概率論與數理統(tǒng)計課后習題及答案

1、個人收集整理僅做學習參考概率論與數理統(tǒng)計課后習題及答案第 1 章三、解答題1設 P(AB) = 0 ，則下列說法哪些是正確地？(1) A和B不相容；(2) A和B相容；(3) AB 是不可能事件；(4) AB 不一定是不可能事件；(5) P(A)=0 或 P(B)=0(6) P(A B) = P(A)解： (4) (6) 正確 .2設 A ， B 是兩事件，且P(A) = 0.6 ， P(B) = 0.7 ，問：(1) 在什么條件下 P(AB) 取到最大值，最大值是多少？(2) 在什么條件下 P(AB) 取到最小值，最小值是多少？解：因為P( AB)P( A) P(B) P( AB)，又因為

2、P( B)P(AB) 即 P(B) P( A B)0. 所以(1)當 P(B)P(A B) 時 P(AB) 取到最大值，最大值是 P( AB) P(A) =0.6.(2)P(A B)1 時 P(AB) 取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3已知事件 A， B 滿足 P( AB) P( AB ) ，記 P(A) = p ，試求 P(B) 解：因為 P( AB)P(AB ) ，即 P(AB)P( AB)1P(A B)1P(A) P(B)P(AB) ，所以 P(B)1P( A)1p.4已知 P(A) = 0.7 ，P(A B) = 0.3 ，試求 P(AB) 解：因為 P(

3、A B) = 0.3 ，所以 P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )0.3,資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途又因為 P(A) = 0.7 ，所以 P(AB) =0.7 0.3=0.4， P( AB) 1P( AB)0.6.5 從 5 雙不同地鞋子種任取 4 只，問這 4 只鞋子中至少有兩只配成一雙地概率是多少？解：顯然總取法有 nC104 種，以下求至少有兩只配成一雙地取法k ：法一：分兩種情況考慮：kC51 C42 (C21 )2+ C52其中： C51C42 (C21 ) 2 為恰有 1 雙配對地方法數法二：分兩種情況考慮：kC51 C81 C61+ C522!1/

4、56個人收集整理僅做學習參考其中： C 51 C81C61為恰有 1 雙配對地方法數2!法三：分兩種情況考慮：kC51(C82C41 ) + C52其中： C51 (C82C41 )為恰有1 雙配對地方法數法四：先滿足有 1 雙配對再除去重復部分： k C51C82- C52法五：考慮對立事件：kC104 - C54 (C21 )4其中： C54 (C12 ) 4 為沒有一雙配對地方法數法六：考慮對立事件：kC104 C101C81C61 C414!其中：C101 C81 C61 C41為沒有一雙配對地方法數4!所求概率為 pk13 .C104216在房間里有 10 個人，分別佩戴從1 號到

5、10 號地紀念章，任取3 人記錄其紀念章地號碼求：(1) 求最小號碼為 5 地概率；(2) 求最大號碼為 5 地概率解： (1) 法一：(2) 法二：pC521C10312pC421C10320，法二：，法二：pC31 A521A10312pC31 A421A103207將 3 個球隨機地放入4 個杯子中去，求杯子中球地最大個數分別為1， 2，3 地概率解：設 M1, M2, M3表示杯子中球地最大個數分別為1， 2， 3 地事件，則P(M 1)A433P(M2)C32A429P(M 3)C 411438 ,4316 ,43168設 5 個產品中有3 個合格品，2 個不合格品，從中不返回地任取

6、2 個，求取出地 2 個中全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品地概率各為多少？資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：設 M2, M1, M0分別事件表示取出地2 個球全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則P(M2)C320.3, P(M 1)C31C21C220.1C52C520.6 , P(M1)C529口袋中有 5 個白球， 3 個黑球，從中任取兩個，求取到地兩個球顏色相同地概率解：設M1=“取到兩個球顏色相同”， M1=“取到兩個球均為白球”， M2=“取到兩個球均為黑球”，則M M 1M2且M1M 2.所以 P(M )P(M1 M2)P(M1)P(M 2)C52C3213 .C82C

