2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1 簡單幾何體課件 北師大版必修2

1、第一章 立體幾何初步 1 1簡單幾何體 1.球 (1)球面:以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)所形成的 曲面. (2)球:球面所圍成的幾何體叫作球體,簡稱球. (3)球的有關(guān)概念: 球心:半圓的圓心. 球的半徑:連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段. 球的直徑:連接球面上兩點(diǎn)并且過球心的線段. 2.旋轉(zhuǎn)體 (1)旋轉(zhuǎn)面:一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn) 所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面. (2)旋轉(zhuǎn)體:封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體. (3)圓柱、圓錐、圓臺 定義:分別以矩形的一邊、直角三角形的一條直角邊、直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面 所圍成的

2、幾何體分別叫作圓柱、圓錐、圓臺. 底面、側(cè)面及側(cè)面的母線: 底面:垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面. 側(cè)面:不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面. 側(cè)面的母線:無論轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊. 圓臺也可以看作是用平行于圓錐底面的平面截這個圓錐而得到 的. 知識拓展四種常見簡單旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)比較 3.多面體 我們把若干個平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體.其中棱柱、棱 錐、棱臺是簡單多面體. (1)棱柱 定義:兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四 邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫作棱柱. 有關(guān)概念 分類 正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱. 表示:通常用底面各頂點(diǎn)的

3、字母表示棱柱.如上圖中的棱柱可記 作:五棱柱ABCDE-ABCDE. (2)棱錐 定義:有一個面是多邊形,其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形, 這些面圍成的幾何體叫作棱錐. 有關(guān)概念 表示:用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示棱錐.如上圖中的棱錐可 記作:四棱錐S-ABCD. 分類 按底面多邊形的邊數(shù)分為:三棱錐、四棱錐、五棱錐,其中三 棱錐也叫作四面體. (3)棱臺 定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間 的部分叫作棱臺.原棱錐的底面和截面叫作棱臺的下底面和上底面, 其他各面叫作棱臺的側(cè)面,相鄰側(cè)面的公共邊叫作棱臺的側(cè)棱.如 圖所示. 表示:用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱臺.如上圖中的

4、棱臺可記 作:四棱臺ABCD-ABCD. 分類:按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺、四棱臺、五棱臺 特殊的棱臺:用正棱錐截得的棱臺叫作正棱臺.正棱臺的側(cè)面是 全等的等腰梯形. 歸納總結(jié)個棱柱、棱錐、棱臺的性質(zhì)比較 思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打 “”. (1)過球面上的兩點(diǎn)可作無數(shù)個大圓. () (2)連接圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線. () (3)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺. () (4)每個面都是三角形的幾何體就是棱錐. () (5)有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體就是棱 柱. () 探究一探究二探究三 分析:解答本題可

5、先根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征詳細(xì) 分析,再結(jié)合已知的各個命題的條件進(jìn)行具體分析. 探究一對旋轉(zhuǎn)體有關(guān)概念及其結(jié)構(gòu)特征的理解探究一對旋轉(zhuǎn)體有關(guān)概念及其結(jié)構(gòu)特征的理解 【例1】 判斷下列說法是否正確,并說明理由: (1)圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的; (2)用一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺; (3)球是以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的 旋轉(zhuǎn)體; (4)圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線. 探究四 探究一探究二探究三 解:(1)正確.由圓柱母線的定義知,圓柱的任意兩條母線所在的直 線是平行的. (2)錯誤.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,才能得

6、到一個圓錐 和一個圓臺,用不平行于圓錐底面的平面截圓錐,則不能得到一個 圓錐和一個圓臺. (3)正確.由球的定義易知該說法正確. (4)正確.由圓錐母線的定義知,圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn) 的連線都是母線. 反思感悟1.判斷旋轉(zhuǎn)體類型的關(guān)鍵是軸的確定,看旋轉(zhuǎn)體是由平 面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得,同一個平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn),所 得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的. 2.球、圓柱、圓錐、圓臺都是旋轉(zhuǎn)體,但旋轉(zhuǎn)體不僅僅是這幾種 幾何體,也可以是這幾種幾何體的組合體. 探究四 探究一探究二探究三 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1如圖(1)(2)所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體 圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的? 探究四

7、探究一探究二探究三 解:旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示.其中圖是由一個圓柱O1O2和兩個 圓臺O2O3,O3O4組成的;圖是由一個圓錐O5O4,一個圓柱O3O4及一 個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的. 探究四 探究一探究二探究三 探究探究二簡單旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)量的計(jì)算簡單旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)量的計(jì)算 【例2】一個圓臺的母線長為12 cm,兩底面面積分別為4 cm2和 25 cm2.求: (1)圓臺的高; (2)截得此圓臺的圓錐的母線長. 探究四 探究一探究二探究三 解:(1)設(shè)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD,如圖所示,由已知可得 上底面的半徑O1A=2 cm,下底面的半徑OB=5 cm,腰長AB=12 cm,

8、 (2)設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l cm,由SAO1SBO, 故截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm. 反思感悟1.對于旋轉(zhuǎn)體來說,軸截面既能揭示幾何體各元素的數(shù) 量關(guān)系,又能“化立體為平面”. 2.圓臺一般都要先轉(zhuǎn)化為圓錐,再進(jìn)行計(jì)算或求值. 探究四 探究一探究二探究三 解析:(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為l, 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2(1)若圓柱的軸截面是面積為9的正方形,則其底面圓的 周長等于; (2)若一個圓錐的底面面積是9,母線長為5,則其軸截面的面積等 于; (3)用一個平面截半徑為5 cm的球,球心到截面的距離為4 cm,求 截面圓的面積. 探究四 探究一探究二探究三 (2)

