信號(hào)與系統(tǒng)課件-陳后金-北京交通大學(xué)教材資料

信號(hào)與系統(tǒng)SignalsandSystems

參考教材：北京市精品立項(xiàng)教材《信號(hào)與系統(tǒng)》.

主編：陳后金,胡健,薛健,清華大學(xué)出版社,2003年.陳后金，胡健，薛健北京交通大學(xué)國(guó)家電工電子教學(xué)基地hjchen@/jingpinke/xhyxt/dianzijiaoan/navigation.htm信號(hào)與系統(tǒng)分析導(dǎo)論信號(hào)的描述及分類系統(tǒng)的描述及分類信號(hào)與系統(tǒng)分析概述信號(hào)的描述與分類信號(hào)的基本概念信號(hào)的分類 確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)

連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)

周期信號(hào)與非周期信號(hào)

能量信號(hào)與功率信號(hào)一、信號(hào)的基本概念1.定義廣義:信號(hào)是隨時(shí)間變化的某種物理量。嚴(yán)格:信號(hào)是消息的表現(xiàn)形式與傳送載體。電信號(hào)通常是隨時(shí)間變化的電壓或電流。2.表示

數(shù)學(xué)解析式或圖形語(yǔ)音信號(hào)：空氣壓力隨時(shí)間變化的函數(shù)語(yǔ)音信號(hào)“你好”的波形靜止的單色圖象：

亮度隨空間位置變化的信號(hào)f(x,y)。靜止的彩色圖象：三基色紅(R)、綠(G)、藍(lán)(B)隨空間位置變化的信號(hào)。二、信號(hào)的分類1確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)是指能夠以確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)。隨機(jī)信號(hào)也稱為不確定信號(hào)，不是時(shí)間的確定函數(shù)。連續(xù)信號(hào)：

在觀測(cè)過(guò)程的連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)有確定的值。允許在其時(shí)間定義域上存在有限個(gè)間斷點(diǎn)。通常以f(t)表示。2.連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)模擬信號(hào)：取值是連續(xù)的連續(xù)信號(hào)。離散信號(hào)：信號(hào)僅在規(guī)定的離散時(shí)刻有定義。通常以f[k]表示。數(shù)字信號(hào)：取值為離散的離散信號(hào)。連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)波形連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)離散信號(hào)的產(chǎn)生1)對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣f[k]=f(kT)2)信號(hào)本身是離散的3)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生3周期信號(hào)與非周期信號(hào)*連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)定義:,存在非零T，使得

*周期信號(hào)每一周期內(nèi)信號(hào)完全一樣故只需研究信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的狀況。成立，則f(t)為周期信號(hào)。*離散時(shí)間周期信號(hào)定義:kI,存在非零N，使得成立，則f[k]為周期信號(hào)。滿足上述條件的最小的正T、正N稱為信號(hào)的基本周期。*不滿足周期信號(hào)定義的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。4能量信號(hào)與功率信號(hào)能量信號(hào):0<E<，P=0。功率信號(hào):E，0<P<。直流信號(hào)與周期信號(hào)都是功率信號(hào)。歸一化能量E與歸一化功率P的計(jì)算

注意:

一個(gè)信號(hào)，不可能既是能量信號(hào)又是功率信號(hào)。連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)系統(tǒng)的描述及其分類系統(tǒng)的描述

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)的分類

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng) 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng) 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)系統(tǒng)是指由相互作用和依賴的若干事物組

成的、具有特定功能的整體。一、系統(tǒng)的描述輸入輸出描述：N階微分方程或N階差分方程狀態(tài)空間描述：N個(gè)一階微分方程組或N個(gè)一階差分方程組RL串聯(lián)電路1.數(shù)學(xué)模型2.方框圖表示描述系統(tǒng)的基本單元方框圖連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)二、系統(tǒng)的分類連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入激勵(lì)與輸出響應(yīng)都必須為連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入激勵(lì)與輸出響應(yīng)都必須為離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程式。離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程式。1．連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)2．線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)：具有線性特性的系統(tǒng)。線性特性包括均勻特性與疊加特性。(1)均勻特性：(2)疊加特性：同時(shí)具有均勻特性與疊加特性方為線性特性，線性特性可表示為其中，為任意常數(shù)具有線性特性的離散時(shí)間系統(tǒng)可表示為其中，為任意常數(shù)非線性系統(tǒng)：不具有線性特性的系統(tǒng)。

線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程式或線性差分方程式。含有初始狀態(tài)線性系統(tǒng)的定義連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)若則若則離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)論:

具有初始狀態(tài)的線性系統(tǒng)，輸出響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)

與零狀態(tài)響應(yīng)之和。3．時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與輸入激勵(lì)的關(guān)系不隨輸入激勵(lì)作用于系統(tǒng)的時(shí)間起點(diǎn)而改變，就稱為時(shí)不變系統(tǒng)。否則，就稱為時(shí)變系統(tǒng)。時(shí)不變特性時(shí)不變的離散時(shí)間系統(tǒng)表示為線性時(shí)不變系統(tǒng)可由定常系數(shù)的線性微分方程式或差分方程式描述。時(shí)不變的連續(xù)系統(tǒng)表示為4．因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)：當(dāng)且僅當(dāng)輸入信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)才產(chǎn)生系統(tǒng)輸出響應(yīng)的系統(tǒng)。5.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)：指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)：系統(tǒng)輸入有界而輸出無(wú)界非因果系統(tǒng)：不具有因果特性的系統(tǒng)稱為非因果系統(tǒng)。[例1]判斷下列輸出響應(yīng)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（其中y(0)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，f(t)為系統(tǒng)的輸入激勵(lì)，y(t)為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)）。線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)分析注意2、零輸入線性，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)必須對(duì)

所有的初始狀態(tài)呈現(xiàn)線性特性。[解]：分析任意線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)都可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)兩部分之和,即。因此，判斷一個(gè)系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，應(yīng)從三個(gè)方面來(lái)判斷：1、具有可分解性3、零狀態(tài)線性，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)必須對(duì)

所有的輸入信號(hào)呈現(xiàn)線性特性。判斷系統(tǒng)是否線性注意問(wèn)題1．在判斷可分解性時(shí)，應(yīng)考察系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)是否可以表示為兩部分之和，其中一部分只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，而另一部分只與系統(tǒng)的輸入激勵(lì)有關(guān)。2．在判斷系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)是否具有線性時(shí)，應(yīng)以系統(tǒng)的初始狀態(tài)為自變量（如上述例題中y(0))，而不能以其它的變量（如t等）作為自變量。3．在判斷系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)是否具有線性時(shí)，應(yīng)以系統(tǒng)的輸入激勵(lì)為自變量（如上述例題中f(t)），而不能以其它的變量（如t等）作為自變量。(1)y(t)=sin[f(t)]