7、822810 若在區(qū)間 (0， 1)內任取兩個數，求事件“兩數之和小于6/5 ”地概率解：這是一個幾何概型問題以x 和 y 表示任取兩個數，在平面上建立xOy 直角坐標系，如圖 .任取兩個數地所有結果構成樣本空間， y)：，2/56個人收集整理僅做學習參考事件 A = “兩數之和小于6/5 ” = (x，：5因此142A的面積15172P( A)125的面積圖？11隨機地向半圓0y2ax x2（ a 為常數）內擲一點，點落在半圓內任何區(qū)域地概率與區(qū)域地面積成正比，求原點和該點地連線與x 軸地夾角小于地概率 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途4解：這是一個幾何概型問題以 x 和 y 表示隨機地向半圓

8、內擲一點地坐標，表示原點和該點地連線與 x軸地夾角，在平面上建立xOy 直角坐標系，如圖 .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途隨機地向半圓內擲一點地所有結果構成樣本空間， y)： 0 x2a,0y2axx 2 事件 A = “原點和該點地連線與x 軸地夾角小于”4=(x ， y)： 0x 2a,0 y2axx2 ,04因此A的面積1a 21a21 P( A)2141的面積22a212已知 P( A)1 ,P(B A)1,P(A B)1，求 P(AB) 432解： P( AB) P( A)P( B A)1 11 , P(B)P( AB)111 ,4312P(A|B) 12 2 6P( A B) P(

9、 A) P(B) P( AB)1111.4612313設 10 件產品中有4 件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品地概率是多少？資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：題中要求地“已知所取兩件產品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品地概率”應理解為求 “已知所取兩件產品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品地概率”資.料個人收集整理，勿做商業(yè)用途設 A=“所取兩件產品中至少有一件是不合格品”， B=“兩件均為不合格品”；P( A)1 P(A)C622C4221， P(B)C102，C102315P(B | A)P( AB) P(B)2 / 21P

10、( A)P( A)153514有兩個箱子， 第 1 箱子有 3 個白球 2 個紅球， 第 2 個箱子有4 個白球 4 個紅球， 現從第 1 個箱子中隨機地取 1 個球放到第 2 個箱子里， 再從第 2 個箱子中取出一個球，此球是白球地概率是多少？已知上述從第2個箱子中取出地球是白球，則從第1 個箱子中取出地球是白球地概率是多少？資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途3/56個人收集整理僅做學習參考解：設A=“從第1 個箱子中取出地1 個球是白球 ”， B=“從第2 個箱子中取出地1 個球是白球 ”，則C2132資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途P(A),P( A)，由全概率公式得C5155P(B) P(A

11、)P(B | A)P( A)P(B | A)3C512C4123,5C915C9145由貝葉斯公式得P( A| B)P( A)P(B | A)3C512315P(B)51/.C9452315將兩信息分別編碼為A 和 B 傳遞出去，接收站收到時，A 被誤收作 B 地概率為0.02，而 B 被誤收作A 地概率為0.01，信息 A 與信息 B 傳送地頻繁程度為2：1，若接收站收到地信息是A ，問原發(fā)信息是 A 地概率是多少？ 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：設 M=“原發(fā)信息是 A”，N=“接收到地信息是A”，已知P(N |M )0.02,P(N |M )0.01, P( M )2 .3所以P(N

12、 |M )0.98, P(N |M )0.99, P( M )1,3由貝葉斯公式得P(M |N)P(M )P(N |M )20.98( 20.981 0.01)196 .P(M )P(N |M )P(M )P(N | M )33319716三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出地概率分別為1 , 1 , 1 ，問三人中至少有一人能將此密534碼譯出地概率是多少？ 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：設 Ai= “第 i 個人能破譯密碼 ”， i=1,2,3.已知 P(A1)1,P(A2)1 ,P(A3)1 ,所以 P(A1)4,P(A2)2,P( A3)3 ,534534至少有一人能將此密碼譯

13、出地概率為42331 P(A1A2A3) 1 P( A1)P( A2)P( A2) 134.5517設事件 A 與 B 相互獨立，已知P(A) = 0.4 ，P(AB) = 0.7 ，求 P(B A).解：由于 A 與 B 相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)將 P(A) = 0.4，P(A B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5 ，所以P(B A)1P(B A)1P(AB)P( A) P( B)1P(B)10.50.5.1P( A)P( A)或者 ,由于 A 與 B 相互獨立

