堇菜空間向量及其運(yùn)算

1、8.6 8.6 空間向量及其運(yùn)算 要點(diǎn)梳理 1.1.空間向量的有關(guān)概念 (1)(1)空間向量：在空間中，具有 和 的量 叫做空間向量. . (2) (2)相等向量：方向 且模 的向量. . (3) (3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在直 線互相 于同一平面的向量. . (4) (4)共面向量： 的向量. . 大小 平行或重合 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) 2.2.共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理 （1 1）共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a, ,b( (b0),0),ab的充要條 件是 . . 推論 如圖所示，點(diǎn)P P在l上的充要條 件是： 其中a叫直線l的方向向量，tR R, , 在l上

2、取 , ,則可化為 存在實(shí)數(shù)，使得a= =b taOAOP aAB OP .)1 (OBtOAtOP或 ABtOA （2 2）共面向量定理的向量表達(dá)式： p= = ，其中x, ,yR R, ,a, ,b為不共線向量，推論的 表達(dá)式為 或?qū)臻g任意一點(diǎn)O有, , 其中x+ +y+ +z=1.=1. (3)(3)空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a, ,b, ,c不共面，那么對(duì)空間任一向 量p, ,存在有序?qū)崝?shù)組 x, ,y, ,z ，使得p= = ， 把 a, ,b, ,c 叫做空間的一個(gè)基底. . xa+ +yb MByMAxMP OP MByMAxOM ,OBzOAyOMxOP或 xa+ +yb

3、+ +zc 3.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 （1 1）數(shù)量積及相關(guān)概念 兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a, ,b, ,在空間任取一點(diǎn)O, , 作 = =a， = =b，則 叫做向量a與b的 夾角，記作 , ,其范圍是 , , 若a, ,b= ,= ,則稱a與b , ,記作 ab. . 兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量a, ,b, ,則 叫做向量a, ,b的數(shù)量積, ,記作 , ,即 . . OA OBAOB a, ,b00a, ,b 2 互相垂直 | |a|b|cos|cosa, ,b a b ab=|=|a|b| | coscosa, ,b (2) (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律

4、:(:(a)b= = ； 交換律：ab= = ; ; 分配律：a（b+ +c）= = . . 4.4.空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 （1 1）數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 若a=(=(a1 1, ,a2 2, ,a3 3),),b=(=(b1 1, ,b2 2, ,b3 3),), 則ab= = . . （2 2）共線與垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(=(a1 1, ,a2 2, ,a3 3),),b=(=(b1 1, ,b2 2, ,b3 3),), 則ab , , , , , , （ab） ba ab+ +ac a1 1b1 1+ +a2 2b2 2+ +a3 3b3 3 a= =b a1 1= =b1 1a2

5、2= =b2 2a3 3= =b3 3 ( (R R) ) ab ( (a, ,b均為非零 向量）. . （3 3）模、夾角和距離公式 設(shè)a=(=(a1 1, ,a2 2, ,a3 3),),b=(=(b1 1, ,b2 2, ,b3 3),), 則| |a|= |= ， coscosa, ,b= = . . 若A（a1 1，b1 1，c1 1），B（a2 2，b2 2，c2 2）， 則dAB= = = . . ab=0=0 a1 1b1 1+ +a2 2b2 2+ +a3 3b3 3=0=0 aa 3 3 2 2 2 1 aaa |ba ba 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

6、332211 bbbaaa bababa | AB 2 12 2 12 2 12 )()()(ccbbaa 基礎(chǔ)自測(cè) 1.1.下列命題中是真命題的是( )( ) A. A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是 異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量 B.B.若| |a|=|=|b| |，則a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同或 相反 C.C.若向量 ， 滿足 且 與 同向，則 D. D.若兩個(gè)非零向量 與 滿足 + =0+ =0， 則 ABCD |,|CDAB AB CD ABCD ABCDABCD AB CD 解析 A A錯(cuò). .因?yàn)榭臻g任兩向量平移之后可共面， 所以空間任意兩向量均共面. . B B錯(cuò)

7、. .因?yàn)閨 |a|=|=|b| |僅表示a與b的模相等，與方向 無關(guān). . C C錯(cuò). .因?yàn)榭臻g向量不研究大小關(guān)系，只能對(duì)向量 的長(zhǎng)度進(jìn)行比較, ,因此也就沒有 這種寫法. . D D對(duì). + =0, =- . + =0, =- ， 與 共線，故 正確. . 答案 D D ABCD ABCDABCD ABCDABCD 2.2.已知空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在線段OA上， 且OM=2=2MA, ,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，設(shè) = =a, =, =b, , = =c，則 等于( )( ) 解析 OA OB OCMN cbacba cbacba 2 1 3 2 3 2 .D 2 1 3 2 2 1 .C

