點(diǎn)線面位置關(guān)系典型例題

1、點(diǎn)線面位置關(guān)系典型例題一，直線與平面平行的判定與性質(zhì)典型例題一例 1 簡述下列問題的結(jié)論，并畫圖說明：（1）直線 a 平面 ，直線 b a A，則 b 和 的位置關(guān)系如何？（2）直線 a，直線 b / a ，則直線 b 和 的位置關(guān)系如何？分析：（1）由圖（ 1）可知： b或 bA ；說明：此題是考查直線與平面位置關(guān)系的例題，要注意各種位置關(guān)系的畫法與表示方法 典型例題二 例 2 P是平行四邊形 ABCD所在平面外一點(diǎn)， Q是PA的中點(diǎn)，求證： PC/平面 BDQ 分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平 行就可以了證明：如圖所示，連結(jié) AC，交 BD于

2、點(diǎn) O， 四邊形 ABCD 是平行四邊形 AO CO ，連結(jié) OQ ，則 OQ 在平面 BDQ OQ 是 APC 的中位線，PC /OQ PC 在平面 BDQ 外， PC/ 平面 BDQ 說明：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平.下載可編輯行，怎樣找這一直線呢？由于兩條直線首先要保證共面，因此常常設(shè)法過已知直線作一平面與已知平面相交，如果能 證明已知直線和交線平行，那么就能夠馬上得到結(jié)論這一個(gè)證明線面平行的步驟可以總結(jié) 為：過直線作平面，得交線，若線線平行，則線面平行典型例題三例 3 經(jīng)過兩條異面直線 a ， b之外的一點(diǎn) P ，可以作幾個(gè)平面都與 a

3、， b平行？并證明你的 結(jié)論分析：可考慮 P 點(diǎn)的不同位置分兩種情況討論解：（ 1）當(dāng)P點(diǎn)所在位置使得 a ， P（或b ， P ）本身確定的平面平行于 b（或 a ）時(shí)，過P 點(diǎn)再作不出與 a ， b都平行的平面；（2）當(dāng) P點(diǎn)所在位置 a ， P （或b ， P ）本身確定的平面與 b（或 a ）不平行時(shí)，可過點(diǎn) P 作a/a ，b /b由于a，b異面，則a ，b不重合且相交于 P由于 a b P，a ，b 確定的平面 ，則由線面平行判定定理知： a/ ，b/ 可作一個(gè)平面都與 a， b平行 故應(yīng)作“ 0 個(gè)或 1 個(gè)”平面說明：本題解答容易忽視對(duì) P 點(diǎn)的不同位置的討論，漏掉第（ 1）種

4、情況而得出可作一個(gè)平面 的錯(cuò)誤結(jié)論可見，考慮問題必須全面，應(yīng)區(qū)別不同情形分別進(jìn)行分類討論典型例題四例4 平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另 已知：直線 a/b， a/ 平面 ，b 求證： b/ 證明：如圖所示，過 a 及平面 內(nèi)一點(diǎn) A作平面 c， a/ a/c .下載可編輯又 a/b， b/c b， c ， b/ 說明：根據(jù)判定定理，只要在 內(nèi)找一條直線 c / b ，根據(jù)條件 a/ ，為了利用直線和平面 平行的性質(zhì)定理，可以過 a 作平面 與 相交，我們常把平面 稱為輔助平面，它可以起到 橋梁作用，把空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化和平面幾何中添置輔助線一樣，在構(gòu)造輔助平面時(shí)，首先要

5、確認(rèn)這個(gè)平面是存在的，例如， 本例中就是以“直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面”為依據(jù)來做出輔助平面的典型例題五 例 5 已知四面體 S ABC 的所有棱長均為 a 求：1）異面直線 SC、AB 的公垂線段 EF 及 EF 的長；2）異面直線 EF 和 SA所成的角分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線SC、 AB的公垂線段，進(jìn)而求出其距離；對(duì)于異面直線所成的角可 采取平移構(gòu)造法求解解：（ 1 ）如圖，分別取 SC、AB 的中點(diǎn) E、F ，連結(jié)由已知，得SAB CABSF、 CF SF CF ， E 是 SC 的中點(diǎn)， EF SC 同理可證 EF AB EF 是 SC、AB 的公垂線段.下載可編

6、輯SF 3a SE 1a在 Rt SEF 中，2 ， 2 EFSF2 SE23 2 1 2 aa442）取 AC 的中點(diǎn) G ，連結(jié) EG ，則 EG / SA EF 和 GE 所成的銳角或直角就是異面直線 EF 和 SA 所成的角1aEF1EG a GF 連結(jié) FG ，在 Rt EFG 中， 2 ， 由余弦定理，得cos GEFEG2 EF2 GF 22 EG EF1 2 2 2 1 2 aaa4442 12aGEF 45 故異面直線 EF 和 SA所成的角為 45說明：對(duì)于立體幾何問題要注意轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，同時(shí)要將轉(zhuǎn)化過程簡要地寫出來， 然后再求值典型例題六例 6 如果一條直線與一個(gè)

