《測試技術》(第二版)課后習題答案-_要點

1、i- i in醐酬個就躺號？財腓確靜？那個躍蛭號?它側牆各帥狀榊已(1) OOS 2心心罰(2) sin 2n/oi + 4sin fQt(3) eg 2旅人上+ 2cos 3兀九七解：(1) 瞬變信號-指數(shù)衰減振蕩信號，其頻譜具有連續(xù)性和衰減性。(2) 準周期信號，因為各簡諧成分的頻率比為無理數(shù)，其頻譜仍具有離散 性。(3) 周期信號，因為各簡諧成分的頻率比為無理數(shù)，其頻譜具有離散性、 諧波性和收斂性。1-2求信號T(i) = sin 21的有效值(均方根值=FT解：x(t)=sin2二ft的有效值(均方根值)：1 ToX rmsX2 (t)dt 二T o丿I o1 To 2o 血t dtT

2、o1 ToJ (1cos4 兀 fot)dt 2To o1(To2To1sin 4 f ot4foT0)1(To2To1 sin 4二f 0T0) =1/. 21-3般里胸躺三舫覩開式和恥勰開丸求昵三械佃初)般臥酬糊購解：周期三角波的時域數(shù)學描述如下：a。(1)傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開:1To/2TO f/22 To/2嘰亍。(1Tot)dt52 t/2a卄云 /2X(t)cosn 0tdt4 To/22(11) cos n ot dtToTon 二42nn = 1, 3, 5,n =2,4,6,sin n yt 是奇函數(shù),bn2 x(t)sinn ot dt ，式中由于x(t)是偶函數(shù)，n

3、T J0 / 2o則X(t)s inn.才也是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在上下限對稱區(qū)間上的積分等于0。故bn = 0。因此，其三角函數(shù)展開式如下:1 4 1x(t)22 cos n 0t2 兀心n1 41=? r養(yǎng)啞 0t2)(n=1,3, 5,)其頻譜如下圖所示:A3)1 2l4H2o 漢4a Cn9兀2n = arctg -ImC = arctg(-“)= 0 an25兀210o3豹o5豹o 03灼 05國0co單邊幅頻譜單邊相頻譜(2)復指數(shù)展開式復指數(shù)與三角函數(shù)展開式之間的關系如下：C | = A。= a Cn| = V，a2 +b2An2 2% = arctg 1 mCn = arctg (

4、-邑) ReC na n故有ReCN =31/2I nCN =-b n/2.2 n 二sin 2n :n =1,3, 5,n =2, 4, 6,ReCni ReCn實頻譜1 2 :22222 Jt229兀2JI9江2225江225兀21|i-5o-3啦-coo ocoo3o5國o虛頻譜I mC n-5 o-3o- o o o3豹o5%雙邊幅頻譜JC222 9二23o252-5 0-3 025 二2雙邊相頻譜-5國o-3豹o -國0 0 國o 3叫 5豹o1-4 求三角形窗函數(shù)（圖1-22）的頻譜，井作頻譜圖解：該三角形窗函數(shù)是一非周期函數(shù)，其時域數(shù)學描述如下:用傅里葉變換求頻譜。1芻x(t)二

5、1飛T02t0 tX(f) =x(t )e_nOj2ftdtT/2To/2x(t)eft dtT0 /20(1-和嚴dt ；/2T0/22H (1 - t) de皿 j2f 0T0 7-1 2(1-Ft)ej2fT(1t) ej2 ft(1 t)ej2ftTo0Lo / 2To/2dt2(1t) dej2 ftej2ftd(1 - t)To-1 , 2 -1 j2f 2j2fTo1_2- 2fT00h/2T0/2To/2j2_ftd(1芻)ej2 ft dt 1 - ZT0丁。；，5T0 /20-eT2;ft0-T0 / 2ejfT0 T T eE1訂1 - cos fT。二f To丄2si

