三靜電場習題課

1、三靜電場習題課 第四部分第四部分 靜電場習題課靜電場習題課 三靜電場習題課 對！對！ 錯！錯！ 三三 基本概念與基本原理討論題基本概念與基本原理討論題 錯錯 錯！錯！ 錯！錯！ 對對 三靜電場習題課 R O x S 解解: :場強疊加原理場強疊加原理. . 補償法補償法 (1) 球心球心O處的場強處的場強 )(S)(0 EEE 完完整整球球面面 2 0 0 4 0 R S E x軸正方向軸正方向 (2) )(S)(S EEE 完完整整球球面面 ) 2 ( 4 4 0 2 0 2 R R E S 0 2 x軸正方向軸正方向 此時此時小塊面積小塊面積 S可近似看成可近似看成點電荷！點電荷！ 此時此

2、時小塊面積小塊面積 S要近似要近似 看成看成無限大平面！無限大平面！ 三靜電場習題課 2 0 2 4r q f S q f 0 2 結(jié)合下題思考：結(jié)合下題思考： 點電荷點電荷q 在電場在電場E中所受的力為中所受的力為 f =qE 適用條件：（適用條件：（1）q為點電荷；為點電荷； （2）E是除是除q以外場源電荷產(chǎn)生的電場。以外場源電荷產(chǎn)生的電場。 S q f 0 2 2 : 答答 三靜電場習題課 4一點電荷一點電荷Q處于邊長為處于邊長為a的正方形平面的的正方形平面的 中垂線上，與平面中心中垂線上，與平面中心O點相距點相距a/2，如圖，如圖4- 1所示，求通過正方形平面的電通量。所示，求通過正方

3、形平面的電通量。 a a 2 a O Q 0 6 1 Q 解：解： 三靜電場習題課 5. 有一個球形的橡皮氣球，電荷均勻分布在表面上。有一個球形的橡皮氣球，電荷均勻分布在表面上。 此氣球在被吹大此氣球在被吹大過程過程中，下列各處的場強怎樣變化中，下列各處的場強怎樣變化? (1)始終在氣球內(nèi)部的點；始終在氣球內(nèi)部的點； (2)始終在氣球外部的點；始終在氣球外部的點； (3)被氣球表面掠過的點。被氣球表面掠過的點。 場強為零場強為零 各點場強不變，該處場強與電荷集中在氣球中心的各點場強不變，該處場強與電荷集中在氣球中心的 點電荷產(chǎn)生的場點電荷產(chǎn)生的場樣。樣。 被掠過的點，從場強為被掠過的點，從場強

4、為 躍變?yōu)榱?。其中躍變?yōu)榱?。其?r 為球心到該點的距離。為球心到該點的距離。 2 0 4r q 三靜電場習題課 , 22)2/(4 00 a a q U p a q p a 是否正確是否正確? ?為什么為什么? ? 答：不正確答：不正確.因為兩帶電體電勢零點不一致因為兩帶電體電勢零點不一致 三靜電場習題課 三靜電場習題課 P q Q E P q Q E )(a )(b 圖 4-3 12. (1)在圖在圖4-3(a)所示的電場中，將一正電荷所示的電場中，將一正電荷q從從P點移點移 到到Q點，電場力的功點，電場力的功APQ是正還是負是正還是負? 系統(tǒng)的電勢能是增加還是減少系統(tǒng)的電勢能是增加還是減

5、少? P、Q兩點的電勢哪點高兩點的電勢哪點高? 正正 減少減少 P點高點高 (2)若被移動的是負電荷，上述各問又怎樣若被移動的是負電荷，上述各問又怎樣 ? 負負 (3)若電場分布如圖若電場分布如圖4-3(b) 所示，上述各問又怎樣所示，上述各問又怎樣? 通過上述討論，可以得出通過上述討論，可以得出 哪些規(guī)律性的結(jié)論哪些規(guī)律性的結(jié)論? 增加增加P點高點高 三靜電場習題課 14.在靜電學中，有下面幾種常見的場強公式在靜電學中，有下面幾種常見的場強公式 q F E 2 0 4r q E l VV E BA (1)第式和第式中的第式和第式中的q , 意義是否相同意義是否相同 ? 答：答：(1)第式和第

