初中數(shù)學競賽精品標準教程及練習70：正整數(shù)簡單性質(zhì)的復習

1、初 中數(shù)學競賽精品標準教程及練習 (70)正整數(shù)簡單性質(zhì)的復習一 . 連續(xù)正整數(shù)一. n 位數(shù)的個數(shù)：一位正整數(shù)從 1 到 9 ，共 9 個，兩位數(shù)從 10 到 99，共 90 個，三位數(shù)從 100 到 999 共 910 2個，那么 n 位數(shù) 的個數(shù)共 .(n是正整數(shù) )練習：1. 一本書共 1989 頁，用 0 到 9 的數(shù)碼，給每一頁編號，總 共要用數(shù)碼個 .2. 由連續(xù)正整數(shù)寫成的數(shù) 1234 9991000 是一個 位數(shù)；100110021003 19881989 是 位數(shù).3. 除以 3 余 1 的兩位數(shù)有 個，三位數(shù)有 個， n 位數(shù)有個.4. 從 1 到 100 的正整數(shù)中，共

2、有偶數(shù) 個，含 3 的倍數(shù)個；從 50 到 1000 的正整數(shù)中，共有偶數(shù) 個，含 3 的倍數(shù)個.二. 連續(xù)正整數(shù)的和： 1+2+3+ +n=(1+n) n. 把它推廣到連續(xù)偶數(shù)，連續(xù)奇數(shù)以及以模 m 有同余數(shù)的連 續(xù)數(shù)的和 .練習： 5.計算 2+4+6+ +100=.6. 1+3+5+ +99=.7. 5+10+15+ +100=.8. 1+4+7+ +100=.9. 1+2+3+ +1989 其和是偶數(shù)或奇數(shù)？答 10. 和等 于 100 的 連續(xù) 正 整數(shù)共 有 組 ，它 們 是11. 和 等 于 100 的 連 續(xù) 整 數(shù) 共 有 組 ， 它 們 是三. 由連續(xù)正整數(shù)連寫的整數(shù)，各位

3、上的數(shù)字和整 數(shù) 123456789 各 位 上 的 數(shù) 字 和 是 ： (0+9)+(1+8)+ +(4+5)=9 5=45 ；1234 99100 各 位數(shù)字和是 (0+99)+(1+98)+ +(49+50)+1=18 50+1=901.練習：12. 整數(shù) 1234 9991000 各位上的數(shù)字和是 13. 把由 1 開始的正整數(shù)依次寫下去，直到第 198 位為止：123456789101112 這個數(shù)用 9 除的余數(shù)是 .198位14. 由1到100 這100 個正整數(shù)順次寫成的數(shù) 1234 99100 中： 它是一個 位_ 數(shù)； 它的各位上的數(shù)字和等于 ；_ 從這一數(shù)中劃去 100

4、個數(shù)字，使剩下的數(shù)盡可能大，那 么 剩下的數(shù)的前十位是 .四. 連續(xù)正整數(shù)的積： 123n 記作 n ! 讀作 n 的階乘 . n 個連續(xù)正整數(shù)的積能被 n! 整除 .如： 2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2) (a+n 1). a 為整數(shù) . n! 中含有質(zhì)因數(shù) m 的個數(shù)是 n + n2 + + ni .m m mx 表示不大于 x 的最大正整數(shù)， i=1,2,3 min 如：12310 的積中，含質(zhì)因數(shù) 3 的個數(shù)是： 10 102 =3+1=4332練習： 15. 在100! 的積中，含質(zhì)因數(shù) 5 的個數(shù)是： 16. 一串數(shù) 1，4，7，

5、10，697 ，700 相乘的積中，末尾 共有零 個17. 求證： 10 494 | 1989!18. 求證：4! | a(a 21)(a+2)a 為整數(shù)五. 兩個連續(xù)正整數(shù)必互質(zhì)練習： 19. 如果 n+1 個正整數(shù)都小于 2n, 那么必有兩個是互質(zhì)數(shù)， 試證之 .二 . 正整數(shù)十進制的表示法一. n+1 位的正整數(shù)記作： an10 n +a n110n1+a 110+a 0 其中 n 是正整數(shù)，且 0ai9 (i=1,2,3, n)的整數(shù) , 最高位 an 0.例如： 54321=5 104+4 10 3+3 102+2 10+1.例題：從 12 到 33 共 22 個正整數(shù)連寫成 A=1