(2)y(t)=cost·f(t)

(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)

(4)y(t)=2t·f(t)[例2]試判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)分析：判斷系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)，只需判斷當(dāng)輸入激勵(lì)f(t)變?yōu)閒(t-t0)時(shí)，相應(yīng)的輸出響應(yīng)y(t)是否變?yōu)?/p>

y(t-t0)。注意：時(shí)不變特性只考慮系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此在判斷系統(tǒng)的時(shí)不變特性時(shí)，不涉及系統(tǒng)的初始狀態(tài)。信號(hào)與系統(tǒng)分析概述信號(hào)分析的主要內(nèi)容系統(tǒng)分析的主要內(nèi)容信號(hào)與系統(tǒng)之間的關(guān)系系統(tǒng)與電路之間的關(guān)系信號(hào)與系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域信號(hào)與系統(tǒng)課程的學(xué)習(xí)方法參考書(shū)信號(hào)分析連續(xù)信號(hào)離散信號(hào)取樣時(shí)域：信號(hào)分解為沖擊信號(hào)的線性組合頻域：信號(hào)分解為不同頻率正弦信號(hào)的線性組合復(fù)頻域：信號(hào)分解為不同頻率復(fù)指數(shù)的線性組合時(shí)域：信號(hào)分解為沖擊序列的線性組合頻域：信號(hào)分解為不同頻率正弦序列的線性組合復(fù)頻域：信號(hào)分解為不同頻率復(fù)指數(shù)的線性組合系統(tǒng)分析連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)系統(tǒng)的描述輸入輸出描述法：N階微分方程系統(tǒng)響應(yīng)的求解系統(tǒng)的描述系統(tǒng)響應(yīng)的求解狀態(tài)空間描述：N個(gè)一階微分方程組時(shí)域：頻域：復(fù)頻域：輸入輸出描述法：N階差分方程狀態(tài)空間描述：N個(gè)一階差分方程組時(shí)域：頻域：Z域：信號(hào)與系統(tǒng)是相互依存的整體。信號(hào)與系統(tǒng)之間的關(guān)系1.信號(hào)必定是由系統(tǒng)產(chǎn)生、發(fā)送、傳輸與接收，離開(kāi)系統(tǒng)沒(méi)有孤立存在的信號(hào)；2.系統(tǒng)的重要功能就是對(duì)信號(hào)進(jìn)行加工、變換與處理，沒(méi)有信號(hào)的系統(tǒng)就沒(méi)有存在的意義。信號(hào)與系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域通信控制計(jì)算機(jī)等信號(hào)處理信號(hào)檢測(cè)非電類:社科領(lǐng)域：電類機(jī)械、熱力、光學(xué)等股市分析、人口統(tǒng)計(jì)等系統(tǒng)與電路的關(guān)系1.通常把系統(tǒng)看成比電路更為復(fù)雜、規(guī)模更大的組合2.處理問(wèn)題的觀點(diǎn)不同：電路：著重在電路中各支路或回路的電流

及各節(jié)點(diǎn)的電壓上系統(tǒng)：著重在輸入輸出之間的關(guān)系上，

即系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)何種功能。信號(hào)與系統(tǒng)課程的學(xué)習(xí)方法3.加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)(學(xué)會(huì)用MATLAB進(jìn)行信號(hào)分析)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)加深對(duì)理論與概念的理解。1.著重掌握信號(hào)與系統(tǒng)分析的物理含義，將數(shù)學(xué)概念、物理概念及其工程概念相結(jié)合。2.注意提出問(wèn)題，分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法。4.通過(guò)多練，復(fù)習(xí)和加深所學(xué)的基本概念，掌握解決問(wèn)題的方法。主要參考書(shū)[1]EdwardW.K.,BonnieS.H.FundamentalsofSignalsandSystemsUsingMATLAB,Prentice-HallInternational,Inc.1997.[2]SimonH.,BarryV.V.SignalsandSystems,JohnWiley&Sons,Inc.1999.[3]A.V.Oppenheim.SignalsandSystems或中譯本（第二版）,西安交通大學(xué)出版社.[4]劉樹(shù)棠譯，信號(hào)與系統(tǒng)計(jì)算機(jī)練習(xí)—利用MATLAB，西安交通大學(xué)出版社，2000.主要參考書(shū)[5]鄭君里，應(yīng)啟珩等.信號(hào)與系統(tǒng),第二版.高等教育出版社，2000.[6]吳大正.信號(hào)與線性系統(tǒng)分析,第三版，高等教育出版社，2000.[7]朱鐘霖等.信號(hào)與系統(tǒng).中國(guó)鐵道出版社,1996.[8]吳湘淇.信號(hào)、系統(tǒng)與信號(hào)處理,(上).電子工業(yè)出版社，1999.[9]駱麗,胡健等譯.全美經(jīng)典學(xué)習(xí)指導(dǎo)系列《信號(hào)與系統(tǒng)》，科學(xué)出版社，2002.信號(hào)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域描述連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)時(shí)域描述離散時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算確定信號(hào)的時(shí)域分解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域描述典型普通信號(hào) 正弦信號(hào) 實(shí)指數(shù)信號(hào) 虛指數(shù)信號(hào) 復(fù)指數(shù)信號(hào) 抽樣函數(shù)奇異信號(hào) 單位階躍信號(hào) 沖激信號(hào) 斜坡信號(hào) 沖激偶信號(hào)1正弦信號(hào)A:振幅w0:角頻率弧度/秒j:初始相位一、典型普通信號(hào)2指數(shù)信號(hào)——實(shí)指數(shù)信號(hào)

2指數(shù)信號(hào)——虛指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)的周期：復(fù)指數(shù)信號(hào)的基波周期：Euler公式：2指數(shù)信號(hào)——復(fù)指數(shù)信號(hào)tt3.抽樣函數(shù)抽樣函數(shù)具有以下性質(zhì)：與Sa(t)函數(shù)類似的是sinc(t)函數(shù)，其定義為1單位階躍信號(hào)定義:二、奇異信號(hào)階躍信號(hào)的作用：1．表示任意的方波脈沖信號(hào)f(t)=u(t-T)-u(t-2T)

