材料1：有理數(shù)乘法法則教學(xué)探討

1、案例1：有理數(shù)乘法法則教學(xué)探討（易倩善、羅靜.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（廣州），2008.1）教案寫真由于引進了負(fù)數(shù)，七年級對數(shù)系的認(rèn)識范圍擴大到了有理數(shù).有理數(shù)乘法法則的教學(xué)難點所在，就是運算的因式含有了負(fù)數(shù)，如何自然地由原來正數(shù)的乘法過渡到帶有“負(fù)數(shù)”的乘法，如何體現(xiàn)這些運算法則的合理性和必要性，是困擾很多教師的問題.特別地，對“負(fù)負(fù)得正”的理解，是關(guān)鍵所在.下面提供一個教學(xué)設(shè)計，并做簡要的評析，來探討這一問題.一、教學(xué)內(nèi)容：有理數(shù)的乘法法則（華東師大版數(shù)學(xué)七年級上冊）. 二、教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能: 掌握有理數(shù)的乘法法則；2.過程與方法：經(jīng)歷有理數(shù)乘法法則的探索概括過程，學(xué)習(xí)觀察、歸納、類比、概括

2、的解決問題方法；3.情感與態(tài)度：體驗有理數(shù)乘法法則源于實際的需要，初步理解法則的實際意義.三、重點與難點：重點是有理數(shù)乘法法則的掌握；難點是規(guī)則“兩數(shù)相乘，若把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，則所得的積是原來的積的相反數(shù).”的概括，以及“負(fù)負(fù)得正”的實際意義的理解. 四、教學(xué)過程（一）情境導(dǎo)入一只小蟲沿一條東西向的路線，以每分鐘3米的速度向東爬行2分鐘，那么它現(xiàn)在位于原來位置的哪個方向，相距多少米？若小蟲向西以每分鐘3米的速度爬行2分鐘，那么結(jié)果有何變化？（二） 探索規(guī)則兩數(shù)相乘，若把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，則所得的積是原來的積的相反數(shù).如果我們規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，那么（1）對于第一個問題，我們可

3、以列出式子：3+3=6.根據(jù)乘法是加法的簡便運算，同樣可以得到：326.即小蟲位于原來位置的東方6米處.設(shè)小蟲原來在原點位置，用數(shù)軸表示這個過程為：（2）對于第二個問題，根據(jù)有理數(shù)相加的法則，可以列出算式為：（3）+（3）6.和（1）比較，同樣可以得到另一算式：（3）2，那么怎樣求它的結(jié)果？【分小組討論】求出算式（3）2的積. 32是2個3相加結(jié)果為6.通過類比，很容易得到，（3）2的意義是兩個3相加，其結(jié)果為6.這是用兩種不同的運算來求解的過程.我們就此求得小蟲位于原來位置的西方6米處.設(shè)小蟲原來在原點位置，用數(shù)軸表示這個過程為： 【試一試】求下列算式的積1） 33 34 57 2） （3）

4、3 （3）4 （5）7 3） 3（3） 3（4） 5（7）分析：對于1）和2），通過以上的學(xué)習(xí)過程很容易得出結(jié)果.而對于3)這一類， 可以通過乘法交換律的推廣轉(zhuǎn)化為2)進行處理.我們知道32與23的結(jié)果相等，34與43的結(jié)果也相等.根據(jù)是正數(shù)相乘的乘法交換律.其實，這條規(guī)律對于含有負(fù)數(shù)的乘法也成立.也就是說，3（-2）=（-2）3=-6，3（-4）=（-4）3=-12.這樣，就得到了上述三類問題的答案：1）339 3412 5735； 2）（3）39 （3）412 （5）735； 3）3（3）9 3（4）12 5（7）35.【比較】請同學(xué)對比觀察上面三組算式，有什么發(fā)現(xiàn)？提示：分別從因數(shù)和結(jié)果

5、的異同的角度去思考.【歸納】請和小組成員交流，寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：兩數(shù)相乘，若把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，則所得的積是原來的積的相反數(shù).（三）有理數(shù)乘法法則的概括與應(yīng)用【想一想】求下列算式的積（3）（2） （3）（4） （3）（5） （5）（7） 提示：運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，對比前面的2）、3）組算式來思考.分析：這里引導(dǎo)學(xué)生進行縱向思考，（3）（2）可以看作是（3）2或3（2）改變一個因式的符號得到，進而可看作是32先后兩次改變一個因式的符號得到，根據(jù)歸納的運算律，就可得出結(jié)果.再試一試計算：30？ （3）0？ 0（5）？【概括】綜合以上各種情況，我們得出有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并