8、 2 1 2 1 3 2 .B 3 2 2 1 2 1 .A OAOCOBOMONMN 3 2 )( 2 1 . 3 2 2 1 2 1 acb B 3.3.下列命題： 若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有 | |a|-|-|b|=|=|a+ +b| |是a、b共線的充要條件； 若a、b共線，則a與b所在直線平行； 對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C， 若 （其中x、y、zR R）, ,則P、 A、B、C四點(diǎn)共面. .其中不正確命題的個(gè)數(shù)是 ( )( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 BCAB ; 0 DACD OCzOByOAxOP 解析 中四點(diǎn)恰好圍

9、成一封閉圖形，正確； 中當(dāng)a、b同向時(shí)，應(yīng)有| |a|+|+|b|=|=|a+ +b| |； 中a、b所在直線可能重合； 中需滿足x+ +y+ +z=1=1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面. . 答案 C C 4.4.A(1,0,1),(1,0,1),B(4,4,6),(4,4,6),C(2,2,3),(2,2,3),D(10,14,17)(10,14,17) 這四個(gè)點(diǎn) ( (填共面或不共面).). 解析 = =（3 3，4 4，5 5）， = =（1 1，2 2，2 2）， = =（9 9，1414，1616）， 即（9 9，1414，1616）= =（3 3x+ +y，4 4x+2+2y，5

10、5x+2+2y）， ABAC AD .ACyABxAD設(shè) . , 3 , 2 四點(diǎn)共面所以、C、DA、 y x 共面 B 題型一 空間向量的線性運(yùn)算 如圖所示，在平行六面體ABCD- - A1 1B1 1C1 1D1 1中，設(shè) = =a， = =b， =c=c， M，N，P分別是AA1 1，BC，C1 1D1 1的中點(diǎn)， 試用a，b，c表示以下各向量： （1 1） ；（2 2） ；（3 3） . . 根據(jù)空間向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的法 則和運(yùn)算律即可. . 1 AAABAD APNA 1 1 NCAP 題型分類 深度剖析 解 （1 1）P是C1 1D1 1的中點(diǎn)， . 2 1 2 1 2 1 1

11、11111 bcaca AB CDADaPDDAAAAP . 2 1 2 1 2 1 ,)2( 11 cbaba ba AD BCBNABAANA BCN的中點(diǎn)是 . 2 3 2 1 2 3 ) 2 1 () 2 1 2 1 ( , 2 1 2 1 2 1 , 2 1 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 ,) 3( 1 1 111 1 1 cba cacba ac cbabcaa NCMP AAAD AABCCCNCNC APAAAPMAMP AAM 又 的中點(diǎn)是 用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié) 合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵. .要正確理解 向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義. .

12、首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末 尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向 量加法的多邊形法則. .在立體幾何中要靈活應(yīng)用三 角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍 然成立. . 知能遷移1 1 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1 1B1 1 C1 1D1 1中，O為AC的中點(diǎn). . (1) (1)化簡(jiǎn)： ; 2 1 2 1 1 ADABOA , 3 2 ,)2( 11 DDDEDDE且上的點(diǎn)是棱設(shè) ., 1 的值試求若z、x、AAzADyABxEO 解,) 1 (ACADAB . 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 111 11 AAAOOAACOA ADABOAADAB

13、OA y . 3 2 , 2 1 , 2 1 , 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 )( 2 1 3 2 2 1 3 2 )2( 1 1 1 1 zyx AAADAB ABDAAA ABDADD DBDDDOEDEO 題型二 共線、共面向量定理的應(yīng)用 已知E、F、G、H分別是空間 四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)， （1 1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面； （2 2）求證：BD平面EFGH； （3 3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一 點(diǎn)O，有 (1(1）要證E、F、G、H四點(diǎn)共面，可 尋求x, ,y使 （2 2）由向量共線得到線線平行，進(jìn)而得到線面 平行

14、. . ).( 4 1 ODOCOBOAOM .EHyEFxEG 證明 （1 1）連接BG，則 由共面向量定理的推論知： E、F、G、H四點(diǎn)共面. . （2 2）因?yàn)?所以EHBD. . 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH. . , )( 2 1 EHEFEHBFEB BDBCEB BGEBEG AEAHEH , 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 BDABADABAD （3 3）連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. . 所以 ，即EH FG， 所以四邊形EFGH是平行四邊形. . 所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分. . , 2 1 , 2 1 )2(

