圓錐曲線起始課教學設計

1、指定課題：圓錐曲線與方程（起始課）一、教學設計1教學內容解析圓錐曲線與方程 安排在普通高中人教 A 版選修 2-1 中 教材通過章引言介紹了圓錐曲 線的名稱由來、發(fā)展歷史、實際用途和坐標方法，主要說明圓錐曲線是什么、為什么要學習圓 錐曲線和怎樣學習圓錐曲線尤其是著重說明了類比研究直線與圓的坐標法，研究圓錐曲線的 基本套路同時教材又進一步通過【探究與發(fā)現(xiàn)】介紹了 Dandelin 雙球證法，說明了為什么二 次函數(shù)的圖象是拋物線；通過【信息技術應用】介紹了用幾何畫板探究橢圓的軌跡；通過 【閱讀與思考】介紹了圓錐曲線的光學性質及其應用基于教材對本章內容設置的前后一致邏輯連貫的結構順序，作為本章起始課

2、，擬定以了解 圓錐曲線的發(fā)展過程和理解圓錐曲線的心理過程為基本線索， 力圖為學生構建前后一致邏輯連 貫的學習過程，使學生在領悟圓錐曲線名稱由來、廣泛應用和研究方法的過程中學會思考，并 側重于橢圓定義的探究及初步應用根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學重點確定為教學重點： 橢圓的定義探究及初步應用（ Dandelin 雙球證法）2學生學情診斷首先，學生在數(shù)學 2中學習了研究直線與圓的坐標法，初步具備了運用代數(shù)方法研究 幾何問題的意識，初步感受了數(shù)形結合的基本思想，對橢圓、拋物線和雙曲線的概念也僅僅停 留在直觀感性認識的層面上因此， 圓錐曲線作為學生再度理解坐標法和進一步感悟數(shù)形結合 思想的學習內容，是螺旋

3、上升的過程中掌握解析幾何思想方法的一個突破口其次，本節(jié)課授課班級是我校實驗班，盡管數(shù)學基礎總體水平較好，但如何將幾何問題代 數(shù)化仍然是多數(shù)學生所面臨的難題為此，在起始課中，為降低難點，只讓學生初步嘗試給定 數(shù)據(jù)的具體橢圓方程的推導方法，而將引發(fā)學生推導橢圓標準方程一般式作為后繼學習內容根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學難點確定為教學難點： 具體條件下橢圓方程的推導和化簡；坐標法的應用3教學目標設置（ 1）通過動態(tài)演示平面與圓錐面的截線，學生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、雙曲線、 拋物線模型的過程，感知圓錐曲線的來由；（ 2）通過豐富多彩的實例，學生體會圓錐曲線應用的廣泛性，數(shù)與形的辯證統(tǒng)一的關系 和圓錐

4、曲線的內在美、和諧美和統(tǒng)一美，感受學習圓錐曲線的理由；3）借助展板動手操作和類比圓的定義，學生探究橢圓的定義，能用文字和符號語言描 述橢圓的定義，會用 Dandelin雙球證明截口曲線為橢圓的情形，感悟圓錐曲線學法的因由.（4）通過具體畫出的特殊橢圓，學生類比直線與圓的方程，會初步運用坐標法推導具體給定的橢圓方程，能說出圓錐曲線又作為二次曲線的特征，感觸圓錐曲線方程的情由.4 教學策略分析根據(jù)章起始課應體現(xiàn)統(tǒng)領全局的地位和作用的特點，采用“引言導入一問題誘導一啟發(fā)討論一抽象概括一探索歸納一總結規(guī)律”的探究式教學方法，緊緊圍繞為什么學、學什么以及怎樣學等問題展開，通過“引、思、探、練、歸”相結合

5、的做法，讓學生初識圓錐曲線的相關背景、知識結構、邏輯體系和應用價值，明晰本章的學習內容、學習特點和學習方法.為避免以教師講解為主的告知式，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的教學方式，形成師生互動的教學氛圍，充分調動學生的積極性，引發(fā)學生對圓錐曲線進一步學習的強烈期待，為全章內容的后續(xù)學習起到較好的鋪墊作用.具體教學策略分成如下五個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：引言啟導，追溯緣由.從嫦娥奔月”的情景和閱讀章引言出發(fā)，通過問題設疑,引導學生在不斷思考中獲取圓錐曲線的來龍去脈；第二環(huán)節(jié)：應用開路，初識性質從圓錐曲線廣泛的應用性出發(fā)，通過引言解讀和趣味傳說，引導學生初識圓錐曲線的幾何特征和光學性質；第三環(huán)