6、式中的電荷第式和第式中的電荷q的意義不同。第的意義不同。第 式中式中q是置于靜電場中并受到電場力是置于靜電場中并受到電場力F的點電荷的點電荷;第第 式中電荷式中電荷q是產(chǎn)生場是產(chǎn)生場E的場源電荷。的場源電荷。 (2)它們適用的范圍怎樣它們適用的范圍怎樣? 式普遍適用，它是電場的定義式；式只適用于式普遍適用，它是電場的定義式；式只適用于 點電荷；式當點電荷；式當A、B兩點間距為兩點間距為l時適用于均勻場。時適用于均勻場。 三靜電場習題課 答：球殼表面附近的場強沿垂直表面方向。答：球殼表面附近的場強沿垂直表面方向。 答：答：E E= = / / 0 0 仍然仍然適用適用 ！ A A對電場的影響體對

7、電場的影響體 現(xiàn)在球殼現(xiàn)在球殼B B上的電荷密度上的電荷密度 改變了改變了。 答：答： B B球殼表面是等勢面。若球殼表面是等勢面。若A A帶正電，則帶正電，則B B球電球電 勢升高。勢升高。 三靜電場習題課 答：帶電體答：帶電體A A在球殼內(nèi)產(chǎn)生電場，當靜電平衡時在球殼內(nèi)產(chǎn)生電場，當靜電平衡時 和和B B球殼上的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場抵消，即球殼上的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場抵消，即B B殼殼 內(nèi)場強為零。內(nèi)場強為零。 答：如果在球殼內(nèi)放一個點電荷答：如果在球殼內(nèi)放一個點電荷, ,它將受到殼外帶電它將受到殼外帶電 體體A A的靜電力作用。的靜電力作用。 靜電屏蔽體現(xiàn)在所有的影響抵消。靜電屏蔽體現(xiàn)在所

8、有的影響抵消。 三靜電場習題課 R3 R1 R2A B Q q 答：若答：若B B接地，則接地，則R R1 1面上均勻分布面上均勻分布Q Q1 1的電量的電量, ,R R2 2面面 上均勻分布上均勻分布 Q Q1 1的電量的電量. .R R3 3面上無電荷。面上無電荷。 A A球接地僅意味著電勢為零球接地僅意味著電勢為零! ! 302010 444R qQ R q R q UA 0 解出q既可. 三靜電場習題課 答：若將球殼答：若將球殼B B接地接地, ,再在距球再在距球 心心O O為為r r處處( (r r R R3 3) )放一電荷放一電荷q q, ,則則A A、B B 兩導(dǎo)體的電勢仍然不

9、變。兩導(dǎo)體的電勢仍然不變。 B B 的電勢為零，的電勢為零，A A球的電球的電 勢等于勢等于A A、B B 兩導(dǎo)體的電勢差，所以兩導(dǎo)體的電勢差，所以A A球電勢不變。球電勢不變。 R3 R1 R2 A B Q q r q 答：若在距球心答：若在距球心O O為為r r 處處( (r rR R3 3) )放一電荷放一電荷q q , , r r R R3 3空間的電場強度不變則空間的電場強度不變則 A A、B B 的電勢差不改變。的電勢差不改變。 而而r rR R3 3空間的電場強度變化，所以空間的電場強度變化，所以A A、B B 兩導(dǎo)體的兩導(dǎo)體的 電勢改變。電勢改變。 三靜電場習題課 18. 中性

10、的金屬球中性的金屬球A半徑為半徑為R 它離地球很遠它離地球很遠,在與球心相距在與球心相距 為為b的點的點 p處處,有一個正電荷有一個正電荷q,求求: (1) 球內(nèi)各點電勢的表達式球內(nèi)各點電勢的表達式 . (3) 金屬球上的感應(yīng)電荷在球心產(chǎn)生的金屬球上的感應(yīng)電荷在球心產(chǎn)生的場強表達式場強表達式. (2) 若將球若將球A接地接地,其上的凈電荷其上的凈電荷. b P R O O A q (4) 球球A上的感應(yīng)電荷在球內(nèi)任一點所產(chǎn)生的場強上的感應(yīng)電荷在球內(nèi)任一點所產(chǎn)生的場強. b q UU 0 0 4 0 44 00 R q b q U (2)若將球若將球A接地接地,其上的凈電荷其上的凈電荷q . b

