2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性課件 文 北師大版

1、第第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 最新考綱1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解 和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn) 單函數(shù)的周期性. 知 識(shí) 梳 理 1.函數(shù)的奇偶性 圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù). 圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù). 2.函數(shù)的周期性 (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中_的正數(shù)，那么 這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的_正周期. 存在一個(gè)最小 最小 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在非零常數(shù)T，使對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x 值，都有 ，就把f(x)稱為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)

2、函數(shù)的周期. f(xT)f(x) 微點(diǎn)提醒 1.(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|). 2.奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相 反的單調(diào)性. 3.函數(shù)周期性常用結(jié)論 對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： 4.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論 (1)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對(duì)稱. (2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖像關(guān)于直線 xa對(duì)稱. (3)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函

3、數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱. 基 礎(chǔ) 自 測(cè) 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)函數(shù)yx2在x(0，)時(shí)是偶函數(shù).() (2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)0.() (3)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(nZ，n0)也是函數(shù)的周期.() (4)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱.() 解析(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故yx2在(0，)上不具有奇偶性， (1)錯(cuò). (2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，其在x0處有意義時(shí)才滿足f(0)0，(2)錯(cuò). (3)由周期函數(shù)的定義，(3)正確. (4)由于y

4、f(xb)的圖像關(guān)于(0，0)對(duì)稱，根據(jù)圖像平移變換，知yf(x)的圖像關(guān)于 (b，0)對(duì)稱，正確. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(必修1P50練習(xí)改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是() A.yx2sin x B.yx2cos x C.y|ln x| D.y2x 解析根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(x)f(x)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)為 奇函數(shù)；B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)定義域?yàn)?0，)，不具有奇偶性；D選項(xiàng)既不是 奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). 答案B 答案1 4.(2019漢中模擬)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增的是() 解析對(duì)于A，yx3為奇函數(shù)，不符合題意； 對(duì)于D，y|tan

5、x|是偶函數(shù)，但在區(qū)間(0，)上不單調(diào)遞增. 答案C 5.(2017全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)2x3 x2，則f(2)_. 解析x(，0)時(shí)，f(x)2x3x2，且f(x)在R上為奇函數(shù)， f(2)f(2)2(2)3(2)212. 答案12 6.(2019上海崇明二模)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x0，1時(shí)，f(x) log2(x1)，則當(dāng)x1，2時(shí)，f(x)_. 解析當(dāng)x1，2時(shí)，x21，0，2x0，1， 又f(x)在R上是以2為周期的偶函數(shù)， f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(3x). 答案log2(3x)

6、考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性 【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： 因此f(x)f(x)且f(x)f(x)， 函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x0， 則f(x)(x)2xx2xf(x)； 當(dāng)x0時(shí)，x0， 則f(x)(x)2xx2xf(x)； 綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件： (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮 定義域； (2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系，在判斷

7、奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇 偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立. 【訓(xùn)練1】 (1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是() A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.f(x)g(x)是奇函數(shù) C.f(x)g(x)是奇函數(shù) D.f(x)g(x)是偶函數(shù) 因?yàn)镕(x)F(x)且F(x)F(x)， 所以F(x)g(x)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 答案(1)D(2)A 考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 【例2】 (1)(一題多解)(2018全國(guó)卷)已知f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)， 滿足f(1x)f(1x).若f(1)2，則f(1)f(

8、2)f(3)f(50)() A.50 B.0 C.2 D.50 (2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0 x2時(shí)，f(x)x3x，則函數(shù) yf(x)的圖像在區(qū)間0，6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_. 解析(1)法一f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1x)f(1x). f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x). 因此f(x4)f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)， 由于f(1x)f(1x)，f(1)2， 故令x1，得f(0)f(2)0 令x2，得f(3)f(1)f(1)2， 令x3，得f(4)f(2)f(2)0， 故f(1)f(2)f(3)f(4)20200， 所以f(1)f(2)f(

9、3)f(50)120f(1)f(2)2. 故f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220 (2)0202. (2)因?yàn)楫?dāng)0 x2時(shí)，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)0， 則f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0， 故函數(shù)yf(x)的圖像在區(qū)間0，6上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè). 答案(1)C(2)7 規(guī)律方法1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根 據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間. 2.若f(xa)f(x)(a是常數(shù)，且a0)，則2a為函數(shù)f