6、21314 3233. 試 證：A 能被 99 整除.證明：A=12 1042+13 10 40 +14 10 38+ +31 10 4+32 10 2+33=12 100 21 +13 100 20+14 10 19+ +31 100 2+32 100+33. 100 的任何次冪除以 9 的余數(shù)都是 1，即 100 n=(99+1) n 1 (mod 9) A=99k+12+13+14+ +31+32+33(k 為正整數(shù) )=99 k+(12+33)+(13+32)+(22+23)=99k+45 11 =99k+99 5.A 能被 99 整除 .練習： 20. 把從 19 到 80 的連結(jié)兩

7、位數(shù)連寫成 19202122 7980. 試證明這個數(shù)能被 1980 整除二. 常見的一些特例 11999 9=10 n1, 333 3= 13(10 n1),111 1 19 (10 nn個9n個 3 3n個1 91).例題：試證明 12 ，1122 ，111222 ，11112222 ，這些數(shù)中的任何一個，都是兩個相鄰的正整數(shù)的積 . 12 證明：第 n 個數(shù)是111 1222 2= 1(10n 1)10 n+ 2(10n 1) n個1 n 個29 9= 1(10 n 1) (10 n+2)10n 1 10n 1 3 =3310n 1 10 n 1= ( 1)33= 333 3333 34

8、. 證畢.n個3(n 1) 個3練習21.999 9n個9化簡999 9+1 999 9=n個 9n個 922.111 1- 222 2=2n個1n個223. 求證 111 1是合數(shù) .1990個124. 已知：存在正整數(shù) n,能使數(shù)111 1被 1987 整除.n個1求證：數(shù) p= 111 1999 9 888 8777 7和n個1n個9n個 8n個7數(shù) q= 111 1999 9888 8 777 7都能被 1987 整除.n 1個1 n 1個9 n 1個 8 n 1個 725. 證明： 把一個大于 1000 的正整數(shù)分為末三位一組，其余 部分一組，若這兩組數(shù)的差，能被 7(或 13) 整

9、除，則這個正 整數(shù)就能被 7(或 13)整除 .26. 求證： 111 11 000 05+1 是完全平方數(shù) . n個 1n 1個 0三 . 末位數(shù)的性質(zhì).一.用 N (a)表示自然數(shù)的個位數(shù) . 例如 a=124 時，N (a)=4 ； a= 3 時，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r) a 和 k 都是整數(shù)， r=1,2,3,4.特別的： 個位數(shù)為 0 ，1，5，6 的整數(shù)，它們的正整數(shù)次冪的個 位數(shù)是它本身 .個位數(shù)是 4，9 的正偶數(shù)次冪的個位數(shù)也是它 本身.2. N (a)=N (b)N (a b)=0 10 |(ab).3. 若 N (a)=a 0, N (

10、b)=b 0. 則 N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0).例題 1：求 53 100 ； 和 777的個位數(shù) .解：N (53 100 )=N (3 424+4 )=N (3 4)=1先把冪的指數(shù) 77化為 4k+r 形式，設(shè)法出現(xiàn) 4 的因數(shù).77=7 7 7+7=7(7 6 1)+4+3=7(7 21)(7 4+7 2+1)+4+3=7 412 (74+7 2+1)+4+3 =4k+3N(7 77 )=N(7 4k+3 )=N(7 3)=3.練習： 27. 1989 1989 的個位數(shù)是 ，9 99的個位數(shù)是 .28. 求證：10 | (1987 1989 199

11、3 1991 ).29.22 1033 1577 2055 25的個位數(shù)是 .二. 自然數(shù)平方的末位數(shù)只有 0，1，4， 5，6，9； 連續(xù)整數(shù)平方的個位數(shù)的和，有如下規(guī)律：12 ， 22 ， 32 ， ， 102 的 個 位 數(shù) 的 和 等 于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用這一性質(zhì)計算連續(xù)整數(shù)平方的個位數(shù)的和例題 1. 填空：12，22，32，123456789 2 的和的個位數(shù)的數(shù) 字是.解： 12，22，32， ， 102 的 個位數(shù)的和 等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11 到 20；21 到 30；31 到 40 ；123456781 到1234