2．利用階躍信號(hào)的單邊性表示信號(hào)的時(shí)間范圍階躍信號(hào)的作用：2.沖激信號(hào)單位階躍信號(hào)加在電容兩端，流過(guò)電容的電流i(t)=Cdu(t)/dt可用沖激信號(hào)表示。狄拉克定義式：(t)=0,t02)沖激信號(hào)的定義1)沖激信號(hào)的引出3)沖激信號(hào)的圖形表示說(shuō)明：(1)沖激信號(hào)可以延時(shí)至任意時(shí)刻t0，以符號(hào)(t-t0)表示，其波形如圖所示。(t-t0)的定義式為：(3)沖激信號(hào)的物理意義：表征作用時(shí)間極短，作用值很大的物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型(4)沖激信號(hào)的作用：(2)沖激信號(hào)具有強(qiáng)度，其強(qiáng)度就是沖激信號(hào)對(duì)時(shí)間的定積分值。在圖中用括號(hào)注明，以區(qū)分信號(hào)的幅值。A.表示其他任意信號(hào)；B.表示信號(hào)間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。4)沖激信號(hào)的極限模型5)沖激信號(hào)的性質(zhì)(1)篩選特性(2)取樣特性(3)展縮特性推論：沖激信號(hào)是偶函數(shù)。5)沖激信號(hào)的性質(zhì)證明：取a=-1即可得d(t)=d(-t)(4)沖激信號(hào)與階躍信號(hào)的關(guān)系5)沖激信號(hào)的性質(zhì)3.斜坡信號(hào)

與階躍信號(hào)之間的關(guān)系：定義：4.沖激偶信號(hào)沖激偶信號(hào)圖形表示定義：性質(zhì)：四種奇異信號(hào)具有微積分關(guān)系[例題]計(jì)算下列各式的值[解]注意：2.對(duì)于(at+b)形式的沖激信號(hào)，要先利用沖激信號(hào)的展縮特性將其化為1/|a|(t+b/a)形式后，方可利用沖激信號(hào)的取樣特性與篩選特性。1.在沖激信號(hào)的取樣特性中，其積分區(qū)間不一定都是(-，+)，但只要積分區(qū)間不包括沖激信號(hào)(t-t0)的t=t0時(shí)刻，則積分結(jié)果必為零。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算信號(hào)的尺度變換信號(hào)的翻轉(zhuǎn)信號(hào)的平移信號(hào)相加信號(hào)相乘信號(hào)的微分信號(hào)的積分1.尺度變換f(t)

f(at)a>0若0<a<1，則f(at)是f(t)的擴(kuò)展。若a>1，則f(at)是f(t)的壓縮。例：尺度變換變換后語(yǔ)音信號(hào)的變化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段語(yǔ)音信號(hào)(“對(duì)了”)。抽樣頻率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)2.信號(hào)的翻轉(zhuǎn) f(t)

f(-t)將f(t)以縱軸為中心作180翻轉(zhuǎn)3.時(shí)移（平移）f(t)

f(t-t0)f(t-t0)，則表示信號(hào)右移t0單位；f(t+t0)，則表示信號(hào)左移t0單位。

4.信號(hào)的相加f(t)=f1(t)+f2(t)+……fn(t)5.信號(hào)的相乘f(t)=f1(t)·

f2(t)·……·fn(t)6.信號(hào)的微分y(t)=df(t)/dt=f'(t)注意：對(duì)不連續(xù)點(diǎn)的微分7.信號(hào)的積分[例題]已知f(t)的波形如圖所示，試畫(huà)出f(6-2t)的波形。0<a<1，擴(kuò)展a倍a>1，壓縮1/a倍-：右移b/a單位+：左移b/a單位先翻轉(zhuǎn) 再展縮 后平移離散時(shí)間信號(hào)的時(shí)域描述離散時(shí)間信號(hào)的表示基本離散時(shí)間序列

實(shí)指數(shù)序列 虛指數(shù)序列和正弦序列 復(fù)指數(shù)序列 單位脈沖序列 單位階躍序列一、離散時(shí)間信號(hào)的表示序列的列表表示表示k=0的位置序列的圖形表示二、基本離散時(shí)間序列1．實(shí)指數(shù)序列2.虛指數(shù)序列和正弦序列利用Euler公式可以將正弦序列和虛指數(shù)序列聯(lián)系起來(lái)，即兩者的區(qū)別:的振蕩頻率不隨角頻率0的增加而增加。周期性： 如果W0/2p=m/N，N、m是不可約的整數(shù)，則信號(hào)的周期為N。即0N=m2

，m=正整數(shù)時(shí)，信號(hào)是周期信號(hào)。離散信號(hào)周期判斷舉例：1)f1[k]=sin(kp/6)W0/2p=1/12,由于1/12是不可約的有理數(shù)，故離散序列的周期N=12。

W0/2p=1/12p,由于1/12p不是有理數(shù)，故離散序列是非周期的。

W0/2p=3/8由于3/8是不可約的有理數(shù)，故f3[k]的周期為N=8。2)f2[k]=sin(k/6)3)對(duì)f3(t)=sin6pt,以fs=8Hz抽樣所得序列3．復(fù)指數(shù)序列衰減正弦信號(hào)增幅正弦信號(hào)4.單位脈沖序列定義：?jiǎn)挝幻}沖序列作用表示任意離散時(shí)間信號(hào)5.單位階躍序列定義：d[k]與u[k]關(guān)系:6.矩形序列7.斜坡序列r[k]離散時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算翻轉(zhuǎn)(f[k]

f[-k])位移(f[k]

f[kn])內(nèi)插與抽取序列相加序列相乘差分與求和1.翻轉(zhuǎn)f[k]f[-k]將f[k]以縱軸為中心作180度翻轉(zhuǎn)2.位移f[k]