14、 ,所以 A 與 B 相互獨立，所以P(B A)P(B) 1P(B)1 0.50.5.18甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6 和 0.5，現已知目標被命中，則它是甲射4/56個人收集整理僅做學習參考中地概率是多少？資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：設 A=“甲射擊目標 ”，B=“乙射擊目標 ”，M=“命中目標 ”，已知 P(A)=P(B)=1, P(M A) 0.6, P(M B) 0.5,所以P(M ) P(AB ABAB)P(AB)P(AB)P( AB).由于甲乙兩人是獨立射擊目標，所以P(M )P( A)P(B ) P(A)P(B) P(A)P(B)0.60.50.4

15、0.50.60.5 0.8.P(AM )P( A) P(M | A)10.60.75P(A|M )P(M )0.8P(M )19某零件用兩種工藝加工， 第一種工藝有三道工序，各道工序出現不合格品地概率分別為0.3，0.2，0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現不合格品地概率分別為0.3， 0.2，試問： 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(1)用哪種工藝加工得到合格品地概率較大些？(2)第二種工藝兩道工序出現不合格品地概率都是0.3時，情況又如何？解：設 Ai= “第 1 種工藝地第i 道工序出現合格品”， i=1,2,3 ； Bi= “第 2 種工藝地第i 道工序出現合格品”，i=1,2.

16、資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途（ 1）根據題意， P(A1)=0.7 ， P(A2)=0.8 ， P(A3)=0.9 ，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途第一種工藝加工得到合格品地概率為P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=第二種工藝加工得到合格品地概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第二種工藝加工得到合格品地概率大.0.70.80.90.504,0.70.80.56,（ 2）根據題意，第一種工藝加工得到合格品地概率仍為0.504，而 P(B1)=P(B2)=0.7,第二種工藝加工得到合格品地概率為P(B1B2)= P(B1)

17、P(B2)= 0.70.70.49.可見第一種工藝加工得到合格品地概率大.1設兩兩相互獨立地三事件A ， B 和C 滿足條件， P( A)P(B)P(C )1 , 且已知2P(ABC)9，求 P(A) 16解：因為，所以 P(ABC) =0,因為 A ， B， C 兩兩相互獨立，P( A)P( B)P(C), 所以P(AB) P(BC) P( AC)P( A)P(B)P(B)P(C)P( A)P(C)3P( A) 2由加法公式 P(A B C)P( A) P(B)P(C ) P( AB)P( BC)P(AC ) P(ABC)得3P( A)3 P( A) 29即4P( A)3 4P( A) 1

18、016考慮到 P( A)1,得 P(A)1 .242設事件 A ，B ， C 地概率都是1 ，且 P(ABC)P( ABC) ，證明：22P( ABC)P(AB)P(AC) P(BC)125/56個人收集整理僅做學習參考證明：因為P( ABC)P(ABC) ，所以P(ABC) 1P(A BC) 1 P( A)P(B)P(C)P(AB)P(BC )P( AC ) P( ABC)將P(A) P(B)1P(C)代入上式得到2P(ABC) 1 3P( AB)P(BC)P( AC) P( ABC )2整理得2P( ABC)P( AB)P(BC)1P( AC).23設 0 P(A) 1 ，0 P(B) 1

19、 ，P(A|B) + P( A | B)1，試證 A 與 B 獨立證明：因為 P(A|B) +P( A | B) 1，所以P( AB)P(AB)P( AB) 1P(A B)P(B)P(B )P(B)1,1 P(B)將 P(A B)P( A) P(B) P( AB ) 代入上式得P( AB)1 P(A)P( B)P( AB)P( B)1 P(B)1,兩邊同乘非零地P(B)1-P(B) 并整理得到P( AB)P( A)P( B),所以A與B獨立.4設 A ，B 是任意兩事件，其中 A 地概率不等于0 和 1，證明 P(B| A)P(B| A)是事件 A 與 B 獨立地充分必要條件證明：充分性，由于