6、把絕對值相乘；任何數(shù)與零相乘，都得零.【鞏固提高】例：計算： （1）0 （2） （3） （4）（5） （6）注意突出的要點：按乘法法則先確定積的符號，再確定積的絕對值；分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘，帶分?jǐn)?shù)應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，小數(shù)應(yīng)化為分?jǐn)?shù)；在連乘運算中“有零快寫零，無零先定號”；一個數(shù)與（1）相乘，積與這個數(shù)互為相反數(shù)，一個數(shù)與1相乘，積與這個數(shù)相同.練習(xí)：判斷題，對的在括號內(nèi)寫T，錯的寫F.（1） 同號兩數(shù)相乘，符號不變. （ ）（2） 異號兩數(shù)相乘，取絕對值較大的因數(shù)的符號. （ ）（3） 兩數(shù)相乘，如果積為正數(shù)，那么這兩個因數(shù)都為正數(shù).（ ）（4） 兩數(shù)相乘，如果積為負(fù)數(shù)，那么這兩個因數(shù)異號. （ ）（5

7、） 兩數(shù)相乘，如果積為0，那么這兩個數(shù)全為0. （ ）（6） 兩個數(shù)相乘，積比每一個因數(shù)都大. （ ）（7） 若，且，則. （ ）（8） 若，則. （ ）（9） 若，則，中至少有一個為0. （ ）（四）“負(fù)負(fù)得正”的現(xiàn)實意義對于兩個負(fù)數(shù)相乘的意義的理解，可以通過實際背景，如路程，溫度，水位等去幫助理解，還可以運用數(shù)軸進行操作幫助理解. 例如，水池的水位每小時下降2米，已知現(xiàn)在的水位是0，問： （1）2小時后，3小時后的水位分別是多少？（2）2小時前，3小時前的水位分別是多少？分析：我們把水位上升記為正，下降記為負(fù)，那么下降2米的水位就為-2米，所以對問題（1），2小時后的水位容易計算，（-2）

8、2= -4米，同樣3小時后的水位為（-2）3= -6米.在掌握了負(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上，這是容易理解的.對于（2），我們記現(xiàn)在以后為正，現(xiàn)在以前為負(fù)，那么自然地，2小時前，3小時前的水位就分別為（-2）（-2）= 4米，（-2）（-3）= 6米.現(xiàn)在的水位，也就是0時刻的水位可以計算為（-2）0=0米.通過類似這樣的客觀模型，可以幫助說明含負(fù)數(shù)相乘法則的現(xiàn)實意義.從上面還可以得到這樣的一個事實，要求幾小時后的水位，就用“幾”乘以-2，而每增加1小時，水位就隨著減少2米，那么，每減少1小時，水位就隨著增加了2米.所以，符號“”的實質(zhì)可以看作是相反的量或相反的操作.兩個負(fù)數(shù)相乘可以通過這種方法來理解. 例如

9、（2）（3）就是把（2）相反的操作3次，（2）相反就是（2），操作3次就是把（2）連加3次，得（6）. 從而也可以得出乘法的符號法則. （五）小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生進行知識總結(jié)，回顧法則的發(fā)現(xiàn)過程，熟記法則. 有理數(shù)的乘法法則實質(zhì)上是符號法則，符號確定后，其余的絕對值相乘與小學(xué)乘法運算完全相同. 五、幾點思考1.前面的部分，從正整數(shù)的乘法過渡到“正負(fù)相乘”.正整數(shù)相乘是相同加數(shù)相加的簡便運算，從這一基本定義出發(fā)，通過類比，在問題設(shè)計中，自然得出了“正負(fù)相乘”的相似定義，并且通過不完全歸納，得出一個重要事實兩數(shù)相乘，若把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，則所得的積是原來的積的相反數(shù).2.后面的部分，由“正負(fù)相乘”過

10、渡到“負(fù)負(fù)相乘”，這對于教學(xué)進程又是一個飛躍，通過上面得到的改變一個因式的符號就改變結(jié)果的事實，得到了兩個負(fù)數(shù)運算的計算法則，這是在原來的抽象基礎(chǔ)上再一次抽象提高，再經(jīng)過不完全的歸納，就得出有理數(shù)相乘的一般法則.3.在擴展部分，通過水位現(xiàn)實的模型說明“負(fù)負(fù)得正”的現(xiàn)實意義，這是非常必要的.負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，是通過方向問題，上下問題，盈虧問題等單一的實際模型引入的，而這里同時涉及到了水位變化，時間進程的一個“二維”變量問題，這既有和前面的對比，又是前面的再度提高.通過現(xiàn)實模型來說明學(xué)習(xí)對象，是將抽象和具體結(jié)合的過程，通過這一過程，加深學(xué)生對學(xué)習(xí)對象理解的深刻度，也培養(yǎng)了學(xué)生結(jié)合具體抽象的思維能力.4