7、平面平行， 那么過這個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且與這條直線平行的直線必在 這個(gè)平面內(nèi)已知：直線 a/ ， B ， B b， b/a求證： b 分析：由于過點(diǎn) B與 a平行的直線是惟一存在的，因此，本題就是要證明，在平面外，不存在過 B與 a 平行的直線，這是否定性命題，所以使用反證法.下載可編輯，且證明：如圖所示，設(shè) b ，過直線 a和點(diǎn) B 作平面 a/ ， b /這樣過 B點(diǎn)就有兩條直線 b 和 b同時(shí)平行于直線 a ，與平行公理矛盾 b 必在 內(nèi)說明： (1) 本例的結(jié)論可以直接作為證明問題的依據(jù)(2) 本例還可以用同一法來證明，只要改變一下敘述方式 如上圖，過直線 a及點(diǎn)B作平面 ，設(shè) b a/

8、，b/ 這樣， b與 b都是過 B點(diǎn)平行于 a的直線，根據(jù)平行公理，這樣的直線只有一條， b 與 b 重合 b， b典型例題七例7 下列命題正確的個(gè)數(shù)是( )(1) 若直線 l 上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 內(nèi)，則 l / ；(2) 若直線 l 平行于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線，則 l / ；(3) 若直線 l 與平面 平行，則 l 與平面 內(nèi)的任一直線平行；(4) 若直線 l 在平面 外，則 l / A0 個(gè)B1個(gè)C2 個(gè)D3個(gè)分析：本題考查的是空間直線與平面的位置關(guān)系對(duì)三種位置關(guān)系定義的準(zhǔn)確理解是解本題 的關(guān)鍵要注意直線和平面的位置關(guān)系除了按照直線和平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來分類，還可以按 照直線是否在平面內(nèi)來

9、分類解： (1) 直線 l 上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 內(nèi)，并沒有說明是所在點(diǎn)都不在平面 內(nèi)，因而直線可能與平面平行亦有可能與直線相交解題時(shí)要注意“無數(shù)”并非“所有”(2) 直線 l 雖與.下載可編輯內(nèi)無數(shù)條直線平行，但 l有可能在平面 內(nèi)，所以直線 l不一定平行 (3) 這是初學(xué)直線與 平面平行的性質(zhì)時(shí)常見錯(cuò)誤，借助教具我們很容易看到當(dāng) l / 時(shí)，若 m 且 m/l ，則 在平面 內(nèi)，除了與 m平行的直線以外的每一條直線與 l都是異面直線 (4) 直線l在平面 外，應(yīng)包括兩種情況： l / 和l 與 相交，所以 l 與 不一定平行故選 A 說明：如果題中判斷兩條直線與一平面之間的位置關(guān)系，解題時(shí)

10、更要注意分類要完整，考慮 要全面如直線 l 、 m都平行于 ，則 l與m的位置關(guān)系可能平行，可能相交也有可能異面； 再如直線 l/m、l/ ，則 m與 的位置關(guān)系可能是平行，可能是 m在 內(nèi)典型例題八例 8 如圖，求證：兩條平行線中的一條和已知平面相交，則另一條也與該平面相交 已知：直線 a/b，a 平面 P 求證：直線 b與平面 相交分析：利用 a / b轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，由 a/b 可確定一輔助平面 ，這樣可以把題中相 關(guān)元素集中使用，既創(chuàng)造了新的線面關(guān)系，又將三維降至二維，使得平幾知識(shí)能夠運(yùn)用解： a/b， a 和 b 可確定平面 aP，平面 和平面 相交于過點(diǎn) P的直線 l 在平面

11、 內(nèi) l 與兩條平行直線 a 、 b 中一條直線 a 相交， l必定與直線 b也相交，不妨設(shè) b l Q，又因?yàn)?b不在平面 內(nèi)(若b在平面 內(nèi)，則 和 都過相交直線 b 和 l ，因此 與 重合， a 在 內(nèi)，和已知矛盾) .下載可編輯 所以直線 b 和平面 相交說明：證明直線和平面相交的常用方法有：證明直線和平面只有一個(gè)公共點(diǎn)；否定直線在平 面內(nèi)以及直線和平面平行；用此結(jié)論：一條直線如果經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)，又經(jīng)過平面外一點(diǎn)， 則此直線必與平面相交（此結(jié)論可用反證法證明） 典型例題九例 9 如圖，求證：經(jīng)過兩條異面直線中的一條，有且僅有一個(gè)平面與另一條直線平行已知： a與b是異面直線求證：過 b

12、且與 a平行的平面有且只有一個(gè)分析：本題考查存在性與唯一性命題的證明方法解題時(shí)要理解“有且只有”的含義 “有” 就是要證明過直線 b存在一個(gè)平面 ，且 a/ ，“只有”就是要證滿足這樣條件的平面是唯 一的存在性常用構(gòu)造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反證法或其它唯一性的結(jié)論證明： （1） 在直線 b上任取一點(diǎn) A，由點(diǎn) A和直線 a 可確定平面 在平面 內(nèi)過點(diǎn) A作直線 a，使 a/a，則 a 和b為兩相交直線， 所以過 a和 b可確定一平面 b， a與b為異面直線， a 又 a/a ， a， a/ 故經(jīng)過 b存在一個(gè)平面 與 a平行（2） 如果平面 也是經(jīng)過 b 且與 a 平行的另一個(gè)平