6、n2f2 f 2T2 2 fTo sin - To2_2(二 fTo)2712272圖1.23題1 -5圖解：方法一，直接根據(jù)傅里葉變換定義來求。X( )： x(t)edt處 -at .-kot.= e sin 0t e dt=廣 e恥八 j(e血t _ejcC0t)dt o2-(a j , j，o)t _ -(a j-jo)t)dtod0ea jjo)t(a j 一 j o)0ja j（0）廠02 2 2a0 一 j2a方法二，根據(jù)傅里葉變換的頻移特性來求。單邊指數(shù)衰減函數(shù):at e其傅里葉變換為f (t)ej dte e-j tdt0eatJ -（a + j國）0t= 1(a j )=a

7、- ja2 29F().a-2co()=-arctg a根據(jù)頻移特性可求得該指數(shù)衰減振蕩函數(shù)的頻譜如下:1X( ) = FTf(t)sin =才廳(.- )-F(。)1 1 1 2j a j( - o) a j(o)1110根據(jù)頻移特性得下列頻譜X()12a12a2【F( -0)Fro)卜6巳贈臂川）觸料佃12仏求丁曲訕5人）觸汛 卅刪飲7. 応h鼎跆出觀也蹶? 1*24 題 1 一 6 圖解：利用頻移特性來求，具體思路如下:131-7求被矩形窗函數(shù)斂斷的余弦函數(shù)cos（圖1*25）的頻譜*并作頻譜圖trjt(f i I l-I1.25 1 - 7 W解:FT w (t) cos 0t由于窗函

8、數(shù)的頻譜W()二2T sin c( T)，所以1x( )W(o) W( o)二 T sin c( -0)T sin c( 0)T 其頻譜圖如上圖所示。1-9求(r) = sin (2兀加)的絶對均值丨心=北 皿和幼方值0： 解：1 To/2T0o sin2fodtToT (-sin 2%)dtIo / 21-cos 2 f ot TTo/20cos2ft To2/-屮 2 = (x )2xrms /ToToToo x2(t)dt-sin 22fot T 0Todt丄(1OT 0To2To-cosSfot)dt1 (To -2To匚 sin 4 ft4foTo014= 1/2第二章習題(P68)

9、解:-i已知信號的自相關函數(shù)尺譏學)求該信號的均方債色爲二 Rx(0) = lim(60)sin(50 ) = lim 3000嚴5 ) = 3000r0r。502- 2 求工(J的自相關函數(shù)I Aeo= Ior029解:TRx( ) = lim x(t)x(t )dtTt -T-lim人訂 Ae(t)dtJ. : 0二 A2 lim Teat e dtTr :0A(討汙a0A2e 2a-a -Asin (涮2-3 購榊JM那MIM的iE8Sfti()=AcM(.：.分別做理想采樣，采樣頻率為-:二，求三個采樣輸出序列，畫出信號波形和采樣點的位置并 解釋混迭現(xiàn)象。解：求采樣序列門.護&伽nM-

10、Htfito米樣輸出序列為：1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0,血(初=巧C)死2 cos亍死屹)采樣輸出序列為：1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0,雄二哄)死-吒)=f-汎)S!p也采樣輸出序列為：1, 0,-1, 0, 1, 0,-1, 0,(2)由計算結果及采樣脈沖圖形可以看出，雖然三個信號頻率不同，但采樣后輸出的三個脈沖序列卻是相同的，產生了頻率混迭，這個脈沖序列反映不出三個信號的頻率特征原因是對于，不符合采樣定理。脈沖圖見下圖。VWX/X/1 f2.8.利用矩形窗函數(shù)求積分血c (t)dt的值解：(1) 根據(jù)Paseval定理，時域能量與頻域能量相等，而時

11、域二二廠i對應于頻域的矩形窗。smc%)df=第T 盤 T加(厶充T2.9什么是窗函數(shù)，描述窗函數(shù)的各項頻域指標能說明什么問題 ？解：(1) 窗函數(shù)就是時域有限寬的信號。其在時域有限區(qū)間內有值，頻譜延伸至無限頻率。(2) 描述窗函數(shù)的頻域指標主要有最大旁瓣峰值與主瓣峰值之比、最大旁瓣10倍頻程衰減率、主瓣寬度。(3)主瓣寬度窄可以提高頻率分辨力，小的旁瓣可以減少泄漏。2.10什么是泄漏？為什么產生泄漏？窗函數(shù)為什么能減少泄漏?解:(1) 信號的能量在頻率軸分布擴展的現(xiàn)象叫泄漏。(2) 由于窗函數(shù)的頻譜是一個無限帶寬的函數(shù)，即是x(t)是帶限信號，在截斷后也必然成為無限帶寬的信號，所以會產生泄漏

