測量誤差及數(shù)據(jù)處理

1、2.1.1 測量誤差的定義 測量的目的: 獲得被測量的真值。 真值: 在一定的時間和空間環(huán)境條件下，被測量本身所具有的真實數(shù)值。 測量誤差 : 所有測量結果都帶有誤差 。 2 21 1 測量誤差的基本概念 0 xxx 2.1.2 2.1.2 測量誤差的來源 （1）儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設計、制造、 檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞 等因素而使儀器帶有的誤差。 （2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動、 電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起 的誤差。 （3）理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、 測量方法不合理而造成的誤差。 （4）人身誤差：

2、由于測量人員感官的分辨能力、反應速 度、視覺疲勞、固有習慣、缺乏責任心等原因，而在測 量中使用操作不當、現(xiàn)象判斷出錯或數(shù)據(jù)讀取疏失等而 引起的誤差。 （5）測量對象變化誤差：測量過程中由于測量對象變化 而使得測量值不準確，如引起動態(tài)誤差等。 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法 有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。 1.絕對誤差（絕對真誤差） （1）定義：由測量所得到的被測量值與其真值之差，稱為 絕對誤差 0 xxx xxA x 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） （2）修正值 與絕對誤差的絕對值大小相等，但符號相反的量值，稱為修正值 測量儀器的修正值可以通過上一級標準的檢定

3、給出，修正值可以是數(shù)值表 格、曲線或函數(shù)表達式等形式。 被測量的實際值 絕對誤差及修正值是與給出值具有相同的量綱。 xxxC 0 Cxx 0 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） 2.相對誤差 一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且與這個量本身的大小有關。 例：測量足球場的長度和成都市到綿陽市的距離，若絕對誤差都為1米， 測量的準確程度是否相同？ （1）相對真誤差、實際相對誤差、示值相對誤差 相對誤差：絕對誤差與被測量的真值之比 相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位（沒有量綱）。 %100 0 x x 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)

4、） 實際相對誤差： 用實際值A代替真值x0 示值相對誤差： 用測量值X 代替實際值A 100% A x A 100% x x x 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） 給出值 絕對誤差 相對誤差 0 0 xI xI x RR I RIRI I V R Ixxx RRRR 0 %100 00 x I x x R R R R Vx Vx Vx x RR RR R V R V V I V R 0 0 0 給出值 Vx x xxx RR R RRR 0 2 0 0 絕對誤差 相對誤差 %100 0 0 0 Vx x x x RR R R R 電流表不對測量產生影響，當Rv足夠 大時，相對誤

5、差為0，該電路適合Rx 較小的測量。 電壓表不對測量產生影響，當RI足夠 小時，相對誤差為0，該電路適合Rx 較大的測量。 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） pFC5 .115 . 1%)5(200 C0=200pF %75. 5 200 5 .11 0 C C pFC35 . 1%)5(30 C0=30pF %10 30 3 0 C C pFC6 . 15 . 1%)5(2 C0=2pF %80 2 6 . 1 0 C C 被測量的值較大時，儀器誤差的相對 部 分影響較大，如200pF誤差相對部分 造 成的影響為10pF，當測量值較小時， 儀 器誤差的絕對部分影響總誤差較大，

6、 如 2pF時，相對部分影響只有0.1pF， 而絕 對部分影響有1.5pF 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） %5 . 7 10 )%5 . 0(150 V V %25. 2 10 )%5 . 1(15 V V 150V、0.5級 15V、1.5級 可見選擇15V、1.5級表測量更為合適 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） （2） 分貝誤差相對誤差的對數(shù)表示 分貝誤差是用對數(shù)形式（分貝數(shù)）表示的一種相對誤 差，單位為分貝（dB）。 測量中電壓或電流傳輸函數(shù)為 分貝表示為： 測量中存在誤差時，測得的傳輸函數(shù)偏離 一個 數(shù)值： 為分貝誤差 0 A 2.1.3 2.1.