f[kn]f[k+n]表示將f[k]左移n個(gè)單位。f[k-n]表示將f[k]右移n個(gè)單位。3.尺度變換抽取(decimation)M在原序列中每隔M-1點(diǎn)抽取一點(diǎn)f[k]f[Mk]M為正整數(shù)3.尺度變換內(nèi)插(interpolation)M在序列兩點(diǎn)之間插入M-1個(gè)點(diǎn)4．序列相加指將若干離散序列序號(hào)相同的數(shù)值相加5.序列相乘指若干離散序列序號(hào)相同的數(shù)值相乘6.差分一階后向差分二階后向差分一階前向差分二階前向差分N階后向差分N階前向差分單位脈沖序列可用單位階躍序列的差分表示7.求和單位階躍序列可用單位脈沖序列的求和表示信號(hào)的分解1．信號(hào)分解為直流分量與交流分量2．信號(hào)分解為奇分量與偶分量之和3．信號(hào)分解為實(shí)部分量與虛部分量4．連續(xù)信號(hào)分解為沖激函數(shù)的線性組合5．離散序列分解為脈沖序列的線性組合連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)直流交流2.信號(hào)分解為交流分量與直流分量之和2.信號(hào)分解為奇分量與偶分量之和連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)偶分量奇分量[例1]畫(huà)出f(t)的奇、偶兩個(gè)分量3．信號(hào)分解為實(shí)部分量與虛部分量連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)實(shí)部分量虛部分量4.連續(xù)信號(hào)分解為沖激函數(shù)的線性組合當(dāng)0時(shí)，k，d，且物理意義：不同的信號(hào)都可以分解為沖激序列，信號(hào)不同只是它們的系數(shù)不同。實(shí)際應(yīng)用：當(dāng)求解信號(hào)f(t)通過(guò)LTI系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)時(shí)，只需求解沖激信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)，然后利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，進(jìn)行迭加和延時(shí)即可求得信號(hào)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)。信號(hào)分解(t)為物理意義與實(shí)際應(yīng)用任意序列可以分解為單位脈沖序列及其位移的加權(quán)和5.離散序列分解為脈沖序列的線性組合系統(tǒng)的時(shí)域分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)卷積積分及其性質(zhì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)卷積和及其性質(zhì)單位沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)用N階常系數(shù)微分方程描述ai、

bi為常數(shù)。離散時(shí)間系統(tǒng)用N階常系數(shù)差分方程描述ai、

bi為常數(shù)。線性時(shí)不變系統(tǒng)的特點(diǎn)LTI系統(tǒng)除具有線性特性和時(shí)不變特性外，還具有:1）微分特性與差分特性：若T{f(t)}=y(t)則若T{f[k]}=y[k]則T{f[k]

-f[k-1]}=y[k]

-y[k-1]2）積分特性與求和特性：若T{f(t)}=y(t)則若T{f[k]}=y[k]則連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)經(jīng)典時(shí)域分析方法卷積法

零輸入響應(yīng)求解 零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)響應(yīng)求解方法1.經(jīng)典時(shí)域分析方法:求解微分方程2.卷積法:系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解齊次微分方程得到零輸入響應(yīng)利用卷積積分可求出零狀態(tài)響應(yīng)一、經(jīng)典時(shí)域分析方法 微分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成齊次解yh(t)的形式由齊次方程的特征根確定特解yp(t)的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定齊次解yh(t)的形式(1)特征根是不等實(shí)根s1,s2,,sn(2)特征根是相等實(shí)根s1=s2==sn(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式例1已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

初始條件y(0)=1,y’(0)=2,輸入信號(hào)f(t)=e-t

u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。特征根為齊次解yh(t)解(1)求齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)特征方程為2)求非齊次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由輸入f(t)的形式，設(shè)方程的特解為yp(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。3)求方程的全解討論1)若初始條件不變，輸入信號(hào)f(t)=sint

u(t)，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)=？2)若輸入信號(hào)不變，初始條件y(0)=0,y’(0)=1,則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)=？經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無(wú)法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。二卷積法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。數(shù)學(xué)模型:求解方法：根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式，再由初始條件確定待定系數(shù)。[解]系統(tǒng)的特征方程為例2已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=1，y'(0-)=3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。系統(tǒng)的特征根為y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'x(0-)=-2K1-3K2=3解得K1=6，K2=-5例3已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。[解]系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實(shí)根）y(0-)=yx(0-)=K1=1;y'(0-)=y'x(0-)=-2K1+K2=3解得K1=1,K2=5例4已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=1，y'(0-)=3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。[解]系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為y(0-)=yx(0-)=K1=1y'(0-)=y'x(0-)=-K1+2K2=3解得K1=1，K2=22、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)方法：

1)直接求解初始狀態(tài)為零的微分方程。2)卷積法：利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yf(t)表示。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的思路1)將任意信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合。2)求出單位沖激信號(hào)作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)—單位沖激響應(yīng)h(t)。3)利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，求出單位沖激信號(hào)線性組合作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，即系統(tǒng)在任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)推導(dǎo)由時(shí)不變特性由均勻特性由積分特性例5已知某LTI系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為y′(t)+3y(t)=2f(t)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=2e-3t

u(t),f(t)=3u(t),試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。[解]連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義 在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下，以單位沖激信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，以符號(hào)h(t)表示。N階連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)由于t>0+后,方程右端為零,故n>m時(shí)nm時(shí),為使方程兩邊平衡,h(t)應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù),即將h(t)代入微分方程，使方程兩邊平衡,確定系數(shù)Ki，

Ai例1已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：當(dāng)f(t)=d(t)時(shí),y(t)=h(t),即動(dòng)態(tài)方程式的特征根s=-3,且n>m,故h(t)的形式為解得A=2例2已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：當(dāng)f(t)=d(t)時(shí),y(t)=h(t),即動(dòng)態(tài)方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式為解得A=-16,B=3沖激平衡法小結(jié)1)由系統(tǒng)的特征根來(lái)確定u(t)前的指數(shù)形式.2)由動(dòng)態(tài)方程右邊d(t)的最高階導(dǎo)數(shù)與方程左邊h(t)的最高階導(dǎo)數(shù)確定d(j)(t)項(xiàng).連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)求解方法:1)求解微分方程2)利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系例3求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(t)。例1系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為解：利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系，可得h(t)=2e-3t

u(t)卷積積分的計(jì)算和性質(zhì)卷積積分的計(jì)算卷積積分的性質(zhì)

交換律、分配律、結(jié)合律、位移特性、展縮特性

延遲特性、微分特性、積分特性、等效特性奇異信號(hào)的卷積積分一卷積積分的計(jì)算卷積的定義：1）將f(t)和h(t)中的自變量由t改為，成為函數(shù)的自變量；卷積的計(jì)算步驟：2）把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)、平移；3）將f(t)與h(t-t)相乘；對(duì)乘積后的圖形積分。例1例2：計(jì)算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-<t

