概率統(tǒng)計(jì)：第2章隨機(jī)變量及其分布1-2節(jié)

1、2021-5-51 第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) 樣本空間樣本空間 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 概率的三種定義概率的三種定義 統(tǒng)計(jì)定義統(tǒng)計(jì)定義 公理化定義公理化定義 古典定義古典定義 概率的計(jì)算概率的計(jì)算 條件概率條件概率 概率乘法公式概率乘法公式 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式 獨(dú)立性獨(dú)立性 2021-5-52 一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念 二、離散隨機(jī)變量二、離散隨機(jī)變量( (二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 0-10-1分布分布 泊松分布泊松分布) ) 三、連續(xù)隨機(jī)變量三、連續(xù)隨機(jī)變量(均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布均勻分布、指數(shù)分布、

2、正態(tài)分布) 四、隨機(jī)變量的分布函數(shù)四、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 五、二維隨機(jī)變量五、二維隨機(jī)變量 六、邊緣分布六、邊緣分布 七、條件分布七、條件分布 八、隨機(jī)變量的獨(dú)立性八、隨機(jī)變量的獨(dú)立性 九、隨機(jī)變量函數(shù)的分布九、隨機(jī)變量函數(shù)的分布 基本內(nèi)容： 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 2021-5-53 第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 在前一章，我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件概率的計(jì)算， 隨機(jī)現(xiàn)象大量存在，基本結(jié)果的描述也千變?nèi)f化，例如 正面，反面 男孩，女孩 紅球，白球，黑球 1 2 3 4 5 6， 從概率的定義和前面的實(shí)例來看，計(jì)算概率時(shí)我們關(guān)心的 不是基本結(jié)果的描述，而更多的是一種

3、數(shù)量關(guān)系. 2021-5-54 另外，有時(shí)我們總是將隨機(jī)試驗(yàn)的基本結(jié)果與另外的數(shù)量 關(guān)系結(jié)合起來，比如 1000贏元錢； 1000輸元錢； +10001000 1000 800 200 2000 實(shí)際上，給隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果賦予一個(gè)數(shù)值，這樣 將樣本空間與實(shí)數(shù)值之間建立一種對應(yīng)關(guān)系，是我們用數(shù) 學(xué)理論和方法深入和系統(tǒng)研究隨機(jī)試驗(yàn)規(guī)律的基礎(chǔ). 2021-5-55 1. 1. 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為,eS 若對于每若對于每 一個(gè)樣本點(diǎn)一個(gè)樣本點(diǎn),Se變量變量X 都有唯一確定實(shí)數(shù)與之對應(yīng)都有唯一確定實(shí)數(shù)與之對應(yīng), 則X是定義在 上的單值實(shí)函數(shù),S即),(eXX 稱

4、 X為隨機(jī)變量隨機(jī)變量. 常用X, Y, Z等或,等表示, 而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí), 常用x, y, z等. 定義: 注：隨機(jī)變量是定義在樣本空間注：隨機(jī)變量是定義在樣本空間 上的單值實(shí)函數(shù)上的單值實(shí)函數(shù);S S R )(eXe 2021-5-56 隨機(jī)變量的特征： 1（ ）隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事前并不知道取什么值； 2（ ）所取的每一個(gè)值都對應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)事件； 3（ ）隨機(jī)變量所取的每個(gè)值的概率大小是確定的； X令 表示丟硬幣賭博的贏錢數(shù)，則 X 1000， 正面； 1000， 反面； (1000)P X()P正面 1 2 ； (1000) P X 1 2 ； X令 表示擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)

5、的平方，則 Xi（ ） 2 i ， (25)P X則(5)P i 1 . 6 2021-5-57 二、二、 隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類 根據(jù)隨機(jī)變量根據(jù)隨機(jī)變量 X 的取值情況，它可分為的取值情況，它可分為 (1) 離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量: 取值只有有限個(gè)或可列無窮多個(gè)值取值只有有限個(gè)或可列無窮多個(gè)值 連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量: 取值是在某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間取值是在某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間(有界或無界有界或無界) (2) 非離散隨機(jī)變量非離散隨機(jī)變量 2021-5-58 第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布律 一、一、 離散隨機(jī)變量的分布律離散隨機(jī)變量的分布律 或記或記), 2 , 1()(kpxXP kk 則稱為