6、節(jié)：定義探究，雙球驗證.從抽象概括橢圓的定義出發(fā)，通過類比圓的定義、動手操作畫橢圓和探討 Dandelin雙球證法，引導學生歸納和運用橢圓的定義；第四環(huán)節(jié)：方程推導，方法研究.從特殊橢圓方程的推導出發(fā)，通過類比直線與圓的方程的推導方法，引導學生嘗試運用坐標法的基本步驟導出具體給定的橢圓方程；第五環(huán)節(jié)：課堂小結，有效建構從學生自主歸納小結出發(fā)，通過引言提煉的內容概述圖和融合三種圓錐曲線的知識結構圖，讓整章的知識體系和邏輯線索鮮活地展現(xiàn)在學生面前.其教學流程如下：二、課堂實錄（一）情景引入引言：隨著我國航天技術的發(fā)展日新月異，嫦娥奔月”這一古老而美麗的傳說正在逐步變?yōu)楝F(xiàn)實請同學們觀看視頻.師：這是

7、嫦娥3號環(huán)月運行時變軌的過程變軌后軌道是什么曲線？生：橢圓.師：對！橢圓這一類曲線正是我們在本章將要研究的主要內容.請同學們翻開課本第 頁，閱讀本章引言.（板書標題：圓錐曲線與方程）（二）課內建構師：好！請同學們停下來，看大屏幕，同學們看書之后，知道圓錐曲線包括哪幾種曲線嗎 生：圓，橢圓，雙曲線，拋物線.師：對！那么為什么稱為圓錐曲線呢？與圓錐有怎樣的關系嗎？請看動畫.我們知道，用平面截一個圓錐，當平面與圓錐的軸垂直時， 截口曲線是一個圓.用 平面截圓錐面還能得到哪些曲線 ？（教師以flash動畫給學生展示：當平面與軸所成的角變化（其中截面不過頂點）時，截口曲線的變化情況.）師：早在公元前約

8、200年時，古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（Apollonius，約前262年約前190年）對圓錐曲線的性質就做了系統(tǒng)的研究（純幾何方法），并幾乎網(wǎng)羅殆盡，使后人難以有新的發(fā)現(xiàn)阿波羅尼奧斯和歐幾里得、阿基米德合稱為古希臘三大數(shù)學家.【評析】 借助動畫演示介紹名稱由來，嵌入數(shù)學史話，加深認知印象.2.廣泛應用圓錐曲線不僅在數(shù)學歷史發(fā)展的過程中熠熠生輝，而且在科學文化的其他領域閃爍光芒比如，圓錐曲線為開普勒、牛頓、哈雷等數(shù)理天文學家研究行星和彗星軌道提供了數(shù)學基 礎.師：讓我們回到本章引言，這一段話的主要內容是什么呢生：圓錐曲線的應用.師：那么有哪些方面的應用呢?請看圖片，這是太陽系行星的運行軌跡，是什

9、么曲線生：橢圓.師：對！有些彗星的軌跡是橢圓，比如著名的哈雷彗星，這是鹿林彗星，不為我們熟知一 些，軌跡是雙曲線.它的軌跡是如此的長，圖片中顯示的只是其中一部分.師：當人造天體被以不同的速度從地球發(fā)射出去的時候，它的軌跡分別是圓，橢圓，拋物線，雙曲線這涉及到物理中所講的三大宇宙速度.師：這是荊門熱電廠的通風塔，同學們見過嗎？我們作它的軸截面，取出兩側的輪廓線，是什么曲線？生：雙曲線.師：這是橄欖球和探照燈.它們的表面分別是由橢圓和拋物線繞其對稱軸旋轉一周而來（顯示旋轉動畫）為什么探照燈要做成這種形狀呢，只是為了美觀嗎？生：應該是為了實用性.師：實際上由于圓錐曲線具有特殊的光學性質，在生產(chǎn)生活中