9、設(shè)圓錐的底面半徑為R,高為h,母線長為l(如圖). 則R2=9,解得R=3. 因?yàn)閘=5, 答案:(1)3(2)12 探究四 探究一探究二探究三 (3)解:如圖所示,設(shè)AK為截面圓的半徑,O為球心,則OKAK. 在RtOAK中,OA=5 cm,OK=4 cm, 故截面圓的面積S=AK2=9 cm2. 探究四 探究一探究二探究三 探究三棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征探究三棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征 【例3】 (1)下列關(guān)于棱柱的性質(zhì)正確的是() A.只有兩個面相互平行 B.所有棱都相等 C.所有面都是四邊形 D.各側(cè)面都是平行四邊形 (2)判斷下列說法是否正確. 棱錐的側(cè)面不可能是正三角形; 三棱錐

10、中任何一個頂點(diǎn)都可作為棱錐的頂點(diǎn),任何一個面都可 作為棱錐的底面; 棱錐被一個平面所截,一定得到一個棱錐和一個棱臺; 棱臺的所有側(cè)棱延長后可以不交于同一點(diǎn). 探究四 探究一探究二探究三 (1)解析:棱柱的兩個底面一定是平行的,但在棱柱中并不一定只 有兩個面相互平行,故A錯;棱柱所有的側(cè)棱長都相等,但它們不一 定等于底面多邊形的邊長,故B錯;棱柱的側(cè)面都是四邊形,但底面 可以不是四邊形,故C錯;棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形,故D正確, 選D. 答案:D (2)解:錯誤.棱錐的側(cè)面一定是三角形,可以是等腰三角形,也可 以是正三角形,例如棱長均相等的正三棱錐的各個面都是正三角形. 正確.在三棱錐中,

11、共有4個面,每一個面均可作為底面,每一個 頂點(diǎn)均可作為棱錐的頂點(diǎn). 錯誤.只有當(dāng)棱錐被與其底面平行的平面所截時,才能截得一 個棱錐和一個棱臺. 錯誤.任何一個棱臺,將其所有側(cè)棱延長后一定相交于同一點(diǎn). 探究四 探究一探究二探究三 反思感悟1.判斷一個幾何體是不是棱柱要緊扣棱柱的定義,同時 要抓住以下三個關(guān)鍵點(diǎn). (1)底面:兩個多邊形全等,且所在平面互相平行. (2)側(cè)面:都是平行四邊形. (3)側(cè)棱:互相平行,且相等. 以上三點(diǎn)缺一不可. 對于棱柱來說,其底面不一定是幾何體的上、下兩個面,也可以 是左、右兩個面或前、后兩個面. 探究四 探究一探究二探究三 2.判斷一個幾何體是棱錐、棱臺的方法

12、主要有以下兩種. (1)舉反例法: 結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特 征的某些說法不正確. (2)直接法: 探究四 探究一探究二探究三 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3下列敘述正確的個數(shù)為. 用一個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分是棱臺; 兩個底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺; 有兩個面互相平行,其余四個面都是等腰梯形的幾何體是棱臺. 解析:中的平面不一定平行于底面,故錯誤.可用反例去 檢驗(yàn),如圖所示,故錯誤. 答案:0 探究四 探究一探究二探究三探究四 探究四正棱錐、正棱臺中的計(jì)算問題探究四正棱錐、正棱臺中的計(jì)算問題 【例4】若正四棱臺兩底面的面積分別為4和16,

13、其高為 ,則正 四棱臺的側(cè)棱長為. 解析:作出正四棱臺ABCD-A1B1C1D1,如圖所示, 連接O1A1,OA,則四邊形O1A1AO為直角梯形. 由正四棱臺兩底面的面積分別為4和16, 知A1B1=2,AB=4, 探究一探究二探究三探究四 反思感悟正棱錐、正棱臺中的“直角圖形” 1.正棱錐中的計(jì)算問題主要利用正棱錐中的3個直角三角形,即 側(cè)棱、高和側(cè)棱在底面上的射影組成的直角三角形;斜高、高 和斜高在底面上的射影組成的直角三角形;側(cè)棱、斜高和底面多 邊形邊長的一半組成的直角三角形. 2.正棱臺中的計(jì)算問題主要利用正棱臺中的3個直角梯形,即 斜高、兩底面的邊心距以及兩底面中心的連線組成的直角梯

14、形; 側(cè)棱、兩底面中心的連線和兩底面相應(yīng)的外接圓半徑組成的直角 梯形;斜高、側(cè)棱和兩底面邊長的一半組成的直角梯形.另外,由 于棱臺是由棱錐所截得的,因此棱臺問題可以轉(zhuǎn)化為棱錐問題,即 利用“還臺為錐”的思想來解決. 探究一探究二探究三探究四 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4在正三棱錐V-ABC中,若其底面邊長為8,側(cè)棱長為2 , 則它的高等于. 解析:如圖所示,設(shè)O是底面中心,則D為BC的中點(diǎn),VAO是直角 三角形. 12345 1.下列說法正確的是() A.圓錐的母線長等于底面圓的直徑 B.圓柱的母線與軸垂直 C.圓臺的母線與軸平行 D.球的直徑必過球心 答案:D 12345 2.如圖所示的平面中的陰影部分繞虛線旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體的 形狀為() A.一個球體 B.一個球體中間挖去一個圓柱 C.一個圓柱 D.一個球體中間挖去一個長方體 答案:B 12345 3.一條直線被一個半徑為13的球截得的線段長為24,則球心到直線 的距離為() A.13B.12C.5D.24 答案:C 12345 4.如圖所示,觀察下面四個幾何體,其中判斷正確的是 () A.是棱臺B.是圓臺 C.是棱錐D.不是棱柱 解析:圖不是由棱錐截來的,所以