13、面， 由上面的推導(dǎo)過程可知 也是經(jīng)過相交直線 b 和 a的 由經(jīng)過兩相交直線有且僅有一個(gè)平面的性質(zhì)可知，平面 與 重合， 即滿足條件的平面是唯一的說明：對(duì)于兩異面直線 a和b ，過b存在一平面 且與 a平行，同樣過 a也存在一平面 且 與 b 平行而且這兩個(gè)平面也是平行的（以后可證）對(duì)于異面直線 a 和 b 的距離，也可轉(zhuǎn)化.下載可編輯為直線 a 到平面 的距離，這也是求異面直線的距離的一種方法 典型例題十例 10 如圖，求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行已知：l ， a/ ， a/ ，求證： a/l分析：本題考查綜合運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的能力利用

14、線面平行的性質(zhì)定理， 可以先證明直線 a 分別和兩平面的某些直線平行， 即線面平行可得線線平行 然后再用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理來證明 a 與 l 平行證明：在平面 內(nèi)取點(diǎn) P，使 P l ，過 P 和直線 a作平面 交 于b a/ ， a， b a/b 同理過 a作平面 交 于 ca/ a c ， ， a/c b/cb ， c ，l，b/又 b b/l 又 a/b a/l .下載可編輯另證：如圖，在直線 l 上取點(diǎn) M ， 過 M 點(diǎn)和直線 a 作平面和 相交于直線 l1 ，和 相交于直線 l2 a/ ， a/l1 ， a/ ， a/l2 ， ， ， 但過一點(diǎn)只能作一條直線與另一直線平行

15、直線 l1和 l2 重合又 l1， l2，直線 l1、 l2 都重合于直線 l ， a/l 說明：“線線平行”與“線面平行”在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，這種轉(zhuǎn)化的思想在立體 幾何中非常重要典型例題十一例 11 正方形 ABCD 與正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE 、BD 上各取一點(diǎn) P 、Q ， 且 AP DQ 求證： PQ /面 BCE 分析：要證線面平行，可以根據(jù)判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行關(guān)鍵是在平面BCE 中如何找一直線與 PQ 平行可考察過 PQ的平面與平面 BCE 的交線，這樣的平面位置不同，所找 的交線也不同證明一：如圖，在平面 ABEF 內(nèi)過 P 作 PM /

16、 AB 交 BE于 M ， 在平面 ABCD內(nèi)過 Q 作 QN / AB 交 BC于 N ，連結(jié) MN .下載可編輯PM PE PM / AB ， AB AE 又 QN / AB / CD ，QN BQ QN BQ DC BD ，即 AB BD 正方形 ABEF 與 ABCD 有公共邊 AB ， AE DB AP DQ ， PE BQ ， PM QN 又 PM /AB，QN/ AB， PM /QN 四邊形 PQNM 為平行四邊形PQ/MN又 MN 面 BCE ， PQ / 面 BCE .下載可編輯AQ DQ BS/ AD ， QS QB 又正方形 ABEF 與正方形 ABCD 有公共邊 AB

17、，AEDB，APDQ ， PE QBAPDQAQPEQBQS PQ/ES，ES面 BEC ， PQ / 面 BEC 說明：從本題中我們可以看出，證線面平行的根本問題是要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平 行，此時(shí)常用中位線定理、成比例線段、射影法、平行移動(dòng)、補(bǔ)形等方法，具體用何種方法 要視條件而定此題中我們可以把“兩個(gè)有公共邊的正方形”這一條件改為“兩個(gè)全等的矩 形”，那么題中的結(jié)論是否仍然成立？典型例題十二例 12 三個(gè)平面兩兩相交于三條交線，證明這三條交線或平行、或相交于一點(diǎn)a，b，求證：a 、 b 、 c 互相平行或相交于一點(diǎn)已知：分析：本題考查的是空間三直線的位置關(guān)系，我們可以先從熟悉的兩條

18、交線的位置關(guān)系入手，根據(jù)共面的兩條直線平行或相交來推論三條交線的位置關(guān)系證明：a，b，a、b a 與 b 平行或相交.下載可編輯，b又 c， a ， a/c a/b/c又 aOc，又直線a、b、c 交于同一點(diǎn) O 說明：這一結(jié)論常用于求一個(gè)幾何體的截面與各面交線問題，如正方體ABCD 中，N 的平面與正方體各面的交線，并說M、N分別是 CC1、A1B1的中點(diǎn)，畫出點(diǎn) D、M、明截面多邊形是幾邊形？DF 是 BCD典型例題十三 例 13 已知空間四邊形 ABCD， AB AC ，AE是 ABC的 BC邊上的高，的 BC 邊上的中線，求證： AE 和 DF 是異面直線由題設(shè)條件可知點(diǎn) E 、 F

19、不重合，設(shè) BCD 所在平面.下載可編輯DFAEEDFAE 和 DF 是異面直線證法二：(反證法)若 AE 和 DF 不是異面直線，則 AE 和 DF 共面，設(shè)過 AE 、 DF 的平面為(1) 若 E、F 重合，則 E是 BC的中點(diǎn)，這與題設(shè) AB AC相矛盾(2) 若 E 、 F 不重合， B EF ， C EF ， EF ， BC A， D， A、 B、C、 D四點(diǎn)共面，這與題設(shè) ABCD是空間四邊形相矛盾 綜上，假設(shè)不成立故 AE 和 DF 是異面直線說明：反證法不僅應(yīng)用于有關(guān)數(shù)學(xué)問題的證明，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用 首先看一個(gè)有趣的實(shí)際問題：“三十六口缸，九條船來裝，只準(zhǔn)裝單，不準(zhǔn)裝