11、.整個教學(xué)過程，主要涉及了類比和不完全歸納兩種重要的思想方法.利用類比，將具有相同特征的的事物進行比較，對學(xué)習(xí)和研究新事物具有積極的作用，也可以將兩個毫不相關(guān)的事物進行類比，通過舊事物的某一特征來研究新問題，達(dá)到觸類旁通的效果.另外，通過不完全歸納，可以得出一些容易得到而缺乏證明的事實.如“負(fù)負(fù)得正”，這在形式上是不能夠證明的，這樣，用不完全歸納去發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果就非常的有意義了.最后，需要指出的是，本教學(xué)設(shè)計是以實現(xiàn)后兩個教學(xué)目標(biāo)為價值取向的。如果只是以知識技能目標(biāo)為價值取向，那么只要讓學(xué)生記住符號法則，會操作即可。 致謝：感謝何小亞教授對本文的指導(dǎo)！參考文獻(xiàn)：1 王建磐. 數(shù)學(xué)初中一年級（七年

12、級）（上）. 華東師范大學(xué)出版社. 2003，6.2 孫彥. 素質(zhì)教育新教案數(shù)學(xué)七年級（上）. 西苑出版社. 2004，7.閃光之點1. “只關(guān)注結(jié)果，不注重過程”是數(shù)學(xué)舊課程的特征之一.數(shù)學(xué)舊課程比較缺乏激發(fā)孩子探究發(fā)現(xiàn)的課程內(nèi)容.曾在2001年獲得國家科技最高獎的“雜交稻之父”袁隆平院士說過：“我最喜歡外語、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)，因為在學(xué)正負(fù)數(shù)的時候，我搞不清為什么負(fù)負(fù)相乘得正，就去問老師，老師說你記得就是；學(xué)幾何時，對一個定理有疑義，去問，還是一樣回答，我由此得出結(jié)論，數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會，對數(shù)學(xué)興趣不大，成績不好”數(shù)學(xué)原本是最講道理的，但由于數(shù)學(xué)教師教學(xué)的原因，給袁隆平院士幼

13、時的心靈留下了”數(shù)學(xué)不講道理”的烙印.如果袁隆平院士的數(shù)學(xué)老師在講“有理數(shù)的乘法法則”這一課題時,能按照案例1的教學(xué)設(shè)計來進行教學(xué),那么袁隆平院士是否還認(rèn)為“數(shù)學(xué)不講道理”呢？2.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教學(xué)生計算、解題操作，還要教學(xué)生理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)的思想方法。通過“負(fù)負(fù)得正”這一操作最簡單的數(shù)學(xué)運算法則的教學(xué)，可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)類比和不完全歸納這兩種重要的數(shù)學(xué)思想方法,體現(xiàn)了注重過程,注重理解的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育價值取向.3.此案例是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計（何小亞、姚靜，科學(xué)出版社，2008.7）第一章案例1的修改版，其教學(xué)目標(biāo)和重難點的設(shè)計問題已得到修正。完善之處1.如何評價數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的優(yōu)與劣，沒有絕對的統(tǒng)

14、一標(biāo)準(zhǔn)，因為每一教學(xué)設(shè)計均有其特定的教育功能，反映著某種教育價值取向。如果以注重過程，注重理解為價值取向，案例一的設(shè)計是優(yōu)秀的。但如果以熟練的技能操作為價值取向，那么案例一的設(shè)計是一個累贅的、費時且費神的設(shè)計。2.“負(fù)負(fù)得正”可以證明嗎？從數(shù)學(xué)的角度看，盡管有理數(shù)的運算律、運算法則是可以證明的。但數(shù)學(xué)中的證明具有相對性，因為數(shù)學(xué)中的任何證明都是以一定的公理、原始概念作為基礎(chǔ)的，而公理、原始概念實為一些合理的規(guī)定。例如，如果承認(rèn)由?=得到定義；乘以任何數(shù)得，1乘以得；負(fù)數(shù)由?=定義；. 由于()=，于是()=.當(dāng)負(fù)數(shù)參與運算時，需要保持原來的運算律：加法結(jié)合律、交換律，乘法結(jié)合運算律、交換律，加