12、現(xiàn)象。(3) 盡可能減小旁瓣幅度，使頻譜集中于主瓣附近，可以減少泄漏。2.11.什么是 “柵欄效應”？如何減少“柵欄效應”的影響？解：(1)對一函數(shù)實行采樣，實質就是“摘取”采樣點上對應的函數(shù)值。其效果有如透過柵欄 的縫隙觀看外景一樣，只有落在縫隙前的少量景象被看到，其余景象都被柵欄擋住，稱 這種現(xiàn)象為柵欄效應。(2)時域采樣時滿足采樣定理要求，柵欄效應不會有什么影響。頻率采樣時提高頻率 分辨力，減小頻率采樣間隔可以減小柵欄效應。2.12.數(shù)字信號處理的一般步驟是什么？有哪些問題值得注意?答：(1)數(shù)字信號處理的一般步驟如下圖所示：x(t)y(t)其中預處理包括1)電壓幅值調理，以便適宜于采樣

13、；2)必要的濾波；3)隔離信號的直流分量；4)如原信 號經過調制，則先進行解調。(2)數(shù)字信號處理器或計算機對離散的時間序列進行運算處理。運算結果可以直接顯示或打印。要注意以下一些問題：要適當?shù)倪x取采樣間隔，采樣間隔太小，則對定長的時間 記錄來說其數(shù)字序列就很長，計算工作量迅速增大；如果數(shù)字序列長度一定，則只能處 理很短的時間歷程，可能產生較大的誤差；若采樣間隔大(采樣頻率低)，則可能造成 頻率混疊，丟掉有用的信息；應視信號的具體情況和量化的精度要求適當選取A/D轉 換器；在數(shù)字信號處理的過程中，要適當?shù)倪x取窗函數(shù)，以減小截斷誤差的影響。2.14頻率混疊是怎樣產生的，有什么解決辦法？答：(1)

14、 當采用過大的采樣間隔T s對兩個不同頻率的正弦波采樣時，將會得到一組相同的采樣值，造成無法辯識兩者的差別，將其中的高頻信號誤認為低頻信號，于是就出現(xiàn) 了所謂的混疊現(xiàn)象。(2) 為了避免頻率混疊，應使被采樣的模擬信號x(t )成為有限帶寬的信號，同時應使 采樣頻率f s大于帶限信號的最高頻率f h的2倍。2.15相關函數(shù)和相關系數(shù)有什么區(qū)別？相關分析有什么用途，舉例說明。答：(1) 通常，兩個變量之間若存在著 對應關系，則稱兩者存在著函數(shù)關系，相關函數(shù)又分為自相關函數(shù)和互相關函數(shù)。當兩個隨機變量之間具有某種關系時，隨著某一個變量數(shù)值的確定，另一變 量卻可能取許多不同的值， 但取值有一定的概率統(tǒng)

15、計規(guī)律，這時稱兩個隨機變量存在相關關系，對于變量X和Y之間的相關程度通常用相關系數(shù)p來表示。(2) 在測試技術技術領域中，無論分析兩個隨機變量之間的關系，還是分析兩個信號或一個信號在一 定時移前后的關系，都需要應用相關分析。例如在振動測試分析、雷達測距、聲發(fā)射探傷等都用到 相關分析。3.1說明線性系統(tǒng)的頻率保持性在測量中的作用。答：(1) 線性系統(tǒng)的頻率保持性，在測試工作中具有非常重要的作用。因為在實際測試中， 測試得到的信號常常會受到其他信號或噪聲的干擾，這時依據(jù)頻率保持特性可以認定測 得信號中只有與輸入信號相同的頻率成分才是真正由輸入引起的輸出。(2) 同樣，在故障診斷中，根據(jù)測試信號的主