11、 Rq q 解解(1) 三靜電場習題課 (3) 感應(yīng)電荷在球心產(chǎn)生的感應(yīng)電荷在球心產(chǎn)生的場強與場強與q的場強等值反號的場強等值反號. i b q E 2 0 0 4 (4) 感應(yīng)電荷在球內(nèi)任一點所產(chǎn)生的場強感應(yīng)電荷在球內(nèi)任一點所產(chǎn)生的場強與與q的場強等的場強等 值反號值反號,其大小為：其大小為： )cos2(4 22 0 rbbr q E 場強的方向如圖場強的方向如圖. b P R O A q E0 r E r 三靜電場習題課 AB 1 4 2 3 討論討論:設(shè)兩板兩側(cè)電荷面密度分設(shè)兩板兩側(cè)電荷面密度分 別為別為 1、 2、 3、 4, 金屬板內(nèi)場強為零金屬板內(nèi)場強為零,因此因此 : 0 2

12、1 4321 0 ）（ 內(nèi)內(nèi)A E 0 2 1 4321 0 ）（ 內(nèi)內(nèi)B E 3241 ; 三靜電場習題課 (3)將將B板的外側(cè)接地板的外側(cè)接地, (4)將將B板的內(nèi)側(cè)接地：板的內(nèi)側(cè)接地： 與與B板的外側(cè)接地相同。板的外側(cè)接地相同。 作高斯面作高斯面S1： 1 4 2 3 S2 作高斯面作高斯面S2: 3241 ; 0 3241 ; 0 S1 0 4 E 0 1 E 或直接寫出：或直接寫出： 0 2 1 4321 0 1 ）（E 0 4321 0 2 2 1 ）（E 0 2 1 4321 0 2 ）（E 三靜電場習題課 ,d , C , C ,d , CUQ , d U E QUW 2 1

13、, CUQ, d 0 E U E QUW 2 1 , CUQ, d U E QUW 2 1 , C 三靜電場習題課 21. 有一個中空的沒有帶電的導(dǎo)體球?qū)?，在球的?nèi)腔中有一個中空的沒有帶電的導(dǎo)體球?qū)?，在球的?nèi)腔中 心放入一個帶正電的小球，兩者保持不接觸，試說明心放入一個帶正電的小球，兩者保持不接觸，試說明 (1)在什么地方有電場存在在什么地方有電場存在? (2)在球?qū)拥膬?nèi)表面和外表面有電荷出現(xiàn)嗎？在球?qū)拥膬?nèi)表面和外表面有電荷出現(xiàn)嗎？ (3)小球在空心球內(nèi)部移動時，在內(nèi)表面包圍的空小球在空心球內(nèi)部移動時，在內(nèi)表面包圍的空 間中，電場是否發(fā)生改變間中，電場是否發(fā)生改變?在球外的電場是否要發(fā)在球外的

14、電場是否要發(fā) 生改變生改變?在球殼層中的電場是否改變在球殼層中的電場是否改變? 導(dǎo)體球?qū)觾?nèi)表面帶負電，外表面帶正電，電量和小球相導(dǎo)體球?qū)觾?nèi)表面帶負電，外表面帶正電，電量和小球相 同。所以小球到內(nèi)腔的空間有電場，內(nèi)表面到外表面之同。所以小球到內(nèi)腔的空間有電場，內(nèi)表面到外表面之 間電場為零，腔體外空間有電場。間電場為零，腔體外空間有電場。 內(nèi)表面包圍的空間中電場分布發(fā)生變化；球外電場分內(nèi)表面包圍的空間中電場分布發(fā)生變化；球外電場分 布不變；球殼層中電場仍為零。布不變；球殼層中電場仍為零。 三靜電場習題課 (4)(4)小球不動，如果把另一帶電體從外面移近空心小球不動，如果把另一帶電體從外面移近空心

