2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與常用邏輯用語 1.2 集合間的基本關(guān)系課件 新人教A版必修1

1、1.2集合間的基本關(guān)系 一二三四 一、子集與真子集 1.觀察下面實例:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5; 設(shè)A為新華中學(xué)高一(2)班全體女生組成的集合,B為這個班全 體學(xué)生組成的集合; 設(shè)A=x|x是兩條邊相等的三角形,B=x|x是等腰三角形; A=x|x是長方形,B=x|x是平行四邊形; A=x|x3,B=x|x2; A=x|(x+1)(x+2)=0,B=-1,-2. (1)上面的每個例子中的兩個集合,集合A中的任何一個元素都是 集合B中的元素嗎? 提示:是.稱集合A是集合B的子集. 一二三四 (2)反過來,上述各對集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素 嗎? 提示:兩對集合中,集合

2、B中的元素也都是集合A中的元素(集 合相等);這四對集合中,集合B中有些元素不是集合A的元 素.稱集合A是集合B的真子集. (3)上述集合A,B的關(guān)系能不能用圖形直觀形象地表示出來? 提示:能.如圖,在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表 集合,這種圖稱為Venn圖. 一二三四 (4)Venn圖有什么要求?必須是橢圓形嗎? 提示:表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線,它可以是矩形、圓、 橢圓等,也可以是其他封閉曲線. (5)用Venn圖表示集合有什么優(yōu)點和缺點? 提示:優(yōu)點在于易產(chǎn)生清晰的視覺印象,能直觀地表示集合中元 素的構(gòu)成以及集合之間的關(guān)系,缺點在于集合中元素的公共特征性 質(zhì)不明顯

3、. 一二三四 2.填空 一二三四 3.做一做 (1)已知集合P=-1,0,1,2,Q=-1,0,1,則() A.PQB.PQC.QPD.QP (2)已知集合A=x|-1x2,B=x|0 x1,則() A.BAB.ABC.BAD.AB (1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以QP. 答案:C (2)解析:由題意結(jié)合集合在數(shù)軸上的表示確定兩集合的關(guān)系即可. 如圖所示,由圖可知,BA. 答案:A 一二三四 二、集合相等 1.(1)在子集的定義中,能否理解為子集A是集合B中的“部分元素” 所組成的集合? 提示:不能.A中可能含有B中的所有元素(也可能不含任何元素). (2)本書1.1中,我們是如何

4、定義兩個集合相等的? 提示:只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合 是相等的. (3)本課時“一”中提出的各對集合中,這兩對集合中的元素一 樣嗎?它們之間存在什么樣的包含關(guān)系? 提示:中,由于“兩條邊相等的三角形”即等腰三角形,因此,集合 A中任何一個元素都是集合B中的元素,則A是B的子集;同時,集合B 中的任何一個元素都是集合A中的元素,則B也是A的子集,即A和B 兩集合中的元素都是相同的.也就是說集合A與B相等.同理可以說 明中兩個集合的元素也完全相同,即兩集合相等. 一二三四 2.填空 一般地,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時集合B 的任何一個元素都是集合A的元

5、素,那么集合A與集合B相等,記作 A=B. 也就是說,若AB,且BA,則A=B. 3.做一做 已知集合A=1,-m,B=1,m2,且A=B,則m的值為. 解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1. 當(dāng)m=-1時不滿足集合中元素的互異性,舍去. 故m=0. 答案:0 一二三四 三、空集 1.(1)觀察下面四個集合:方程x2+1=0的實數(shù)根組成的集合; 不等式3x2+28且x4 答案:B 一二三四 四、子集與真子集的性質(zhì) 1.在實數(shù)中有如下結(jié)論: (1)對于任何一個實數(shù)a,有aa; (2)對于實數(shù)a,b,c,如果ab,且bc,那么ac. 你能類比這兩個結(jié)論,寫出兩個集合之間的類似關(guān)系嗎?

6、 提示:任何一個集合是它本身的子集,即AA.對于集合A,B,C,如果 AB,且BC,那么AC. 2.上個問題中得到的第(2)條性質(zhì)可以推廣到真子集嗎? 提示:可以.對于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC. 探究一探究二探究三探究四思想方法 寫出寫出給定集合的子集給定集合的子集 例1 (1)寫出集合0,1,2的所有子集,并指出其中哪些是它的真子 集; (2)填寫下表,并回答問題: 由此猜想:含n個元素的集合a1,a2,an的所有子集的個數(shù)是多 少?真子集的個數(shù)及非空真子集的個數(shù)呢? 隨堂演練 探究一探究二探究三探究四思想方法 分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一個