16、要頻率成分，在排除干擾的基礎上，依 據(jù)頻率保持特性推出輸入信號也應包含該頻率成分，通過尋找產生該頻率成分的原因， 就可以診斷出故障的原因。3-2在使用靈敏度為和的圧電式力傳藝務進疔壓力測量時，首光將它與增益為5 mV/n(的電 簡煎大器相連.電商放丸眾接到靈敏度為為mm/V的筆試記錄儀上，斌求後壓力捌試系統(tǒng)的靈敏阮 當記永 儀的輸岀峻優(yōu)到鑰問n時，壓力變化為需少？解：S= SSSj=80nc/MRX 0.005V/nc x 25mm/V=10 mm/ MP P=A x/S=30mm/10(mm/ MP=3 MPa3-3把靈敏度為4X10 4 pc/Pa的壓電式力傳感器-臺靈敏度0.226 mV

17、/pc ffi電荷放大器相 ft,求真總靈呃若要將總靈敏度調到lOximV/P.,宅御啟大器的靈教度應作如何調整？解：-4-3S= SiS2=404X 10 Pc/Pa x 0.226mV/Pc=9.13 x 10 mV/Pa6S,=S/Si=10 10 mV/Pa = 2.48 x 108mV/Pc404X0 Pc/Pa3-4用一時間常數(shù)為兒的溫匱計am爐溫，當爐溫在200-400并以15(h為周亂按1EO律變化也溫度牌出的變化范倒是多少？解： =2s, T=150s,=2 n /T1、1 (4二 /150)2二 0.9965300- 0.9965 X 100=200.35C300+ 0.9

18、965 X 100=399.65C故溫度變化范圍在200.35399.65C .3- 5 一違舉氣球攜帶一種時為15審的溫度計，也5的上升速度通過大勺層，設溫度I所處 的樣度頓升商対m下降山15 t的規(guī)律而變愆氣球晞溫匱和高度的如用無線電送同地面，ftlfflOmjt 所記錄的溫度為t.試問寶際出現(xiàn)-i r枷覚實高席是務少解:=15s, T=30/5=6s, =2 n /T:0.06351 (15 2 二 /6)2h高度處的實際溫度t=to-h*O.15/3O而在h高度處溫度計所記錄的溫度t = A()t = AC ) (t-h*0.15/30)由于在3000m高度溫度計所記錄的溫度為1 C,

19、所以有-1 = A( )(t-3000*0.15/30)求得t二一0.75C當實際溫度為t= 1C時，其真實高度可由下式求得：t二t-h*0.15/30 , h=(t- t)/0.005=(-0.75+1)/0.005=50m3-6用一階策烷對10Q出的正弦信號連行測量MS求撅唱鍥差在乩時間常效應為多 少？如果用逆系疣對的止弦傅號進廳測試質用此時的幅慎濮差和相位泯差旻多少？解：(1)：A( ) = 1_ A( )=1 1=11- 10%p1 + (” )2$1 + (100兀 2恥)2則 7.71 X 104 S：A( ) =1 _A( ) =1 -11 ( )21.1 (50 27.71 1

20、0，)2 2.81%()=一arctg = - arctg (50 2二 7.71 10) = 13.623-7 M-KSSt裝置的傳遞苗取為1/(O.O4S + 1),若用它測*買率為0.5 Hi. 12 的正張信比試求其幅廈溟洛解：.=0.04 S,lA( ) = 1 _ A( J = 1 2 二 1：2廿1+(軌)2j1+(2f )2當 f=0.5Hz 時,12,1( )=1_1= 0.78%1(2二 0.5 0.04)2(3)當f=2Hz時,二 1 -J1 + 伽)2-1 - 3.02%1(2 二 1 0.04)2當f=1Hz時,：A（，） =1A（，）解:=0.0025S：A( )

21、=1 _ A(，) =1 _=111 (0.0025 )25%=1_ 丿1 ,=10.65%.1 ( .)21(2二 2 0.04)23-8用傳謹嚼數(shù)為LA0.0025 s 的一階測量裝賈進行周期信號抵 若限劇在5%以N 試求所能測量的巍髙頻率成分，此時的用位差是名少？則 131.5 (弧度/S ) 或 f Vco/2 n= 20.9 Hz相位差：()=-arctg= - arctg (131.5 0.0025) = 18.20J-9 m-力傳廉器作為二階系統(tǒng)處理已知傳嚴器的囲宥頻率為800 Hz, m為Q4,問使用 試傳感器作麵率為4Q0應正弦變化的外力側試時，其振壻和相位角各為歩少？解：f