20、雙，你說怎么裝？” 對(duì)于這個(gè)問題，同學(xué)們可試驗(yàn)做一做也許你在試驗(yàn)幾次后卻無法成功時(shí)，覺得這種裝法的可能性是不存在的那么你怎樣才能清 楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？ 用反證法可以輕易地解決這個(gè)問題假設(shè)這種裝法是可行的，每條船裝缸數(shù)為單數(shù)，則 9 個(gè) 單數(shù)之和仍為單數(shù)，與 36 這個(gè)雙數(shù)矛盾只須兩句話就解決了這個(gè)問題典型例題十四 例 14 已知 AB、BC、CD 是不在同一平面內(nèi)的三條線段， E、F 、G 分別是 AB、 BC、 CD 的中點(diǎn)，求證：平面 EFG 和 AC 平行，也和 BD 平行分析：欲證明 AC / 平面 EFG ，根據(jù)直線和平面平等的判定定理只須證明AC 平行平面 EFG

21、內(nèi)的一條直線，由圖可知，只須證明AC / EF .下載可編輯證明：如圖，連結(jié) AE 、 EG 、 EF 、 GF在 ABC 中， E 、 F 分別是 AB 、 BC 的中點(diǎn) AC/ EF 于是 AC /平面 EFG 同理可證， BD / 平面 EFG 說明： 到目前為止， 判定直線和平面平行有以下兩種方法： (1) 根據(jù)直線和平面平行定義； (2) 根據(jù)直線和平面平行的判定定理典型例題十五例 15 已知空間四邊形 ABCD， P、Q分別是 ABC和 BCD 的重心，求證： PQ /平面ACD 分析：欲證線面平行，須證線線平行，即要證明 PQ 與平面 ACD 中的某條直線平行，根據(jù)條 件，此直線

22、為 AD ，如圖證明：取 BC的中點(diǎn) E P 是 ABC 的重心，連結(jié) AE ，則 AEPE 31 ，連結(jié) DE ， Q 為 BCD 的重心， DEQE 31 ，在 AED 中， PQ/ AD .下載可編輯又 AD 平面 ACD ， PQ 平面 ACD ， PQ/ 平面 ACD 說明： (1) 本例中構(gòu)造直線 AD與PQ平行，是充分借助于題目的條件： P、Q分別是 ABC 和 BCD 的重心，借助于比例的性質(zhì)證明 PQ/ AD ，該種方法經(jīng)常使用，望注意把握(2) “欲證線面平行， 只須證線線平行” 判定定理給我們提供了一種證明線面平等的方法 根 據(jù)問題具體情況要熟練運(yùn)用典型例題十六 例 16

23、 正方體 ABCD A1B1C1D1 中， E 、 G 分別是 BC 、 C1D1 的中點(diǎn)如下圖求證： EG/平面 BB1D1D分析：要證明 EG /平面BB1D1D ，根據(jù)線面平等的判定定理， 需要在平面 BB1D1D 內(nèi)找到與 EG 平行的直線，要充分借助于 E 、 G 為中點(diǎn)這一條件證明：取 BD的中點(diǎn) F ，連結(jié) EF、D1F E為 BC的中點(diǎn)，1EF CD EF 為 BCD 的中位線，則 EF / DC ，且 2 G為 C1 D1的中點(diǎn)，1D1G CD D1G /CD 且 1 2 ， EF / D1G 且 EF D1G ，四邊形 EFD1G 為平行四邊形，.下載可編輯D1F / EG

24、 ，而 D1F平面BDD 1B1 ， EG 平面 BDD1B1， EG / 平面 BDD1B1典型例題十七例 17 如果直線 a/ 平面，那么直線 a 與平面 內(nèi)的（）A一條直線不相交B兩條相交直線不相交C無數(shù)條直線不相交D任意一條直線都不相交解：根據(jù)直線和平面平行定義，易知排除A、B對(duì)于 C，無數(shù)條直線可能是一組平行線，也可能是共點(diǎn)線， C 也不正確，應(yīng)排除 C與平面 內(nèi)任意一條直線都不相交，才能保證直線a 與平面 平行， D正確應(yīng)選 D說明：本題主要考查直線與平面平行的定義典型例題十八例 18 分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（ ） A一定平行B一定相交解：如圖中的甲圖，分別與

25、異面直線a 、 b平行的兩條直線 c、d 是相交關(guān)系；如圖中的乙圖，分別與異面直線 a 、 b平行的兩條直線 c、 d是相交關(guān)系 綜上，可知應(yīng)選 D說明：本題主要考查有關(guān)平面、線面平行等基礎(chǔ)知識(shí)以及空間想象能力 典型例題十九 例 19 a 、 b 是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的是（ ）A過不在 a 、 b 上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與 a 、 b 平行B過不在 a 、 b 上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與 a 、 b 相交C過不在 a 、 b上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與 a、 b都平行.下載可編輯D過 a 可以并且只可以作一平面與 b 平行解： A錯(cuò)，若點(diǎn)與 a所確定的平面與 b平行時(shí)，就不能使這個(gè)平面