7、元素、含有兩個元素、含有三個元素這四種情況分別寫出子集.(2) 由特殊到一般,歸納得出. 解:(1)不含任何元素的子集為; 含有一個元素的子集為0,1,2; 含有兩個元素的子集為0,1,0,2,1,2; 含有三個元素的子集為0,1,2. 故集合0,1,2的所有子集為 ,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2. 其中除去集合0,1,2,剩下的都是0,1,2的真子集. 隨堂演練 探究一探究二探究三探究四思想方法 (2) 由此猜想:含n個元素的集合a1,a2,an的所有子集的個數(shù)是2n, 真子集的個數(shù)是2n-1,非空真子集的個數(shù)是2n-2. 隨堂演練 探究一探究二探究三探究四思想方法 反思感

8、悟 1.分類討論是寫出所有子集的有效方法,一般按集合中 元素個數(shù)的多少來劃分,遵循由少到多的原則,做到不重不漏. 2.若集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集,有(2n-1)個真子集,有 (2n-1)個非空子集,有(2n-2)個非空真子集,該結(jié)論可在選擇題或填空 題中直接使用. 隨堂演練 探究一探究二探究三探究四思想方法 變式訓(xùn)練1若1,2,3A1,2,3,4,5,則滿足條件的集合A的個數(shù) 為() A.2B.3C.4D.5 解析:集合1,2,3是集合A的真子集,同時集合A又是集合 1,2,3,4,5的子集,所以集合A只能取集合1,2,3,4,1,2,3,5和 1,2,3,4,5. 答案:B

9、隨堂演練 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 已知已知集合的交集、并集求參數(shù)集合的交集、并集求參數(shù) 例例3已知aR,集合A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9,若9AB,則實 數(shù)a的值為. 分析:9AB說明9A,通過分類討論建立關(guān)于a的方程求解,注 意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否滿足集合中元素的互異性. 解析:9AB,9A且9B, 2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3. 當(dāng)a=5時,A=-4,9,25,B=0,-4,9,符合題意; 當(dāng)a=3時,A=-4,5,9,B不滿足集合中元素的互異性,故a3; 當(dāng)a=-3時,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,符合題意.

10、綜上可得a的值為5或-3. 答案:5或-3 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 反思感悟反思感悟 已知兩個有限集運算結(jié)果求參數(shù)值的方法 對于這類已知兩個有限集的運算結(jié)果求參數(shù)值的問題,一般先用 觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,再列方程求解.另外,在處 理有關(guān)含參數(shù)的集合問題時,要注意對求解結(jié)果進(jìn)行檢驗,以避免 違背集合中元素的有關(guān)特性,尤其是互異性. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 延伸探究延伸探究 例3中,將“9AB”改為“AB=9”,其余條件不變,求 實數(shù)a的值及AB. 解:AB=9,9A. 2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=3. 當(dāng)a=5時,A=-4,9,25,

11、B=0,-4,9,由于AB=-4,9,不符合題意, 故a5; 當(dāng)a=3時,A=-4,5,9,B不滿足集合中元素的互異性,故a3; 當(dāng)a=-3時,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,且AB=9,符合題意. 綜上可得a=-3.此時AB=-8,-4,-7,4,9. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 例例4集合A=x|-1x1,B=x|xa. (1)若AB=,求a的取值范圍; (2)若AB=x|x1,求a的取值范圍. 分析:利用數(shù)軸把集合A,B表示出來,根據(jù)題目條件數(shù)形結(jié)合列出 參數(shù)a滿足的不等式,求解時需注意等號能否取得. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 解:(1)A=x|-1x

12、1,B=x|xa,且AB=,如圖1所示. 數(shù)軸上點x=a在點x=-1左側(cè),且包含點x=-1, a-1. (2)A=x|-1x1,B=x|xa, 且AB=x|x1,如圖2所示, 數(shù)軸上點x=a在點x=-1和點x=1之間,不包含點x=-1,但包含點 x=1.-1-1. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 集合集合相等關(guān)系的應(yīng)用相等關(guān)系的應(yīng)用 例4已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,且A=B,求實數(shù)x,y的值. 分析:根據(jù)A=B列出關(guān)于x,y的方程組進(jìn)行求解. 解:A=B,集合A與集合B中的元素相同, 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 反思感悟反思感悟集合相等則元素相同,但要注

13、意集合中元素的互異性, 防止錯解. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 延伸探究延伸探究若將本例已知條件改為“集合A=x,xy,x-y,集合 B=0,|x|,y,且A=B”,求實數(shù)x,y的值. 解:0B,A=B,0A. 又由集合中元素的互異性,可知|x|0,y0, x0,xy0,故x-y=0,即x=y. 此時A=x,x2,0,B=0,|x|,x, x2=|x|,解得x=1. 當(dāng)x=1時,x2=1,與集合中元素的互異性矛盾, x=-1,即x=y=-1. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 由由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍 例5 已知集合A=x|-5x2,B=x|2

