（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 解析幾何 微專題7 解析幾何中定點與定值問題課件

1、微專題微專題7 7 解析幾何中定點與定值問解析幾何中定點與定值問 題題 微專題7解析幾何中定點與定值問題 題型一定點問題題型一定點問題 例例1(2018高考數(shù)學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2=r2和直 線l:x=a(其中r和a均為常數(shù),且0rb0)的離心率為 ,焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,點A,B,C分別為橢圓的左頂點、右頂點和上 頂點,過點C的直線l交橢圓于點D,交x軸于點M(x1,0),直線AC與直線BD交于點 N(x2,y2). (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若=2,求直線l的方程; (3)求證:x1x2為定值. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 CM MD

2、解析解析(1)由橢圓的離心率為,焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,得解 得 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)由(1)知C(0,1),設(shè)D(x0,y0). 由=2,得2y0=-1,所以y0=-. 2 2 2 2 , 2 1. c a a c c 2, 1. a c 2 2 x CM MD 1 2 代入橢圓的方程,得x0=或-. 所以D或D, 所以l的方程為y=x+1或y=-x+1. (3)設(shè)點D的坐標(biāo)為(x3,y3).由C(0,1),M(x1,0)可得直線CM的方程y=-x+1, 與橢圓方程聯(lián)立,得解得x3=,y3=. 6 2 6 2 61 , 22 61 , 22 6 2 6 2 1 1 x

3、1 2 2 1 1, 1. 2 y x x y 1 2 1 4 2 x x 2 1 2 1 2 2 x x 由B(,0),得直線BD的方程為y=(x-),直線AC方程為y- x+1.聯(lián)立,得x2=, 從而x1x1=2為定值. 2 2 1 2 11 2 242 2 x xx 2 2 2 1 2 x 【方法歸納】定值問題是解析幾何中的一種常見問題,基本的求解方法是: 先用變量表示所需證明的不變量,然后通過推導(dǎo)并結(jié)合已知條件,消去變量, 得到定值. 2-1 (2018南通高三第二次調(diào)研)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,B1,B2是橢圓 +=1(ab0)的短軸端點,P是橢圓上異于點B1,B2的一動點,

4、當(dāng)直線PB1的 方程為y=x+3時,線段PB1的長為4. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)點Q滿足:QB1PB1,QB2PB2.求證:PB1B2與QB1B2的面積之比為定 值. 2 2 x a 2 2 y b 2 解析解析設(shè)P(x0,y0),Q(x1,y1). (1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,從而b=3. 由得+=1. 所以x0=-.因為|PB|1=|x0|, 所以4=.解得a2=18. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)設(shè)直線PB1,PB2的斜率分別為k,k, 22 2 1, 9 3, xy a yx 2 2 x a 2 (3) 9 x 2 2 6 9 a a 22 00 (3

5、)xy2 22 2 2 6 9 a a 2 18 x 9 y 則直線PB1的方程為y=kx+3. 又QB1PB1,所以直線QB1的方程為y=-x+3. 將y=kx+3代入+=1,得(2k2+1)x2+12kx=0. 因為P是橢圓上異于點B1,B2的點,所以x00, 從而x0=-. 因為點P(x0,y0)在橢圓+=1上,所以+=1, 從而-9=-. 1 k 2 18 x 2 9 y 2 12 21 k k 2 18 x 2 9 y 2 0 18 x 2 0 9 y 2 0 y 2 0 2 x 所以kk=-,k=-. 又QB2PB2,所以直線QB2的方程為y=2kx-3. 聯(lián)立解得x=,即x1=.

6、 所以=2. 0 0 3y x 0 0 3y x 2 0 2 0 9y x 1 2 1 2k 1 3, 23, yx k ykx 2 6 21 k k 2 6 21 k k 12 12 PB B QB B S S 0 1 x x 2 2 12 21 6 21 k k k k 2-2(2018蘇州學(xué)業(yè)陽光指標(biāo)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+= 1(ab0)的離心率為,橢圓上的動點P到一個焦點的距離的最小值為3(- 1). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)已知過點M(0,-1)的動直線l與橢圓C交于A,B兩點,試判斷以AB為直徑的圓 是否恒過定點,并說明理由. 2 2 x a 2 2

7、y b 2 2 2 解析解析(1)由題意,=,故a=c. 又橢圓上的動點P到一個焦點的距離的最小值為3(-1), 所以a-c=3-3.解得c=3,a=3.所以b2=a2-c2=9. 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)當(dāng)直線l的斜率為0時,令y=-1,則x=4, 此時以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+1)2=16. 當(dāng)直線l的斜率不存在時,以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=9, c a 2 2 2 2 22 2 18 x 2 9 y 聯(lián)立解得即兩圓過點T(0,3). 猜想:以AB為直徑的圓恒過定點T(0,3). 對一般情況證明如下: 設(shè)過點M(0,-1)的直線l的方程為y=kx-1,與橢圓C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點, 22 22 (1)16, 9, xy xy 0, 3, x y 則整理,得(1+2k2)x2-4kx-16=0. 所以x1+x2=,x1x2=-. 22 1, 218. ykx xy 2 4 12 k k 2 16 12k 所以=(x1,y1-3)(x2,y2-3)TA TB =x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9 =x1x2+(kx1-1)(kx2-1)-3(kx1-1+kx2-1)+9 =(k2+