26、與 平行了B 錯(cuò)，若點(diǎn)與 a 所確定的平面與 b 平等時(shí)，就不能作一條直線與 a ， b 相交C錯(cuò)，假如這樣的直線存在，根據(jù)公理4 就可有 a / b ，這與 a ， b異面矛盾D正確，在 a上任取一點(diǎn) A，過 A點(diǎn)做直線 c/b，則c 與a確定一個(gè)平面與 b平行，這個(gè)平面是惟一的應(yīng)選說明：本題主要考查異面直線、線線平行、線面平行等基本概念典型例題二十例 20 (1) 直線 a / b， a /平面 ，則 b與平面 的位置關(guān)系是 (2) A是兩異面直線 a 、 b外的一點(diǎn)，過 A最多可作 個(gè)平面同時(shí)與 a 、b平行解： (1) 當(dāng)直線 b 在平面 外時(shí)， b/ ；當(dāng)直線 b 在平面 內(nèi)時(shí)， b

27、 應(yīng)填： b/ 或 b (2) 因?yàn)檫^ A點(diǎn)分別作 a， b 的平行線只能作一條，(分別稱 a，b)經(jīng)過 a ， b的平面也是惟一的所以只能作一個(gè)平面； 還有不能作的可能，當(dāng)這個(gè)平面經(jīng)過 a或 b 時(shí)，這個(gè)平面就不滿足條件了應(yīng)填： 1說明：考慮問題要全面，各種可能性都要想到，是解答本題的關(guān)鍵典型例題二十一例 21 如圖， a/ ，A是 的另一側(cè)的點(diǎn)， B,C,D a，線段 AB，AC，AD交 于 E， F ， G ，若 BD 4，CF 4， AF 5，則 EG =.下載可編輯平面 ABD a/ EG，即 BD/ EG，EFFGAFEFFGEG AF BCCDACBCCDBD AF FCEG 則

28、AFBD5420AFFC54920應(yīng)填：9說明：本題是一道綜合題，考查知識(shí)主要有：直線與平面平行性質(zhì)定理、相似三角形、比例性質(zhì)等同時(shí)也考查了綜合運(yùn)用知識(shí)，分析和解決問題的能力二，面面平行的性質(zhì)與判定典型例題一例 1 ：已知正方體 ABCD -A1B1C1D1 求證：平面 AB1D1 /平面 C1BD證明： ABCD - A1B1C1D1 為正方體，D1A/C1B ，又 C1B平面C1BD故 D1A/ 平面 C1BD 同理 D1B1 / 平面 C1BD 又 D1A D1B1 D1 ，.下載可編輯平面AB1D1 / 平面 C1BD說明：上述證明是根據(jù)判定定理 1 實(shí)現(xiàn)的本題也可根據(jù)判定定理 2 證

29、明，只需連接 A1C 即可，此法還可以求出這兩個(gè)平行平面的距離 典型例題二例 2：如圖，已知/ ， A a ， Aa/求證：證明：過直線a作一平面，設(shè)/ a1 /ba1又 a/a/b在同一個(gè)平面 內(nèi)過同一點(diǎn) A有兩條直線 a, a1與直線 b 平行 a 與 a1 重合，即 a說明：本題也可以用反證法進(jìn)行證明典型例題三例 3 ：如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它和另一個(gè)也相交 已知：如圖， / ， lA求證： l 與 相交證明：在 上取一點(diǎn) B ，過 l 和 B 作平面 與 、 都相交設(shè) a，b /，由于.下載可編輯 a/b又l 、a、b都在平面 內(nèi)，且 l 和a交于 Al 與b相交

30、所以 l 與 相交典型例題四例 4 ：已知平面 / ， AB ，CD 為夾在 a ，中點(diǎn)求證： EF / ， EF / 證明：連接 AF 并延長交 于G AG CD F且 AC ，AG ， CD 確定平面 ，DG / ，所以 AC/ DG，ACF GDF ，又AFC DFG ， CFDF ， ACF DFG AF FG 又 AE BE ，EF /BG， BG故 EF /同理 EF /說明：本題還有其它證法，要點(diǎn)是對(duì)異面直線的處理.下載可編輯典型例題六例 6 如圖，已知矩形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的射影分別為A1、B1、C1、D1，且 A1、B1、 C1、 D1互不重合，也無三點(diǎn)共線 求證：

31、四邊形 A1B1C1D1 是平行四邊形 證明： AA1， DD1 AA1 / DD1不妨設(shè) AA1和 DD1 確定平面 同理 BB1 和 CC 1確定平面 又 AA1 / BB1 ，且 BB1 AA1 /同理 AD /又 AA1 AD AB1C/A1D1 ，A1D1 / B1C1同理 A1B1 /C1D1 四邊形 A1B1C1D1 是平行四邊形典型例題七例 7 設(shè)直線 l 、 m ，平面 、 ，下列條件能得出 / 的是（ ）Al，m ，且 l/ ，m/Bl，m ，且 l/m.下載可編輯Cl， m ，且 l /mDl / ， m/ ，且 l /m分析：選項(xiàng) A是錯(cuò)誤的，因?yàn)楫?dāng) l /m時(shí)， 與

