+VO ACD如圖，即 Sh4 SR,h 4R.33二、分類的思想方法分類的思想方法在數學中較為普遍。 如立體幾何中的一些知識和問題： 空間 兩直線的位置關系分為相交、平行、異面三種；線面、面面的位置關系以它們公 共點的多少為標準分別分為相交、平行、線在面內的三種和平行、相交兩種，而 對于相交的情形， 根據其交角是否為直角又分為斜交和直交兩種； 簡單幾何體可 劃分為柱體、錐體、臺體和球四類，每一類（除球外）又可分為若干個子類；教 學直線和平面所成的角時，要分直線和平面斜交、直線和平面垂直、 直線和平面 平行或直線在平面內三種情況加以說明。 教學中， 不失時機地揭示并

19、幫助學生運 用分類的思想方法，有助于學生全面系統(tǒng)地歸納整理，消化知識， 亦有益于訓練 思維的條理性和嚴密性，發(fā)展思維能力。另外，根據幾何圖形及位置存在的不同情況也需分類討論例 7 若四面體各棱長是 1 或 2 ，且該四面體不是正四面體，則其體積的值 是 .（ 只須寫出一個可能的值 ）解析： 該題的顯著特點是結論發(fā)散而不惟一 . 本題表面上是考查錐體求積公式這 個知識點， 實際上主要考查由所給條件構造一個四面體的能力， 首先得考慮每個 面的三條棱是如何構成的 .排除 1，1，2，可得 1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由這三類面在空間構造滿足條件的一個四面體，再求其體積 . 由平時所見的題

20、目，至少可構造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為 1 ，對棱相等的四面體 .對于五條邊為 2，另一邊為 1的四面體，參看圖 1所示，設 AD=1，取 AD的中點 為 M，平面 BCM把三棱錐分成兩個三棱錐，由對稱性可知 AD面BCM，且 VA BCM=VDBCM，所以1VABCD= SBCMAD.3CM= CD2 DM2= 22 (1)2 = 15.設 N是BC的中點，則 MNBC，22MN= CM 2 CN2= 145 1= 211 ，從而 SBCM=212 211= 211， 故VABCD=1 111= 11.3 2 6對于對棱相等的四面體，可參見圖 2. 其體積的計算可先將其置

21、于一個長方體之中，再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進行. 亦可套公式(a2 b2 c2)(b2 c2 a2)(c2 a2 b2) ，V=2V= 212 (4 4 1)(4 1 4)(1 4 4)2=127= 14 .12212不妨令 a=b=2，c=1，則例 8 四面體的四個頂點到平面 M 的距離之比為 1 113 ，則平面 M 的個數應有 多少個 解 這樣的平面應分 4 種情況討論：(1) 4 個頂點都在平面 M的同側，則有 C4114 個(平面)；(2) 距離比為 3 的頂點與其他 3個頂點不同側，則有 C4114 個(平面) ；(3) 距離比為 3的頂點與其他 3個頂點中的 1個

22、同側，則有 C31C411 12個(平面)(4) 距離比為 3的頂點與其他 3個頂點中的 2個同側，則有 C32C41112個(平面) ； 一共應有 4+4+12+1232個( 平面)例 9 直線 l 上有兩點到平面的距離相等，這條直線和平面的位置如何？解析： (1)若直線 l 上的兩點到平面的距離都等于 0，這時直線 l 在平面內(如圖 ) (2)若直線 l上的兩點在平面的兩側,且到平面的距離相等,這時直線 l與平面相交（如圖）（3）若直線 l 上的兩點在平面的同一側，且到平面的距離相等 （如圖 ）AA1于點A1，BB1于點B1又 A、B均在l 上，且在的同側AA 1 BB1AA1BB1為一