15、BDFG BDEH 同理 知由 FGEH ).( 4 1 )( 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 ODOCOBOA ODOCOBOA OGOEOGOEOM 故 在求一個(gè)向量由其他向量來表示的 時(shí)候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊 形法則和共線向量的特點(diǎn), ,把要求的向量逐步分 解，向已知向量靠近，進(jìn)行求解. .若要證明兩直線 平行，只需判定兩直線所在的向量滿足線性a= =b 關(guān)系，即可判定兩直線平行，如第（1 1）（2 2）問即是 如此. . 知能遷移2 2 設(shè)A，B，C及A1 1，B1 1，C1 1分別是異面 直線l1 1，l2 2上的三點(diǎn)，而M，N，

16、P，Q分別是線 段AA1 1，BA1 1，BB1 1，CC1 1的中點(diǎn). .求證：M、N、 P、Q四點(diǎn)共面. . 證明 依題意有 .2,2 11 NPBANMBA CCCBBCCCBC CCCBBB QCCBPBPQ 111111 1111 1111 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 又 ., , )22( 2 1 (*) .2,2 , ),( 2 1 1111 111 11 共面 式得代入 分別共線及 NPNMPQ NPNM NPNMPQ NPBACBNMBABC CBACBA CBBC M、N、P、Q四點(diǎn)共面. . ( (* *) ) 題型三 空間向量的模、夾角及數(shù)量積 （1212分）

17、如圖所示，已知空間 四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都 等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn). . （1 1）求證：MNAB，MNCD； （2 2）求MN的長(zhǎng)； （3 3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值. . 把 用 ， ， 表示出來，然后 計(jì)算數(shù)量積，求模和夾角. . MNABACAD （1 1）證明 由題意可知：| |p|=|=|q|=|=|r|=|=a，且p、q、r三向量?jī)?兩夾角均為6060. . .,rqpADACAB 2 1 2 1 )( 2 1 ABADACAMANMN ( (q+ +r- -p) ) 2 1 ABMN ( (q+ +r- -p)p 2 1 ( (qp+rp

18、-p2 2） ., , 0)60cos60cos( 2 1 222 CDMNABMN aaa 同理可證 2 2分 4 4分 （2 2）解 2 1 ) 1 (MN可知由 ( (q+ +r- -p) ) . 2 2 , 2 2 | . 2 2 4 1 4 1 4 1 4 1 | 2 2 2 2 aMNaMN a a MNMN 的長(zhǎng)為 ( (q+ +r- -p) )2 2 q2 2+ +r2 2+ +p2 2+2+2（qr- -pq- -rp） ) 222 (2 222 222 aaa aaa 8 8分 (3)(3)解 .的夾角為與設(shè)向量MCAN . 2 ) 424 ( 2 1 )60cos 2 1

19、 60cos60cos 2 1 ( 2 1 ) 2 1 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ()( 2 1 , 2 1 2 1 )( 2 1 2222 2 2222 2 aaaa a aaaa MCAN AMACMC ADACAN prqrpqq pqrq pq ( (q+ +r) ) , 2 3 |aMCAN又 1010分 （1 1）用基向量解決問題，首先要選 取一組基底，該基底的模與夾角應(yīng)已知或可求. . （2 2）注意兩向量夾角與異面直線所成的角的區(qū)別 與聯(lián)系. . . 3 2 , 3 2 , 3 2 cos . 2 cos 2 3 2 3 cos| 2 所成角的余弦值為與面直線 從而異的夾

20、角的余弦值為與向量 CMAN MCAN a aa MCANMCAN 1111分 1212分 知能遷移3 3 已知平行六面體ABCDA1 1B1 1C1 1D1 1 中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1 1的正方形，AA1 1=2 =2， A1 1AB=A1 1AD=120=120. . （1 1）求線段AC1 1的長(zhǎng)； （2 2）求異面直線AC1 1與A1 1D所成角的余弦值； （3 3）證明：AA1 1BD. . （1 1）解 如圖所示，設(shè) = =a， 則| |a|=|=|b|=1|=1，| |c|=2.|=2. ab=0=0，ac= =bc =2 =21 1cos 120cos 120=-1.=-1

21、. AB , 1 cAAbAD = =a+ +b+ +c. . = =（a+ +b+ +c）2 2 = =a2 2+ +b2 2+ +c2 2+2+2ab+2+2ac+2+2bc =1+1+2=1+1+22 2-2-2=2.-2-2=2. （2 2）解 = =a+ +b+ +c， = =b- -c， = =（a+ +b+ +c）（b- -c） = =ab- -ac+ +b2 2- -bc+ +bc- -c2 2 =1+1=1+12 2-2-22 2=-2.=-2. 11 CCBCABAC 2 1 | AC . 2 . 2| 1 1 的長(zhǎng)為即AC AC 1 AC DA 1 DAAC 11 又 =