6、則稱為 X 的的概率分布律（簡稱分布律）概率分布律（簡稱分布律）. 其所有可能取值為其所有可能取值為 12 ,(), k x xx且且 定義定義: 設(shè)設(shè)X為離散隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量, 要完整地了解一個(gè)離散隨機(jī)變量要完整地了解一個(gè)離散隨機(jī)變量, ,不僅要知道它的所有不僅要知道它的所有 可能取值可能取值,還需要知道它的所有可能還需要知道它的所有可能取值相應(yīng)的概率。取值相應(yīng)的概率。 X P 12k xxx 12k ppp 2021-5-59 (2)(2)性質(zhì)性質(zhì) 顯然，概率分布pk有下面的性質(zhì): ;, 2, 1, 01 0 kpk .120 k k p 例例1.1. 求求a ，且，且P(1X2)

7、)2 , 1 , 0( ,) 3 2 ()(kakXP k 1) 3 2 () 3 2 () 3 2 ( 210 aaa 解：根據(jù)概率函數(shù)的規(guī)范性，有解：根據(jù)概率函數(shù)的規(guī)范性，有 . 19 9 a 故 已知離散隨機(jī)變量已知離散隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 2021-5-510 A表示第一次罰球罰中，表示第一次罰球罰中，B表示第二次罰球罰中表示第二次罰球罰中 據(jù)以往的資料知道，某一籃球運(yùn)動(dòng)員罰球有據(jù)以往的資料知道，某一籃球運(yùn)動(dòng)員罰球有 以下規(guī)律以下規(guī)律:若罰球兩次若罰球兩次, 第一次罰中的概率為第一次罰中的概率為0.75， 若第一次罰中則第二次罰中的概率為若第一次罰中則第二次罰中的概率為0.8

8、，若第一，若第一 次未罰中則第二次罰中的概率為次未罰中則第二次罰中的概率為0.7.以以X記罰球兩記罰球兩 次其中罰中的次數(shù)，求次其中罰中的次數(shù)，求X的分布律。的分布律。 例例2 2. . )(BAP )|()(ABPAP.075. 03 . 025. 0 解：解：X的可能取值為的可能取值為0，1，2. P(X=0) P(X=1)(BABAP)()(BAPBAP )|()()|()(ABPAPABPAP325. 07 . 025. 02 . 075. 0 6 . 08 . 075. 0)|()()()2(ABPAPABPXP 2021-5-511 或?qū)⒎植悸杀硎緸榛驅(qū)⒎植悸杀硎緸?X012 pk

9、0.0750.3250.6 或用線條圖、直方圖表示或用線條圖、直方圖表示 0 1 2 0 1 2 2021-5-512 二、二、 n重伯努利試驗(yàn)、重伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E只有兩種可能的結(jié)果只有兩種可能的結(jié)果:A:A及及A A , , 且且P(A)=p,P(A)=p,則稱則稱E為伯努利試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn). .將將E E獨(dú)立地重獨(dú)立地重 復(fù)進(jìn)行復(fù)進(jìn)行n n次次, ,則稱這一串試驗(yàn)為則稱這一串試驗(yàn)為n n重伯努利試驗(yàn)。重伯努利試驗(yàn)。 n 伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn) 考慮一個(gè)簡單的試驗(yàn)考慮一個(gè)簡單的試驗(yàn), 它只出現(xiàn)它只出現(xiàn) (或只考慮或只考慮) 兩兩 種結(jié)果種結(jié)果, 如某批產(chǎn)