12、56789 ，的平方的個位數(shù)的和也都是 45. 所以所 求的個位數(shù)字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)(12345678+1) 的個位 數(shù)5.2. 為判斷不是完全平方數(shù)提供了一種方法例題 2. 求證：任何五個連續(xù)整數(shù)的平方和不能是完全平方數(shù) .證明： (用反證法 )設(shè)五個連續(xù)整數(shù)的平方和是完全平方數(shù)， 那么可記作：(n 2)2+(n 1)2+n 2+(n+1) 2+(n+2) 2=k 2(n, k都是整數(shù) )5(n 2+2)=k 2 . k2是 5 的倍數(shù)， k 也是 5的倍數(shù).設(shè) k=5m,則 5(n 2+2)=25m 2.n 2 +2=5m 2.n2+2 是 5的倍數(shù)，其個位數(shù)只能

13、是 0或 5，那么 n2 的倍數(shù)是 8 或 3.但任何自然數(shù)平方的末位數(shù)，都不可能是 8 或 3. 假設(shè)不能成立 任何五個連續(xù)整數(shù)的平方和不能是完全平方數(shù) .3. 判斷不是完全平方數(shù)的其他方法 例題 3. 已知：a 是正整數(shù).求證： a(a+1)+1 不是完全平方數(shù)證明：a(a+1)+1=a 2+a+1 ，且 a 是正整數(shù) a2 a(a+1)+1=a 2+a+11 的正整數(shù) ) 不是完全平方數(shù) n個1證明：根據(jù)奇數(shù)的平方數(shù)除以 4必余 1，即(2k+1) 2=4(k+1)+1.但 111 1 = 111 100 11 =4k+11=4k+4 n個1n-2 個12+3=4(k+2)+3即 111

14、 1除以 4 余數(shù)為 3，而不是 1，n個1它不是完全平方數(shù) .例題 5. 求證：任意兩個奇數(shù)的平方和，都不是完全平方數(shù) . 證明：設(shè) 2a+1,2b+1(a,b 是整數(shù) )是任意的兩個奇數(shù) .(2a+1) 2+(2b+1) 2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2. 這表明其和是偶數(shù)，但不是 4 的倍數(shù)， 故任意兩個奇數(shù)的平方和，都不可能是完全平方數(shù) .三. 魔術(shù)數(shù)：將自然數(shù) N 接寫在每一個自然數(shù)的右面，如果所得 到的新數(shù)，都能被 N 整除，那么 N 稱為魔術(shù)數(shù) .常見的魔 術(shù)數(shù)有：a) 能被末位數(shù)整除的自然數(shù)，其末位數(shù)是 1，2，5 (即10 的一 位

15、正約數(shù)是魔術(shù)數(shù) )b) 能被末兩位數(shù)整除的自然數(shù)， 其末兩位數(shù)是 10，20，25，50( 即100 的兩位正約數(shù)也是魔術(shù)數(shù) )c) 能被末三位數(shù)整除的自然數(shù)，其三末位數(shù)是 100 ，125 ，200 ，250 ，500(即 1000 的三位正約數(shù)也是魔術(shù)數(shù) )練習： 30. 在小于 130 的自然數(shù)中魔術(shù)數(shù)的個數(shù)為 .四. 兩個連續(xù)自然數(shù)，積的個位數(shù)只有 0，2，6；和的個位數(shù)只 有 1，3，5 ，7，9.練習： 31. 已知：n 是自然數(shù)，且 9n 2+5n+26 的值是兩個相鄰自 然數(shù)的積，那么 n 的值是： .四 . 質(zhì)數(shù)、合數(shù)1；1. 正整數(shù)的一種分類： 質(zhì)數(shù) （除1和本身外不能被其

16、他自 然數(shù)整除 ）；. 合數(shù) （除1和本身外還能被其他自 然數(shù)整除 ）.2. 質(zhì)數(shù)中，偶數(shù)只有一個是 2，它也是最小的質(zhì)數(shù) .3. 互質(zhì)數(shù)：是指公約數(shù)只有 1 的兩個正整數(shù) . 相鄰的兩個正整數(shù)都 是互質(zhì)數(shù) .例題：試寫出 10 個連續(xù)自然數(shù)，個個都是合數(shù) .解：答案不是唯一的，其中的一種解法是：令 A=1 2345678910 11那么 A+2 ， A+3 ，A+4 ，A+5 ，A+6 ，A+7 ，A+8 ，A+9 ，A+10 ， A+11 就是 10 個連續(xù)數(shù)，且個個都是合數(shù) . 一般地，要寫出 n 個連續(xù)自然數(shù)，個個是合數(shù)，可用 令 m=n+1, 那么 m!+2, m!+3, m!+4,

