高考數(shù)學(xué)（理）二輪專題對(duì)點(diǎn)練18　5-1~5-3組合練

1、高考數(shù)學(xué)（理）二輪專題對(duì)點(diǎn)練185-15-3組合練專題對(duì)點(diǎn)練185.15.3組合練(限時(shí)90分鐘,滿分100分)專題對(duì)點(diǎn)練第27頁一、選擇題(共9小題,滿分45分)1.(2017浙江,3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2+1B.2+3C.32+1D.32+3答案 A解析 V=1331212+1221=2+1,故選A.2.已知m,n為異面直線,m平面,n平面,直線l滿足lm,ln,l,l,則()A.,且lB.,且lC.與相交,且交線垂直于lD.與相交,且交線平行于l答案 D解析 因?yàn)閙,lm,l,所以l.同理可得l.又因?yàn)閙,n為異面直線,所以

2、與相交,且l平行于它們的交線.故選D.3.(2017河北邯鄲一模,理10)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.9+36B.6+36C.3+36D.12+36答案 A解析 由三視圖可得,該幾何體的直觀圖為圓錐的12與圓柱的34的組合體,由圖中數(shù)據(jù)可得,該幾何體的體積為1213123+34122=9+36,故選A.4.如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個(gè)底面半徑為3 cm,高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A.1727B.59C.1027D.13答案 C解析 由零件的三視圖可知,

3、該幾何體為兩個(gè)圓柱組合而成,如圖所示.切削掉部分的體積V1=326-224-322=20(cm3),原來毛坯體積V2=326=54(cm3).故所求比值為V1V2=2054=1027.5.(2017四川成都三診,理11)如圖,某三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形.若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.27B.48C.64D.81答案 C解析 由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,三棱錐的高VA=4,直觀圖如圖所示.ABC是邊長為6的等邊三角形,外接球的球心D在底面ABC的投影為ABC的中心O,過D作DEVA于E,則E為VA的中點(diǎn),連接OA,DA,

4、則DE=OA=2333=23,AE=12VA=2,DA為外接球的半徑r,r=DE2+AE2=4,該球的表面積S=4r2=64.故選C.6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()A.110B.25C.3010D.22答案 C解析 如圖,以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn),C1B1,C1A1,C1C所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)BC=CA=CC1=1,可知點(diǎn)A(0,1,1),N0,12,0,B(1,0,1),M12,12,0.AN=0,-12,-1,BM=-12,12,-1.cos=A

5、NBM|AN|BM|=3010.根據(jù)AN與BM的夾角及AN與BM所成角的關(guān)系可知,BM與AN所成角的余弦值為3010.7.(2017遼寧沈陽三模,理10)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,圖中的3個(gè)直角三角形的直角邊長度已經(jīng)標(biāo)出,則在該三棱錐中,最短的棱和最長的棱所在直線成的角的余弦值為()A.13B.55C.12D.23答案 A解析 由三視圖還原原幾何體如圖.幾何體是三棱錐A-BCD,滿足平面ACD平面BCD,且ADCD,BCCD,則最短棱為CD,最長棱為AB.在平面BCD內(nèi),過B作BECD,且BE=CD,連接DE,四邊形BEDC為長方形,可得AE=22.在RtAEB中,求得AB=12+(22)

6、2=3,cosABE=BEAB=13.即最短的棱和最長的棱所在直線成的角的余弦值為13.故選A.8.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8答案 B解析 由條件知,該幾何體是由一個(gè)圓柱被過圓柱底面圓直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成,其表面積是一個(gè)矩形面積、兩個(gè)半圓面積、圓柱側(cè)面積的一半、球表面積的一半相加所得,所以表面積為S表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.9.(2017河南新鄉(xiāng)二模,理10)已知正三角

7、形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球心為O,半徑為3的球面上,且三棱錐O-ABC的高為2,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),過點(diǎn)D作球O的截面,則截面積的最小值為()導(dǎo)學(xué)號(hào)16804204A.154B.4C.72D.3答案 A解析 設(shè)正三角形ABC的中心為O1,連接O1O,O1C,O1D,OD,O1是正三角形ABC的中心,A,B,C三點(diǎn)都在球面上,O1O平面ABC.又O1C平面ABC,O1OO1C.球的半徑R=3,O1O=2,在RtO1OC中,O1C=5.又D為BC的中點(diǎn),在RtO1DC中,O1D=12O1C=52.在RtOO1D中,OD=4+54=214.過D作球O的截面,當(dāng)截面與OD垂直時(shí),截面圓的半徑最小,此時(shí)

