2019-2020學年吉林省德惠實驗中學、前郭五中等九校高三(上)期中數(shù)學試卷(理科)

1、2019-2020 學年吉林省德惠實驗中學、前郭五中等九校高三（上）期中數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）1.已知集合 ?=?|? 1 ， ?= ?|3? ? ?B. ? ? ?C. ? ? ?D. ? ?4.22?- 3在區(qū)間 (-,-3 上單調(diào)遞減時a的取值集合為A記函數(shù) ?(?)= ? +，不等式?+1 ?(? 2)恒成立時實數(shù)a的取值集合為B?-2，則“ ?”是“ ? ?”的()A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件5.正三角形 ABC 中， D 是線段 BC 上的點，?= 6， ?=?2 ，則 ?= ()A.1

2、2B.18C.24D.306.在下列給出的四個結(jié)論中，正確的結(jié)論是()A. 已知函數(shù) ?(?)在區(qū)間 (?,?)內(nèi)有零點，則 ?(?)?(?) 0)在區(qū)間 (0, ?)內(nèi)有且只有3 + 2?-3cos一個極值點，則的取值范圍為()A. (0,5B. (0,1151151112 12 C. ( 12 ,12D. 12 ,1211.已知函數(shù)?(?)= log2，若對任意的正數(shù)a b?(?)+ ?(3?- 1) =， ，滿足2(?+ 1- ?)31 的最小值為 ()0，則 ?+ ?第1頁，共 13頁A. 6B. 8C.12D.24R?(?)?(1) =12?(?) 1?-? 3?12.定義在上的可導

3、函數(shù)，當2,2時，不等滿足，且32?)式 ?(2?)?- 2?的解集為 (22? 4?B.? 4?D. (-? ?A. (3,3)(- 3,3 )C. (0, 3)3 ,3)二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）13.已知 sin(?3，則?)= _ + ?)=3cos(-6314.322?，若?(?)為奇函數(shù)， 則曲線 ?=?(?)在點 (1,3) 處設(shè)函數(shù) ?(?)= ? + (?-2)? +的切線方程為 _15.已知向量?，? 夾角為 45，且 | ?| = 1，|2 ?-?，則?_?10|?|=| =16.將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有1 12，26 34三種，其中3 4

4、，是這三種分解中兩數(shù)差的絕對值最小的，我們稱3 4 為 12 的最佳分解當 ?(? ?且 p，?) 是正整數(shù) n 的最佳分解時我們定義函數(shù)?(?)=?- ?，例如 ?(12) = 4 -3 = 1.則 ?(88)的值為_?2020項的和為_，數(shù)列 ?(5 )(? ?) 的前三、解答題（本大題共6 小題，共70.0 分）17.已知數(shù)列? ?-1 是以 2 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列2(1) 求數(shù)列 ? 的通項公式：(2) 若? = 1?(?) ，求數(shù)列 1的前項和 ? ?2? ?+118. 在? ABC的對邊分別為abc?2?-3?(?+ ?)= 1中， ， ，已知(1) 求 A的值；(2)

5、 若?的面積為 3 3，?= 3，求 sinBsinC 的值19. 已知向量， ?22，其中 ? 0， 0 ?= ( 2, 2?2(?+2，函?)?= (, -)?B224數(shù)的圖象過點 ?(1,2)，點與其相鄰的最高點的距離為?(?)= ?(1) 求函數(shù) ?(?)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2) 計算 ?(1)+ ?(2) + ? + ?(2019)的值第2頁，共 13頁20. 如圖，有一塊邊長為 1( 百米 ) 的正方形區(qū)域 ?在點. A 處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈， 其照射角 ?始終為 45(其中點P，Q 分別在邊 BC， CD 上) ，設(shè) ?= ?(?)用 t 表示出 PQ 的長度，并探求 ?的周長