-1b)-1

t<0y(t)=0c)0

t<1d)1

t<y(t)=0練習(xí)1：u(t)*u(t)練習(xí)2：計(jì)算y(t)=f(t)*h(t)。=r(t)二卷積的性質(zhì)1)交換律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2)分配律[

f1(t)+f2(t)]*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)3)結(jié)合律[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]4)位移特性

已知f1(t)*f2(t)=y(t)則:f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1

-t2)5)展縮位移特性證明：展縮特性證明：例：利用位移特性及u(t)*u(t)=r(t)，計(jì)算y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=[u(t)-

u(t-1)]*[u(t)-

u(t-2)]=u(t)*u(t)-

u(t-1)*u(t)-

u(t)*u(t-2)-

u(t-1)*u(t-2)=r(t)-

r(t-2)–r(t-1)+r(t-3)三奇異信號(hào)的卷積1)延遲特性f(t)*(t-T)=f(t-T)

2)微分特性f(t)*

'(t)=f'(t)

3)積分特性4)等效特性例1：已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y'(t)。解：y'(t)=y(t)*d'(t)=[f1(t)*

f2(t)]*d'(t)例2：已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y(-1)(t)。解：y(-1)(t)=y(t)*u(t)=[f1(t)*

f2(t)]*u(t)=

f1'(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2'(t)=

f1(-1)(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2(-1)(t)例3：利用等效特性，計(jì)算y(t)=f(t)*h(t)。f'(t)=d(t)-d(t-1)f'(t)*

h(t)=h(t)-

h(t-1)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)迭代法求系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)典時(shí)域法求系統(tǒng)響應(yīng)卷積法求系統(tǒng)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)求解 零狀態(tài)響應(yīng)求解離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為2.經(jīng)典時(shí)域分析方法:求解差分方程3.卷積法:系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解齊次差分方程得到零輸入響應(yīng)yx[k]利用卷積和可求出零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]系統(tǒng)響應(yīng)求解方法:1.迭代法:一、迭代法已知n個(gè)初始條件{y[-1],y[-2],y[-3],????,y[-n]}和輸入f[k]，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出。迭代法舉例例1一階線性常系數(shù)差分方程y[k]-0.5y[k-1]=u[k],y[-1]=1，用遞推法求解差分方程。解：將差分方程寫成：代入初始條件，可求得依此類推:缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。二、經(jīng)典時(shí)域分析方法 差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh[k]和特解yp[k]組成:齊次解yh[k]的形式由齊次方程的特征根確定特解yp[k]的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定齊次解的形式(1)特征根是不等實(shí)根r1,r2,,rn(2)特征根是相等實(shí)根r1=r2==rn(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式ak(a不是特征根)ak(a是特征根)例2已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

初始條件y[0]=0,y[1]=-1,輸入信號(hào)f[k]=2k

u[k]，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]。特征根為齊次解yh[k]解(1)求齊次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=0的齊次解yh[k]特征方程為2)求非齊次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=f[k]的特解yp[k]解得C1=-3，C2=3由輸入f[k]=2k

u[k]，設(shè)方程的特解形式為將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)A=-2。3)求方程的全解討論1)若初始條件不變，輸入信號(hào)f[k]=sin0

k

u[k]，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]=？2)若輸入信號(hào)不變，初始條件y[0]=1,y[1]=1,則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]=？經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無(wú)法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。三、卷積法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。數(shù)學(xué)模型:求解方法：根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式，再由初始條件確定待定系數(shù)。[解]系統(tǒng)的特征方程為例3已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]。系統(tǒng)的特征根為解得C1=1，C2=-2例4已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=0，y[-2]=-1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]。[解]系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實(shí)根）解得C1=4,C2=4例5已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=2，y[-2]=-1，y[-3]=8，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx[k]。[解]系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為解得C1=1，C2=0，C3=52.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]的方法：

1)直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程。2)卷積法：利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)f[k]產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)，用yf[k]表示。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]的思路1)將任意信號(hào)分解為單位脈沖序列的線性組合2)求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)。3)利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，求出單位脈沖序列線性組合作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，即系統(tǒng)在任意信號(hào)f[k]激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]。卷積和求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf[k]推導(dǎo)由時(shí)不變特性由均勻特性由疊加特性例6若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為已知激勵(lì)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf

[k]。解：離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h[k]定義h[k]的求解

迭代法 等效初始條件法單位階躍響應(yīng)g[k]的求解1.單位脈沖響應(yīng)h[k]定義 單位脈沖序列[k]作用于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng),用符號(hào)h[k]表示。對(duì)N階LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，h[k]滿足方程2.h[k]的求解求解方法:2)等效初始條件法 將d[k-j]對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)作用，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件。

等效初始條件由差分方程和h[-1]=h[-2]==h[-n]=0遞推求出。1)迭代法例1若描述某離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的差分方程為

求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]。解：h[k]滿足方程1)求等效初始條件對(duì)于因果系統(tǒng)有h[-1]=h[-2]=0，代入上面方程可推出注意：選擇初始條件的基本原則是必須將d[k]的作用體現(xiàn)在初始條件中可以選擇h[0]和h[1]或h[-1]和h[0]作為初始條件2)求差分方程的齊次解特征方程為特征根為齊次解的表達(dá)式為代入初始條件，有解得C1=-1，C2=23.單位階躍響應(yīng)單位階躍序列u[k]作用在離散時(shí)間LTI系統(tǒng)上產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用符號(hào)g[k]表示。求解方法：1)迭代法2)經(jīng)典法3)利用單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系h[k]=g[k]-g[k-1]例2求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g[k]。解:例1所述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為利用h[k]與g[k]的關(guān)系，可得h[k]=[-(-1)k+2(-2)k]u[k]卷積和的計(jì)算與性質(zhì)圖解法計(jì)算卷積和列表法計(jì)算卷積和卷積和的性質(zhì)

交換律結(jié)合律分配律位移特性 差分與求和特性一.圖解法計(jì)算卷積和計(jì)算步驟:1)將f[k]、h[k]中的自變量由k改為n；2)把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)，如將h[n]翻轉(zhuǎn)得h[-n]；3)把h[-n]平移k，k是參變量。k>0圖形右移，k<0圖形左移。4)將f[n]與h[k-n]重疊部分相乘；5)對(duì)乘積后的圖形求和。卷積和定義為例1已知f[k]=u[k],h[k]=aku[k],0<a<1,計(jì)算y[k]=f[k]*h[k]k