23、平行四邊形ABA1B1 這時直線l 與平面平行想一想：若直線 l 上各點到平面的距離都相等，那么直線 l 和平面的位置關系又怎樣？三 、運動變化的思想方法運動變化的思想方法是數學中重要的思想方法。運用它易于提示概念的本 質，便于認識事物的性質，發(fā)現規(guī)律。立體幾何中，不少的知識和問題蘊含著這 一思想方法。如圓柱、圓錐、圓臺、球面和旋轉面的含義；二面角可看作是一個 半平面以其棱為軸旋轉而成的；圓柱 （或圓錐） 亦可看作是當圓臺上底面半徑和 下底面半徑相等（或縮小到其半徑等于零）時，轉化而成的。教學線面平行的性 質時，在定義的條件下， 讓該直線和平面運動起來， 在運動中保持不變的性質就 是線面平行的

24、性質。研究平面圖形折疊問題時， 需要從運動變化的角度出發(fā)， 弄 清圖形中涉及的元素在折疊前后的數量及位置關系的變化等。 教學實踐表明， 有 意識而及時地對這一思想方法的揭示與滲透， 可使學生對知識的理解更深刻， 運 用更得心應手，思維能力得到發(fā)展，同時使學生受到辯證唯物主義教育。例 10。求正三棱錐相鄰的兩個側面所成的二面角大小的取值范圍。分析：因為這個正三棱錐是動態(tài)的， 無法作出相鄰的兩個側面所成的二面角的平面角，故不能通過正常的途徑算出其范圍， 既然是動態(tài)的圖形， 我們則可以從圖 形的極限思想出發(fā)思考這個問題。 當正三棱錐的高接近于零時， 相鄰的兩個側面 趨向于在底面內，故二面角大小趨向于

25、 ，但不能等于 ；當正三棱錐的高趨向 于 時，正三棱錐趨向于正三棱柱，故二面角大小趨向于 ，但不能等于 。33故相鄰的兩個側面所成的二面角大小的取值范圍為 , 。3例 11 如圖 3，在棱長為 a 的正方體 ABCD A1B1C1D1 中，EF是棱 AB 上的一條線段， 且 EFba，若 Q是 A1D1上的定點， P在 C1D1上滑動，則四面體 PQEF的體積（ ）（ A）是變量且有最大值值（ D）是常量B）是變量且有最小值C）是變量無最大最小分析：此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點這個圖形有很多不確定因素，線段EF 的位置不定，點 P 在滑動，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現其中的穩(wěn)定因素

26、？求四面體的體積要具備哪些條件？仔細觀察圖形，應該以哪個面為底面？觀察 PEF ，我們發(fā)現它的形狀位置是要變化 的，但是底邊 EF是定值，且 P到 EF的距離也是定值，故它的面積是定值再發(fā)現點Q到面PEF 的距離也是定值因此，四面體PQEF的體積是定值我們沒有一點計算，對圖形的分 析幫助我們解決了問題四、數與方程的思想方法函數與方程的思想方法滲透到中學數學的全過程， 具有廣泛應用性。 它們是 根據問題的數量特征及其相互關系設定變量， 建立函數關系或方程， 通過對函數 性態(tài)或方程的研究而求得原問題的解的一種思維方法。函數與方程的思想方法在立體幾何中亦大有“用武之地”。如立體幾何中求某 些量的最值

27、問題大都需要用函數的思想方法去處理， 多面體和旋轉體的表面積與體積的計算中， 也經常要用方程的思想方法去解決有關問題。 教學中適時啟發(fā)和引導學生用函數與方程的思想方法去思考和解決問題，有利于學生將某些研究對象或實際問題轉化為數學問題的意識和習慣的形成，同時學生分析、 解決問題的E能力也必將得到提高 例 12.如圖，正方形 ABCD 、 ABEF 的邊長都是 1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。點 M 在 AC 上移動，點 N 在 BF 上移動，若 CM=BN= a （0 a 2）. （1）求 MN 的長；（2）當a為何值時， MN 的長最小； （3）當MN 長最小時，求面 MNA 與面 MNB 所成的二面角 的大小。DMB解析：（1）作 MPAB 交BC于點 P，NQAB 交BE于 點 Q，連接 PQ，依題意可得 MPNQ，且 MP=NQ ， 即 MNQP 是平行四邊形。MN=PQ, 由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1