22、n=800Hz, =0.14, f=400二 f / fn = 400/800 = 0.5A)= H(國 n）2 +4纖（砒國 n f1,1 -0.52 F 4 0.1420.5 2= 1.312 ：.-arctg20.140.51 - 0.52-10.573.10對一個二階系統(tǒng)輸入單位階躍信號后，測得響應中產生的第一個過沖量的數(shù)值為1.5，同時測得其周期為6.28s。設已知裝置的靜態(tài)增益為 3，試求該裝值的傳遞 函數(shù)和裝置在無阻尼固有頻率處的頻率響應。解：(1)求解阻尼比、固有頻率。=0.128= L008(2)求解傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)為：將： I 1,1 !民，+ 2軸+虻=3x1.000?

23、 + 2 X 012 8 X LOO 8j +1.00 833.054/ +02疔嗆+ 1.01 &將 ，012：和匚、代，可得該裝置在無阻尼固有頻率處的頻率響應似121Ki-何他+2歹他他）3 _ 3j7x0128/0.256第四章習題（P127）*-lQ某電容傳感報平行板板電養(yǎng)器網(wǎng)圓骸根板単徑-4tw, IfrmKfflffiK Jo-03mm, 介質為空氣。問：b）如果極板間距離ntif =+1 mm,電卷的變化量占C是歩少？b）如杲M疑電路的MSKJOniv/pF. 1$數(shù)妝衷的靈敏護 y 搭如譏 在亠卜二I問時.瀆數(shù) 儀衣鞠變化蚩為冬少？解：C Co ；Ab 2田打得 弋=-一-1

24、8.85 10 二 42 （ 1 10冷/0.326= 494 105（F）h494 10；（PF）變化格數(shù)S1SC =100 “江（4.94 疋10）=2.47（格）第五章習題（P162）5-J以阻值K=20a.靈敏度S = 2的電阻絲應變片與阻值為1200的固宦電陰組成電橋，供橋電壓為2Y.井假定負載為無窮大,當應變片的應變?yōu)?揮和20叫朮時，分別求出師 雙愕電橋的輸川電壓, 丼比較兩#OFait度口解：（1 ）半橋單臂當；=2；時，U01 62 2 102= 2v4當；=2000:時,1 _ 6u02 2000 102= 2mv4(2)半橋雙臂2R0Ui 二-S ；Ui2當；=2:時,u

25、01=X22 2 10一6 2= 4v當2000；時,U01_ 62 2000 10 6 2= 4mv2Ro/Ro 4= 0.5(V),S 雙U0=丄山=1(V)R0/R0 2半橋雙臂是半橋單臂靈敏度的兩倍。5-2你秋用電融蚪毗菠敗鶴不鼠 理靈Wt 炯在I駅下,歸聯(lián)赧紐？卅幻1) 半橋雙臂各串聯(lián)一片2) 半橋雙臂各并聯(lián)一片“解：均不能提高靈敏度，因為半橋雙臂靈敏度 S二u/( R)=丄5，與供橋電壓成正比， R 2與橋臂上應變片數(shù)無關。5-3用電阻応變片接成全橋.測星某一構件的丿前變.已知其変化規(guī)律為 t (/) = Acos 10/ + Bros 1001 如杲電橋激勵電壓足知-Esin W

26、 100/,求此電橋輸出信號的頻譜。解:由已知：；(t) =Acos10t Bcos100t， u0 =Esin10000t得全橋輸出電壓：uyu = S ；u = SE ；(t) sin10000tR=SE( Acos10t Bcos100t) sin10000t根據(jù) x(t)y(t)= X(f)*Y(f)sin2曲二 j卜(f f。)-、(f - f。)x(t)sin2二ft= *X(f)，(f f)-X(f)，(f - f)225B1001002 丿 V )ASEA/4-(3 0+100)-( 3 0+10)-(3 0-10)-(3 0-100)得電橋輸入和輸出信號的傅里葉變換:Ab；(