<0,f[n]與h[k-n]圖形沒(méi)有相遇k

>0,f[n]與h[k-n]圖形相遇y[k]=0例2計(jì)算y[k]=RN[k]*RN[k]。k

<0時(shí),RN

[n]與RN

[k-n]圖形沒(méi)有相遇y[k]=00

k

N-1時(shí),重合區(qū)間為[0，k]N-1

k2N-2時(shí),重合區(qū)間為[-(N-1)+k，N-1]k>2N-2時(shí),RN

[n]與RN

[k-n]圖形不再相遇y[k]=0二.列表法計(jì)算序列卷積和設(shè)f[k]和h[k]都是因果序列，則有當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k=2時(shí)，當(dāng)k=3時(shí)，以上求解過(guò)程可以歸納成列表法。列表法將h[k]的值順序排成一行，將f[k]的值順序排成一列，行與列的交叉點(diǎn)記入相應(yīng)f[k]與h[k]的乘積，對(duì)角斜線上各數(shù)值就是f[n]h[k-n]的值。對(duì)角斜線上各數(shù)值的和就是y[k]各項(xiàng)的值。例3計(jì)算與的卷積和。三.卷積和的性質(zhì)交換律:f[k]*h[k]=h[k]*f[k]f[k]*{h1[k]*

h2[k]}={f[k]*h1[k]}*

h2[k]f[k]*{h1[k]+h2[k]}=f[k]*h1[k]+f[k]*

h2[k]結(jié)合律:分配律:卷積和的性質(zhì)（續(xù)）位移特性：f[k]*d[k-n]=f[k-n]推論：若f[k]*h[k]=y[k]，則f[k-n]*h[k-l]=y[k-(n+l)]差分與求和特：若f[k]*h[k]=y[k]例4計(jì)算與的卷積和解：利用位移特性單位沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)1.級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)根據(jù)卷積積分的結(jié)合律性質(zhì)，有h(t)結(jié)論:1)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2)交換兩個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的先后連接次序不影響系統(tǒng)總的沖激響應(yīng)。兩個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)也有同樣的結(jié)論。2.并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)應(yīng)用卷積積分的分配律性質(zhì)，有h(t)結(jié)論并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。兩個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的并聯(lián)也有同樣的結(jié)論。例1求圖示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。其中h1(t)=e-3t

u(t)，

h2(t)=d(t-1)，h3(t)=u(t)。解：

子系統(tǒng)h1(t)與h2(t)級(jí)聯(lián)，h3(t)支路與h1(t)h2(t)級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)。例2求圖示系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。其中h1[k]=2k

u[k]，

h2[k]=d[k-1]，h3[k]=3k

u[k]，h4[k]=u[k]。解：

子系統(tǒng)h2[k]與h3[k]級(jí)聯(lián)，h1[k]支路、全通支路與h2[k]h3[k]級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)，再與h4[k]級(jí)聯(lián)。全通支路滿足全通離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為單位脈沖序列d[k]3.因果系統(tǒng)定義：因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)t0時(shí)刻的輸出只和t0時(shí)刻及以前的輸入信號(hào)有關(guān)。因果系統(tǒng)的充分必要條件因果連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)必須滿足因果離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)必須滿足一個(gè)因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)在沖激出現(xiàn)之前必須為零。例3判斷M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)。解：M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為即顯然，只有當(dāng)M2=0時(shí)，才滿足h[k]=0,k<0的充要條件。即當(dāng)M2=0時(shí)，系統(tǒng)是因果的。4.穩(wěn)定系統(tǒng)定義：若連續(xù)系統(tǒng)對(duì)任意的有界輸入其輸出也有界，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是例4判斷M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：由例3可知，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為由離散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可以判斷出該系統(tǒng)穩(wěn)定。對(duì)h[k]求和，可得例5已知一因果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)=eatu(t)，判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：由于當(dāng)a<0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)a0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定信號(hào)的頻域分析連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜常見(jiàn)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)離散周期信號(hào)的頻域分析離散非周期信號(hào)的頻域分析連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)周期信號(hào)的功率譜

將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合

(1)從信號(hào)分析的角度，將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途徑。

(2)從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)而且每個(gè)正弦分量通過(guò)系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析意義：一、周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)1.周期信號(hào)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)條件周期信號(hào)fT(t)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)絕對(duì)可積，即滿足 (2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；(3)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。2.指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)表示為其中兩項(xiàng)的基波頻率為f0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的基波分量的基波頻率為2f0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的2次諧波分量的基波頻率為Nf0，兩項(xiàng)合起來(lái)稱為信號(hào)的N次諧波分量物理含義：周期信號(hào)f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和。3.三角形式傅立葉級(jí)數(shù)若f(t)為實(shí)函數(shù)，則有利用這個(gè)性質(zhì)可以將指數(shù)Fourier級(jí)數(shù)表示寫為令由于C0是實(shí)的，所以b0=0，故三角形式傅立葉級(jí)數(shù)純余弦形式傅立葉級(jí)數(shù)

稱為信號(hào)的直流分量，

Ancos(n0+n)稱為信號(hào)的n次諧波分量。例題1試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:該周期信號(hào)f

(t)顯然滿足狄里赫勒的三個(gè)條件，必然存在傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式?？傻茫芷诜讲ㄐ盘?hào)的三角形式傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為若=T/2，則有由因此，周期方波信號(hào)的指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為例2試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:該周期信號(hào)f

(t)顯然滿足狄里赫勒的三個(gè)條件，Cn存在周期三角脈沖信號(hào)的三角形式傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為由周期三角脈沖信號(hào)的指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為二、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)周期信號(hào)f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和

Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)。不同的時(shí)域信號(hào)，只是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn不同，因此通過(guò)研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)來(lái)研究信號(hào)的特性。1、頻譜的概念2、頻譜的表示 直接畫(huà)出信號(hào)各次諧波對(duì)應(yīng)的An、

Cn線狀分布圖形，這種圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。幅頻特性相頻特性例1周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖3．頻譜的特性(1)離散頻譜特性周期信號(hào)的頻譜是由間隔為ω0的譜線組成信號(hào)周期T越大，ω0就越小，則譜線越密。反之，T越小，ω0越大，譜線則越疏。3．頻譜的特性