10、具有廣泛的應用請同學們也來解決一個問題，請看傳說：杰尼西亞的耳朵”：據(jù)說，很久以前，意大利西西里島有一個山洞，敘拉古的暴君杰尼西 亞把一些囚犯關在這個山洞里.囚犯們多次密謀逃跑，但每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn).起初囚犯們認為出了內奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密者.后來他們察覺到囚禁他們的 山洞形狀古怪，洞壁把囚犯們的話都反射到獄卒耳朵里去了，于是囚犯 們詛咒這個山洞為“杰尼西亞的耳朵”.師：其中的奧秘，同學們解開了嗎？生：囚洞的剖面近似于橢圓，犯人聚居的地方恰好在橢圓的一個焦點附近，獄卒在另一個焦點處偷聽.師：很好！恭喜你揭開了這個奧秘！這里是聲波，不過聲波和光波具有相同的傳播性質.【評析】用傳說創(chuàng)設情境，

11、激發(fā)學生興趣，達到引入課題的目的師：事實上有很多美麗的建筑也與圓錐曲線有關，比如拋物面形天線，雙曲線形建筑. 師：噴泉是什么形狀？生：拋物線.師：中國國家大劇院美嗎 ？生：很美【評析】 了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作 用，激發(fā)起學生學習圓錐曲線的興趣3定義探究師：既然到處都有圓錐曲線美麗的身影， 那么我們就有必要了解和研究它們， 如何了解呢 ? 首先就要知道它的定義那么圓錐曲線的定義是怎樣的呢?我們重點看一看橢圓的定義請大家思考這樣的問題：（ 1）繩子一端固定在平整草地上，另一端拴著一只羊，小羊活動的最大邊界是什么曲線?生：圓師：圓的定義是什么 ?生：平

12、面內到兩定點的距離等于定長的點的軌跡（ 2）繩子兩端都固定在草地上（繩長大于兩固定點間的距離），繩上套個小環(huán)，環(huán)上拴一只羊，小羊活動的最大邊界是什么曲線 ?師：我們請每組同學相互配合，來畫出小羊活動的最大邊界（事先發(fā)給學生每組一塊黑板，兩個圖釘，一根繩子，繩長 2a 40cm ； 每組選一位同學 做代表畫圖，學生畫圖，老師走動，指導；畫完后請三組畫的好一些的，2c 的取值不同的三位同學拿著黑板上臺展示 ）【評析】 學生以小組為單位相互配合，動手操作，體驗自主、合作的探究理念，印象更加 深刻師：這三個橢圓，給我們最直觀的感受，區(qū)別在哪兒 ? 生：扁平程度不同師：你覺得橢圓的扁平程度與什么有關 ?

13、 生：兩定點間的距離，繩長師：很好！我來采訪一下，這位同學橢圓畫得這么好，有什么訣竅嗎 ? 生：在畫的過程中要使得繩子繃直師：使得繩子繃直，也就是說 生：保證繩長為定值師：非常好！若細繩長度等于 |F1F2 |，畫出的圖形是什么 ?不妨在小黑板上試試小于呢 ? 生：繩長等于 |F1F2 |，畫出的圖形是線段 F1F2 ；小于 |F1F2 |時，畫不出任何圖形 師：同學們回答得很好那么大家能類比圓的定義，能給出橢圓的定義嗎 ?（學生歸納，互相補充，教師再匯總）橢圓的定義： 平面內與兩個定點 F1,F2 的距離的和等于常數(shù) （大于 |F1F2 |）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點Fi,F2叫做橢圓的焦

14、點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.即 M |MF1 | |MF2 | 2a（2a2c）.師：在前面三種用平面截圓錐的過程中，為什么第一種情況得到的截口曲線是橢圓呢事實上在19世紀，法國數(shù)學家 Dandelin就想到一種絕妙的方法證明了這個問題.他是怎 么做的呢？讓我們一起來分享一下：（Dan deli n雙球證法）如圖， Da ndelin在截面的兩側分別放置一個球，使它們都與截面相切（切點分別為f1,f2 ），且與圓錐的側面相切，兩球與圓錐側面的公共點分別構成圓01和圓。2 .設點M是截口曲線上任一點，Dandelin過M點作圓錐的一條母線（輔助線）分別交圓Oi和圓02于P, Q兩點.現(xiàn)在我

