2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第2節(jié) 第2課時 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值課件 理 新人教A版

1、第第2課時利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值課時利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值 考點一利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題多維探究 角度1根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值 【例11】 已知函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y (1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是() A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2) D.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2) 解析由題圖可知，當x0； 當2x1時，f(x)0；當1x2時，f(x)2時，f(x)0. 由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處

2、取得極大值，在x2處取得極小值. 答案D 規(guī)律方法由圖象判斷函數(shù)yf(x)的極值，要抓住兩點：(1)由yf(x)的圖象與x軸 的交點，可得函數(shù)yf(x)的可能極值點；(2)由導函數(shù)yf(x)的圖象可以看出yf(x) 的值的正負，從而可得函數(shù)yf(x)的單調性.兩者結合可得極值點. 角度2已知函數(shù)求極值 【例12】 (2019哈爾濱模擬)已知函數(shù)f(x)ln xax(aR). (2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù). 令f(x)0，得x2， 于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表. x(0，2)2(2，) f(x)0 f(x)ln 21 故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極

3、大值f(2)ln 21，無極小值. 當a0時，f(x)0在(0，)上恒成立， 即函數(shù)在(0，)上單調遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點； 綜上可知，當a0時，函數(shù)f(x)無極值點， 規(guī)律方法運用導數(shù)求可導函數(shù)yf(x)的極值的一般步驟：(1)先求函數(shù)yf(x)的定 義域，再求其導數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)檢查導數(shù)f(x)在方程根的左右的 值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值.特別注意：導數(shù)為零的點不一定是極值點. 角度3已知函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的取值 【例13】 已知函數(shù)f(x)ln x. (1)求f(x

4、)圖象的過點P(0，1)的切線方程； 把點P(0，1)代入切線方程，得ln x00，x01. 過點P(0，1)的切線方程為yx1. 令h(x)mx2xm， 要使g(x)存在兩個極值點x1，x2， 則方程mx2xm0有兩個不相等的正數(shù)根x1，x2. 規(guī)律方法已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：(1)根據(jù)極值點 的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因為導數(shù)值等于 0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗. 【訓練1】 (1)(2017全國卷)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點，則f(x)的 極小值為() A.1 B.2e3 C

5、.5e3 D.1 解析f(x)x2(a2)xa1ex1， 則f(2)42(a2)a1e30a1， 則f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1， 令f(x)0，得x2或x1， 當x1時，f(x)0，當2x1時，f(x)0. 所以f(x)在x2處取得極小值. 所以f(x)0.所以2不是f(x)的極小值點. 考點二利用導數(shù)求函數(shù)的最值 【例2】 (2019廣東五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)axln x，其中a為常數(shù). (1)當a1時，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在區(qū)間(0，e上的最大值為3，求a的值. 解(1)易知f(x)的定義域為(0，)， 令f(x)0，得x1. 當0 x0；

6、當x1時，f(x)0)，求當下潛速度v取什么值時，總用氧量最少. 當vc時，這時總用氧量最少. 規(guī)律方法1.利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟： (1)設自變量、因變量，建立函數(shù)關系式y(tǒng)f(x)，并確定其定義域； (2)求函數(shù)的導數(shù)f(x)，解方程f(x)0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f(x)0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值； (4)回歸實際問題作答. 2.如果目標函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點. 【訓練3】 (2017全國卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半 徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E， F為圓O上的點，DBC

7、，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA， AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA， AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重 合，得到三棱錐.當ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積 (單位：cm3)的最大值為_. 則f(x)100 x350 x4， 令f(x)0得x2，當x(0，2)時，f(x)0，f(x)單調遞增； 故當x2時，f(x)取得最大值80， 思維升華 1.求函數(shù)的極值、最值，通常轉化為對函數(shù)的單調性的分析討論，所以，研究函數(shù)的 單調性、極值、最值歸根結底都是對函數(shù)單調性的研究. 2.研究函數(shù)的性質借助數(shù)形結合的方法有助于問題的解決.函數(shù)的單調性常借助導函數(shù) 的圖象分析導數(shù)的正負；函數(shù)的極值常借助導函數(shù)的圖象分析導函數(shù)的變號零點； 函數(shù)的最值常借助原函數(shù)圖象來分析最值點. 3.解函數(shù)的優(yōu)化問題關鍵是從實際問題中抽象出函數(shù)關系，并求出函數(shù)的最值. 易錯防范