15、乘分配律。于是(1)(1)1（1）1，所以(1).因此，我們可以“證明”負(fù)負(fù)得正的法則()()如下：()()(1)(1)(1)(1)(1)1.從教學(xué)的角度看，上述抽象的證明在中學(xué)階段顯然不適合教給學(xué)生。但也不要對學(xué)生說是規(guī)定，而要說，數(shù)學(xué)上可以證明。你只要一說規(guī)定，學(xué)生就會不接受，不信服了。因此，教學(xué)處理應(yīng)該是讓學(xué)生信服即可。為此需要聯(lián)系實際例子進行解釋，以達(dá)到“講道理”的目的。具體做法參看下面的文章。（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 何小亞 提供并點評）附：擺脫法則的枷鎖“負(fù)負(fù)得正”的新教法及三種證明(陳綺云、何小亞 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊2010年第30期) 摘 要: 以嶄新的廚師烹飪模型，幫助學(xué)生理解經(jīng)

16、典數(shù)學(xué)法則“負(fù)負(fù)得正”， 體現(xiàn)了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題的新課標(biāo)思想.靈活運用群、環(huán)等高等數(shù)學(xué)知識給出法則的三種證明，體現(xiàn)了運用高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思想.關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)；負(fù)負(fù)得正；教法 ；模型一、問題提出 筆者對有理數(shù)的乘法法則的教法有新的理解.課本（華東師范大學(xué)出版社初中一年級上第二章第九節(jié)）采用直接給出法則的做法，意在要求學(xué)生能運用法則準(zhǔn)確熟練地進行運算.但這可能使學(xué)生只停留在記住符號法則的層面，而非能達(dá)到理解知識的層面.當(dāng)我們試圖回憶當(dāng)時我們是如何學(xué)習(xí)“負(fù)負(fù)得正”時，相信大多數(shù)讀者都無法想起它的現(xiàn)實意義，只是對“負(fù)負(fù)得正”這個法則牢記在心.針對這個問題，筆者大膽采用了一個全新的

17、案例，完全擺脫法則的枷鎖，力求使學(xué)生通過情景來建構(gòu)模型，理解“負(fù)負(fù)得正”.此案例非真實情景，但對求知欲和創(chuàng)造欲極強的初中生是十分適合的.一方面，它可激發(fā)學(xué)生尋求合理嚴(yán)謹(jǐn)證明的求知欲。另一方面，這使學(xué)生明白數(shù)學(xué)是有意義的，而不至于扼殺學(xué)生對數(shù)學(xué)創(chuàng)造和發(fā)明的欲望.二、新教法探討第一步，故事導(dǎo)入教學(xué)過程教師給學(xué)生講述神話故事：在一個非常偏遠(yuǎn)的地方，曾有過一群令人驚奇的廚師，他們能夠烹飪出令人難以想象的美味食物. 他們在一個巨大的鍋里烹飪食物，工作極為細(xì)致和復(fù)雜.烹飪中，他們頻繁地改變鍋里的溫度來對食物調(diào)味，從而做出味道完美的食物.改變溫度的方法是向鍋里添加（取出）熱（冷）方塊.冷方塊類似冰塊，只是它

18、們并不熔化，而熱方塊類似燒紅的炭塊，只是它們并不失去熱量.每投入（取出）一塊冷方塊，鍋里的溫度下降（上升）1.教師接著提問學(xué)生：烹飪工序如此的精細(xì)，那他們是如何做到準(zhǔn)確不誤的呢？其中又有什么秘訣呢？點評以神話故事作為課程導(dǎo)入旨在吸引學(xué)生的注意力，增強學(xué)生的探究興趣，并使學(xué)生處于對知識的饑渴狀態(tài).教師作為“導(dǎo)游”，應(yīng)循循善誘，引導(dǎo)我們的“小游客們”逐步解開“神奇的烹飪之謎.但教師不能為了引入課題而引入，應(yīng)是為更好地教學(xué)而引入.另外，該題材是學(xué)生不太熟悉的素材，教師應(yīng)做適當(dāng)?shù)闹v解，使之簡化并更容易為學(xué)生接受，這是上好本課的前提.第二步，秘訣揭曉教學(xué)過程（1）、教師揭示廚師的烹飪秘訣：原來他們是用我