17、 + + m!+n+1 就是所求的合數(shù) .m!+i （2 i n+1） 有公約數(shù) i.練習：32. 已知質(zhì)數(shù) a，與奇數(shù) b 的和等于 11，那么 a=_,b=_.33. 兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是 72 ，若這兩個數(shù)都是合數(shù)， 那么它們分別等于 ，.34. 寫出 10 個連續(xù)正奇數(shù)，個個都是合數(shù)，可設(shè) m=（10+1） 2 ， m!=22!那么所求的合數(shù)是 22!+3 ， ,_,35. 寫出 10 個連續(xù)自然數(shù)，個個都是合數(shù)，還可令 N=2 3 5711.（這里 11=10+1 ，即 N 是不大于 11 的質(zhì)數(shù)的積 ）.那么N+2 ，N+3 ，N+4 ，N+11 就是所求的合數(shù) .這是為什 么

18、？如果 要寫 15 個呢？36. 已知：x, m, n 都是正整數(shù) . 求證：24m+2 +x 4n 是合數(shù).五.奇數(shù)和偶數(shù)1.整數(shù)的一種分類：偶數(shù)：能被 2整除的整數(shù)；（即除以2，余數(shù)為 0） 奇數(shù)：不能被 2整除的整數(shù) .（即除以 2，余數(shù)為 1）2. 運算性質(zhì)：奇數(shù) +奇數(shù)=偶數(shù)， 偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)， 奇數(shù)+ 偶數(shù)= 奇數(shù).奇數(shù)奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù) =偶 數(shù).（奇數(shù)）正整數(shù)= 奇數(shù)， （偶數(shù)）正整數(shù)=偶數(shù).4. 其他性質(zhì)： 兩個連續(xù)整數(shù)必一奇一偶，其和是奇數(shù)，其積是偶數(shù) . 奇數(shù)的平方被 4 除余 1 ；偶數(shù)的平方能被 4 整除；除以 4 余 2 或 3 的整數(shù)不是平方數(shù)

19、 .a）2n （n 為正整數(shù)）不含大 于1 的奇因數(shù).b）若兩個整數(shù)的和 （差 ）是奇數(shù)，則它們必一奇一偶 .c）若 n 個整數(shù)的積是奇數(shù)，則它們都是奇數(shù) .例 1. 設(shè) m 與 n 都是正整數(shù)，試證明 m 3n3 為偶數(shù)的充分必要條件 是 m n 為偶數(shù) .證明：m 3n3（m n ） （m 2 +mn+n 2）.當 mn 為偶數(shù)時，不論 m 2+mn+n 2 是奇數(shù)或偶數(shù)， m3n3 都是偶數(shù)；mn 為偶數(shù)是 m3n3 為偶數(shù)的充分條件 .當 mn 為奇數(shù)時， m, n 必一奇一偶， m2，mn ，n2 三個數(shù) 中只有一個奇數(shù)，m 2+mn+n 2是奇數(shù)，從而 m3n3也是奇數(shù) .mn 為

20、偶數(shù)，是 m 3n3為偶數(shù)的必要條件 .綜上所述 m 3n3為偶數(shù)的充分必要條件是 mn 為偶數(shù). 例 2. 求方程 x2 y2=1990 的整數(shù)解 .解： （x+y）（x y）=2 5199.若 x, y 同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，則 x+y ， x y 都是偶數(shù)， 其積是 4 的倍數(shù)，但 1990 不含 4 的因數(shù)，方程左、右兩邊 不能相等 .若 x, y 為一奇一偶， 則 xy ，x+y 都是奇數(shù)，其積是奇數(shù)， 但 1990 不是奇數(shù)，方程兩邊也不能相等 .綜上所述，不論 x, y 取什么整數(shù)值，方程兩邊都不能相等 . 所以 原方程沒有整數(shù)解本題是根據(jù)整數(shù)的一種分類： 奇數(shù)和偶數(shù)， 詳盡地討論