7、3 測量誤差的表示方法（續(xù)） （2） 分貝誤差相對誤差的對數(shù)表示 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） （3）引用相對誤差（滿度相對誤差） 用測量儀器在一個量程范圍內出現(xiàn)的最大絕對誤差與該量程值（上限值下 限值）之比來表示的相對誤差，稱為滿度相對誤差（或稱引用相對誤差） 0 0 m x | m x | m x A A x AmAm x A mmm xx 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） （3）引用相對誤差（滿度相對誤差） 例 檢定一個1.5級100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)50mA處的誤差最大，為1.4mA， 其他刻度處的誤

8、差均小于1.4mA，問這塊電流表是否合格？ 解，該表最大引用誤差為 合 格 若某儀表的等級為s級，它的滿刻度為xm，被測量的真值為x0，那么測 量的絕對誤差的絕對值 測量的相對誤差的絕對值 可見當儀表的等級s選定后測量中絕對誤差的絕對值的最大值與儀表的 上線xm成正比，因此所選儀表的滿度值不應比實測值x大太多。 當儀表的等級s選定后，測量值x0越接近xm時測量中相對誤差絕對 值的最大值越小，測量越準確。 一般情況下被測量的數(shù)值在儀表滿度的2/3以上，至少不要相差過多 %.%. . I I m n 5141 100 41 max max %sxx m 0 % x sxm 2.1.3 2.1.3

9、測量誤差的表示方法（續(xù)） 電工儀表就是按引用誤差 之值進行分級的。是儀表 在工作條件下不應超過的最大引用相對誤差 我國電工儀表共分七級：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5， 2.5及5.0。如果儀表為S級，則說明該儀表的最大引用 誤差不超過S% 測量點的最大相對誤差 在使用這類儀表測量時，應選擇適當?shù)牧砍蹋故局当M 可能接近于滿度值，指針最好能偏轉在不小于滿度值 2/3以上的區(qū)域。 m % m x x S x 2.1.3 2.1.3 測量誤差的表示方法（續(xù)） 例1-3 某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級量程為0400mA和1.5級量程為0 100mA的兩個電流表，問用哪一個電流表測量較

10、好？ 2 100 %1.5% 1.5% 100 m x x S x 1 400 %0.5%2% 100 m x x s x 2.2 2.2 測量誤差的分類和測量結果的表征 2.2.1 測量誤差的分類 根據(jù)測量誤差的性質，測量誤差可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗 大誤差三類。 1.系統(tǒng)誤差 定義：在同一測量條件下，多次測量重復同一量時，測量誤差的 絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化 的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值 隨溫度變化的誤差。 產生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因 素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式， 測

11、量人員不良的讀數(shù)習慣等。 系統(tǒng)誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度。系差越 小，測量就越準確。 系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復性條件下，對同一被測量進行無 限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。即 0 xA 2.2.1 2.2.1 測量誤差的分類（續(xù)） 2.隨機誤差 定義: 在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術和測量儀器都相同的條件下），多次 重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差， 稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。 隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電 磁場微變

12、、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。 0 xA 2.2.1 2.2.1 測量誤差的分類（續(xù)） 2.隨機誤差 特點： (A)沒有規(guī)律、不可預定、不能控制、不能用實驗的方法加以 消除。但多次測量的總體服從統(tǒng)計規(guī)律，即在統(tǒng)計上表現(xiàn)規(guī)律 性。 (B)有界性，多次測量的隨機誤差的絕對值不會查過一定的界 限。 （C）對稱性，絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的機會相同。 （D）抵償性，隨機誤差的算術平均值隨測量次數(shù)的的增加趨 于零。 隨機誤差可以通過多次測量取平均的值的辦法來消弱對測量結 果的影響。抵償性是隨機誤差的重要特性，具有次特性的誤差 一般可以按隨機誤差處理。 2

13、.2.1 2.2.1 測量誤差的分類（續(xù)） 例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。 單次測量的隨差沒有規(guī)律， 但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律。 可通過數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術平均值 12 1 1 n n i i xxx xx nn u隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測 量進行無限多次測量所得結果的平均值之差量進行無限多次測量所得結果的平均值之差 ii xx()n 2.2.1 2.2.1 測量誤差的分類（續(xù)） 測量值為離散值時的數(shù)學期

14、望和方差 若測量值X可能的取值數(shù)m為有限個或無窮可數(shù)個離散 值，當進行了足夠多次的測量，由貝努力定理可知：事件 發(fā)生的頻率 依概率收斂于它的概率Pi，即當測量次數(shù) n趨于無窮時。可用事件發(fā)生的頻率 代替事件發(fā)生的概 率Pi，即測量值X的數(shù)學期望為： 若每個測量值只得到一次，單獨統(tǒng)計則有： n ni n ni m i i i m i ii n n xPxXM 11 )()n（當 m i i x n XM 1 1 )()n（當 2.2.1 2.2.1 測量誤差的分類（續(xù)） 測量值為離散值時的數(shù)學期望和方差 測量值的數(shù)學期望只反映了測量值的平均情況，有時還需要指 導測 量數(shù)據(jù)的離散度，常用方差表示