15、球，那么，電場要怎樣改變球，那么，電場要怎樣改變? ? 內(nèi)表面包圍的空間中電場不變；球殼層中電場還是內(nèi)表面包圍的空間中電場不變；球殼層中電場還是 零；球殼外空間電場發(fā)生變化，因為這時外表面電零；球殼外空間電場發(fā)生變化，因為這時外表面電 荷分布要發(fā)生變化。荷分布要發(fā)生變化。 22.22.在帶電體在帶電體A A附近引入另一個帶電體附近引入另一個帶電體B B，能否實現(xiàn)，能否實現(xiàn) (1)B的引入不改變的引入不改變A表面附近的場強。表面附近的場強。 (2)B的引入不改變的引入不改變A表面的電勢。表面的電勢。 能夠做到的。如能夠做到的。如B B是和是和A A同心的球殼，但同心的球殼，但B B的半徑較大，的

16、半徑較大， 就可不改變就可不改變A A表面附近的場。表面附近的場。 這是不可能的。電勢由整個空間總電場確定的，隨這是不可能的。電勢由整個空間總電場確定的，隨 著另一帶電體的引入，總電場的分布必將改變。著另一帶電體的引入，總電場的分布必將改變。 三靜電場習題課 23.(1)電容器的電容與其帶電量有關(guān)嗎？與哪些物理量有電容器的電容與其帶電量有關(guān)嗎？與哪些物理量有 關(guān)？關(guān)？ (2)電介質(zhì)在電容器中的作用是什么？電介質(zhì)在電容器中的作用是什么？ 24.兩種電場能量的表達式和的物理意義有何不同？兩種電場能量的表達式和的物理意義有何不同？ 是否在任何情況下兩式均等效？是否在任何情況下兩式均等效？ 無關(guān)無關(guān)

17、與極板的大小、形狀、相對位置以及極與極板的大小、形狀、相對位置以及極 板間填充的介質(zhì)有關(guān)板間填充的介質(zhì)有關(guān) 增大電容和提高電容器的耐壓能力增大電容和提高電容器的耐壓能力 三靜電場習題課 （三）計算題（三）計算題 1 .已知已知:無限長圓柱無限長圓柱 R, - - = 0 cos , 求求:圓柱軸線上的場強圓柱軸線上的場強. x y R ,0,),cos(cos ,cos 0 y E有電荷對稱分布而 解：由 dcos 2 cos 2 d d 2 0 0 0 R R E x , 2 dcos 2 0 0 2 0 0 x E dq dq E d E d 定積分公式定積分公式: - 2 dcos ii

18、EE x 0 0 2 即得 三靜電場習題課 01 1 E 上上由由對對稱稱性性可可知知中中心心平平面面解解)(: - -dd E 2 0 0 00 2 2 22 2 a kS xS kx VSE Ea a dd ,)( 則則 處處的的場場強強為為板板內(nèi)內(nèi)距距中中心心平平面面 ia k E 2 0 2 2 :矢矢量量式式 id k E 2 0 3 2 3 :,)(板板外外任任一一點點同同理理 2 .已知已知:無限大平板無限大平板,厚厚2d, = k|x| ,k為正常數(shù)為正常數(shù). 求求:(1)中心平面的場強中心平面的場強; (2)板內(nèi)距中心平面為板內(nèi)距中心平面為a處的場強處的場強. (3)板外任意

19、點處的場強板外任意點處的場強. 2d Ox 2a S 曲曲線線如如圖圖XE )(4 三靜電場習題課 3. 有一內(nèi)外半徑分別為有一內(nèi)外半徑分別為a和和b的帶正電的球殼的帶正電的球殼,電荷密度電荷密度 為為 =A/r ,式中式中A為常量球心處有一點電荷電量為為常量球心處有一點電荷電量為Q, 試證試證 明當明當A=Q/(2 a2)時時球殼區(qū)域內(nèi)的場強大小與球殼區(qū)域內(nèi)的場強大小與r無關(guān)無關(guān). ）（ 斯斯面面在在球球殼殼內(nèi)內(nèi)作作同同心心球球形形高高具具有有球球?qū)ΨQ稱性性解解 1 1 4 0 2 )d , r a r VQrE ）（3 2 2 a Q A ）（224 222 )(ddarArr r A