8、截面圓的半徑r=9-214=152,可得截面積為S=r2=154.故選A.二、填空題(共3小題,滿分15分)10.已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AHHB=12,AB平面,H為垂足,截球O所得截面的面積為,則球O的表面積為.答案 92解析 如圖,設(shè)球O的半徑為R,則AH=2R3,OH=R3.EH2=,EH=1.在RtOEH中,R2=R32+12,R2=98.S球=4R2=92.11.(2017山西太原二模,理15)已知三棱錐A-BCD,AB=AC=BC=2,BD=CD=2,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點(diǎn)F,則該三棱錐外接球的表面積為.答案 6011解析 由題意,得BC

9、D為等腰直角三角形,E是外接圓的圓心.點(diǎn)A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點(diǎn)F,BF=1+14=52,AF=4-54=112.設(shè)球心O到平面BCD的距離為h,則1+h2=14+112-h2,解得h=211,r=1+411=1511,故該三棱錐外接球的表面積為41511=6011.12.(2017全國,理16)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:當(dāng)直線AB與a成60角時(shí),AB與b成30角;當(dāng)直線AB與a成60角時(shí),AB與b成60角;直線AB與a所成角的最小值為45;直線AB與a所成角的最大值為60

10、.其中正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))答案 解析 由題意,AB是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線,由ACa,ACb,得AC圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B,作BDa,交底面圓C于點(diǎn)D,如圖所示,連接DE,則DEBD,DEb.連接AD,在等腰三角形ABD中,設(shè)AB=AD=2,當(dāng)直線AB與a成60角時(shí),ABD=60,故BD=2.又在RtBDE中,BE=2,DE=2,過點(diǎn)B作BFDE,交圓C于點(diǎn)F,連接AF,由圓的對(duì)稱性可知BF=DE=2,ABF為等邊三角形,ABF=60,即AB與b成60角,正確,錯(cuò)誤.由最小角定理可知正確;很明顯,可以滿足直線a平面ABC,直線AB與a所成的最大角為90,錯(cuò)

11、誤.故正確的說法為.三、解答題(共3個(gè)題,分別滿分為13分,13分,14分)13.(2017河南鄭州一中質(zhì)檢,理18)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是梯形,BCAD,平面SAB平面ABCD,SAB是等邊三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2DC=25.(1)求證:平面SAB平面SAC;(2)求二面角B-SC-A的余弦值.(1)證明 在BCA中,AB=2,CA=4,BC=25,AB2+AC2=BC2,ABAC.又平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCD=AB,AC平面SAB.又AC平面SAC,故平面SAB平面SAC.(2)解 如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0

12、,0),B(2,0,0),S(1,0,3),C(0,4,0).CS=(1,-4,3),BC=(-2,4,0),AC=(0,4,0).設(shè)平面SBC的法向量n=(x,y,z),由nBC=0,nCS=0,得-2x+4y=0,x-4y+3z=0,則取n=2,1,233.設(shè)平面SCA的法向量m=(a,b,c),由mAC=0,mCS=0,得4b=0,a-4b+3c=0,則取m=(-3,0,1),cos=-21919,二面角B-SC-A的余弦值為21919.14.(2017遼寧沈陽三模,理19)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B底面ABC,ABC和ABB1都是邊長為2的正三角形.(1)過

13、B1作出三棱柱的截面,使截面垂直于AB,并證明;(2)求AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值.解 (1)設(shè)AB的中點(diǎn)為O,連接OC,OB1,B1C,則截面OB1C為所求.證明:因?yàn)镺C,OB1分別為ABC,ABB1的中線,所以ABOC,ABOB1.又OC,OB1平面OB1C,OCOB1=O,所以AB平面OB1C.(2)以O(shè)為原點(diǎn),OB方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易求得B(1,0,0),A(-1,0,0),C(0,3,0),B1(0,0,3),C1(-1,3,3),CB=(1,-3,0),B1B=(1,0,-3),AC1=(0,3,3).設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n=(

14、x,y,z),由nCB,nB1B,得x-3y=0,x-3z=0,解得平面BCC1B1的一個(gè)法向量為n=(3,1,1),則|cos|=|AC1n|AC1|n|=3+365=105,所以AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為105.15.(2017天津,理17)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為721,求線段AH的長.解 如圖,以A為原點(diǎn),分別以AB,AC,A

15、P方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)證明:DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則nDE=0,nDB=0,即2y=0,2x-2z=0.不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MNn=0.因?yàn)镸N平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)n2=(x,y,z)為平面EMN的法向量,則n2EM=0,n2MN=0.因?yàn)镋M=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),所以-2