雙曲線知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

1、一、雙曲線的定義1、第一定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（為常數(shù)）。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)。 要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對值。（2）2a|F1F2|。 當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對應(yīng)的一支； 當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對應(yīng)的一支； 當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；用第二定義證明比較簡單 或兩邊之差小于第三邊當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動點(diǎn)軌跡不存在。2、第二定義：動點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l（準(zhǔn)線）的距離之比是常數(shù)e(e1)時(shí)，這個(gè)動點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

2、這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（，其中|=2c）焦點(diǎn)在x軸上：（a0，b0）焦點(diǎn)在y軸上：（a0，b0）（1）如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上。 a不一定大于b。判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，不像橢圓似的比較x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系數(shù)的符號，焦點(diǎn)在系數(shù)正的那條軸上（2）與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是（3）雙曲線方程也可設(shè)為：三、雙曲線的性質(zhì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距

3、離叫焦距。PP第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。PPPP范圍，對稱軸軸 ，軸；實(shí)軸長為,虛軸長為對稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)（,0） (,0)(0, ,) (0，)離心率1)， ， e越大則雙曲線開口的開闊度越大準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為漸近線方程 ()，和 ()將右邊的常數(shù)設(shè)為0，即可

4、用解二元二次的方法求出漸近線的解共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關(guān)系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長通徑：與橢圓一樣過雙曲線上一點(diǎn)的切線 或利用導(dǎo)數(shù) 或利用導(dǎo)數(shù)四、雙曲線的參數(shù)方程： 橢圓為五、 弦長公式1、直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于A（x1,y1）B（x2,y2）兩點(diǎn)，則 k為直線斜率提醒解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題時(shí)常利用數(shù)形結(jié)合法、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代入、設(shè)而不求的思想方法。2、通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，則弦長。3、特別地，焦點(diǎn)弦的弦長的

5、計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解六、焦半徑公式雙曲線（a0，b0）上有一動點(diǎn)左焦半徑：r=ex+a右焦半徑：r=ex-a當(dāng)在左支上時(shí),當(dāng)在右支上時(shí),左支上絕對值加-號，右支上不用變化雙曲線焦點(diǎn)半徑公式也可用“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計(jì)算，而雙曲線不帶符號） 構(gòu)成滿足 注：焦半徑公式是關(guān)于的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí)，當(dāng)在左支端點(diǎn)時(shí)，七、等軸雙曲線（a0，b0）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線1。 ；2。離心率；3。兩漸近線互相垂直，分別為y=；4。等軸雙曲線的方程，； 八、共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的

6、共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線。與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.九、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系1、點(diǎn)與雙曲線點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部 代值驗(yàn)證，如點(diǎn)在雙曲線的外部點(diǎn)在雙曲線上2、直線與雙曲線代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得（1）時(shí)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；（2）時(shí)，存在時(shí)，若，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；相交若，時(shí)，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切不存在，時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)； 直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；十、雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若

7、雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（a0，b0）漸近線方程： 3、若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為, 。4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）十一、雙曲線與切線方程1、雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是。2、過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是。3、雙曲線與直線相切的條件是。橢圓與雙曲線共同點(diǎn)歸納十二、頂點(diǎn)連線斜率雙曲線一點(diǎn)與兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為K時(shí)得到不同的曲線。橢圓參照選修2-1P41，雙曲線參照選修2-1P55。1、A、B兩點(diǎn)在X軸上時(shí)2、A、B兩點(diǎn)在Y軸上時(shí)十三、面積公式雙曲線上一點(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn) 構(gòu)成的三角形 稱之為雙曲線焦點(diǎn)三角形，面

8、積公式推導(dǎo)：解：在中，設(shè)，由余弦定理得圖3F1xyOPF2即，=橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱之為橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式推導(dǎo)解：在中，設(shè)，由余弦定理得圖1F1xyOPF2即，=十四、(雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式)：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有 證明：設(shè)，則有， 兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，所以橢圓中線弦斜率公式雙曲線基礎(chǔ)題1 雙曲線2x2y28的實(shí)軸長是()A2 B2 C4 D42 設(shè)集合P，Q(x，y)|x2y10，記APQ，則集合A中元素的個(gè)數(shù)是()A3 B1 C2 D43 雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A2 B3 C4 D54雙曲線1的共軛雙曲線的離

9、心率是_5 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4，2)，則它的離心率為()A. B. C. D.6 設(shè)雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A4 B3 C2 D17 從1(其中m，n1,2,3)所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個(gè)，則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為()A. B. C. D.8雙曲線1的漸近線與圓(x3)2y2r2(r0)相切，則r()A. B3 C4 D6圖K5119 如圖K511，在等腰梯形ABCD中，ABCD且AB2AD，設(shè)DAB，以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1，以C、D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心