20、V r a r a 22 22 00 44 2 a Q r arAQ Er )( 解解得得 R r O 三靜電場習題課 4 .已知已知:均勻帶電球體均勻帶電球體,密度密度 ,內(nèi)有空腔內(nèi)有空腔,兩球心相距兩球心相距a. 求求:(1)腔內(nèi)腔內(nèi)P點的場強點的場強. 3 0 2 1 3 4 4rrEp 點點則則大大球球在在 的的小小球球體體空空腔腔處處補補上上密密度度為為解解,: rEporrE Ep 0 2 0 2 2 33 矢矢量量式式：同同理理得得： 點點的的場場強強的的小小球球體體，它它在在再再設(shè)設(shè)空空腔腔為為密密度度為為 ),( ）（ rrEEE ppp 0 3 21 rErE p 0 1

21、0 33 1 矢矢量量式式：, （腔腔內(nèi)內(nèi)勻勻電電場場）（aEarr o p 3 O O a P r r 三靜電場習題課 13 .已知已知:R, - - , rA=R/2 , rB =2R (1)取球面處取球面處U=0;(2)取無限遠處取無限遠處U=0. - R O ACB 求求:（1）UA, UB , UAB R r R R A A dr r rdEU 2 0 3 / 內(nèi)內(nèi) 0 2 24 7 R UU BA 解解:(1)均勻帶電球體的電場均勻帶電球體的電場E內(nèi) 內(nèi)=- - r/3 0 , E外外=- - R3/3 0r2 取球面處取球面處U=0, 0 2 0 22 86 4 RRR U A

22、)/( 0 2 0 3 2 2 0 3 62 11 33 R RR R r r R U R R B )(d 三靜電場習題課 0 3 2 2 0 3 63 R dr r R rdEU Rr B B 外外 0 2 24 7 R UU BA 取無限遠處取無限遠處U=0. dr r R dr r U R R R A 2 0 3 2 0 33 可見電勢差與零點的選擇無關(guān)可見電勢差與零點的選擇無關(guān). 0 2 24 11 R U A 三靜電場習題課 )(,0 1a RrE )( , ba a RrR r Q E 2 0 2 4 )(, )( b BA Rr r QQ E 2 0 3 4 14 .已知已知:如

23、圖同心球面如圖同心球面Ra, Rb , Qa Qb 0, 求求:(1)先求場強先求場強,再積分計算電勢再積分計算電勢; (2)用帶電球面電勢疊加求電勢用帶電球面電勢疊加求電勢; (3)畫出畫出U-r曲線曲線. Rb Ra Qa -Qb O 解解:帶電球面的電場強度帶電球面的電場強度 當當r Rb時時 r QQ dr r QQ U ba r ba 0 2 0 44 )( 外外 三靜電場習題課 b ba R rR baa R Q r Q dr r QQ dr r Q U b b 00 2 0 2 0 4444 當當Rb r Ra時時 b b a a R ba R R a R r dr r QQ d

24、r r Q drU 2 0 2 0 44 0 當當 r Ra時時 O U r RaRb b b a a R Q R Q U 00 44 三靜電場習題課 解法解法2:帶電球面帶電球面A的電勢分布的電勢分布 );(, a a a a Rr R Q U 0 1 4 )(, a a a Rr r Q U 0 2 4 帶電球面帶電球面B的電勢分布的電勢分布 );(, b b b b Rr R Q U 0 1 4 )(, b b b Rr r Q U 0 2 4 疊加得疊加得: )( , )( b ba ba Rr r QQ UUU 0 22 4 外外 )( , ba b ba ba RrR R Q r