15、若每個測量值只得到一次，單獨統(tǒng)計則有： 方差的算術平方根 叫標準偏差，又均方差。 越小， 測量值越集中，可用來描述測量值的離散度。 m i i i m i ii n n XMxPXMxX 1 2 1 2 2 )( )n（當 )()( 2 XDX 或 m i i XMx n X 1 2 2 1 )( )n（當 )(X )(X 2.2.1 2.2.1 測量誤差的分類（續(xù)） 測量值為連續(xù)值時的數(shù)學期望和方差 測量值的取值在它所在的區(qū)間內是連續(xù)的，這是由于可能的取 值是 無窮多個，對應于某個取值的概率趨于零。要用到概率密度的概 念。 設測量值X落在區(qū)間（ ）內的概率為（ ）， 當 （）趨于零時，若（

16、）與（）之比的極限存在， 則概 率密度為 數(shù)學期望： 方差： xxx,)(xxXxP x)(xxXxPx x xxXxP x x )( )( lim 0 0 )()(dxxxXM 0 2 2 )()()(dxxXMxX 2.2.1 2.2.1 測量誤差的分類（續(xù)） 3.粗大誤差： 粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產生粗差 的原因有： 測量操作疏忽和失誤 如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等。 測量方法不當或錯誤 如用普通萬用表電壓檔直接測高內阻電源的開路電壓 測量環(huán)境條件的突然變化 如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值 的劇烈變化等。 含有

17、粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應剔除掉。 2.2.1 2.2.1 測量誤差的分類（續(xù)） 4.系統(tǒng)誤差和隨機誤差的表達式 在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差 各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。 由于隨機誤差的抵償性，其平均值為零。 在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。 系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉化 iiii xAxxxAx 2.2.2 2.2.2 測量結果的表征 準確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準確度 越高，即測量值與實際值符合的程度越高。 精密度表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤 差越小。隨機因素使測量值

18、呈現(xiàn)分散而不確定，但總是 分布在平均值附近。 精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。精確 度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和 隨機誤差都小。射擊誤差射擊誤差 示意圖示意圖 2.2.2 2.2.2 測量結果的表征（續(xù)） 測量值 真值+系統(tǒng)誤差+隨機誤差 |xA 是粗大誤差 4 x 2.2.2 2.2.2 測量結果的表征（續(xù)） 兩種儀器誤差 固有誤差：在基準工作條件下測得的儀器誤差 工作誤差：說明書所提供的額定工作條件下任一點上的誤差 2.3 2.3 測量誤差的估計和處理 2.3.1 隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法 在測量中，隨機誤差是不可避免的。 隨機誤差是由大量微小的沒有確定

19、規(guī)律的因素 引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、 電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大 地輕微振動等。 多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī) 律。 可用數(shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減 少隨機誤差對測量結果的影響。 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （1）隨機變量的數(shù)字特征 數(shù)學期望:反映其平均特性。其定義如下： X為離散型隨機變量： X為連續(xù)型隨機變量： 1i i p i xE(X) dxxxpXE)()( 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） 方差和標準偏差 方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度。 設隨機變量X的數(shù)學期

20、望為E(X)，則X的方差定義為： D(X)= E(XE(X)2 標準偏差定義為： 標準偏差同樣描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度， 并且與隨機變量具有相同量綱。 )(XD 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） 測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。 中心極限定理：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其 中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。 為什么測量數(shù)據(jù)和隨機為什么測量數(shù)據(jù)和隨機 誤差大多接近正態(tài)分布？誤差大多接近正態(tài)分布？ 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） 2.中

21、心極限定理正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性 隨機誤差的概率密度函數(shù)為： 測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為： )(2 2 2 )(2 1 )( e )(2 )( 2 2 )(2 1 )( X XMX e X X 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)）正態(tài)分布 時概率密度曲線 隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標準偏隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標準偏 差相同，只是橫坐標相差差相同，只是橫坐標相差 ( (a a) )隨隨 機機 誤誤 差差( (b b) ) 測測 量量 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 0 )( p x x p p( (x x) ) 0 0 圖圖 3 3 1 1 隨

22、隨 機機 誤誤 差差 和和 測測 量量 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 的的 正正 態(tài)態(tài) 分分 布布 曲曲 線線 隨機誤差具有：對稱性隨機誤差具有：對稱性 單峰性單峰性 有界性有界性 抵償性抵償性 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)）標準偏差意 義 標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。 標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標準偏差越大，則曲線形 狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。 0 )(p 1 2 3 321 2.32.3.1.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （3 3）測量誤差 的非正態(tài)分布 常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。 均勻分布：儀