(2)幅度衰減特性當(dāng)周期信號(hào)的幅度頻譜隨著諧波nw0增大時(shí)，幅度頻譜|Cn|不斷衰減，并最終趨于零。若信號(hào)時(shí)域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號(hào)時(shí)域波形變化跳變?cè)蕉啵叽沃C波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。

f(t)不連續(xù)時(shí)，Cn按1/n的速度衰減f’(t)不連續(xù)時(shí)，Cn按1/n2的速度衰減(3)信號(hào)的有效帶寬0~2

/這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度,即

信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間成反比。即

越大，其ωB越小；反之，

越小，其ωB越大。物理意義：若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。說(shuō)明：當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”。4相位譜的作用幅頻不變，零相位幅頻為常數(shù)，相位不變1.線性特性

2.時(shí)移特性

三、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)3.卷積性質(zhì)(1)若f(t)為實(shí)信號(hào) 若f1(t)和f2(t)均是周期為T0的周期信號(hào)，且4.微分特性5.對(duì)稱特性5.對(duì)稱特性(2)縱軸對(duì)稱信號(hào) fT(t)=fT(-t)

縱軸對(duì)稱周期信號(hào)其傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有直流項(xiàng)與余弦項(xiàng)。(3)原點(diǎn)對(duì)稱信號(hào) fT(t)=-fT(-t)

原點(diǎn)對(duì)稱周期信號(hào)其傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng)。(4)半波重迭信號(hào)

fT(t)=f(t±T/2)

半波重疊周期信號(hào)只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無(wú)奇次諧波分量。(5)半波鏡像信號(hào) fT(t)=-f(t±T/2)半波鏡像周期信號(hào)只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無(wú)直流分量與偶次諧波分量。去掉直流分量后，信號(hào)呈奇對(duì)稱，只含有正弦各次諧波分量。因此該信號(hào)含有正弦各次諧波分量，直流分量。說(shuō)明：某些信號(hào)波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種對(duì)稱特性[例題3]四、周期信號(hào)的功率譜物理意義：任意周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。 周期信號(hào)的功率頻譜：|Cn|2

隨nw0分布情況稱為周期信號(hào)的功率頻譜，簡(jiǎn)稱功率譜。帕什瓦爾(Parseval)功率守恒定理[例題4]試求周期矩形脈沖信號(hào)在其有效帶寬(0~2p/t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。[解]周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為將A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p代入上式功率譜信號(hào)的平均功率為包含在有效帶寬(0~2p/t)內(nèi)的各諧波平均功率為周期矩形脈沖信號(hào)包含在有效帶寬內(nèi)的各諧波平均功率之和占整個(gè)信號(hào)平均功率的90%。吉伯斯現(xiàn)象 用有限次諧波分量來(lái)近似原信號(hào)，在不連續(xù)點(diǎn)出現(xiàn)過(guò)沖，過(guò)沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且為跳變值的9%。吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因 時(shí)間信號(hào)存在跳變破壞了信號(hào)的收斂性，使得在間斷點(diǎn)傅里葉級(jí)數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。N=5N=15N=50N=500周期信號(hào)的頻域分析小結(jié)分析問(wèn)題使用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉級(jí)數(shù)最重要概念：頻譜函數(shù)要點(diǎn) 1.頻譜的定義、物理意義 2.頻譜的特點(diǎn) 3.頻譜的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)分析復(fù)雜信號(hào)的頻譜 4.功率譜的概念及在工程中的應(yīng)用連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別傅里葉反變換非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜分析1．從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換討論周期T增加對(duì)離散譜的影響：周期為T寬度為t的周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為物理意義:F(jw)是單位頻率所具有的信號(hào)頻譜，稱之為非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。2.頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別(1)周期信號(hào)的頻譜為離散頻譜，

非周期信號(hào)的頻譜為連續(xù)頻譜。(2)周期信號(hào)的頻譜為Cn的分布，表示每個(gè)諧波分量的復(fù)振幅；非周期信號(hào)的頻譜為TCn的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜密度函數(shù)。兩者關(guān)系：物理意義：非周期信號(hào)可以分解為無(wú)數(shù)個(gè)頻率為，復(fù)振幅為[F()/2p]d的復(fù)指數(shù)信號(hào)ejwt的線性組合。T

,記nw0=w,w0=2p/T=dw,3.傅里葉反變換傅立葉正變換：傅立葉反變換：符號(hào)表示：狄里赫萊條件狄里赫萊條件是充分不必要條件（1）非周期信號(hào)在無(wú)限區(qū)間上絕對(duì)可積（2）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號(hào)只有有限個(gè)最大值和最小值。（3）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號(hào)僅有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且這些點(diǎn)必須是有限值。[例題]試求圖示非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)[解]非周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的時(shí)域表示式為由傅立葉正變換定義式，可得分析：2.周期信號(hào)的離散頻譜可以通過(guò)對(duì)非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜等間隔取樣求得3.信號(hào)在時(shí)域有限，則在頻域?qū)o(wú)限延續(xù)。4.信號(hào)的頻譜分量主要集中在零頻到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。5.脈沖寬度越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。即信號(hào)信息量大、傳輸速度快，傳送信號(hào)所占用的頻帶越寬。1.非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜的包絡(luò)線相似。常見(jiàn)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜常見(jiàn)非周期信號(hào)的頻譜(頻譜密度)單邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)e-|t|單位沖激信號(hào)(t)直流信號(hào)符號(hào)函數(shù)信號(hào)單位階躍信號(hào)u(t)常見(jiàn)周期信號(hào)的頻譜密度虛指數(shù)信號(hào)正弦型信號(hào)單位沖激序列1.常見(jiàn)非周期信號(hào)的頻譜(1)單邊指數(shù)信號(hào)幅度頻譜為相位頻譜為單邊指數(shù)信號(hào)及其幅度頻譜與相位頻譜(2)雙邊指數(shù)信號(hào)e-|t|幅度頻譜為

相位頻譜為(3)單位沖激信號(hào)δ(t)單位沖激信號(hào)及其頻譜(4)直流信號(hào) 直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件,可采用極限的方法求出其傅里葉變換。

對(duì)照沖激、直流時(shí)頻曲線可看出:時(shí)域持續(xù)越寬的信號(hào)，其頻域的頻譜越窄；時(shí)域持續(xù)越窄的信號(hào)，其頻域的頻譜越寬。直流信號(hào)及其頻譜（5）符號(hào)函數(shù)信號(hào)符號(hào)函數(shù)定義為符號(hào)函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜(6)單位階躍信號(hào)u(t)單位階躍信號(hào)及其頻譜2常見(jiàn)周期信號(hào)的頻譜(1)虛指數(shù)信號(hào)同理:（2）正弦型信號(hào)余弦信號(hào)及其頻譜函數(shù)正弦信號(hào)及其頻譜函數(shù)（3）一般周期信號(hào)兩邊同取傅立葉變換