19、們這節(jié)課的知識有理數(shù)的乘法來記錄他們的烹飪工序的.那么他們是怎樣記錄繁雜的工序呢？下面我們通過以下幾道例題一起來了解他們的記錄方法吧?。?）、教師講授例題：例1：廚師們想把鍋中的溫度降低100度，他們就可以投入五組，每組20塊的冷方塊.他們用 （+5）（-20）=-100 (*)表示他們的做法和最終結(jié)果.教師分析(*)式：+5表示投入5組方塊，-20表示每組為20塊的冷方塊.520=100，即共投入100塊冷方塊，鍋里的溫度應(yīng)下降100度，用-100表示。故（*）式的記錄是合理的.例2（續(xù)例1）：廚師想把鍋中的溫度升高100度，但又沒有熱方塊，只有鍋里的5組（每組20個）冷方塊，廚師該怎么辦呢

20、？他們可以取出5組每組20個的冷方塊，用:（-5）（-20）=+100(*)表示他們的做法和最終結(jié)果.教師分析（*）式：-5表示取出5組方塊，-20表示每組為20塊的冷方塊.由例1可知：投入100塊冷方塊可使溫度下降100度.那么，取出100塊冷方塊可使溫度升高100度.故（*）式的記錄是合理的.特別的，他們用：0a=0(a代表鍋中的方塊數(shù)，是任意數(shù))，表示不改變鍋中的冷冰塊.點評1、教師應(yīng)在學(xué)生能完全理解例1及其（*）式的基礎(chǔ)上講解例2.教學(xué)重點應(yīng)放在強化“烹飪模型”與“負(fù)負(fù)得正”的聯(lián)系上，而不要求學(xué)生強記法則.2、教師應(yīng)注意概念的同化.即有理數(shù)的乘法僅是比整數(shù)的乘法多了確定積的符號這一步.

21、而積的符號則可根據(jù)最終溫度的升降來確定.至于積的絕對值和整數(shù)乘法一樣，只要把因數(shù)的絕對值乘積即可.第三步，小試牛刀教學(xué)過程練習(xí)1：計算每一種情況下溫度變化的最終結(jié)果，并用等式表示每一次做法和最終結(jié)果.（模型-算式）a.投入4組每組7個的冷方塊；b.取出6組每組9個的冷方塊.a.分析：因為共投入47=28塊冷方塊，故溫度下降28度.即用：（+4）（-7）=-28 表示.b.分析：因為共取出69=54塊冷方塊，故溫度升高54度.即用：（-6）（-9）=+54 表示.練習(xí)2：把下面所列各小題用冷熱方塊語言加以解析.（算式-模型） a.（-3）（+4）；b.（-3）（-4）.a.分析：因為取出3組，每

22、組4塊的熱方塊，共取出34=12塊，故溫度下降12度.即（-3）（+4）=-12.b.分析：因為取出3組，每組4塊的冷方塊，共取出34=12塊，故溫度升高12度.即（-3）（-4）=+12.點評1、這兩組的練習(xí)能從模型到算式和從算式到模型雙向地評價學(xué)生接受知識的程度，從而強化了學(xué)生腦海中法則與模型的聯(lián)系，強調(diào)學(xué)生是通過模型來理解法則.這是本案例的一大特色.2、教師在講解練習(xí)1時，應(yīng)重在培養(yǎng)學(xué)生從積的絕對值及符號來理解有理數(shù)的運算.練習(xí)2之目的在于使學(xué)生思考解釋模型.這可能會對個別學(xué)生有點難度，教師可視學(xué)生的接受情況，適當(dāng)使用附加練習(xí)題.第四步，課后作業(yè)教學(xué)過程你享譽“世界第一廚師”美名很長一段時間后，決定隱退，最后使命就是培訓(xùn)一位助理好讓他接替你的位置.這位助理廚師，對如何改變鍋中的溫度知之甚少，但他們知道如何對整數(shù)進行算術(shù)運算.為你的助理準(zhǔn)備一份手冊，其中一定要包括各種升高和降低溫度的不同方法的特殊例子.點評此作業(yè)設(shè)計具有開放性，答案豐富多彩，為學(xué)生留有思維發(fā)展的余地，旨在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，與獨立自主學(xué)習(xí)的能力.這也許是初中課堂中較為缺少的元素.教師可視學(xué)生的接受程度對作業(yè)進行適當(dāng)?shù)恼f明，并耐心指導(dǎo)學(xué)生開展開放性學(xué)習(xí)，使之得以循序漸進地進行.三、三種證明方法：證明1（由相反數(shù)的意義）：由抽象代數(shù)知識：是整環(huán)，是的