23、器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差 等；“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范 圍內，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。 a b P(x) 概率密度概率密度: : 均值均值: : 當當 時時, , 標準偏差標準偏差: : 當當 時，時， 0 1 )( ab xp bxax bxa , 2 ba ba 32 ab 3 b ba 0 2.32.3.1.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） 3. 有限次測量的數(shù)學期望和標準偏差的估計值 （1 1）有限次測量值的算術平均值及其分布）有限次測量值的算術平均值及其分布 對于某被測量進行一系列獨立的等精密度的測量，雖然任意一次對于某被測量進

24、行一系列獨立的等精密度的測量，雖然任意一次 測量值對它的數(shù)學期望都有一定的偏離，且無方向和大小規(guī)律，測量值對它的數(shù)學期望都有一定的偏離，且無方向和大小規(guī)律， 但從統(tǒng)計的規(guī)律看其分布形狀完全確定，即在測量系統(tǒng)、測量條但從統(tǒng)計的規(guī)律看其分布形狀完全確定，即在測量系統(tǒng)、測量條 件和被測量不變則這一系列測量具有相同的數(shù)學期望和標準偏差。件和被測量不變則這一系列測量具有相同的數(shù)學期望和標準偏差。 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） 有限次測量值的算術平均值的數(shù)學期望就等于被測 量值X的數(shù)學期望。 )()( 1 )( 1 ) 1 ()( 11 XMXnM n xM n x n Mx

25、M n i i n i i n 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （2 2）有限 次測量的數(shù)據(jù)來估計測量值的數(shù)學期望 算術平均值算術平均值： 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （3）有限次 測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值 殘差：殘差： 實驗標準偏差實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：標準偏差的估計值），貝塞爾公式： 算術平均值標準偏差的估計值算術平均值標準偏差的估計值 ： xx ii n i i n i i xx nn xxs 1 2 1 2 )( 1 1 1 1 )()( n x n xs xxs )()( )()( n i i x

26、n x 1 1 【例例3.13.1】 用溫度計重復測量某個不變的溫度，得用溫度計重復測量某個不變的溫度，得1111個測個測 量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。 解：平均值解：平均值 用公式用公式 計算各測量值殘差列于上表中計算各測量值殘差列于上表中 實驗偏差實驗偏差 標準偏差標準偏差 )( 1 .530)531530532530529533531527529531528( 11 11 1 Cx n x o n i i xxi i )(767.1 1 1 )( 1 2 C n xs o n i i )(53.0 11 767.

27、1)( )(C n xs xs o x 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)3. 測量結果的置信問題 通常用測量結果的平均值作為測量結果的最佳估計值，且測 量數(shù)據(jù)會按一定形狀分布在平均值兩側。 當測量的次數(shù)足夠多時，平均值可視為數(shù)學期望M(X)，實驗 標準差可視為標準偏差 )( X 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)3. 測量結果的置信問題 （1）置信概率與置信區(qū)間： 置信區(qū)間 內包含真值的概率稱為置信概 率。 置信限： k置信系數(shù)（或置信因子） k kxEx )( 置信概率是圖中置信概率是圖中 陰影部分面積陰影部分面積 2.3.12.3.1隨機誤差的

28、統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （2 2）正 態(tài)分布的置信概率 某測量值服從正態(tài)分布它的概率密度為： 則測量值處于M(x)對稱區(qū)間 內 的置信概率為（P40） 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （2 2）正 態(tài)分布的置信概率 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （2 2）正 態(tài)分布的置信概率 區(qū)間越寬，區(qū)間越寬， 置信概率越大置信概率越大 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （3 3） 服 從正態(tài)分布有限次測量值的擴展不確定度由正態(tài)分布 到t t分布 t分布與測量次數(shù)有關。當n20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布

29、的極 限分布。 當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正 態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。 給定置信概率和測量次數(shù)n，自由度：v=n-1 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （3 3） 服 從正態(tài)分布有限次測量值的擴展不確定度由正態(tài)分布 到t t分布 在正態(tài)分布情況下的，常用寬度為總體標準偏差若 干倍的區(qū)間 作為置 信區(qū)間，但是有限次測量的情況下，通常不知道總 體標準偏差 可根據(jù)貝塞爾公式求出實驗標準差的估計值 或樣本平均值的實驗標準偏差估計值 )( X k i i k i ikk xx nn xxs 1 2 1 2 )( 1 1 1 1 )(

30、)( n x n xs xxs kk )()( )()( 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （3 3） 服 從正態(tài)分布有限次測量值的擴展不確定度由正態(tài)分布 到t t分布 設隨機變量 當測量值X服從正態(tài)分布時，其平均值也服從正態(tài)分布， 但是 不服從正態(tài)分布。T服從t分布，其概率密度為 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （3 3） 服 從正態(tài)分布有限次測量值的擴展不確定度由正態(tài)分布 到t t分布 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （3 3） 服 從正態(tài)分布有限次測量值的擴展不確定度由正態(tài)分布 到t t分布 2.3.12.