6、l 是否為定值；( ) 設(shè)探照燈照射在正方形 ABCD 內(nèi)部區(qū)域的面積 ?(平方百米 ) ，求 S 的最大值21. 已知數(shù)列 ? 滿足 ? = 2 ， ? ?+ ?= 2(?+ 1)?，設(shè) ? =?1?+1?+1?(1)求證：數(shù)列 ?-1 為等比數(shù)列，并求?的通項公式(2)? =1 ，數(shù)列 ?的前 n項和為 ?，求證： ? 0, ? 0, ? 1, ? 1) 1(1)設(shè)?= 2，?= 2求方程 ?(?)= 2的根；若對于任意 ?，不等式 ?(2?) ?(?)-6 恒成立，求實數(shù)m 的最大值；(2)若0 ? 1，函數(shù) ?(?)= ?(?)- 2有且只有1 個零點，求 ab 的值第3頁，共 13頁

7、答案和解析1.【答案】 A【解析】 【分析】本題考查交集和并集的求法，考查指數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題先求出集合B，再求出 ?和 ?，由此能求出結(jié)果【解答】解： 集合 ?= ?|? 1 ，?= ?|? 0 ，所以 A 正確， D 錯誤，?= ?|? 1 ，所以 B 和 C 都錯誤，故選 A2.【答案】 A【解析】 【分析】本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，可得 ?= 1，再利用奇函數(shù)的定義檢驗，可得答案【解答】?(?)=?為奇函數(shù)，(2?+1)(2?-?)解： 函數(shù)則函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，1 ?則-2=-2，

8、解得： ?= 1 ，此時 ?(?)=故 ?= 1，故選： A?=?，滿足在定義域上?(-?)= -?(?)恒成立，(2?+1)(2?-1)24? -13.【答案】 A【解析】 【分析】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解【解答】解： ?(0,1) ，?= ?( )220 ?=?0? ? ?故選： A4.【答案】 B【解析】 【分析】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)以及基本不等式求出a 的范圍第4頁，共 13頁是解決本題的關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題根據(jù)條件求出集合A， B，結(jié)合充分條件和必要條

9、件的定義進行判斷即可【解答】23 在區(qū)間 (- ,-3上單調(diào)遞減，解： 函數(shù) ?(?)= ? + 2?-2?對稱軸 ?= -2-3? ?3，即 ?= ?|? 3 ，不等式 ?+1 ?(? 2)恒成立等價于 (?+1) ?(? 2)，?-2?-2?又 當? 2時， ?- 2 0，1= ?-2 +1?+ 2?-2?- 21 2(?- 2) ?(?-2) + 2 = 4 ，當且僅當 ?- 2 =1時即 ?= 3時等號成立，符合條件，?-21(?+)= 4，?-2 ? 4 ，即 ?= ?|? 4 ，? ?，“ ?”是“ ?”的充分不必要條件，故選： B5.【答案】 D【解析】 【分析】本題主要考查向量

10、的加法、 減法、數(shù)乘運算， 平面向量數(shù)量積的計算， 向量的幾何運用，屬于一般題以 ?作為基底表示出所求向量，再利用向量的加法、減法、數(shù)量積運算即可得結(jié), ?果【解答】解：如圖，正三角形ABC 中， D 是線段 BC 上的點，?= 6 ，?=2，?=?2 ?1 ?6， ? ?=，63則? ?=(?+?)2 1= ?+ ? ?32 1= ?- ?3= 62- 166132第5頁，共 13頁= 36- 6= 30故選 D6.【答案】 C【解析】 【分析】本題考查了平面向量共線定理以及函數(shù)零點和等比數(shù)列、 三角函數(shù)的定義應(yīng)用問題， 是綜合題，但又是基礎(chǔ)題A，舉例說明函數(shù)?(?)在區(qū)間 (?,?)內(nèi)有零

11、點，不一定有?(?)?(?) 0；?B，舉例說明 ?+ ?= 1 時 3 不是 3 與3 的等比中項；C，根據(jù)平面向量共線定理的定義判斷即可；D ，根據(jù)余弦值的定義計算即可【解答】解：對于 A，函數(shù) ?(?)在區(qū)間 (?,?)內(nèi)有零點，不一定有 ?(?)?(?) 0，所以 A 錯誤；如 ?(?)= ?在 (-1,1)對于 B，當 ?+ ?=1時，令 ?= 1，?= 0，則 3?= 3， 3? = 1，?則 3不是3 與3的等比中項，所以 B 錯誤；對于 C，若 ?6?2，?1 ， ?2是不共線的向量，且 ? = ?1? - 2 ?2， ?= 3 ?1 -則 ? = 3 ?，即 ? / ?，所以