21、了方程 的解的可能性 .練習： 37. 設(shè) n 為整數(shù)，試判定 n2n+1 是奇數(shù)或偶數(shù) .38. 1001+1002+1003+ +1989 其和是偶數(shù)或奇數(shù)，為 什么？39. 有四個正整數(shù)的和是奇數(shù)，那么它們的立方和，不可能是 偶數(shù)，試說明理由 .40. 求證：方程 x2+1989x+9891=0 沒有整數(shù)根 .x1 x2 x3xn 0；41. 已知： 1 2 3 n求證： n 是 4 的倍數(shù) .x1 x2 x3xn n.1 ( 1)n42. 若 n 是大于 1 的整數(shù)， p=n+(n 2 1) 2 試判定 p 是奇數(shù) 或偶數(shù)，或奇偶數(shù)都有可能 .六 . 按余數(shù)分類1. 整數(shù)被正整數(shù) m

22、除，按它的余數(shù)可分為 m 類，稱按模 m 分類 . 如：模 m=2 ，可把整數(shù)分為 2 類:2k, 2k+1k 為整數(shù)，下同模 m=3 ，可把整數(shù)分為 3 類:3k, 3k+1 ， 3k+2.模 m=9 ，可把整數(shù)分為 9 類 :9k,9k+1,9k+2. 9k+8.2. 整數(shù)除以 9 的余數(shù)，與這個整數(shù)各位上的數(shù)字和除以 9 的余數(shù)相 同.如：6372 ，5273 ，4785 各位數(shù)字和除以 9 的余數(shù)分別是 0，8，6. 那么這三個數(shù)除以 9 的余數(shù)也分別是 0 ，8 ，6.3. 按模 m 分類時，它們的余數(shù)有可加，可乘，可乘方的性質(zhì) . 如：若 a=5k 1+1, b=5k 2+2.則

23、a+b 除以 5 余數(shù) 是 3 (1+2) ；ab 除以 5 余 2(1 2)；b2 除以 5余 4(22).例 1. 求 1989 1989 除以 7 的余數(shù) .解：1989 1989 =(7 284+1) 1989，1989 1989 11989 1 (mod 7).即 1989 1989 除以 7 的余數(shù)是 1.練習： 43. 今天是星期一， 99天之后是星期 .44. n 個整數(shù)都除以 n1, 至少有兩個是同余數(shù)，這是為什 么？45. a 是整數(shù)，最簡分數(shù) 7a 化為小數(shù)時，若為循環(huán)小數(shù)，那么 一個循環(huán)節(jié)最多有幾位？4. 運用余數(shù)性質(zhì)和整數(shù)除以 9 的余數(shù)特征，可對四則運算進行檢驗 例

24、 2. 下列演算是否正確？ 12625+9568=21193 ； 2473 429=1060927. 解：用各位數(shù)字和除以 9，得到余數(shù)：12625 ，9568 ，21193 除以 9的余數(shù)分別是 7，1，7. 7+1 7， 演算必有錯 . 2473 ，429 ，1060927 除以 9 的余數(shù)分別是 7，6，7. 而 76=42 ，它除以 9 余數(shù)為 6 ，不是 7，故演算也有錯 . 注意：發(fā)現(xiàn)差錯是準確的， 但這種檢驗并不能肯定演算是絕對 正確.練習： 46. 檢驗下列計算有無差錯：372854 83275=289679 ； 23366292 6236=3748.5. 整數(shù)按模分類，在證明

25、題中的應(yīng)用例 3. 求證：任意兩個整數(shù) a 和 b ，它們的和、差、積中，至少有一 個是 3 的倍數(shù) .證明：把整數(shù) a 和 b 按模 3 分類，再詳盡地討論 .如果a, b 除以 3，有同余數(shù) (包括同余 0、1、2)，那么 a, b 的差是 3 的倍數(shù)；如果a, b 除以 3，余數(shù)不同，但有一個余數(shù)是 0，那么 a, b 的積是 3 的倍數(shù)；如果a, b 除以 3，余數(shù)分別是 1和2，那么 a, b 的和是 3 的倍數(shù) .綜上所述任意兩個整數(shù) a，b ，它們的和、差、積中，至少 有一個是 3 的倍數(shù) .(分類討論時，要求做到既不重復又不違漏 ) 例 4. 已知： p5，且 p 和 2p+1