31、3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （3 3） 服 從正態(tài)分布有限次測量值的擴展不確定度由正態(tài)分布 到t t分布 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） （4 4）非 正態(tài)分布的置信因子 由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設其置信限為誤差極 限 ，即誤差的置信區(qū)間為 置信概率為 100。 k （P=1) 反正弦均勻三角分布 23 6 k k a 3 a 3 a kka 3 k - -a aa a P P( (x x) ) x x 0 0 2.3.12.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法( (續(xù)） 2.3.2

32、 2.3.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） 1. 1. 系統(tǒng)誤差的特征： c a 0 t 圖3 7 多 種 系 統(tǒng) 誤 差 的 特 征 其 中 ： a -不 變 系 差 b -線 性 變 化 系 差 c -周 期 性 系 差 d -復 雜 規(guī) 律 變 化 系 差 d b 在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符 號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。 多次測量求平均不能減少系差多次測量求平均不能減少系差。 2.3.2 2.3.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） 1.

33、1. 系統(tǒng)誤差的特征： 2.3.2 2.3.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） 2. 系統(tǒng)誤 差的發(fā)現(xiàn)方法 （1）不變的系統(tǒng)誤差： 校準、修正和實驗比對。 （2）變化的系統(tǒng)誤差 殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。 i i 0 i i 0 存在線性變化的系統(tǒng)誤差存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差 2.3.2 2.3.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） 馬利科夫判據(jù)： 若有累進性系統(tǒng)誤差，D 值應明顯異于零。 當n為偶數(shù)時， 當n為奇數(shù)時， 阿貝赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。 )(1 2

34、1 1 1k n k kk xsn 2/ 112/ n k n nk kk D 2/)1( 12/)3( n k n nk kk D xxv kk 殘差： 2.3.2 2.3.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） 3. 系統(tǒng)誤 差的削弱或消除方法 （1）從產生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差 要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。 測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。 注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。 盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應提高測量人員業(yè)務技術 水平和工作責任心，改進設備。 （2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差 修正值誤差=（測量值真值） 實際

35、值測量值修正值 2.3.2 2.3.2 系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)） （3 3）采用 一些專門的測量方法 零示法：測量中使被測量對指示儀表的作用與某已知的 標準量對它的作用相互平衡。 替代法：在測量條件不變的情況下，用一個標準已知量 去代替被測量，并調整標準量使儀器的示值不變，這樣被 測量就等于標準量的數(shù)值。 交換法 ： 微差法： 系統(tǒng)誤差可忽略不計的準則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量 結果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。 2.3.3 2.3.3 粗大誤差及其判斷準則 大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應將 對應的測量值剔除。 1.

36、粗大誤差產生原因以及防止與消除的方法 粗大誤差的產生原因 測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄； 客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或 測量儀器偶然失效等。 防止和消除粗大誤差的方法 重要的是采取各種措施，防止產生粗大誤差。 2.3.3 2.3.3 粗大誤差及其判斷準則（續(xù)） 2. 粗大誤差的判別準則 統(tǒng)計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應統(tǒng)計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應 的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差， 并予以剔除。并予以剔除。 萊特檢驗法萊特檢驗法 格拉布斯檢驗法格拉布

37、斯檢驗法 s i 3 sG max 式中，式中，G G值按重復測量次數(shù)值按重復測量次數(shù)n n及置信概率及置信概率PcPc確定確定 34567891011 95%1.151.461.671.821.942.032.112.182.23 99%1.161.491.751.942.12.222.322.412.48 121314151617181920 95%2.292.332.372.412.442.472.52.532.56 99%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88 c p n c p n 2.3.3 2.3.3 粗大誤差及其判斷準則（續(xù)） 應注意的問題 所有

38、的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時檢驗不一定 可靠。 若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數(shù)據(jù) 超出范圍時，應逐個剔除。 在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。 2.32.3.3 .3 粗大誤差及其判斷準則（續(xù)） 解： 計算得 s=0.033s=0.033 計算殘差填入表3 37 7， 最大， 是可疑數(shù)據(jù)。 用萊特檢驗法 3 3 s=3 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判斷 是粗大誤差，應予剔除。 再 對 剔 除 后 的 數(shù) 據(jù) 計 算 得 ： s = 0 .