22、 =（b- -c）2 2= =b2 2+ +c2 2-2-2bc=1+4+2=7.=1+4+2=7. 異面直線AC1 1與A1 1D所成角的余弦值為 （3 3）證明 b- -a， = =c（b- -a） = =cb- -ca=-1-=-1-（-1-1）=0.=0. 2 1 |DA , 7 14 72 2 | ,cos .7| 11 11 11 1 DAAC DAAC DAAC DA . 7 14 BDcAA, 1 BDAA 1 ., 11 BDAABDAA即 題型四 空間向量坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)向量a=(3,5,-4),=(3,5,-4),b=(2,1,8),=(2,1,8),計(jì)算2 2a+3+

23、3b, , 3 3a-2-2b, ,ab以及a與b所成角的余弦值, ,并確定, , 應(yīng)滿足的條件，使a+ +b與z軸垂直. . 代入向量坐標(biāo)運(yùn)算的公式求2 2a+3+3b,3,3a- - 2 2b，ab，利用數(shù)量積求a與b的夾角余弦值, ,利 用（a+ +b）（0 0，0 0，1 1）=0=0，確定, ,的 關(guān)系. . 解 2 2a+3+3b=2=2（3 3，5 5，-4-4）+3+3（2 2，1 1，8 8） = =（6 6，1010，-8-8）+ +（6 6，3 3，2424）= =（1212，1313，1616）. . 3 3a-2-2b=3=3（3 3，5 5，-4-4）-2-2（2

24、2，1 1，8 8） = =（9 9，1515，-12-12）- -（4 4，2 2，1616）= =（5 5，1313，-28-28）. . ab= =（3 3，5 5，-4-4）（2 2，1 1，8 8） =6+5-32=-21.=6+5-32=-21. （a+ +b）（0 0，0 0，1 1） = =（3 3+2+2，5 5+ +，-4-4+8+8）（0 0，0 0，1 1） =-4=-4+8+8=0=0，即=2=2， 當(dāng)，滿足=2=2時(shí)，可使a+ +b與z軸垂直. . 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是要注意 向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，并熟練掌握運(yùn)算 公式. . . 230 1387 695

25、0 21 | ,cos ,69812| ,50)4(53 222 222 ba ba ba b a 知能遷移4 4 已知ABC的頂點(diǎn)A（1 1，1 1，1 1）， B（2 2，2 2，2 2），C（3 3，2 2，4 4），試求 （1 1）ABC的重心坐標(biāo)；（2 2）ABC的面積； （3 3）ABC的AB邊上的高. . 解 （1 1）設(shè)重心坐標(biāo)為（x0 0, ,y0 0, ,z0 0）, , ). 3 7 , 3 5 , 2( , 3 7 3 421 , 3 5 3 221 , 2 3 321 0 00 重心坐標(biāo)為 則 z yx , 6312,14| , 3|),3 , 1 , 2(),1 ,

26、 1 , 1 ()2( ACABAC ABACAB . 2 6 7 1 143 2 1 sin| 2 1 . 7 1 42 36 1sin , 42 6 143 6 ,coscos AACABS A ACABA ABC . 2 . 2 3 2 1 2 6 | |,| 2 1 ,)3( 邊上的高是的故 則邊上的高為設(shè) ABABC CD CDABSCDAB ABC 方法與技巧 1.1.熟練掌握空間向量的運(yùn)算、性質(zhì)及基本定理是 解決空間向量問題的基礎(chǔ)，特別是共線向量定 理、共面向量定理、空間向量基本定理、數(shù)量 積的性質(zhì)等. . 2.2.利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或 角度轉(zhuǎn)化為向量表示,

27、,用已知向量表示未知向量, , 然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題, ,在這里, , 恰當(dāng)?shù)剡x取基底可使向量運(yùn)算簡(jiǎn)捷, ,或者是建立 空間直角坐標(biāo)系, ,使立體幾何問題成為代數(shù)問 題，在這里, ,熟練準(zhǔn)確地寫出空間中任一點(diǎn)的坐 標(biāo)是解決問題的基礎(chǔ). . 思想方法 感悟提高 失誤與防范 1.1.利用坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題, ,降低了推理難 度, ,可以避開一些較復(fù)雜的線面關(guān)系，但較復(fù)雜的 代數(shù)運(yùn)算也容易導(dǎo)致出錯(cuò). .因此，在解決問題時(shí)， 可以靈活的選用解題方法，不要生搬硬套. . 2.2.用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一 般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的 長(zhǎng)度，一般用向量的