12、 C 正確；2(-4)2= 5，對于 D，角 ?終邊經(jīng)過點 (3, -4) ，則 ?= 3 +? 3?= ?= 5 ，所以 D 錯誤故選： C7.【答案】 C【解析】 【分析】本題主要考查了向量數(shù)量積的運算、等比數(shù)列的性質(zhì)及對數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題利用向量數(shù)量積的運算、等比數(shù)列的性質(zhì)及對數(shù)運算性質(zhì)即可得出【解答】解：向量 ?= (?4，4 ,?)5， ?= (?7 ,?)6 ，且 ?=?4 ?7 + ?56= 4，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得?1?10 = ?= ?47 = ?56 = 2，則 log? + log? + ? + log?1021222= log 2 (?1

13、?2?10 )= ?(? ) 521105= ?2 = 5 2故選 C8.【答案】 B【解析】 【分析】本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎(chǔ)題利用已知條件結(jié)合正弦定理求出C，然后利用余弦定理求解A，即可求出B【解答】解： ?= ?+ ?，由正弦定理得sin 2?= ?+ ?= sin(?+ ?)= ?，因為，第6頁，共 13頁所以 ?=1，又，所以 ?=?2因為222，?+ ?-? =3?所以 ?=2223，且?+? -?=，得 ?= 62?2所以故選： B9.【答案】 D?(?)=121, +)【解析】 解：?-在2 (?- 2)上是減函數(shù)，? 0 在 1, +

14、)恒成立，? (?)= - (?- 2)? ?(?-21)2-1 ，2) = ? - 2?= (?-(?- 1) 2 -1-1 ，? -1 ，故選： D先求導，根據(jù)函數(shù)為減函數(shù)可得? ?(?-22- 1，即可求出2) = ? - 2?= (?- 1)本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題10.【答案】 C【解析】 解： (1) 函數(shù)?(?)=3 + 2?-3cos2?，?= 2?(?-)3由于 0 ? ?，所以 -?3 2?- 3 2?- 3 ，根據(jù)函數(shù)的圖象得知：?(?)在區(qū)間 (0, ?)內(nèi)有且只有一個極值點，?3?511根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，所以2 0，所以12 ?-因為：?(?)=

15、log2， ?(?)= log(1)，所以： ?(?)為減函數(shù)2(?+ 1 -2?)2 ?+1+?因為 ?(?)= log 2(1) ，：2，所以： ?(?)= -?(-?) ，?(?)2?(-?) = log 2 ( ?+ 1 + ?)?+1+?為奇函數(shù)，因為： ?(?)=?(3?-1) = 0 ，所以： ?(?)= ?(1-3?)， ?= 1 - 3?，即 ?+ 3?=1，所以3+13+19?= ()(?+ 3?) =+ 6 ，?因為： 9?9? + ? 2? ?= 6，第7頁，共 13頁31319?1，?=1時，等號成立 )，所以 += (+)(?+ 3?) =?+ 6 12 ，( 當且

16、僅當 ?=26?故選： C先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性化簡方程得?+ 3?= 1 ，最后根據(jù)基本不等式求最值本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力， 屬中檔題12.【答案】 D【解析】 【分析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題11構(gòu)造函數(shù) ?(?)= ?(?)- 2 ?-2，可得 ?(?)在定義域R 上是增函數(shù)，且 ?(1) = 0，進而?(2?)32 ?根據(jù)-可得 2? 1，解得答案22?2【解答】解：，?(2?)3-2?，即22?2令 ?(?)= ?(?)-1?-122，1則 ?0，(?)= ?(?)-2?(

17、?)在定義域 R 上是增函數(shù)，且 ?(1) = ?(1) -112-2= 0，1?(2?=?)?(2?-?)- 0 = ?(1)，22?1，即 ?1，2又 ?-? 3?2,2，? ?(-3 , 3 )，故選 D13.【答案】 33【解析】 【分析】本題主要考查利用誘導公式進行化簡求值，屬于基礎(chǔ)題由條件利用誘導公式對所給的式子進行化簡，可得結(jié)果【解答】解：已知sin(?3，6 + ?)=3則 cos(?3-?)= cos - ( + ?)= sin(+ ?)=，32663第8頁，共 13頁故答案為： 3314.【答案】 5?- ?- 2 = 0【解析】 解：由題意，函數(shù)?(?)為奇函數(shù)，故有?(