26、 都是質(zhì)數(shù) .求證： 4p+1 是合數(shù) . 證明：把整數(shù)按模 3 分類. 即把整數(shù)分為 3k,3k+1,3k+2 (k 為 整數(shù))三類討論p 是質(zhì)數(shù)，不能是 3 的倍數(shù)，即 p 3k； 當 p=3k+1 時 , 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). 2p+1 不是質(zhì)數(shù)，即 p 3k+1 ；只有當質(zhì)數(shù) p=3k+2 時， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. 2 p+1 也是質(zhì)數(shù)， 符合題設(shè) .這時， 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合數(shù) . 證畢練習： 47. 已知：整數(shù) a不能被 2和3整除 . 求證：a2+23 能被 24 整除.48. 求證：任何兩個整數(shù)的平方

27、和除以 8 ，余數(shù)不可能為 6.49. 若正整數(shù) a不是 5的倍數(shù). 則a8+3a44能被 100 整除.50. 已知：自然數(shù) n2 求證：2n1 和 2n+1 中，如果 有一個 是質(zhì)數(shù)，則另一個必是合數(shù) .51. 設(shè) a,b,c 是三個互不相等的正整數(shù)，求證 a3bab3,b3c bc 3,c3aca3 三個數(shù)中，至少有一個能被 10 整除.七 . 整數(shù)解1. 二元一次方程 ax+by=c 的整數(shù)解：當 a,b 互質(zhì)時，若有一個整數(shù)的特解 x x0 那么可寫出它的通解 x x0 bk（k為整數(shù) ）y y0y y0 ak2. 運用整數(shù)的和、差、積、商、冪的運算性質(zhì) 整數(shù)整數(shù)= 整數(shù)， 整數(shù)整數(shù)

28、=整數(shù)， 整數(shù)（這整數(shù)的約數(shù) ）= 整數(shù)， （整數(shù)）自然數(shù) = 整數(shù)3. 一元二次方程，用求根公式，根的判別式，韋達定理討論整數(shù)解4. 根據(jù)已知條件討論整數(shù)解 .例 1. 小軍和小紅的生日 . 都在 10 月份，且星期幾也相同，他們生日 的日期的和等于 34 ，小軍比小紅早出生，求小軍的生日 .解：設(shè)小軍和小紅的生日分別為 x, y，根據(jù)題意，得2x=34 7k x=17 7k2yy xx 734k （k=1,2,3,4） y x 34k=1, 3 時， x 沒有整數(shù)解；當 k=2 時，x 10， y 24.當 k=4 時，x 3y，（10 月份沒有 31 日，舍去 ）y 31.小軍的生日在

29、10 月 10 日例 2. 如果一個三位數(shù)除以 11 所得的商，是這個三位數(shù)的各位上的 數(shù)的平方和，試求符合條件的所有三位數(shù) .解：設(shè)三位數(shù)為 100a+10b+c,a, b, c 都是整數(shù)， 0a 9 ，0 b, c 9.100a 10b c a b c那么 9a b ， 且 8a b+c0, 以 c=0, 1, 2, 3, 4 逐一討論 a 的解 .當 c=2, 4 時，無實數(shù)根；當 c=1, 3 時，無整數(shù)解；只有當 c=0 時， a=5 ；或 a=0. （a=0 不合題意，舍 去）只有 c=0, a=5, b=5 適合所求的三位數(shù)是 550 ；（2）當 ab+c=11 時， 得 9a+

30、b+1=a 2+b 2+c2.以 b=a+c 代入，并整理為關(guān)于 a 的二次方程，得 2a 2+2（c 16）a+2c 223c+131=0.仿（1）通過韋達定理，由 c 的值逐一以討論 a的解. 只有當 c=3 時 , a=8, b=0 適合所有條件 .即所求三位數(shù)為 803. 綜上所述，符合條件的三位數(shù)有 550 和 803.練習： 52. 正整數(shù) x1, x2, x3,xn 滿足等式 x1x2x3 x4+x 5=x 1x2x3x4x4x5那么 x5的最大值是 .53. 如果 p, q, 2p 1,2q 1 都是整數(shù)， .且 p1, q1, 試求 qpp+q 的值 .54. 能否找到這樣的

31、兩個正整數(shù) m 和 n ，使得等式 m 2+1986=n 2 成立 . 試說出你的猜想，并加以證明 .55. 當 m 取何整數(shù)時，關(guān)于 x 的二次方程 m 2x2 18mx+72=x 2 6x 的根是正整數(shù)，并求出它的根 .56. 若關(guān)于 x 的二次方程 （1+a ）x2+2x+1 a=0 的兩個實數(shù)根 都是整數(shù)，那么 a 的取值是.57. 不等邊三角形的三條邊都是整數(shù)，周長的值是 28 ，最大邊 與次大邊的差比次大邊與最小邊的差大 1，適合條件的三角 形共有 個，它們的邊長分別是：58. 直角三角形三邊長都是整數(shù)， 且周長的數(shù)值恰好等于面積的 數(shù)值，求各邊長 .59. 雞翁一，值錢；，雞母一