25、Q UUU 00 12 44 中中 )( , a b b a a ba Rr R Q R Q UUU 00 11 44 內(nèi)內(nèi) 結(jié)果同前結(jié)果同前. 三靜電場習題課 解解:環(huán)形電荷元在環(huán)形電荷元在p點的電勢點的電勢 2 1 22 0 4 2 )(hr rdr dU 則整個圓環(huán)在則整個圓環(huán)在p點的電勢為點的電勢為 )(d 22 1 22 2 0 2 2 1 hRhRUU R R p 15. 已知已知:均勻帶電平板圓環(huán)面均勻帶電平板圓環(huán)面, R1, R2 , . 求求:(1)圓環(huán)軸線圓環(huán)軸線p點的電勢點的電勢,與無孔金屬圓板比較高低與無孔金屬圓板比較高低; (2) 若若 為負為負,一電子從無限遠飛來穿

26、過去一電子從無限遠飛來穿過去,要有多少要有多少 初動能初動能? (3)用微分求用微分求p點的場強點的場強. X h R1 p R2 r p點的電勢用坐標表示為點的電勢用坐標表示為: : , )( 22 1 22 2 0 2 xRxRU p 2 2 R 環(huán)環(huán)心心的電勢為的電勢為: : )( 12 0 2 RRU o 三靜電場習題課 若若R1=0,=0,即成為圓盤即成為圓盤, ,則則22 2 0 2 hRU p 金屬板的電勢電勢升高了金屬板的電勢電勢升高了. (2)由題意由題意: :UeEk 是電子從無窮遠處移到是電子從無窮遠處移到x=0處反抗電場力所做的功處反抗電場力所做的功 (3)p點的場強由

27、點的場強由: : )(| 22 1 22 2 0 11 2 hRhR h dx dU E hxp )( 12 0 2 RR e Ek )( 12 0 0 2 RRUU )( 22 1 22 2 0 2 xRxRU p 三靜電場習題課 ; 2 0 4x Q E x )(lrr lQ dFF lr r 000 4 0 0 ; x Q U 0 4 )ln(d 00 1 4 0 0r lQ ww lr r (2)(2)電勢能電勢能 17.已知已知:均勻帶電球面均勻帶電球面,R,Q, 沿半徑的均勻帶電直線沿半徑的均勻帶電直線 , 長長l0 ,近端距離近端距離r0 ,二者電場不影響電荷分布二者電場不影響電

28、荷分布. 求求:(1)直線所受電場力直線所受電場力; (2)直線的電勢能直線的電勢能. 解解:(1):(1)建立坐標軸建立坐標軸ox, ,如圖如圖 l0r0 R O x ,dddxEqEF xx xUqUwddd 三靜電場習題課 b a 21. 同軸電纜同軸電纜,內(nèi)導(dǎo)線半徑為內(nèi)導(dǎo)線半徑為a,外圓筒內(nèi)半徑為外圓筒內(nèi)半徑為b緊貼圓筒緊貼圓筒 內(nèi)壁充入同軸圓筒形電介質(zhì)內(nèi)壁充入同軸圓筒形電介質(zhì),內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為R,相對電容率相對電容率為為 r 求求: lrlD 2 R (1) 若若導(dǎo)線和圓筒帶電導(dǎo)線和圓筒帶電,線密度為線密度為 ,求場求場 強分布強分布. (2) 單位長度的電容單位長度的電容. (3)

29、 分別用電容器儲能和電場能量計算單分別用電容器儲能和電場能量計算單 位長度的電場能量位長度的電場能量. 解解: 由高斯定理得由高斯定理得: r l r D 2 )( 2 0 1 Rra r E )( 2 0 2 brR r E r 三靜電場習題課 (2) 求單位長度的電容求單位長度的電容: b R r R a r r r r U 00 2 d 2 d u C R b a R r ln 2 ln 2 00 )lnln( 2 0 R b a R r r )/ln()/ln( 2 0 RbaR r r 三靜電場習題課 (3)單位長電場能量單位長電場能量:用電容器儲能計算用電容器儲能計算 QUWe 2 1 R b b R r r lnln 4 0 2 V e VEWd 2 1 2 b R R a rr r rr r d 2 2 2 1 d2 22 1 2 2 0 0 用電場能量計算用電場能量計算 R b a R r r lnln 4 0 2 R b b R r ln 2 ln 22 1 00 求電容方法求電容方法! 三靜電場習題課 解解: 金屬球是否無電荷金屬球是否無電荷? 333 0 33 2 0 1 2 3 4 3 4 4 1 RR qRr