不等式知識點歸納大全

1、不等式知識點歸納一.（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值（2）解分式不等式f（x）Aa（aHO 的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解因式，Xg（x ）1 丿-的系數(shù)變?yōu)檎?，標根及奇穿過偶彈回 ）；（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（ 一般是分類討論、平方轉化或換元轉化）;（4）解含參不等式常分類等價轉化，必要時需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應求并集、利用重要不等式a+b二270以及變式a（a2b）2等求函數(shù)的最值時，務必注意a,b忘r

2、 +（或a，b非負），且 等號成立”時的條件是積ab或和a+ b其中之一應是定值（一正二定三等四同時）.三、.常用不等式有：J2ZZa27a 121 （根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用）a、b、a bR， a2 +b2 +c2 ab +bc +ca (當且僅當 a =b =c時，取等號)四、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數(shù)）：a3+b3+c 33abc（a+b+cAO等式即可成立，a=b=c或a+b+c = 0時取等）;二 abcr)3 0,由X + y 2煩， 若積xy = P（定值），則當X = y時和X + y有最小值2jp ；（和定積最大）X, y A 0,由X + y 2jx

3、y，若和x + y = S（定值），則當x = y是積xy有最大值1 s2.1 1【推廣】：已知a，b，WR+,若ax + by=1，則有則-的最小值為:1111byax廠廠2-=(ax +by)(-+-)=a+b + a + b +2lab=(Va+ vb)XyXyXy等式到不等式的轉化：已知 x0，y0，x+2y+ 2xy= 8，則x+ 2y的最小值是2xy =8-(x + 2y)= x ”2y =8-(x + 2y) 04故x+ 2y的最小值是4解得 X+ 2y 4如果求 xy 的最大值，則 2xy = 8 (X +2y)= x + 2y = 8 2xy 2j2xy，然后解關于 Jxy的

4、一元二次不等式，求 xy的范圍，進而得到 xy的最大值六、比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質法、綜合法、分析法和放縮法（注意：對.整式、分式、絕對值不等式的放縮途徑,配方、函數(shù)單調性等”對放縮的影響）a、b同號或有0二七、含絕對值不等式的性質:|a+b 冃a|+|b| |a|b|=|a-b| ；a、b異號或有0二|a-b冃a|+|b| |aHb|冃 a+b|.八、不等式中的函數(shù)思想不等式恒成立問題含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結合起來，其以覆蓋 知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這 類

5、問題的過程中涉及的 函數(shù)與方程”化歸與轉化”數(shù)形結合” 分類討論”等數(shù)學思想對鍛 煉學生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結合實例談 談這類問題的一般求解策略。、函數(shù)法f (m) 0恒成立U f (m)0 f(X)C 0恒成立u lf(n)0(2) 元二次函數(shù) f(x) =ax2 +bx+ c A0(a H 0, X 忘 R)有:a 01)f(x)0對xR恒成立二 b0;a CO2) f(x)m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。解：設 F(x) =x2 -2mx+2-m，則當 x引1,+oc)時，F(xiàn)(x)0恒成立 當 i =4(m-1)( m+ 2) 0 即-2m0

6、顯然成立;當i 0時，如圖，F(xiàn)(x)0恒成立的充要條件為:& 0F(-1)0解得-3ma 恒成立 u af(x)min(2) f(x)f(x)max例2.已知兩個函數(shù)f(X)= 8x2+16x - k, g(x) = 2x3 + 5x2 + 4x，其中k為實數(shù).(1)若對任意的X- -3,3 ，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范圍;若對任意的X1、X2 -匚33，都有f(X1)g(a)(a為參數(shù))恒成立二 g(a)0，若f(X)t2 2at+1對于所有的X引-1,1, a引-1,1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.解：題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個變量，容易證明f(

7、x)2是定義在-1,1上的增函數(shù)，故f(x)在-1,1上的最大值為f=1,則f (xBt -2at + 1對于所有的x-1,1, a-1,1恒成立二1t2-2at+1對于所有的a-1,1恒成立，即2宀0對于所有的1,1恒成立，令g(a)=2ta-t2，只要g(點0二 t 2或 t = 0 .四、變換主元法理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例4:，不等式X2+(a-4)x+4-2a 0恒成立，求x的取值范圍。分析：題中的不等式是關于X的一元二次不等式，但若把a看成主元,則問題可轉化為一次不等式(X -2)a +x2 -4x +4

8、 :0在a迂-1,1上恒成立的問題。解：令f(a)=(x-2)a +x2 -4x +4，則原問題轉化為f(a):0恒成立(a-1,1)。當X =2時，可得f(a) =0，不合題意。當2時，應有黑；0。解之得心或X3。故X的取值范圍為(=,1)U (3,+：)。五、數(shù)形結合法數(shù)學家華羅庚曾說過：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系:1) f(x) g(x)u函數(shù)f (X)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方;2) f(x)cg(x)u函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方.例5.設函數(shù)f(x)J_x2

9、 +4x , g(x) =ax + a ,若恒有f (x)蘭g(x)成立,試求實數(shù)a的取值范圍.yOx解：由題意得f(x)蘭g(x)二 丄xMxax + 2a, 令旳=J-X2 +4x ,y2 =ax + 2a .可化為(X-2)2 +y2 =4(0x0),它表示以(2,0)為圓心，2為 卩半徑的上半圓；表示經(jīng)過定點(-2,0)，以a為斜率的直線，要使f(x)g(x)恒成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如圖所示).當直線與半圓相切時就有1 二冒型=2，即a=，由圖可知，要使f(x)Wg(x)恒成立，實數(shù)a的取值范Jl+a23六、分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變

10、形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類 討論的思想來解決。例6： X迂-2,2 時，不等式x2+ax+32a恒成立，求a的取值范圍。解：設f(x)=x2 +ax+3-a，則問題轉化為當2,2 時，f(x )的最小值非負。a7當0 二 a 又a所以 a不存在;23(2)當22 即：4a06a2 又47 a 4”.一4 a 22綜上所得:7 a 7 又 aw-4.-7av-4例7：已知a是實數(shù)，函數(shù)f(X)=2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1,1】上有零點, 求a的取值范圍.解析：由函數(shù)f (x)的解析式的形式，對其在定區(qū)間上零點問題的解決需要考慮它是一次函數(shù), 還是二次函數(shù)，因而需就a = 0和a H0兩類情況進行討論。解：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1，1 上有零點，即方程f(X)=2ax2+2X3-a =0在-1，1 上有解,a=0時，不符合題意，所以a工0方程f(x)= 0在-1