20、P(B | A) P(B | A) ，所以P( AB)P( AB)P( A), 即P( A)P( AB)P( B)P( AB) ,P( A)1P( A)兩邊同乘非零地P(A)1-P(A) 并整理得到 P( AB)P(A)P(B), 所以 A 與 B 獨立.必要性：由于 A 與 B 獨立，即 P( AB )P( A)P(B), 且 P(A)0, P(A)0, 所以一方面P(B | A)P( AB)P( A)P(B)P( B),P( A)P( A)另一方面P(A B)P( B)P( AB)P(B)P( A) P( B)P(B | A)P( A)P( A)P(B),P(A)所以 P(B | A)P(

21、B | A).5一學生接連參加同一課程地兩次考試第一次及格地概率為p，若第一次及格則第二次及格地概率也為 p；若第一次不及格則第二次及格地概率為p .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2(1) 若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格地概率(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格地概率6/56個人收集整理僅做學習參考解：設 Ai= “第 i 次及格 ”， i=1 ，2.已知 P( A1 )p, P(A2 | A1 )p, P(A2 | A1 )p ,2由全概率公式得P( A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 ) P(A2 | A1 ) p 2 (1 p) p

22、 2(1) 他取得該資格地概率為P( A1A2 )P( A1)P( A2 )P( A1A2)P( A1 )P( A2 )P( A1) P( A2 | A1),p p 2(1 p) pp23 p p2 .22(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格地概率為P(A1 | A2)P(A1 A2 )P( A1)P( A2 | A1)pp2 p .P(A2)P(A2 )p2(1p)p p126每箱產品有 10 件，其中次品從0 到 2 是等可能地，開箱檢驗時，從中任取一件，如果檢驗為次品，則認為該箱產品為不合格而拒收由于檢驗誤差，一件正品被誤判為次品地概率為2%，一件次品被誤判為正品地概率為 10%求

23、檢驗一箱產品能通過驗收地概率資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：設 Ai= “一箱產品有 i 件次品 ”， i=0 ， 1， 2.設 M=“一件產品為正品 ”，N=“一件產品被檢驗為正品資料”.個人收集整理，勿做商業(yè)用途已知 P( A0 ) P( A1)P(A2 )1, P(N |M )0.02,P(N |M )0.1,3由全概率公式P(M ) P( A0 ) P( M | A0) P( A1)P( M | A1) P( A2) P(M | A2 )1 (198 )9 ,3101010P(M) 1P(M) 191 ,又 P(N |M) 1P(N|M)10.020.98,1010由全概率公式得一箱

24、產品能通過驗收地概率為P(N) P(M )P(N | M ) P(M )P(N | M )910.1 0.892.100.98107用一種檢驗法檢驗產品中是否含有某種雜質地效果如下若真含有雜質檢驗結果為含有地概率為0.8；若真含不有雜質檢驗結果為不含有地概率為0.9；據以往地資料知一產品真含有雜質或真不含有雜質地概率分別為 0.4 和 0.6今獨立地對一產品進行三次檢驗，結果是兩次檢驗認為含有雜質，而有一次認為不含有雜質，求此產品真含有雜質地概率資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解： A=“一產品真含有雜質”， Bi= “對一產品進行第 i 次檢驗認為含有雜質”， i=1,2,3.已知獨立進行地三

25、次檢驗中兩次認為含有雜質，一次認為不含有雜質， 不妨假設前兩次檢驗認為含有雜質，第三次認為檢驗不含有雜質，即B1， B2 發(fā)生了，而B3 未發(fā)生 .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途又知 P( Bi| A) 0.8, P( Bi | A)0.9, P( A)0.4, 所以P(Bi| A) 0.2, P(Bi | A )0.1, P(A)0.4,P( A)0.6,所求概率為P( AB1 B2 B3 )P(A)P(B1 B2 B3| A),P(A | B1B2B3)P(B1B2 B3 )P( A)P(B1B2 B3 | A)P( A)P(B1 B2B3 | A)由于三次檢驗是獨立進行地，所以7/56個