18、-?)+ ?(?)= 0恒成立?(-?) = -?32+ (?- 2)? - 2?，?(-?)+ ?(?)= 2(?-2)?2 = 0恒成立，故只有 ?- 2 =0，即 ?= 23?函數(shù) ?(?)= ? + 2?，22，? (1)= 5則有 ?(?)= 3? +曲線 ?= ?(?)在點 (1,3)處的切線的斜率為5，則曲線 ?= ?(?)在點 (1,3) 處的切線方程為：?- 3 = 5(?-1) 即 5?- ?- 2 = 0故答案為： 5?- ?- 2 = 0本題先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)公式?(-?)+ ?(?)= 0 得出參數(shù)a 的值，即可得到函數(shù)?(?)的表達式， 再對 ?(?)求導，代入 ?

19、= 1，即可得到曲線?= ?(?)在點 (1,3) 處的切線的斜率，最后根據(jù)點斜式即可得到切線方程本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的求導，以及直線方程的計算能力本題屬基礎(chǔ)題15.【答案】32【解析】 解： 向量 ?，? 夾角為 45，且 | ?| = 1 ，|2 ?-?| = 10?224 ?= 10 ，? -4 ? +化為4 + |?2?，?-4| ?|?45=10|化為 | ?|2 - 22| ?| - 6 = 0，|?| 0，解得 | ?| = 32故答案為： 3 2利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出本題考查了數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題16.【答案】 351010 - 1【解析】解：由于 88 = 1

20、1 8 = 2 44 = 1 88 = 4 22，可得 ?(88) = 11 - 8 = 3；?當 n 為偶數(shù)時， ?(5 ) = 5 2-52=0；?+1-?-1?-1當 n 為奇數(shù)時， ?(5 ) = 525 2=452，?所以 ?= 4(50+ 51+?+51009)，202051010 -1= 4? 5-1 ，= 51010 - 1故答案為： 5 1010 - 1首先利用信息的應(yīng)用求出關(guān)系式的結(jié)果，進一步利用求和公式的應(yīng)用求出結(jié)果本題考查的知識要點：信息題的應(yīng)用，數(shù)列的求和的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型第9頁，共 13頁?17.【答案】 解： (1)

21、數(shù)列 2 ?-1 是以 2 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列，?-1?= 2?22?-1= 2 ，? = 2 ?-1?2 ?= 22?-1 ?1，(2)?= ?2= 2?-11111則 ?=(2?-1)(2?+1)=2 (2?-1 -2?+1) ，? ?+11的前項和 ?111111數(shù)列 ? ?=2(1 -3) +(3-)+?+(2?-1-2?+1)? ?+1511= 2 (1 - 2?+1) = 2?+1?【解析】本題考察等比數(shù)列和數(shù)列求和，第 (1) 問根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得出結(jié)果，第 (2) 問考察裂項求和法求數(shù)列的前n 項和本題考察等比數(shù)列的通項公式和裂項法求數(shù)列的前n 項和，里面涉

22、及到了簡單的對數(shù)運算，屬于簡單題18.【答案】 解： (1)由 ?2?-3?(?+?)= 1，21舍去 )，得 2?- 1 + 3?= 1，解得 ?=2或-2(?(0, ?)， ?=?3；?(2) ?= 3， ?的面積為 3 3， ?= 3 ，12 3?23 = 33，即 ?= 4，22，?= ?+ ? - 2?= 13?9?=?=?13【解析】 本題考查倍角公式的應(yīng)用，考查三角形的解法，是中檔題(1) 利用二倍角公式對已知等式化簡求得cosA 的值，則A 可求(2) 由已知利用三角形面積公式求 c，再由余弦定理求 a，結(jié)合正弦定理求得 sinBsinC 的值?- ?2(?+ ?)，19.【答案】 解： (1)?(?)= ?= 1?(?)= 2 ，則點 ?(1,2)為函數(shù) ?(?)的圖象的一個最高點