（4）單位沖激序列因?yàn)門(t)為周期信號(hào)，先將其展開(kāi)為指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)：?jiǎn)挝粵_激序列及其頻譜函數(shù)1.線性特性 2.共軛對(duì)稱特性3.對(duì)稱互易特性 4.展縮特性 5.時(shí)移特性6.頻移特性7.時(shí)域卷積特性 8.頻域卷積特性9.時(shí)域微分特性10.積分特性 11.頻域微分特性12.能量定理傅里葉變換的基本性質(zhì)1.線性特性其中a和b均為常數(shù)。2.共軛對(duì)稱特性當(dāng)f(t)為是實(shí)函數(shù)時(shí)，有|F(jw)|=|F(-jw)|，f(w)=-f(-w)F(jw)為復(fù)數(shù)，可以表示為3．時(shí)移特性式中t0為任意實(shí)數(shù)證明：令x=t-t0，則dx=dt，代入上式可得信號(hào)在時(shí)域中的時(shí)移，對(duì)應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。[例1]試求圖示延時(shí)矩形脈沖信號(hào)f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jw)。[解]無(wú)延時(shí)且寬度為的矩形脈沖信號(hào)f(t)如右圖，因?yàn)楣?，由延時(shí)特性可得其對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為4.展縮特性證明:令x=at，則dx=adt，代入上式可得時(shí)域壓縮，則頻域展寬；時(shí)域展寬，則頻域壓縮。例：尺度變換變換后語(yǔ)音信號(hào)的變化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段語(yǔ)音信號(hào)(“對(duì)了”)。抽樣頻率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)5.互易對(duì)稱特性6.頻移特性（調(diào)制定理）若 f(t)

F(jw)式中0為任意實(shí)數(shù)證明： 由傅立葉變換定義有則信號(hào)f(t)與余弦信號(hào)cosw0

t相乘后，其頻譜是將原來(lái)信號(hào)頻譜向左右搬移w0，幅度減半。同理

[例2]試求矩形脈沖信號(hào)f(t)與余弦信號(hào)cosw0t相乘后信號(hào)的頻譜函數(shù)。應(yīng)用頻移特性可得[解]已知寬度為的矩形脈沖信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為7.時(shí)域微分特性則若 f(t)

F(jw)

[例3]試?yán)梦⒎痔匦郧缶匦蚊}沖信號(hào)的頻譜函數(shù)。[解]

由時(shí)域微分特性因此有8.積分特性若信號(hào)不存在直流分量，即F(0)=0則若 f(t)

F(jw)則9.頻域微分特性則若 f(t)

F(jw)將上式兩邊同乘以j得證明：[例4]試求單位斜坡信號(hào)tu(t)的傅立葉變換。 [解]已知單位階躍信號(hào)傅立葉變換為:利用頻域微分特性可得:10.時(shí)域卷積特性證明：11.頻域卷積特性(調(diào)制特性)證明：12.非周期信號(hào)的能量譜密度由于信號(hào)f(t)為實(shí)數(shù)，故F(-jw)=F*(jw)，因此上式為 信號(hào)的能量可以由|F(jw)|2在整個(gè)頻率范圍的積分乘以1/2

來(lái)計(jì)算。 物理意義：非周期能量信號(hào)的歸一化能量在時(shí)域中與在頻域中相等，保持能量守恒。能量頻譜密度函數(shù)(能量頻)：?jiǎn)挝唤穷l率的信號(hào)能量帕什瓦爾能量守恒定理1.線性特性 2.對(duì)稱互易特性3.展縮特性 4.時(shí)移特性 5.頻移特性6.時(shí)域卷積特性 7.頻域卷積特性8.時(shí)域微分特性9.積分特性 10.頻域微分特性傅立葉變換性質(zhì)一覽表非周期信號(hào)頻域分析小結(jié)重要概念:非周期信號(hào)的頻譜1)非周期信號(hào)的頻譜與周期信號(hào)的頻譜的區(qū)別2)非周期信號(hào)頻譜的物理意義3)非周期信號(hào)頻譜的分析方法:應(yīng)用常用基本信號(hào)的頻譜與傅里葉變換的性質(zhì)分析問(wèn)題使用的數(shù)學(xué)工具:傅里葉變換工程應(yīng)用:調(diào)制、解調(diào)，頻分復(fù)用離散Fourier級(jí)數(shù)（DFS）DFS的定義常用離散周期序列的頻譜分析 周期單位脈沖序列d

N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列DFS的性質(zhì)一、DFS的定義IDFSDFS0k不是N的整數(shù)倍Nk是N的整數(shù)倍DFS的物理含義1)周期為N的任意序列可分解為基本序列{exp(2pkm/N;m=0,1,,N-1}的線性組合。2)任意序列在的抽樣值，做DFS獲得可通過(guò)對(duì)二、常用離散周期序列的頻譜分析1.周期單位脈沖序列d

N[k]二、常用離散周期序列的頻譜分析2.正弦型序列周期序列f[k]=cos(pk/6)的頻譜二、常用離散周期序列的頻譜分析3.周期矩形波序列當(dāng)m=0,N,2N,時(shí)有周期矩形波序列的頻譜N=30M=2N=30M=12三DFS的基本性質(zhì)1.線性特性三DFS的基本性質(zhì)2.位移特性k0123a)時(shí)域位移b)頻域位移三DFS的基本性質(zhì)3.對(duì)稱性實(shí)序列偶對(duì)稱實(shí)序列奇對(duì)稱實(shí)序列實(shí)部為零，F(xiàn)[m]共軛偶對(duì)稱(虛部奇對(duì)稱)周期序列的對(duì)稱偶對(duì)稱奇對(duì)稱三DFS的基本性質(zhì)4.周期卷積定理周期卷積定義離散時(shí)間Fourier變換(DTFT)DTFT的定義DTFT的性質(zhì)一DTFT的定義DTFT 1)F(ejW)是連續(xù)的IDTFT 2)F(e

jW)是周期為2的周期函數(shù)F(ejW)特點(diǎn)：例2：解：例3：試求單位脈沖序列f[k]=d[k]的DTFT。解：二DTFT性質(zhì)1.線性特性2.對(duì)稱特性當(dāng)f[k]是實(shí)序列時(shí):F(ejW)可表示為若f[k]實(shí)偶對(duì)稱，則F(e