10、(x)的一個(gè)周期.第(1)題法二是利 用周期性構(gòu)造一個(gè)特殊函數(shù)，優(yōu)化了解題過(guò)程. (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2).若當(dāng)x3，0時(shí)，f(x) 6x，則f(919)_. (2)f(x4)f(x2)， f(x2)4f(x2)2，即f(x6)f(x)， f(919)f(15361)f(1)， 又f(x)在R上是偶函數(shù)， f(1)f(1)6(1)6，即f(919)6. 答案(1)A(2)6 考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用多維探究 角度1函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 【例31】 (2019南昌模擬)設(shè)f(x)是定義在2b，3b上的偶函數(shù)，且在2b，0 上為增函數(shù)，則f(x1)f(3)的解集

11、為() A.3，3 B.2，4 C.1，5 D.0，6 解析因?yàn)閒(x)是定義在2b，3b上的偶函數(shù)， 所以有2b3b0，解得b3， 由函數(shù)f(x)在6，0上為增函數(shù)，得f(x)在(0，6上為減函數(shù). 故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4. 答案B 規(guī)律方法1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、 偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性. 2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)f(|x|)，避免了不必要的討論，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程. 角度2函數(shù)的奇偶性與周期性 A.2B.18 C.18 D.2 解析(1)f(x)滿足f(x5)f(x)， f(x)是周期為5的函數(shù)， f(

12、2 018)f(40353)f(3)f(52)f(2)， f(2)f(2)(2332)2，故f(2 018)2. (2)由yf(x)和yf(x2)是偶函數(shù)知f(x)f(x)， 且f(x2)f(x2)，則f(x2)f(x2). f(x4)f(x)，則yf(x)的周期為4. 答案(1)D(2)B 規(guī)律方法周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn) 行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、 奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然 后利用奇偶性和單調(diào)性求解. 【訓(xùn)練3】 (1)(2019重慶九校模擬)已知奇函數(shù)f(x

13、)的圖像關(guān)于直線x3對(duì)稱，當(dāng)x0， 3時(shí)，f(x)x，則f(16)_. 解析(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x3對(duì)稱，則有f(x)f(6x)， 又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)， 則有f(x)f(6x)f(x12)， 則f(x)的最小正周期是12， 故f(16)f(4)f(4)f(2)(2)2. (2)由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 得f(ln t)f(1). 又函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)， 思維升華 1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件. 2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題： (1

14、)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖像，確定函數(shù) 單調(diào)性. 3.在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的 周期”的應(yīng)用. 易錯(cuò)防范 1.f(0)0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件. 2.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(ax)f(bx)表明的是函數(shù)圖像的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系 f(ax)f(bx)(ab)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆. 數(shù)學(xué)運(yùn)算活用函數(shù)性質(zhì)中“三個(gè)二級(jí)”結(jié)論 數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，通過(guò)運(yùn)算能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.通 過(guò)常見的“二維結(jié)論”解決數(shù)學(xué)問題，可優(yōu)

15、化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程，使學(xué)生逐步形成規(guī) 范化、程序化的思維品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神. 類型1奇函數(shù)的最值性質(zhì) 已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的xD，都有f(x)f(x)0.特 別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)maxf(x)min0，且若0D，則f(0)0. 解析顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽， g(x)為奇函數(shù)， 由奇函數(shù)圖像的對(duì)稱性知g(x)maxg(x)min0， Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2. 答案2 類型2抽象函數(shù)的周期性 (1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T2a.

16、 (3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T2a. 【例2】 已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，有f(x3)f(x)，且當(dāng)x(0， 3)時(shí)，f(x)x1，則f(2 017)f(2 018)() A.3 B.2 C.1 D.0 解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)， 所以f(2 017)f(2 017)， 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，有f(x3)f(x)， 所以f(x6)f(x3)f(x)， 即當(dāng)x0時(shí)，自變量的值每增加6，對(duì)應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次. 又當(dāng)x(0，3)時(shí)，f(x)x1， f(2 017)f(33661)f(1)2，f(2 018)f(33662)f(2)3. 故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31. 答案C 類型3抽象函數(shù)的對(duì)稱性 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù). (2)若函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，則f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn) (a，0)對(duì)稱. 【例3】 (2018日照調(diào)研)函數(shù)yf(x)對(duì)任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函數(shù)yf(x 1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，f(1)4，