28、模來解決；求異面直線所成 的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意 兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；解決垂直 問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零. . 3.3.空間向量的加法、減法經(jīng)常逆用, ,來進(jìn)行向量的分解. . 4.4.幾何體中向量問題的解決，選好基底是關(guān)鍵. . 一、選擇題 1.1.若 a, ,b, ,c 為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能 構(gòu)成基底的一組向量是（ ） A. A.a, ,a+ +b, ,a-b B.-b B.b, ,a+ +b, ,a- -b C. C.c, ,a+ +b, ,a- -b D.D.a+ +b, ,a- -b, ,a+2+2b 解析 若c、a+ +b、a

29、- -b共面， 則c= =( (a+ +b)+)+m( (a- -b)=()=(+ +m) )a+(+(- -m) )b, , 則a、b、c為共面向量，此與 a、b、c 為空間向 量的一組基底矛盾，故c，a+ +b，a- -b可構(gòu)成空間 向量的一組基底. . C 定時(shí)檢測(cè) 2.2.在正方體ABCDA1 1B1 1C1 1D1 1中，給出以下向量表達(dá)式 ： A. A. B. B. C. C. D. D. 的是其中能夠化簡(jiǎn)為向量 1 1111 1 111 111 .)( ;2)( ;)( ;)( BD DDAADB DDABAD CDBBBC ABAADA ( )( ) 解析 答案 A A .A

30、,)( ;22)( ;)( ;）-（ 111111111 111 1111111 11111 所以選 BDDBDDDBDDAADB BDDDBDDDABAD BDCDBCCDBBBC BDABADABAADA 3.3.若向量a=(1,=(1,2),2)，b=(2,-1,2)=(2,-1,2)且a與b的夾角的余 弦值為 ，則等于 ( )( ) A.2 B.-2 A.2 B.-2 C. D. C. D. 解析 9 8 55 2 2或 55 2 2或 , 95 42 |9 8 2 ba ba 由已知得 . 55 2 2),6(358 2 或解得 C 4.4.已知a=(2,-1,3),=(2,-1,3

31、),b=(-1,4,-2),=(-1,4,-2),c=(7,5,=(7,5,),),若 a, ,b, ,c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于 ( )( ) 解析 由題意得c= =ta+ +b =(2 =(2t- -,-,-t+4+4,3,3t-2-2),), 7 65 .D 7 60 .C 7 63 .B 7 62 .A 7 65 . 7 17 7 33 23 ,45 27 t t t t D 5.5.已知直線AB、CD是異面直線, ,ACCD, ,BDCD, , 且AB=2=2，CD=1=1，則異面直線AB與CD所成角的大 小 為 ( )( ) A.30A.30 B.45 B.45 C.60 C.60

32、D.75 D.75 解析 | ,cos CDAB CDAB CDAB .60 , 2 1 212 )( 2 所成角為與CDAB CDCDDBCDAC C 6.6.正方體ABCDA1 1B1 1C1 1D1 1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在 上 且 N為B1 1B的中點(diǎn), ,則 為 ( ( ) ) 解析 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo) 系Dxyz， 則A（a，0 0，0 0），C1 1（0 0，a，a）， 設(shè)M（x，y，z） 1 AC , 2 1 1 MCAM | MN aa aa 3 15 .D 6 15 .C 6 6 .B 6 21 .A ). 2 ,( a aaN . 6 21 ) 32 ()

33、3 () 3 2 (| ), 3 , 3 , 3 2 ( . 3 , 3 , 3 2 ),( 2 1 ),( , 2 1 222 11 a aaa aaaMN aaa M a z a yax zayaxzyax MCAMACM 得 上且在點(diǎn) 答案 A 二、填空題 7.7.如圖所示，已知空間四邊形ABCD， F為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若 則= = . . 解析 如圖所示, ,取AC的中點(diǎn)G, ,連接EG、GF, , ),(DCABEF . 2 1 )( 2 1 DCABGFEGEF則 2 1 8.8.已知a= =（1-1-t，1-1-t，t），b= =（2 2，t，t），則| |b- - a| | 的最小值為 . . 解析 b- -a= =（1+1+t，2 2t-1-1，0 0）， | |b- -a|=|= , 5 9 ) 5 1 (5) 12()1 ( 222 ttt . 5 53 | , 5 1 取得最小值為時(shí)當(dāng)abt 5 53 9.9.在正方體ABCDA1 1B1 1C1 1D1 1中, ,下面給出四個(gè)命題 : : 則正確命題的序號(hào)是 （填寫所有正確命題 的序號(hào)）.