10、品抽樣檢查得到合格或不合格如某批產(chǎn)品抽樣檢查得到合格或不合格; 射擊手命中目標(biāo)或不命中射擊手命中目標(biāo)或不命中; 發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號0或或1; 擲一次骰子點(diǎn)數(shù)擲一次骰子點(diǎn)數(shù)“6”是否出現(xiàn)等是否出現(xiàn)等. 2021-5-513 設(shè)設(shè)X表示表示n重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)， 則則X的所有可能取值為的所有可能取值為0,1,2,n, AAA 共有共有Cnk種方式種方式, ;AAA AAA;AAAAA k次次n-k次次 k-1次次 n-k-1次次 由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立， 每一種方式每一種方式發(fā)生的概率均為發(fā)生的概率均為 p k (1-p) n

11、 - k 因此事件因此事件A在在n次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生k次的概率為次的概率為 (),0,1, kkn k n P XkC p qkn 0 n kkn k n k C p q 00110nnnn nnn C p qC pqC p q 1. 2021-5-514 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（Binomial distribution） 定義：設(shè)隨機(jī)變量X具有分布律 (),0,1,2, kkn k n P XkC p qkn ; 1, 10qpp其中n為正整數(shù)， 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布， 記作XB (n, p)。 特別當(dāng)特別當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，X X的分布律為的分布律為 ,)(

12、 1 kk qpkXP 1, 0k) 10( p X 0 1 pk 1-p p 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的的 (0-1)分布或伯努利分布分布或伯努利分布. 2021-5-515 產(chǎn)絲廢這例例4.已4.已知知某某公公司司生生的的螺螺的的品品率率是是0.01,家0.01,家公公司司 將個(gè)絲證發(fā)現(xiàn)每每10螺10螺包包成成一一包包出出售售,并,并保保若若某某包包中中 個(gè)廢則問絲,多多于于一一品品可可退退款款.被.被售售出出的的各各包包螺螺中中 ?被被退退回回公公司司的的占占多多大大比比例例 XX 記為絲廢個(gè)數(shù) 則解解:某:某包包螺螺中中品品的的, ,(10, 0.01)B 這絲為包包螺螺被被退

13、退回回的的概概率率 (1)P X 1(0)(1)P XP X 0010 10 10.010.99C 19 10 0.01 0.99C 0.07 2021-5-516 經(jīng)驗(yàn)表明人們患了某種疾病，有經(jīng)驗(yàn)表明人們患了某種疾病，有30%的人不的人不 經(jīng)治療會(huì)自行痊愈。醫(yī)藥公司推出一種新藥，隨經(jīng)治療會(huì)自行痊愈。醫(yī)藥公司推出一種新藥，隨 機(jī)地選機(jī)地選10個(gè)患這種病的患者服用了新藥，知道其個(gè)患這種病的患者服用了新藥，知道其 中有中有9人很快就痊愈了。設(shè)各人自行痊愈與否相人很快就痊愈了。設(shè)各人自行痊愈與否相 互獨(dú)立。試推斷這些患者是自行痊愈的，還是新互獨(dú)立。試推斷這些患者是自行痊愈的，還是新 藥起了作用。藥起

14、了作用。 解：假設(shè)新藥毫無效用，則一個(gè)患者痊愈的概率為解：假設(shè)新藥毫無效用，則一個(gè)患者痊愈的概率為 P=0.3. 以以X表示表示10個(gè)患者中痊愈的病人數(shù)，個(gè)患者中痊愈的病人數(shù)， 例例5.5. 000138. 0)7 . 0()3 . 0( 99 10 CP（X=9） 000144. 0)7 . 0()3 . 0()7 . 0()3 . 0( )10()9()9( 01010 10 99 10 CC XPXPXP 則則XB（10，0.3） “概率很小的事件，在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不概率很小的事件，在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不 發(fā)生發(fā)生”（稱為實(shí)際推斷原理），現(xiàn)在概率很小的事（稱為實(shí)際推斷原理），

15、現(xiàn)在概率很小的事 件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，推斷新藥是有療效的。件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，推斷新藥是有療效的。 2021-5-517 若某人做某事的成功率為若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力，他重復(fù)努力 400次，則至少成功一次的概率為次，則至少成功一次的概率為 400 110 =1 0.990.9820 P XP X 成功次數(shù)服從二項(xiàng)概率成功次數(shù)服從二項(xiàng)概率 (400,0.01)B 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 愛迪生愛迪生: 天才天才1%的靈感的靈感99%的汗水的汗水” 但那但那1%的靈感是最重要的，甚至比那的靈感是最重要的，甚至比那99

