三角代換求函數(shù)最值問題

1、精品文檔巧用三角代換求無理函數(shù)的最值上海市第五十四中學(xué)（郵編200030）裴華明求無理函數(shù)的最值問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的問題之一，若用常規(guī)方法求解， 對于有些題目來說就顯得較為繁雜，計(jì)算量也較大， 但若根據(jù)問題的特點(diǎn)巧妙的用三角代換來求解，則可把求無理函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題， 使問題得已簡化， 達(dá)到事半功倍的效果。下面就介紹幾類可用三角代換法來求無理函數(shù)最值的題型，僅供參考。一、 當(dāng) 函 數(shù) 的 定 義 域 為 x0,aa0 時(shí) ， 可 設(shè) xa sin 2，0,2例 1、 求函數(shù) y1xx 的最大值和最小值。解：函數(shù)的定義域?yàn)閤0,1 ，可設(shè) xsin 2，0,2則原函數(shù)可

2、化為ysincos2 sin4又 0則324442sin1即 1y224故當(dāng)0 或時(shí)，ymin12當(dāng)時(shí)，ymax24例 2、 求函數(shù) y3xx1 的最值。解：函數(shù)的定義域?yàn)閤0,3 ，設(shè) x3sin 2，0,2則原函數(shù)可化為y3 cos3 sin16 sin41 02則4442sin2即31y31242故當(dāng)4即0時(shí)，ymax314當(dāng)4即2時(shí)，ymin314.精品文檔二、 當(dāng) 函 數(shù) 的 定 義 域 為 xa, aa 0時(shí) ， 則 可 設(shè) x a sin，2,2例 3、 求函數(shù) yx24 x2 的最大值和最小值。解：函數(shù)的定義域?yàn)閤2,2 ，可設(shè) x2 sin，2,2則原函數(shù)可化為y2 sin2

3、2 cos22 sin42則3224442sin1即4y22224故當(dāng)42即4時(shí)，ymax222當(dāng)4即時(shí)，ymin442b a cos2三、 當(dāng) 函 數(shù) 的 定 義 域 為 xa, b ， 可 設(shè) xa，0,或者設(shè) xab ba0,2cos ，22例 4、 求函數(shù) yx2213x 的最值。解：函數(shù)的定義域?yàn)閤2,7 ，可設(shè) x272 cos225 cos2，0,2則原函數(shù)可化為y5 cos15 sin25 sin6 02則3663sin1即15y5226故當(dāng)6即0 時(shí)，ymax56當(dāng)即時(shí)，ymin15632例 5、 求函數(shù) y82xx23x 的最大值或最小值。解：函數(shù)的定義域?yàn)閤2,4.精品文

4、檔可設(shè) x244213 cos ，0,22cos則原函數(shù)可化為y82 1 3cos3 13cos3sin33 cos36 sin330則233331，即43y63sin32故當(dāng)5ymax632即時(shí)，36當(dāng)3即0時(shí)，ymin433四、 當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)?xa,時(shí)，可設(shè) xa sec2，0,2例 6、 求函數(shù) yx1x2的最小值。解：函數(shù)的定義域?yàn)閤1,，可設(shè) xsec2，0,2則原函數(shù)可化為ysec21 sec22tgtg 2125tg124故當(dāng) tg0時(shí)，ymin1五、 當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)閤, aa,a0 時(shí)，可設(shè) xa sec ，0,22例 7、 求函數(shù) y1x21 的最大值。x 2xx,11

5、,解：函數(shù)的定義域?yàn)?，可設(shè) xsec，0,2,2則原函數(shù)可化為y1sec21cos2tgcossec2sec當(dāng)0,時(shí)， ycos2tgcoscos2sin2.精品文檔512sin421sin11y1當(dāng),時(shí)， ycos2tgcoscos2sin2512sin421sin1 1y54故綜合上述，原函數(shù)的最大值為5 。4六、 當(dāng) 函 數(shù) 的 定 義 域 為 x, ab,b a 時(shí) ， 可 設(shè)abb a,0,x2sec222例 8、 求函數(shù)yx243x24x1的最大值。x解：函數(shù)的定義域?yàn)閤,13,，設(shè) x3131sec，0,2,222則原函數(shù)可化為ytgsec23tgtg 222當(dāng)0,2時(shí)， y tgtg 229tg142即tg1時(shí)，原函數(shù)有最大值9 。24291當(dāng)2,時(shí)， ytgtg 22tg42即 tg1時(shí)，原函數(shù)有最大值9 。24故 綜上所述原函數(shù)的最大值為9 。4七、 當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)閤R 時(shí)，可設(shè) xtg，,。22例 9、 求函數(shù) yx2x 21 的最大值。1x 21x2.精品文檔解：函數(shù)的定義域?yàn)閤R ，可設(shè) xtg，2,2則原函數(shù)可化為ytg1tg 2sincos21 tg 21tg 21122 sin 2sin12 sin84故 當(dāng) sin1時(shí)，原函數(shù)取得最大值為1 。48例 10、求函數(shù) y3x22x32 1 x 2的最值。解：函數(shù)的定義域?yàn)閤R ，可設(shè) xtg