32、可能相交選項(xiàng) B是錯(cuò)誤的，理由同 A選 項(xiàng) C是正確的，因?yàn)?l， m/l ，所以 m ，又 m ， / 選項(xiàng) D也是錯(cuò)誤的，滿足條件的 可能與 相交答案： C說明：此題極易選 A，原因是對(duì)平面平行的判定定理掌握不準(zhǔn)確所致 本例這樣的選擇題是常見題目，要正確得出選擇，需要有較好的作圖能力和對(duì)定理、公理的 準(zhǔn)確掌握、深刻理解，同時(shí)要考慮到各種情況典型例題八 例 8 設(shè)平面 平面 ，平面 平面 ，且 、 分別與 相交于 a 、 b ， a/b 求 證：平面 / 平面 分析：要證明兩平面平行，只要設(shè)法在平面 上找到兩條相交直線，或作出相交直線，它們證明：在平面 內(nèi)作直線 PQ 直線 a，在平面 內(nèi)作

33、直線 MN 直線 b 平面 平面 ， PQ 平面 ， MN 平面 ， PQ/MN 又 a/ p， PQ a Q， MN b N ，平面 / 平面 說明：如果在 、 內(nèi)分別作 PQ ，MN ，這樣就走了彎路， 還需證明 PQ、MN 在、 內(nèi)，如果直接在 、 內(nèi)作 a 、 b 的垂線，就可推出 PQ / MN 由面面垂直的性質(zhì)推出“線面垂直” ，進(jìn)而推出“線線平行” 、“線面平行” ，最后得到“面面.下載可編輯其核心是要形成應(yīng)用性質(zhì)定理的意識(shí)，在立體幾何證明中非平行”，最后得到“面面平行” 常重要典型例題九例 9 如圖所示，平面 /平面，點(diǎn) A 、 C，點(diǎn)B、D， AB a 是的公垂線， CD是斜

34、線若 AC BD b， CDN 分別是 AB 和 CD 的中點(diǎn)，取 AD 的中點(diǎn) P ，只要證明(1) 求證： MN / ；MN 所在的平面 PMN / 為此證明 PM / ， PN / 即可 (2) 要求 MN 之長，在 CMA 中， CM 、 CN 的長度易知，關(guān) 鍵在于證明 MN CD ，從而由勾股定理可以求解證明： (1) 連結(jié) AD ，設(shè) P 是 AD 的中點(diǎn)，分別連結(jié) PM 、 PN M 是 AB的中點(diǎn)， PM / BD又 BD， PM / 同理 N 是CD的中點(diǎn)， PN / AC AC ， PN / / ， PN PM P ，平面 PMN / MN 平面 PMN ， MN / (

35、2) 分別連結(jié) MC 、 MD 1AM BM a AC BD b ，2 ，.下載可編輯又 AB 是的公垂線， CAMDBM 90 Rt ACM Rt BDM ， CM DM ， DMC 是等腰三角形又 N 是 CD 的中點(diǎn)， MN CD MN CM 2 CN 2 1 4b2 a2 c2在 Rt CMN 中， 2 說明： (1) 證“線面平行”也可以先證“面面平行” ，然后利用面面平行的性質(zhì)，推證“線面 平行”，這是一種以退為進(jìn)的解題策略(2) 空間線段的長度，一般通過構(gòu)造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理來求解(3) 面面平行的性質(zhì)：面面平行，則線面平行；面面平行，則被第三個(gè)平面所截得的交線

36、平行典型例題十 例 10 如果平面 內(nèi)的兩條相交直線與平面 所成的角相等， 那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是 分析：按直線和平面的三種位置關(guān)系分類予以研究解：設(shè) a、 b是平面 內(nèi)兩條相交直線(1) 若a 、 b都在平面 內(nèi)， a、b與平面 所成的角都為 0 ，這時(shí) 與 重合，根據(jù)教材 中規(guī)定，此種情況不予考慮(2) 若a 、 b都與平面 相交成等角，且所成角在 (0 ,90 ) 內(nèi)； a 、 b 與 有公共點(diǎn)，這時(shí) 與 相交若 a 、 b 都與平面 成 90 角，則 a/b ，與已知矛盾此種情況不可能(3) 若 a 、b都與平面 平行，則a 、b與平面 所成的角都為 0 ， 內(nèi)有兩條直線與平面平行

37、，這時(shí) / 綜上，平面 、 的位置關(guān)系是相交或平行典型例題十一.下載可編輯例 11 試證經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行已知： A 平面 ，求證：過 A 有且只有一個(gè)平面 / 分析：“有且只有”要準(zhǔn)確理解，要先證這樣的平面是存在的，再證它是惟一 證明：在平面 內(nèi)任作兩條相交直線 a 和 b ，則由 A 知， A a 點(diǎn) A 和直線 a 可確定一個(gè)平面 M ，點(diǎn) A 和直線 b 可確定一個(gè)平面 N 在平面 M 、 N 內(nèi)過 A分別作直線 a / a 、 b /b ， 故 a、 b 是兩條相交直線，可確定一個(gè)平面 a， a， a /a ， a / 同理 b / 又 a， b， a b