16、%的汗水都要重要的汗水都要重要 2021-5-518 是單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率(次數(shù)). 三、泊松分布三、泊松分布 (Poissons distribution) ;, 2, 1, 0, ! )( ke k kXP k ( ),X 定義定義. . 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為泊松分布泊松分布，記作 泊松分布是由法國數(shù)學(xué)家S.D.Poisson(1983)提出. 它適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù),而 參數(shù) )0(其中其中 1 ee 0 ! k k e k 0 ! k k k e 2021-5-519 輛汽車通過的概率. 例例6.6.一時(shí)段內(nèi)通過某交叉路口的汽車

17、數(shù)X可看作 , 2 . 0 ! 0 )0( 0 eXP.61. 1則 ) 1()0(1) 1(XPXPXP而 服從泊松分布的隨機(jī)變量， 汽車通過的概率為0.2， 解：解：由題意知 e ! 1 2 . 01 1 2 . 061. 12 . 01 .478. 0 求在這一時(shí)段內(nèi)多于一 若在該時(shí)段內(nèi)沒有 2021-5-520 當(dāng)n充分大, p很小 (p0.1), 二項(xiàng)分布B( n, p)的分布律近似等于泊松分布 ),(pnBX設(shè) 的分布律: , 2 , 1 , 0, ! lim ke k qpC k knkk n n =0,np 設(shè)（數(shù)）常 泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系 ( )

18、泊松定理：泊松定理： 若當(dāng)n時(shí)， 則有 注：注： 即np比較適中時(shí)， npe k qpC k knkk n 其中, ! 2021-5-521 證明：, n pnp 記 knkknkk n qp knk n qpC )!( ! ! knk nnk knnn )1 ()( ! ) 1() 1( 則 kn k nn k nk )1)( 1 1 () 1 1 ( ! k n n n kn n nnn )1 (lim)1 (lim)1 (lim )( )1 (lim n n n e , 2 , 1 , 0, ! lim ke k qpC k knkk n n 2021-5-522 某一地區(qū)，一個(gè)人患某種

19、疾病的概率為0.01， 設(shè)各人患病與否相互獨(dú)立?，F(xiàn)隨機(jī)抽取200人, 求 其中至少4人患這種病的概率。 例例7.7. 適中很大，由于201. 0200npn 3 0 )(1 k kXP)4(XP 解: XB(200,0.01） 設(shè)X表示200人中患此疾病的人數(shù)，則 2 3 0 ! 2 1 e k k k 所以二項(xiàng)分布的分布律近似于泊松分布的分布律，所以二項(xiàng)分布的分布律近似于泊松分布的分布律， 1429. 08571. 01 2021-5-523 例如：例如： 3)顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目; ; 5) 某公路段上在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)某公路

20、段上在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù); 2)一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)； 1) 某服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)；某服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)； 4)某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù); n 實(shí)際問題中若干稠密性問題是服從或近似實(shí)際問題中若干稠密性問題是服從或近似 服從服從PoissonPoisson分布分布 體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏 分布，都可以看作泊松分布分布，都可以看作泊松分布, ,其參數(shù)其參數(shù) 可以由可以由 觀測值的平均值求出。觀測值的平均值求出。 2021-5-524 的概率的概率P(

21、 (Xx) )稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的的分布函數(shù)分布函數(shù), 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 1 x ,Rx , 21 時(shí)當(dāng)xx 定義定義：設(shè)：設(shè)X為一隨機(jī)變量，為一隨機(jī)變量， F( (x) 則事件則事件“X x” 記作記作 ).()( 12 xFxF)( 21 xXxP注：注： =P (Xx)，任，任xR x 2 x 2021-5-525 分布函數(shù)分布函數(shù)F (x)的性質(zhì)的性質(zhì) 且; 1)(0)2(xF (1)(1) F(x)是非減函數(shù)是非減函數(shù), ,即若即若x1 x2, 則則);()( 21 xFxF (3)(3)離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量X，F(xiàn) (x)是是右連續(xù)函數(shù)右連續(xù)函數(shù),

