奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識

1、精品文檔奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識一 質(zhì)數(shù)和合數(shù)（ 1）一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)） 。一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。（ 2）自然數(shù)除 0 和 1 外，按約數(shù)的個(gè)數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。任何一個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。要特別記?。?0 和 1 不是質(zhì)數(shù)， 也不是合數(shù)。（3）最小的質(zhì)數(shù)是 2 ，2 是唯一的偶質(zhì)數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)；最小的合數(shù)是4。（ 4）質(zhì)數(shù)是一個(gè)數(shù)，是含有兩個(gè)約數(shù)的自然數(shù) 。互質(zhì)數(shù)是指兩個(gè)數(shù)， 是公約數(shù)只有一的兩個(gè)數(shù)，組成互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)可能是兩個(gè)質(zhì)數(shù)（和），可能是一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)合數(shù)（和），可能是兩個(gè)合數(shù)（和）或

2、1 與.精品文檔另一個(gè)自然數(shù)。（）如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。（）以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有個(gè)： 、 二 整除性（）概念一般地，如 a、b、c 為整數(shù)， b 0，且 a b=c，即整數(shù) a 除以整除 b（b 不等于 0），除得的商 c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是 0），我們就說， a 能被 b 整除（或者說 b 能整除 a）。記作 ba.否則，稱為 a 不能被 b 整除，（或 b 不能整除 a），記作 b a。如果整數(shù) a 能被整數(shù) b 整除， a 就叫做 b 的.精品文檔倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。（）性質(zhì)

3、性質(zhì) 1：（整除的加減性）如果a、 b 都能被c 整除，那么它們的和與差也能被c 整除。即：如果 ca，c b，那么 c（ab）。例如：如果 210，26，那么 2（106），并且 2（ 106）。也就是說， 被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對它的整除性。性質(zhì) 2：如果 b 與 c 的積能整除 a，那么 b 與 c 都能整除 a.即：如果 bca，那么 ba，ca。性質(zhì) 3：（整除的互質(zhì)可積性）如果 b、 c 都能整除 a，且 b 和 c 互質(zhì)，那么 b 與 c 的積能整除 a。即：如果 ba， ca，且（ b，c）=1，那么 bca。例如：如果228，728，且（ 2，7）=1,那么

4、（ 27） 28。性質(zhì) 4：（整除的傳遞性）如果 c 能整除 b， b 能整除 a，那么 c 能整除 a。.精品文檔即：如果 c b，ba，那么 ca。例如：如果 39，927，那么 327。（）數(shù)的整除特征能被 2 整除的數(shù)的特征： 個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8 的整數(shù) .能被 5 整除的數(shù)的特征： 個(gè)位是 0 或5。突破口能被 3（或 9）整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被 3（或 9）整除。判斷能被3（或 9）整除的數(shù)還可以用“棄（或）法” ：例如：能被整除么？解：， ， ，在數(shù)字中只剩，不是的倍數(shù)，所以不能被整除。能被 4（或 25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被 4（或 25）整除。

5、能被8（或 125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或 125）整除。能被 11 整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?11 的倍數(shù)。.精品文檔能被 7（11 或 13）整除的數(shù)的特征： 一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（11 或 13）整除，依此反復(fù)檢驗(yàn)。例如：判斷3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分為 3546 和 725 兩個(gè)數(shù).因?yàn)?3546-725=2821.再把 2821 分為 2 和821 兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?8212819，又 13 819，所以 13 2821，進(jìn)而 13354

6、6725.上述辦法也可以用來判斷余數(shù)和末位數(shù)；對于其他的數(shù)，可以將其分解成上述幾個(gè)互質(zhì)的數(shù)的乘積，再逐個(gè)考慮。三 約數(shù)與倍數(shù)（）公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例如：是和的最大公約數(shù)，可記做：（ ，）.精品文檔（）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：36 是 12 和 18 的最小公倍數(shù)，記作 12，18=36。（）最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系如果用 a 和 b 表示兩個(gè)自然數(shù)、那么這兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（ a，b） a， b=ab。（

7、多用于求最小公倍數(shù)）、（a， b）a， ba，b、 a，b是（ a，b）的倍數(shù)，（a，b）是 a，b的約數(shù)、（a，b）是 a b 和 ab 的約數(shù)，也是（ a，b） a，b 和（ a，b） a，b的約數(shù)（）求最大公約數(shù)的方法很多，主要推薦：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法。例如：、（短除法）用一個(gè)數(shù)去除 30、60、75，都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？.精品文檔解：（ 30， 60，75）=53=15這個(gè)數(shù)最大是15。、（分解質(zhì)因數(shù)法）求和的最大公約數(shù)是多少？解：（這個(gè)質(zhì)分解常用到），所以最大公約數(shù)是在這種方法中，先將數(shù)進(jìn)行質(zhì)分解，而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便是最大公約數(shù)。、（輾轉(zhuǎn)相除法

8、）用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811 和 1981 的最大公約數(shù)。解： 4811=21981+849，1981=2 849+283，849=3 283，（ 4811，1981）=283。補(bǔ)充說明：如果要求三個(gè)或更多的數(shù)的最大公約數(shù)， 可以先求其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)， 再求這個(gè)公約數(shù)與另外一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié).精品文檔果。（）約數(shù)個(gè)數(shù)公式一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積。例如：求 240 的約數(shù)的個(gè)數(shù)。解： 240243151， 240 的約數(shù)的個(gè)數(shù)是（ 41）（ 1+1）（ 11） =20，240 有 20 個(gè)約數(shù)。四 奇偶

9、性（ 1）奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被 2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?2k（k 為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用 2k+1（k 為整數(shù)）表示。特別注意，因?yàn)? 能被 2 整除，所以 0 是偶.精品文檔數(shù)。最小的奇數(shù)是，最小的偶數(shù)是（ 2）奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì) 1：偶數(shù)偶數(shù) =偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù) =偶數(shù)。性質(zhì) 2：偶數(shù)奇數(shù) =奇數(shù)。性質(zhì) 3：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì) 4：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì) 5：偶數(shù)奇數(shù) =偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù) =奇數(shù)。偶數(shù)偶數(shù) =偶數(shù)（）反證法例：桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次將其中 6 只同時(shí) “翻轉(zhuǎn)” .請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)” ，都不能使 9 只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)” .要使 9 只杯子口全朝下， 必須經(jīng)過 9 個(gè)奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)” .即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù) .但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn) 6 只杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)” ，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是