38、A， / 所以過點(diǎn) A 有一個(gè)平面 / 假設(shè)過 A點(diǎn)還有一個(gè)平面 / ，則在平面 內(nèi)取一直線 c ， A c ，點(diǎn) A、直線 c 確定一個(gè)平面 ，m ， n ， m/c， n/c ，又 A m， A n ， 這與過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾，因此假設(shè)不成立， 所以平面 只有一個(gè)所以過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行典型例題十二例 12 已知點(diǎn) S是正三角形 ABC 所在平面外的一點(diǎn)，且 SA SB 高， D 、 E 、 F 分別是 AC 、 BC 、 SC的中點(diǎn)，試判斷 SG與平面 給予證明的，缺一不可 A b 由公理 2 知：SC ， SG 為 SAB上的DEF 內(nèi)的位

39、置關(guān)系，并.下載可編輯 分析 1：如圖，觀察圖形，即可判定 SG/ 平面 DEF ，要證明結(jié)論成立，只需證明 SG與平面 DEF 內(nèi)的一條直線平行觀察圖形可以看出：連結(jié) CG 與 DE 相交于 H ，連結(jié) FH ， FH 就是適合題意的直線 怎樣證明 SG/ FH ？只需證明 H 是 CG 的中點(diǎn)證法 1：連結(jié) CG 交 DE 于點(diǎn) H ， DE 是 ABC 的中位線， DE / AB 在 ACG 中， D 是 AC 的中點(diǎn)，且 DH / AG ，H 為CG的中點(diǎn) FH 是 SCG 的中位線， FH /SG 又 SG 平面 DEF ， FH 平面 DEF ， SG/平面 DEF 分析 2：要證

40、明 SG/ 平面 DEF ，只需證明平面 SAB /平面 DEF ，要證明平面 DEF / 平 面 SAB ，只需證明 SA/ DF ， SB/ EF 而 SA/ DF ， SB/ EF 可由題設(shè)直接推出證法 2： EF 為 SBC的中位線， EF /SB EF 平面 SAB， SB 平面 SAB ， EF / 平面 SAB 同理： DF / 平面 SAB， EF DF F ，.下載可編輯平面 SAB/ 平面 DEF ，又 SG 平面 SAB SG/平面 DEF 典型例題十三于ACF例 13 如圖， 線段 PQ分別交兩個(gè)平行平面 、 于 A、B 兩點(diǎn)，線段 PD 分別交C、D兩點(diǎn)，線段 QF

41、分別交 、 于F 、E兩點(diǎn)，若PA 9，AB 12，BQ 12 ，的面積為 72，求 BDE 的面積分析：求 BDE 的面積， 看起來似乎與本節(jié)內(nèi)容無關(guān)，事實(shí)上， 已知 ACF 的面積，若BDE與 ACF 的對(duì)應(yīng)邊有聯(lián)系的話，可以利用ACF 的面積求出 BDE 的面積解：平面 QAF AF ，平面 QAF BE ，又 / ， AF / BE 同理可證： AC/ BD， FAC 與 EBD相等或互補(bǔ)，即 sin FAC sin EBD 由 FA/ BE ，得 BEAF QBQA 1224 12 ，1BE AF2 由 BD/ AC ，得： ACBD PAPB 921 37 ， BD 3 AC1 A

42、F AC sin FAC 72 又 ACF 的面積為 72，即 2S DBE 1BE BD sin EBD2.下載可編輯1 1 7AF AC sin FAC2 2 371AF AC sin FAC627 72 846 BDE 的面積為 84 平方單位說明：應(yīng)用兩個(gè)平行的性質(zhì)一是可以證明直線與直線的平行，二是可以解決線面平行的問 題注意使用性質(zhì)定理證明線線平行時(shí)，一定第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，其交線互相 平行典型例題十四例 14 在棱長為 a 的正方體中，求異面直線 BD 和 B1C 之間的距離 分析：通過前面的學(xué)習(xí)，我們解決了如下的問題：若a和 b 是兩條異面直線，則過 a且平行于b 的平

43、面必平行于過 b 且平行于 a 的平面 我們知道， 空間兩條異面直線， 總分別存在于兩個(gè) 平行平面內(nèi)因此，求兩條異面直線的距離，有時(shí)可以通過求這兩個(gè)平行平面之間的距離來 解決具體解法可按如下幾步來求：分別經(jīng)過BD和 B1C找到兩個(gè)互相平等的平面；作出兩個(gè)平行平面的公垂線；計(jì)算公垂線夾在兩個(gè)平等平面間的長度解：如圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：A1B/ D11C1平面A1BD/平面CB1D1連結(jié) AC1 ，分別交平面 A1BD 和平面 CB1D1于M 和 N因?yàn)?CC1和 AC1分別是平面 ABCD的垂線和斜線， AC 在平面 ABCD內(nèi)， AC BD 由三垂線定理： AC1 BD ，同理： AC1

44、 A1D AC1 平面 A1BD ，同理可證： AC1 平面 CB1D1.下載可編輯平面 A1BD 和平面 CB1D1間的距離為線段 MN 長度 如圖所示：在對(duì)角面 AC1中， O1為A1C1的中點(diǎn)， O為 AC的中點(diǎn)AM MN NC1 1 AC13 a33a、b3 a BD 和 B1C 的距離等于兩平行平面 A1BD 和 CB1D1 的距離為 3說明：關(guān)于異面直線之間的距離的計(jì)算，有兩種基本的轉(zhuǎn)移方法：轉(zhuǎn)化為線面距設(shè) 是兩條異面直線，作出經(jīng)過 b而和 a平行的平面 ，通過計(jì)算 a和 的距離，得出 a和b距離，這樣又回到點(diǎn)面距離的計(jì)算；轉(zhuǎn)化為面面距，設(shè)a 、b 是兩條異面直線，作出經(jīng)過 b 而