10、率為e2，則e1e2_.10 已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是_11 已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F(6,0)，則雙曲線的方程為_12(13分)雙曲線C與橢圓1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(，4)(1)求雙曲線C的方程；(2)若F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且F1PF2120，求F1PF2的面積13(1)(6分) 已知雙曲線1和橢圓1(a0，mb0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D銳角三角形或

11、鈍角三角形(2)(6分) 已知F1、F2為雙曲線C：x2y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且F1PF260，則|PF1|PF2|()A2 B4 C6 D8雙曲線綜合訓(xùn)練一、選擇題（本大題共7小題，每小題5分，滿分35分）1動點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則點(diǎn)的軌跡是（ ）A雙曲線 B雙曲線的一支 C兩條射線 D一條射線 2設(shè)雙曲線的半焦距為，兩條準(zhǔn)線間的距離為，且，那么雙曲線的離心率等于（ ）A B C D 3過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的弦，是另一焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率等于（ ）A B C D4雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則（ ）A B CD5雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為

12、該雙曲線在第一象限的點(diǎn)，PF1F2面積為1，且則該雙曲線的方程為（ ）AB CD6若、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD37如果方程表示曲線,則下列橢圓中與該雙曲線共焦點(diǎn)的是（ ）A B C D 二、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，滿分15分）8雙曲線的漸近線方程為，焦距為，這雙曲線的方程為_。9若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是 。10若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_三、解答題：（本大題共2小題，滿分30分）11. （本小題滿分10分）雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的漸近線與橢圓的一

13、個(gè)交點(diǎn)，求漸近線與橢圓的方程。 12（本小題滿分20分）已知三點(diǎn)P（5，2）、（6，0）、（6，0）。 （1）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)點(diǎn)P、關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)分別為、，求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【基礎(chǔ)熱身】1C解析 雙曲線方程可化為1，所以a24，得a2，所以2a4.故實(shí)軸長為4.2B解析 由于直線x2y10與雙曲線y21的漸近線yx平行，所以直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以集合A中只有一個(gè)元素故選B.3B解析 雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)是(5,0)，一條漸近線是3x4y0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d3.故選B.4.解析 雙曲線1的共軛雙曲線是1，所以a3，b，所以

14、c4，所以離心率e.【能力提升】5D解析 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，所以其漸近線方程為yx，因?yàn)辄c(diǎn)(4，2)在漸近線上，所以.根據(jù)c2a2b2，可得，解得e2，所以e，故選D.6C解析 根據(jù)雙曲線1的漸近線方程得：yx，即ay3x0.又已知雙曲線的漸近線方程為3x2y0且a0，所以有a2，故選C.7B解析 若方程表示圓錐曲線，則數(shù)組(m，n)只有7種：(2，1)，(3，1)，(1，1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4種對應(yīng)的方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，所以概率為P.故選B.8A解析 雙曲線的漸近線為yx，圓心為(3,0)，所以半徑r.故選A.91解析 作

15、DMAB于M，連接BD，設(shè)AB2，則DMsin，在RtBMD中，由勾股定理得BD，所以e1，e2，所以e1e21.102，)解析 依題意，雙曲線的漸近線中，傾斜角的范圍是60，90)，所以tan60，即b23a2，c24a2，所以e2.11.1解析 ，即ba，而c6，所以b23a23(36b2)，得b227，a29，所以雙曲線的方程為1.12解答 (1)橢圓的焦點(diǎn)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)設(shè)雙曲線的方程為1，則a2b2329.又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(，4)，所以1，解得a24，b25或a236，b227(舍去)，所以所求雙曲線C的方程為1.(2)由雙曲線C的方程，知a2，b，c3.設(shè)|PF1|m

16、，|PF2|n，則|mn|2a4，平方得m22mnn216.在F1PF2中，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos120m2n2mn36.由得mn，所以F1PF2的面積為Smnsin120.【難點(diǎn)突破】13(1)B(2)B解析 (1)依題意有1，化簡整理得a2b2m2，故選B.(2)在F1PF2中，由余弦定理得，cos60，11.因?yàn)閎1，所以|PF1|PF2|4.故選B.一、選擇題 1D ，在線段的延長線上 2C 3C 是等腰直角三角形，4A.5 A【思路分析】：設(shè)，則， 【命題分析】：考察圓錐曲線的相關(guān)運(yùn)算6 C【思路分析】：由知四邊形是平行四邊形，又知平分，即是菱形，設(shè)，則. 又，由雙曲線的第二定義知：,且，故選.【命題分析】：考查圓錐曲線的第一、二定義及與向量的綜合應(yīng)用，思維的靈活性.7D由題意知,.若,則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,而在選擇支A,C中,橢圓的焦點(diǎn)都在軸上,而選擇支B,D不表示橢圓;若,選擇支A,C不表示橢圓,雙曲線的半焦距平方,雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,選擇支D的方程符合題意.二、填空題8 設(shè)雙曲線的方程為，焦距 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)