39、 0 1 6 s = 0 . 0 1 6 3 3s= 0.048s= 0.048 各測量值的殘差V V填入表3 37 7，殘差均小于3 s3 s 故1414個數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。 404.20 x 104. 0 8 8 x 8 x 411.20 x 【例例3.33.3】 對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得 結果列于表結果列于表3 37 7，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟 對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格； 求出算術平均值 列出殘差 ，并驗證 按貝塞爾公式計算標準偏差的估計

40、值 按萊特準則 ，或格拉布斯準則 檢查和剔除粗大誤差； 判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應查明原因，修正 或消除系統(tǒng)誤差后重新測量； 計算算術平均值的標準偏差 ； 寫出最后結果的表達式，即 （單位）。 n i i x n x 1 1 xxi i 0 1 n i i n i i n s 1 2 1 1 n s s x x skxA 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 【例34】 對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在 內的測量結果表達式。 1205.300.090.099205.710.410.410.50.5 2204.9-0.36-

41、0.36 -0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.51 3205.60.330.330.420.4211204.86-0.44-0.44 -0.35-0.35 4205.2-0.06-0.06 0.030.0312205.350.050.050.140.14 5206.71.351.3513205.21-0.09-0.09 0 6205-0.33-0.33 -0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.02-0.02 7205.40.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 0 8205.2-0.14-0.14 -0.05-0

42、.0516205.320.020.020.110.11 殘殘 差差v 殘殘 差差v測量值測量值序號序號殘殘 差差v 殘殘 差差v 序號序號測量測量 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） -0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0 0 .2 0 .4 0 .6 圖 3 9 殘 差 圖 5 1 01 5 n i 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 等精度測量與不等精度測量 等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相

43、同測 量設備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、 干擾等），并在短時間內進行的重復測量。 不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量 結果的精密度將不相同。 不等精度測量處理方法： 權值與標準偏差的平方成反比 。權值 測量結果為加權平均值 i i W 2 m i i m i ii m i i m i i i W xW x x 1 1 1 2 1 2 1 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 加權平均值的方差 在等權測量中，隨著測量次數(shù)的增加，平均值的方差比總體方差或者說

44、比 單次測量值的方差減小n倍。 2.3.4 2.3.4 測量結果的處理步驟（續(xù)） 加權平均值的方差 2.3.5 2.3.5 誤差的合成分析 問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、 端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電 壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？ 2.3.5 2.3.5 誤差的合成分析（續(xù)） 2.3.5 2.3.5 誤差的合成分析（續(xù)） 在實際應用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各 分項取絕對值后再相加 該公式常用于在設計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應措施。 但是，更嚴格和更

45、準確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定，有關內容在本 書第3章中討論 1 n i i i f yx x 2.3.5 2.3.5 誤差的合成分析（續(xù)） m m x x f x x f x x f y 2 2 1 1 誤差的合成值：誤差的合成值： )()()( 22 2 11 1 mm m x f x f x f y 系統(tǒng)誤差的合成值：系統(tǒng)誤差的合成值： m j j j y x f 1 隨機誤差的合成值：隨機誤差的合成值： m j j j y x f 1 獨立測量：獨立測量： m j j j x x f y 1 222 )()()( 2.4 2.4 測量不確定度 2.4.1

46、 不確定度的概念 不確定度是說明測量結果可能的分散程度的參數(shù)。可用標準偏差表示，也可用標準偏差的倍數(shù)或置信 區(qū)間的半寬度表示。 1.術語 （1）標準不確定度： 用概率分布的標準偏差表示的不確定度 A類標準不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。 B類標準不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度 2.4.1 2.4.1 不確定度的概念（續(xù)） （2）合成標準不確定度 *由各不確定度分量合成的標準不確定度。 *因為測量結果是受若干因素聯(lián)合影響。 （3）擴展不確定度 *合成標準不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標準不確定度得到一個區(qū)間半寬 度。 *包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平

47、。 *通常測量結果的不確定度都用擴展不確定度表示 2.4.1 2.4.1 不確定度的概念（續(xù)） 2.不確定度的分類 測量不 確定度 不確定度 擴展不確定度 B 類類標標準準不不確確定 定度度 B u 標準不確定 度 A 類類標標準準不不確確定 定度度 A u 合合成成標標準準不不確確定定度度 C u U99 U95 U()3k U()2k 相對不確定度 2.4.1 2.4.1 不確定度的概念（續(xù)） 3. 不確定度的來源 被測量定義的不完善，實現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能 代表所定義的被測量。 測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。 測量環(huán)境的不完善對測量過程的影