45、和 a平行的平面 ，再作出經(jīng)過 a 和b 平行的平面，通過計(jì)算 、 之間的距離得出 a和b 之間的距離典型例題十五例 15 正方體 ABCD A1B1C1D1 棱長為 a ，求異面直線 AC 與 BC1 的距離 解法 1：（直接法）如圖：取 BC 的中點(diǎn) P ，連結(jié) PD 、 PB1 分別交 AC 、 BC1 于 M 、 N 兩點(diǎn)，易證： DB1 / MN ， DB1 AC ， DB1 BC1.下載可編輯MN 1DB13 a MN 為異面直線 AC 與 BC1 的公垂線段，易證：3 3小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解但通常尋找公垂線段時(shí)， 難度較大解法 2：（轉(zhuǎn)化法）

46、如圖： AC/ 平面 A1C1B AC與 BC1的距離等于 AC與平面 A1C1B 的距離，在 Rt OBO1 中，作斜邊上的高OE ，則 OE 長為所求距離，OB2aOO1 a ，2，O1B3aOE OO1 OB3a2，O1B3解法 3：（轉(zhuǎn)化法）如圖：小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離平面 ACD1 / 平面 A1C1B ， AC 與 BC1 的距離等于平面 ACD1 與平面 A1C1B 的距離 DB1 平面 ACD1 ，且被平面 ACD1和平面 A1C1B 三等分；13B1Da所求距離為 3 3 .下載可編輯小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離解法 4：（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點(diǎn)

47、 Q BC1，作 QR BC于 R點(diǎn)，作 PK AC于 K 點(diǎn)，設(shè) RC x，則 BRQR ax， CKKR ，且 KR2CK 2 CR2KR21CR2212x2QK 2 則12x2(ax)232(x2223a)212a312a3，3 a 故 QK 的最小值，即 AC 與 BC1 的距離等于 3小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過求這個(gè)函數(shù)的最小值來得到 二異面直線之間的距離解法 5：（體積橋法）如圖：當(dāng)求 AC與 BC1的距離轉(zhuǎn)化為求AC 與平面 A1C1B 的距離后，設(shè)C 點(diǎn)到平面 A1C1 B的距離為h，則VCA1C1BVA1 BCC113h 43 ( 2a)21 1

48、 2aa32.下載可編輯33h a a 3 即 AC 與 BC1 的距離等于 3 小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后 用體積公式求之這種方法在后面將要學(xué)到說明：求異面直線距離的方法有：（1）（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時(shí)，直接求此時(shí)，作出并證明異面直線的公垂線段， 是求異面直線距離的關(guān)鍵（2）（轉(zhuǎn)化法） 把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離， 如求異面直線 a、b 距離，先作出過 a且平行于 b的平面 ，則 b與 距離就是 a 、 b距離（線面轉(zhuǎn)化法）也可以轉(zhuǎn)化為過 a平行 b的平面和過 b平行于 a 的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線 距離（面面轉(zhuǎn)化

49、法） （3）（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來求（4）（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解 兩條異面直線間距離問題，教科書要求不高（要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離） ，這方面的 問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求典型例題十六例 16 如果 / ，AB和 AC 是夾在平面與 之間的兩條線段， AB AC ，且 AB 2 ，直線 AB 與平面 所成的角為 30 ，求線段 AC 長的取值范圍解法 1：如圖所示： ABBD， ACDC，AB2AC2BC2，在BDC中，由余弦定理，得：cosBDCBD2CD2BC2AB2AC2

50、BC 2作 AD 于 D ，連結(jié) BD 、 CD 、 BC02BD CD2BD CDADABD 是 AB 與所在的角又 /.下載可編輯ABD也就等于 AB 與 所成的角，即 ABD 30 AB2， AD1， BD3 ， DCAC2BC 4 AC2 ，AC223 AC2 1 4 AC22 3 AC2 10，即：1AC2233 ，即 AC 長的取值范圍為 如圖：233解法 2： AB AC AC 必在過點(diǎn) A且與直線 AB 垂直的平面 內(nèi)設(shè) l ，則在 內(nèi)，當(dāng) AC l 時(shí)， AC 的長最短，且此時(shí) AC AB tan ABCAB tan30233而在 內(nèi)， C 點(diǎn)在 l 上移動(dòng)，遠(yuǎn)離垂足時(shí)， AC 的長將變大，AC從而23即 AC 長的取值范圍是233說明： (1) 本題考查直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系，對(duì)于運(yùn)算能力和空間 想象能力有較高的要求，供學(xué)有余力的同學(xué)學(xué)習(xí)(2) 解法 1 利用余弦定理，采用放縮的方法構(gòu)造出關(guān)于AC 長的不等式，再通過解不等式得到AC 長的范圍，此方法以運(yùn)算為主(3) 解法 2 從幾何性