14、a-3xa-2. (1)若a=-1,試判斷集合A,B之間是否存在子集關(guān)系; (2)若AB,求實數(shù)a的取值范圍. 分析:(1)令a=-1,寫出集合B,分析兩個集合中元素之間的關(guān)系,判 斷其子集關(guān)系;(2)根據(jù)集合B是否為空集進(jìn)行分類討論;然后把兩集 合在數(shù)軸上標(biāo)出,根據(jù)子集關(guān)系確定端點值之間的大小關(guān)系,進(jìn)而 列出參數(shù)a所滿足的條件. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 解:(1)若a=-1,則B=x|-5x-3. 如圖在數(shù)軸上標(biāo)出集合A,B. 由圖可知,BA. (2)由已知AB. 當(dāng)B=時,2a-3a-2,解得a1.顯然成立. 當(dāng)B時,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如圖在數(shù)軸上表

15、示出兩個集合, 又因為a1,所以實數(shù)a的取值范圍為-1a1. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 反思感悟反思感悟 由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍問題中的兩點注意事 項 (1)求解此類問題通常是借助于數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法,將各個集 合在數(shù)軸上表示出來,以形定數(shù),同時還要注意驗證端點值,做到準(zhǔn) 確無誤,一般含“=”用實心點表示,不含“=”用空心點表示. (2)涉及“AB”或“AB,且B”的問題,一定要分A=和A兩種 情況進(jìn)行討論,其中A=的情況容易被忽略,應(yīng)引起足夠的重視. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 延伸探究延伸探究(1)【例5】(2)中,是否存在實數(shù)a,使得AB?若存在,求

16、出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,試說明理由. (2)若集合A=x|x2,B=x|2a-3xa-2,且AB,求實數(shù)a 的取值范圍. 解:(1)因為A=x|-5x2,所以若AB,則B一定不是空集. (2)當(dāng)B=時,2a-3a-2,解得a1.顯然成立. 當(dāng)B時,2a-3a-2,解得a1. 由已知AB,如圖在數(shù)軸上表示出兩個集合, 由圖可知2a-32或a-2-5, 解得a 或a-3. 又因為a1,所以a-3. 綜上,實數(shù)a的取值范圍為a1或a-3. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想在解決集合含參問題中的應(yīng)用 對于兩個集合A與B,已知A或B中含有待確定的參數(shù)(字母),若

17、 AB或A=B,則集合B中的元素與集合A中的元素具有“包含關(guān)系”, 解決這類問題時常采用分類討論和數(shù)形結(jié)合的方法. (1)分類討論是指: AB在未指明集合A非空時,應(yīng)分A=和A兩種情況來討論. 因為集合中的元素是無序的,由AB或A=B得到兩集合中的元 素對應(yīng)相等的情況可能有多種,因此需要分類討論. (2)數(shù)形結(jié)合是指對A這種情況,在確定參數(shù)時,需要借助數(shù)軸來 完成,將兩個集合在數(shù)軸上畫出來,分清實心點與空心圈,確定兩個 集合之間的包含關(guān)系,列不等式(組)確定參數(shù). 特別提醒 此類問題易錯點有三個:忽略A=的情況,沒有分類 討論;在數(shù)軸上畫兩個集合時,沒有分清實心點與空心圈;沒有 弄清包含關(guān)系,

18、以致沒有正確地列出不等式或不等式組. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 (3)解決集合中含參問題時,最后結(jié)果要注意驗證.驗證是指: 分類討論求得的參數(shù)的值,還需要代入原集合中看是否滿足互 異性. 所求參數(shù)能否取到端點值需要單獨驗證. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 典題已知集合A=x|1ax2,B=x|x|1,是否存在實數(shù)a,使得 AB.若存在,求出實數(shù)a的取值范圍. 分析:對參數(shù)a進(jìn)行討論,寫出集合A、B,借助于數(shù)軸,求出a的取值 范圍. 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 探究一探究二探究三探究四思想方法隨堂演練 1.集合x,y的子集個數(shù)是() A.1B.2C.3D.4 解析:(法1)集合x,y的子集有,x,y,x,y,共有4個. (法2)集合內(nèi)有2個元素,子集個數(shù)為22=4個. 答案:D 2.下列正確表示集合M=-1,0,1和N=x|x2+x=0關(guān)系的Venn圖是( ) 解析:由N=-1,0,知NM