2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用課件 文 北師大版

1、第第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 最新考綱1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量 積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn) 算；4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直 關(guān)系；5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題；6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn) 單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題. 知 識(shí) 梳 理 1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念 共線同向 共線反向 互相垂直 (2)向量的數(shù)量積 定義：已知兩個(gè)向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量_叫作a與b的數(shù)量積(或 內(nèi)積)，記作ab，即ab_，由定義可知零

2、向量與任一向量的數(shù)量積為0， 即0a0. (3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的射影_ 的乘積，或b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上射影_的乘積. |a|b|cos |a|b|cos |b|cos |a|cos 2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)abba(交換律). (2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律). (3)(ab)cacbc(分配律). 微點(diǎn)提醒 1.兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角 ab0且a，b不共線. 2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2. (2)(

3、ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2. 基 礎(chǔ) 自 測(cè) 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.() (3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.() (4)若abac(a0)，則bc.() 解析(1)兩個(gè)向量夾角的范圍是0，. (4)由abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量b和c不一定相 等. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(必修4P94講解引申改編)設(shè)a，b是非零向量.“ab|a|b|”是“ab”的() A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條

4、件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析設(shè)a與b的夾角為.因?yàn)閍b|a|b|cos |a|b|，所以cos 1，即a與b的夾角 為0，故ab. 當(dāng)ab時(shí)，a與b的夾角為0或180， 所以ab|a|b|cos |a|b|， 所以“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要條件. 答案A 答案1 4.(2018全國(guó)卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)() A.4 B.3 C.2 D.0 解析a(2ab)2|a|2ab212(1)3. 答案B 5.(2018延安調(diào)研)平面向量a與b的夾角為45，a(1，1)，|b|2，則|3ab|等于() 答案D 6.(2017全國(guó)卷)已

5、知向量a(1，2)，b(m，1).若向量ab與a垂直，則m _. 解析由題意得ab(m1，3)， 因?yàn)閍b與a垂直，所以(ab)a0， 所以(m1)230，解得m7. 答案7 考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【例1】 (1)若向量m(2k1，k)與向量n(4，1)共線，則mn() A.15 B.9 C.6 D.0 答案(1)D(2)C 規(guī)律方法1.數(shù)量積公式ab|a|b|cos 在解題中的運(yùn)用，解題過程具有一定的技巧 性，需要借助向量加、減法的運(yùn)算及其幾何意義進(jìn)行適當(dāng)變形；也可建立平面直角 坐標(biāo)系，借助數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式abx1x2y1y2求解，較為簡(jiǎn)捷、明了. 2.在分析兩向量的夾角時(shí)，必須使

6、兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，如果起點(diǎn)不重合，可通過 “平移”實(shí)現(xiàn). A.16 B.12 C.8 D.4 (2)(2019皖南八校三模)已知|a|b|1，向量a與b的夾角為45，則(a2b)a _. (2)因?yàn)閨a|b|1，向量a與b的夾角為45， 考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用多維探究 角度1平面向量的垂直 【例21】 (1)(2018北京卷)設(shè)向量a(1，0)，b(1，m).若a(mab)，則m _. 解析(1)a(1，0)，b(1，m)，a21，ab1， 由a(mab)得a(mab)0，即ma2ab0. m(1)0，m1. 答案(1)1(2)A 規(guī)律方法1.當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知

7、的不共線向量作為基底 來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算. 2.數(shù)量積的運(yùn)算ab0ab中，是對(duì)非零向量而言的，若a0，雖然有ab0， 但不能說ab. 角度2平面向量的模 【例22】 (1)已知平面向量，|1，|2，(2)，則|2|的值是 _. (2)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2，0)， 設(shè)P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b). 角度3平面向量的夾角 (2)若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的 取值范圍是_. (2)2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)c0， 即(2k3，6)(2，1)0，解得k3. 此時(shí)2a3b與c

8、反向，不合題意. 【訓(xùn)練2】 (1)(2017全國(guó)卷)已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，則m _. (2)(一題多解)(2017全國(guó)卷)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b| _. 解析(1)由ab，得ab0， 又a(2，3)，b(3，m)， 63m0，則m2. 法二(數(shù)形結(jié)合法) (3)由題意知|e1|e2|1，e1e20， 考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù) 規(guī)律方法平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路： (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式 成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解. (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是

9、向量的模或者其他向量的表達(dá)形式， 解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等. 【訓(xùn)練3】 (2019石家莊模擬)已知A，B，C分別為ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角，向 量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且mnsin 2C. (1)求角C的大小； 解(1)由已知得mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)， 因?yàn)锳BC， 所以sin(AB)sin(C)sin C， 所以mnsin C，又mnsin 2C， (2)由已知及正弦定理得2cab. 所以abcos C18，所以ab36. 由余弦定理得c2a2b22abcos C(a

10、b)23ab， 所以c24c2336， 所以c236，所以c6. 思維升華 1.計(jì)算向量數(shù)量積的三種方法 定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活運(yùn)用，與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積 幾何意義的應(yīng)用. 2.求向量模的常用方法 利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算. 3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧. 易錯(cuò)防范 數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，abac(a0)不能得出bc，兩邊不能約 去一個(gè)向量.數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，(ab)c不一定等于a(bc). 數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模平面向量與三角形的“四心” 1.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算的基礎(chǔ)上

11、，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).通過學(xué)習(xí)平 面向量與三角形的“四心”，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，形成規(guī)范化思考問 題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神. 2.數(shù)學(xué)建模要求在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠在關(guān)聯(lián)的情境中， 經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，理解數(shù)學(xué)建模的意義.本系列通過學(xué)習(xí)平面向量與三角形的 “四心”模型，能夠培養(yǎng)學(xué)生用模型的思想解決相關(guān)問題. 設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則 類型1平面向量與三角形的“重心” A.ABC的內(nèi)心 B.ABC的垂心 C.ABC的重心 D.AB邊的中點(diǎn) 答案C 類型2平面向量與三角形的“內(nèi)心”問題 解析根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的 平行四邊形及其