32、，值錢三；雞雛三，值錢一 .百錢買 百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？60. 甲買鉛筆 4 支，筆記本 10 本，文具盒 1 個共付 1.69 元， 乙買鉛筆 3 支，筆記本 7 本，文具盒 1 個共付 1.26 元，丙 買鉛筆、筆記本、文具盒各 1，應(yīng)付幾元？ 若 123499100=12 nM ，其中 M 為自然數(shù)， n 為使得等式成立的最大自然數(shù)，則 M 是 ()(A). 能被 2 整除，不能被 3 整除 . (B).能被 3 整除，但不能 被 2 整除 .(C).被 4 整除，不能被 3 整除 .(D).不能被 3 整除，也不能被 2 整除 .練習 70 參考答案：1. 9+90 2+9

33、00 3+990 4=68492. 2893 79563. 30 ，300 ，310n14. 50, 33, 476, 317 . 5.25506.2500. 7. 105019891. 1717.9.奇數(shù) (1+1989) 1989 .210 有兩組： 18，19，20 ，21，22；9，10，11 ，12，13 ，14，15，16.11.有四組：除上題中的兩組外，尚有 8 到 16 ；17 到 2212. 13501. 13. 余數(shù)是 6(由 1 到 102 剛好是 198 位).14. (1)192 (2)901 (3)999997859615. 100 + 100 =245 2516.

34、 60 個. 計算積中含質(zhì)因數(shù) 5 的個數(shù)是：從 10，25，40，55，700 這組數(shù)中含質(zhì)因數(shù) 5 的共有 (70010) 15+1=47 ；而 25，100 ，175 ，700 含有 52因數(shù)，應(yīng)各加 1個5，共有 (100 25) 75+1=10 ；且 250 ，625 ，含有 53因數(shù)，應(yīng)再各加 1個 5，共有 2 個；625 含 有 54 因 數(shù) ， 再 加 1 個 5. 總 共 是 47+10+2+1=60.17. 1989 1989 1989 1989 =379+79+15+3=49452512562518. 把 a(a21)(3a+2)化為 a(a+1)(a 1)(2a+4)

35、+(a 2)=2(a 1)a(a+1)(a+2)+(a 2)(a 1)a(a+1).19. 根據(jù)兩個連續(xù)整數(shù)必互質(zhì)， 把 n+1 個正整數(shù)按非連續(xù)數(shù)單獨分 組，因為它們都小于 2n, 所以最多分為 n 組，那么 n+1 個正整 數(shù)至少有一個不能單獨分組，即與 n 組中的一個互質(zhì) .20. 易證能被 20 整除，再證能被 99 整除21. 原數(shù)=(10 n1)2+1 10 n+(10 n1)=10 2n22. 原數(shù)= 1 (10 2n 1) 2 1 (10 n 1)= 99n=( 103 1)2=( (33 33)23n 個23. 原數(shù)= 1 (10 1990 1)= 1 (10 995 +1)

36、 (10 995 1) 99= 1 (10 995 +1) (10 1)N(N 為整數(shù))24. p= 11 11(10 3n +9 10 2n +8 10 n +7) nq= 11 11 (10 3n+3 +9 102n+2 +8 10 n+1 +7) n110 n=9 11 11+1 ，n個10 3n+3 ，10 2n+2 ，10 n+1 除以11 11的余數(shù)分別為 10 3，10 2 ，10. n個q 的第二因式除以 11 11的余數(shù)分別為 110 3+9 10 2 +8 n個10+725. 設(shè) A=10 3 M+N ，7|(M N).A=10 3 M+N=10 3 M+M M+N=1001M (M N). 10n 126. 原數(shù)= 10 1 (10n 5) 1= 927. 1.28. 71 與 33的個位數(shù)相同 . 29 . 0.30. 9 個(1，25，10，20，25，50，100 ，125).31. 2，6. 可設(shè) 9n 2+5n+26=m(m+1),配方，分解因式32. 2 ，9.33. 8 ，9.34. 22!+3 ，22!+5 ，22!+7 ，22!+