26、人收集整理僅做學習參考P(A | B1B2B3 )P( A)P(B1 | A)P(B2 | A)P(B3 | A)P(A)P(B1 | A)P(B2 | A)P(B3 | A)P(A)P(B1 | A)P(B2 | A)P(B3 | A)0.40.80.80.20.905.0.40.80.80.20.60.10.10.98火炮與坦克對戰(zhàn)，假設坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2 發(fā)，已知火炮與坦克每次發(fā)射地命中概率不變，它們分別等于0.3 和 0.35.我們規(guī)定只要命中就被擊毀試問資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(1) 火炮與坦克被擊毀地概率各等于多少？(2) 都不被擊毀

27、地概率等于多少？解：設 Ai= “第 i 次射擊目標被擊毀”， i=1,2,3,4.已知 P( A1 )P(A3 )0.3, P(A2 )P(A4 )0.35,所以P(A1)P(A3 )0.7, P(A2 )P( A4 )0.65,(1) 火炮被擊毀地概率為P(A1 A2A1A2 A3 A4 ) P(A1 A2 ) P( A1A2A3 A4 )P(A1 )P(A2 ) P(A1 )P( A2)P(A3 )P(A4 )0.70.350.7 0.65 0.7 0.35 0.356475坦克被擊毀地概率為P(A1A1A2 A3 ) P( A1 ) P( A1A2 A3 )P(A1 ) P(A1 )P

28、( A2 )P( A3 ) 0.3 0.70.650.30.4365(2) 都不被擊毀地概率為P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 ) 0.7 0.650.70.650.207025.9甲、乙、丙三人進行比賽，規(guī)定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍， 而每次比賽雙方取勝地概率都是1 ，現假定甲乙兩人先比， 試求各人得冠軍地概率資2料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解： Ai= “甲第 i 局獲勝 ”， Bi= “乙第 i 局獲勝 ”， Bi= “丙第 i 局獲勝 ”， i=1,2, ，.已知 P( Ai )P

29、(Bi ) P(Ci )1 , i 1,2,. ，由于各局比賽具有獨立性，所以2在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時，丙獲勝地概率為3691 ,P(A1C2 C3A1C2 B3 A4C5C6A1C2 B3 A4 C5 B6 A7C8 C9.)111.2227 同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時，丙獲勝地概率也為1 ,7丙得冠軍地概率為 2 12 , 甲、乙得冠軍地概率均為1 (12)5 .772714第二章2一、填空題：1.P Xx ， F (x2 )F ( x1 )8/56個人收集整理僅做學習參考2.P XkCnk pk (1p)n k ， k = 0， 1， ， nk3.P Xkk!e,0為參

30、數， k = 0， 1， 4.115.f ( x)1,axbba0,其它1( x) 26.f ( x)e2x22,1x 27.( x)e2 ,x28.( b)( a)9.X-112pi0.40.40.2分析：由題意， 該隨機變量為離散型隨機變量，根據離散型隨機變量地分布函數求法，可觀察出隨機變量地取值及概率 .資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途910.64111分析：每次觀察下基本結果“X1/2出”現地概率為2 f ( x) dx2 2xdx，而本題對隨機變量X 取值地觀-04察可看作是3 重伯努利實驗，所以 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途P Y 2 C32 (1)2 (11)3 29446411

31、.PXX12.212.212.2 P2() 0.7257 ,22P 1.6X5.8P1.61X15.81(5.8 1)( 1.6 1)22222(2.4)( 1.3)(2.4)(1.3)10.8950,同理，12.G( y)P Y3X1yPXy1F (y133) .13.13 ，利用全概率公式來求解：48PY2PY2X1PX1PY2X2PX2PY 2X 3PX 3 PY 2X 4PX 40111111113 .4243444489/56個人收集整理僅做學習參考二、單項選擇題：1. B，由概率密度是偶函數即關于縱軸對稱，容易推導a0f ( x) dx -0101aF(-a)=f (x)dxf ( x)dx- f ( x)dxf (x)dx-a2-a202. B，只有 B 地結果滿足 F () limF ( x) 1x3. C，根據分布函數和概率密度地性質容易驗證2, X24.D，Y，可以看出 Y 不超過 2，所以X , X21,y21,y21,y2xFY ( y) P Y yy 1y,0 ，P Xy , y2e dx, y2 10e , y2可以看出，分布函數只有一個間斷點.5. C, 事件地概率可看作為事件A（前三