22、,即即 )()(limaFxF ax ; 1)(F; 0)(lim xF x )(F)(limxF x 事件事件“Xx”當(dāng)當(dāng)x-時(shí)是不可能事件時(shí)是不可能事件; ; 事件事件“Xx”當(dāng)當(dāng)x+時(shí)是必然事件時(shí)是必然事件. . 2021-5-526 例例1. )( 2 kXP 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 表示出現(xiàn)表示出現(xiàn)3 3點(diǎn)的次數(shù)，點(diǎn)的次數(shù)， 求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù); ; 解：解：據(jù)題意知據(jù)題意知XB(2,1/6),(2,1/6), 其分布律為其分布律為 ,) 6 5 () 6 1 ( 2 2 kkk C 其中其中k = 0,1,2.= 0,1,2. 擲一顆質(zhì)量均勻的骰子擲一顆質(zhì)量均勻的骰子2次，

23、次， 求求P(X1/2), P(-1X3/2), P(1 X2), 即即X的分布律為的分布律為 X 0 1 2 P (x) 0.6944 0.2778 0.0278 2021-5-527 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,=1, X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F( (x)=)= 0,0,x0; 0.6944,0.6944,00 x1; 0.6944+0.2778=0.9722,0.6944+0.2778=0.9722,11x2; 0.6944+0.2778+0.0278=1,0.6944+0.2778+0.0278=1, x22. P(Xx)= 0,0,x0; P(X=0),00 x

24、1; P(X=0) + P(X=1),11x2; 2x. 即即 F(x)= X的概率分布（概率函數(shù)）的概率分布（概率函數(shù)） X 0 1 2 P (x) 0.6944 0.2778 0.0278 xxx 012 x 2021-5-528 9722. 0 x )(xF o1 2 1 6944. 0 （右連續(xù)（右連續(xù)函數(shù)） P(-1X3/2) =F(3/2)-F(-1) =0.9722-0=0.9722. X 0 1 2 P (x) 0.6944 0.2778 0.0278 P(X1/2)= P(1 X2) F(1/2)=0.6944 =F(2)-F(1)+P(X=1) = 1-0.9722+0.2

25、778=0.3056 2021-5-529 故故離散離散X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 , 2 , 1),(ixp i 其概率函數(shù)其概率函數(shù)則其分布函數(shù)為則其分布函數(shù)為 .xpxF xx k k )()( 練習(xí)練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為 X -1 2 3 P (x) 1/4 1/2 1/4 求求X的分布函數(shù)，并求的分布函數(shù)，并求P(X1/2), P(3/2X5/2). 2021-5-530 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) )0(;, 2, 1, 0, ! )( ke k kXP k 1.理解隨機(jī)變量的概念，了解其分類; 2. 理解離散隨機(jī)變量的分布律及其性質(zhì)； 3. 熟悉常用離散分布

26、的分布律及其關(guān)系. B(n, p) () ;, 2 , 1 , 0,)(nkqpCkXP knkk n 當(dāng)n充分大, p很小 (p0.1), 即np比較適中時(shí)， ,0,1, ! k kkn k n C p qeknnp k 其中 2021-5-531 作業(yè)作業(yè) 習(xí)題二(P70 )： 1、3、5、6、7 2021-5-532 備用題備用題 則a =_. 1. 已知離散隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為 )2 , 1 , 0( ,) 3 2 ()(kakXP k 1) 3 2 () 3 2 () 3 2 ( 210 aaa 1)2() 1()0(XPXPXP 解：根據(jù)概率函數(shù)的規(guī)范性，有 . 19 9 a 故 即 2021-5-533 2. 設(shè)隨機(jī)變量XB(2, p), 隨機(jī)變量YB(3, p), 若P(X1)=5/9, 則P(Y1)=_. 解： 由于XB(2, p),P(X1)=5/9, 于是 P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=5/9 故 p=1/3. 又 YB(3, p), 于是 P(Y1)=1-