48、響以及測量人員技術水平等影響。 計量標準和標準物質的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常 數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。 在相同條件下，由隨機因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性。 2.4.2 2.4.2 誤差與不確定度的區(qū)別 測量誤差測量誤差測量不確定度測量不確定度 客觀存在的，但不能準確得到，客觀存在的，但不能準確得到， 是一個定性的概念是一個定性的概念 表示測量結果的分散程度，可根據(jù)表示測量結果的分散程度，可根據(jù) 試驗、資料等信息定量評定。試驗、資料等信息定量評定。 誤差是不以人的認識程度而改變誤差是不以人的認識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過與

49、人們對被測量和影響量及測量過 程的認識有關。程的認識有關。 隨機誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同隨機誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同 性質的誤差性質的誤差 A A類或類或B B類不確定度是兩種不同的評類不確定度是兩種不同的評 定方法，與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之定方法，與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之 間不存在簡單的對應關系。間不存在簡單的對應關系。 須進行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。須進行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度 在最后測量結果中應修正確定的在最后測量結果中應修正確定的 系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差。 在測量不確定度中不包括已確定的在測量不確定度中不包括已確定的 修正值，但應考慮修正不完善

50、引入修正值，但應考慮修正不完善引入 的不確定度分量。的不確定度分量。 “誤差傳播定律誤差傳播定律”可用于間接測量可用于間接測量 時對誤差進行定性分析。時對誤差進行定性分析。 不確定度傳播律更科學，用于定量不確定度傳播律更科學，用于定量 評定測量結果的合成不確定度評定測量結果的合成不確定度 1. 標準不確定度的A類評定方法 在同一條件下對被測量X進行n 次測量，測量值為xi(i=1,2,n)， (A)計算樣本算術平均值，作為被測量X的估計值，并把它作為測量結果。 (B)計算實驗偏差 式中自由度v=n1. ( C) A類不確定度 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） n i i x n

51、 x 1 1 1 )( )( 1 2 n xx XS n i i n XS xSuA )( )( 自由度意義：自由度意義： 自由度數(shù)值越大，自由度數(shù)值越大， 說明測量不確定說明測量不確定 度越可信。度越可信。 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 2. 標準不確定度的B類評定方法 B類方法評定的主要信息來源是以前測量的數(shù)據(jù)、生產廠的技術證明書、儀器的鑒定證書或校準證書等。 確定測量值的誤差區(qū)間（,-），并假設被測量的值的概率分布，由要求的置信水平估計包含因子k，則 B類標準不確定度uB為 其中 a 區(qū)間的半寬度； k置信因子，通常在23之間。 k u B 分布三角梯形均勻反正弦 k

52、 (p=1) 概率P%5068.27909595.459999.73 置信因 子 0.67611.6451.96022.5763 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 表39正態(tài)分布時概率與置信因子的關系 6 2 1/632 表表3 31010幾種非正態(tài)分布的置信因子幾種非正態(tài)分布的置信因子k k 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 3. 合成標準不確定度的計算方法 （1） 協(xié)方差和相關系數(shù)的概念 兩個隨機變量X和Y，其中一個量的變化導致另一個量的變化，那么這兩個量是相關的。 獨立肯定不相關，但不相關不一定獨立。 協(xié)方

53、差的概念 協(xié)方差 協(xié)方差的估計值 )(),( yx yxEYXCov n i iixy yyxx n S 1 )( 1 1 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 相關系數(shù)Q 概念 :表示兩隨機變量相關程度 1Q1。 相關系數(shù)的估計值 r(x，y) )()( ),( ),( YX YXCov YXQ )()()1( )( )()( )( )()( ),( 1 11 22 1 ySxSn yyxx yyxx yyxx ySxS S yxr n i ii n i n i ii n i ii xy （2）輸入量不相關時不確定度的合成 可寫出函數(shù)關系式 Y（X1，X2，XN） ； 式中 稱為

54、靈敏系數(shù) 不能寫出函數(shù)關系式 (3)輸入量相關時,使用不確定度傳播律 2.4 .3 2.4 .3 不確定度的評定方法（續(xù)） 2/1 1 2 2 )()( N i i i c xu x f yu N i iC uu 1 2 1/2 2 1 2 111 ( )()2(,) () () NNN Ciijij iij i iij fff uyuxr x x u x u x xxx i f x （4）不確定度傳播律公式的幾種簡化方法 所有的輸入量都相關，且相關系數(shù)(,)1時，則UC(y)為 當被測量的函數(shù)形式為YA1X1A2X2ANXN，且X1, X2 , XN不相 關時，合成標準不確定度UC(y)為