15、們要證明點 M的軌跡是橢圓，用我們剛剛得到的橢 圓的定義，如何來證明呢？根據(jù)定義，只需證明M點到某兩個定點的距離之和為常數(shù) 即可.應該是哪兩個定點呢 ？是f1,f2嗎？（學生探討，說明F1,F2為何是定點.）師：好！我們只需證明 |MF1| |MF2|為定值即可.下面請同學們以小組為單位，開始討 論.（學生分組討論，老師走動指導）（幾分鐘后，相關小組的代表上臺講解）學生講解圖中所示線段長度之間的關系：|MF1 | |MP | , |MF2 | |MQ |，并說明理由：因為過球外一點所作球的切線段的長相等.故| MR | | MF2 |MP | |MQ | |PQ | .師：線段PQ的長度是常數(shù)

16、嗎？生：|PQ|是常數(shù).師：為什么？生：|PQ|VP| |VQ|，即為圓臺的母線.師：也就是說，截口曲線上任意一點到兩個定點 F1,F2的距離的和等于常數(shù)（大于IF1F2I）這 就說明了截口曲線是橢圓. 事實上Dandelin還利用雙球證明了截口曲線是雙曲線的情形，禾U用單球證明了截口曲線是拋物線的情形.這位卓越的數(shù)學家實在是具有非凡的天才.【評析】介紹歷史上數(shù)學家的巧妙方法，并引導學生自主思考，自主講解，不僅強化了橢 圓的定義，更滲透了數(shù)學家追求完美的理性精神.4.研究方法師：讓我們再一次回到本章引言，如何來研究圓錐曲線呢？在古希臘時代是如何研究圓錐曲線的？生：幾何法.師：后來呢？生：代數(shù)的

17、方法，也就是坐標法.師：是誰發(fā)明了坐標系 ？生：笛卡爾.（簡要介紹笛卡爾的生平）師：事實上我們以前已經(jīng)用坐標法研究過直線與圓了，請同學們回顧一下直線方程及方程 的形式.生：點斜式，斜截式，兩點式，截距式，一般式.師：利用直線方程，我們可以研究與直線有關的位置關系與相應的性質比如，我們在初 中的時候，要證明兩直線平行用的什么方法？生：若同位角相等，或內錯角相等，則兩直線平行.師：建立了平面直角坐標系，得到直線方程后，又是怎么判斷兩直線平行的呢？生：若兩直線斜率存在且斜率相等，截距不等，則兩直線平行.師：圓的方程有哪些形式呢 ？生：標準方程和一般方程.師：對.如果我們將坐標原點選取在圓心，方程又將

18、如何呢？（演示坐標平移動畫）生：x2 y2 r2師：很好！坐標系不同，方程的形式也不同一般來說，形式越簡單，越易于我們研究曲 線的性質.師：我們知道，圓的一般方程是一個特殊的二元二次方程，那么，更一般的形式怎樣的？2 2（屏幕顯示）Ax Bxy Cy Dx Ey F 0.（探）（探究）（探）式方程能否表示我們今天介紹的圓錐曲線的方程？在以前我們所學的函數(shù)中有沒有表示橢圓、雙曲線、拋物線的例子？請同學們相互討論一下.學生舉出反比例函數(shù)和二次函數(shù)的例子學生答完后顯示動畫，先顯示雙曲線.11師：這是反比例函數(shù) y ，我們將坐標系旋轉一下.（旋轉動畫）方程還是 y -嗎?xx生：不是.師:那么方程是怎

19、樣的呢 ？（停頓片刻）我們后面再研究.師:這是二次函數(shù) y ax2 bx c（a 0），現(xiàn)在將坐標系平移，如圖，方程變?yōu)槭裁葱问缴?2y ax .師：對，方程的形式變簡單了，對吧？旋轉一下呢？方程是一一我們后面將要學習.再旋轉一下呢？生：yax2 .師：當（探）式方程中的系數(shù)滿足一定關系的時候，就可以表示不同的圓錐曲線，所以圓 錐曲線也稱為二次曲線.【評析】由復習舊知引出新知，符合學生的認知規(guī)律.師：同學們在先前畫橢圓時， 繩長為4分米，其中有同學選取的兩圖釘間的距離為2分米，那么這個橢圓的方程如何求呢 ？第一步該做什么？生：建立平面直角坐標系.師：如何建立平面直角坐標系呢 ？生1:以兩定點Fi,F2所在直線為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系.生2 :以兩定點Fi,F2所在直線為x軸，點Fi為坐標原點，建立平面直角坐標系.師：分兩大組分別在兩種建系的情形下計算.（將全班學生分兩組，分別計