55、2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 1 ()() N Ci i i f uyux x 1 / 2 22 1 ()() N Cii i uyA uy 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 當被測量的函數(shù)形式為 且X1, X2 , XN不相關時，相對合成標準不確定度UC(y)/Y為 例: 電功率 P=IV 則 N i iii C xxuP Y yu 1 2 /)( )( 12 12 N ppp N YXXX 22 ()() VPI uuu PIV 22222222 ()() PIVIV PP uuuV uI u IV 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 2.

56、4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） （5）不確定度分量的忽略 一切不確定度分量均貢獻于合成不確定度，即只會使合成不確定度增加。忽略任何一個分量，都會導 致合成不確定度變小。 但由于采用的是方差相加得到合成方差，當某些分量小到一定程度后，對合成不確定度實際上起不到 什么作用，為簡化分析與計算，則可以忽略不計。 例如，忽略某些分量后，對合成不確定度的影響不足十分之一，就可根據(jù)情況忽略這些分量。 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 4.擴展不確定度的確定方法 擴展不確定度U由合成標準不確定度C 與包含因子的乘積得到 UkuC 測量結果表示為YU ，即 Y=y kuc y是被測

57、量Y的最佳估計值 ,k 由置信概率（常取0.95或0.99）和概率 分布 （正態(tài)、均勻、t分布等）確定。 算術平均值算術平均值 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 包含因子k是的選取方法有 : (A)無法得到合成標準不確定度的自由度，且測 量值接近正態(tài)分布時，則一般取的典型值為2 或3。 (B)根據(jù)測量值的分布規(guī)律和所要求的置信水平， 選取值。例如，假設為均勻分布時，置信水 平P095，查表得 k165。 Pk 57.741 951.65 991.71 1001.73 表表3 311 11 均勻分均勻分 布時置信概率與置布時置信概率與置 信因子信因子k k的關系的關系 2.4.3

58、 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） (C)根據(jù)要求的置信概率Pc和計算得到的自由度veff，查t 分布的t值，得k 。自由度的計算步驟如下： a)求A類不確定度分量的自由度 b)求B類不確定度分量的自由度 c)求合成不確定度的自由度 1 n i N i i ii C eff v xuC yu v 1 44 4 )( )( 2 )( )( 2 1 i i xu xu 2.4.3 2.4.3 不確定度的評定方法（續(xù)） 2.4.42.4.4測量不確定度的評定步驟 對測量設備進行校準或檢定后，要出具校準或檢定證書；對某個被測量進行測量后也要報告測量結果，并 說明測量不確定度。 明確被測量的定義和數(shù)

59、學模型及測量條件，明確測量原理、方法，以及測量標準、測量設備等； 分析不確定度來源； 分別采用A類和B類評定方法，評定各不確定度分量。A類評定時要剔除異常數(shù)據(jù)； 計算合成標準不確定度； 計算擴展不確定度； 報告測量結果。 2.4.42.4.4測量不確定度的評定步驟（續(xù)） 【 例 3 9 】 用 電 壓 表 直 接 測 量 一 個 標 稱 值 為 200的電阻兩端的電壓，以便確定該電阻承受的 功率。測量所用的電壓的技術指標由使用說明書 得知，其最大允許誤差為1，經計量鑒定合格， 證書指出它的自由度為10。(當證書上沒有有關自 由度的信息時，就認為自由度是無窮大。)標稱值 為200的電阻經校準，校

60、準證書給出其校準值為 199.99，校準值的擴展不確定度為0.02（包 含因子k為2）。用電壓表對該電阻在同一條件下 重復測量5次，測量值分別為：2.2V、2.3V、 2.4V、2.2V、2.5V。測量時溫度變化對測量結果 的影響可忽略不計。求功率的測量結果及其擴展 不確定度。 R V P 2 電壓的電壓的B類不類不 確定度確定度 電阻的電阻的B類不類不 確定度確定度 電壓的電壓的A類不類不 確定度確定度 解：（1）數(shù)學模型 （2）計算測量結果的最佳估計值 2.4.42.4.4測量不確定度的評定步驟（例3.93.9續(xù)） R V P 2 VVnVV n i i 32. 2 5 5 . 22 .