27、f)二匸.(f f1)、：(f -f1) -L(ff2)，(f - f2)210 /r 10、_ B)亠門(f 0電橋輸出信號的頻譜，可以看成是；(t)的頻譜移動到土 fo處。電橋輸入與輸出信號的頻譜圖如下圖所示。lmiy(3)門SEB/43 0-1003 0-103 0+103 0+10033SEB/43 0=10000SEA/4本量題也可用三角函數(shù)的積化和差公式來計算:由已知：；(t) =Acos10t Bcos100t，U0 =Esin 10000t 得全橋輸出電壓：RUyU0 = S U0 = SE；(t)sin 10000t=SE(Acos10t B cos100t) s in 10

28、000t二 SEAsin10000tcos10t SEBsin10000t cos100t= SEAs in (10000-10)t sin(10000 10)t sEEsi n(10000-100)t sin(10000 100)tAAsin : cos ： = -sin(-：) sin(二 1 -), cos：，cos ： =-cos(二 ) cos(二 1)注：22cos( 二 I )= cos ： cos ： sin ： sin :,sin(二丨)=sin ： cos 卜-cos： sin :5-4已劎調嘔波幾二仃QQ +加似2屏廠20映其中A-10 kHz, j - 500 H.f試

29、求：1）所包含齊分量的頻率及幅值；2）繪出調制信號與調幅波的頻譜解:調幅波中所包含的各分量的頻率及幅值大小：xa(t) =(100 30cos2f1t 20cos6 f1t)cos2 fct=100cos2 fct 30cos2 f1 cos2 fct 20cos6 f1t cos2 fct工 100cos2 fct 15cos2： (fc f1)t cos2二(fc - f1)t10cos2 (fc 3fi)t cos2 (f 3fi)t調制信號與調幅波的頻譜分別如下圖所示ReX叫00 |15151010f1.50.5()0.51.5IFf (kHz)ReUfI50507.57.5117.5

30、IL7.555 J55+1t+tfI -11.5-10.5-10-9.5-8.508.59.51010.511.5f （kHz）5 5 S5.40為別用乘調幅撼調系統(tǒng)的方框圖，設載波倩號是頻率為血的正歿炭試求：1）各壞節(jié)輸出信號的時威彼形;解:1）各環(huán)節(jié)輸出信號的時域波形圖如下:t動態(tài)電阻應變儀方框圖2）各環(huán)節(jié)輸出信號的頻譜圖信號的調制：sin 2 fotj、(f fo) -、(f - f。)2x(t)sin2 ：fot= jX(f)，(f fo)-X(f) 、(f - f。) = jX(f f。)-X(f 一 f。)信號的解調:x(t)sin2二 fot sin2二 fotx(t)-x(t)

31、cos4 二2x(t)sin2fot sin2二ft：= Fx(t)sin2：fot Fsin 2；fot呻X(f foo)撲(f fo(ff1j2X(f) -X(f 2fo) -X(f -2fo) 4巡制門迪x(t) sin2啲y(t)調幅過程頻譜圖1/2 JY(f)JII1/2-foofof11X(f)/1-f m ofmXm(f)= X(f) *Y(f) J1 小-foofo fXm(t)乘法器低通濾波X)調幅波“乘法器載波y(t)、同步解調Xm(f)Xm(t)乘法器低通濾波xt)調幅波“乘法器載波y(t)同步解調ImXm(f)Tx1-II,畳-f0ImY (f)1/2、f 廠 f 一z

32、 -1/2f0-f00同步解調RetXm(f)-2f0 ff -1/2Y(f)j -1/2 2f01Xv4f m 0f m -1/4/低通濾波$空2卞1 1/2-2 f 0-f c0fc2 fo5-(竝戰(zhàn)電刊紬電壓A個髀it設翳電壓為帥詢亦仁電昭助AR- R的則.其申人人試求電榊|出電底的頻饑解：KR1Uy(t)u0cos2：ftsi n2：f0t4Ro4根據(jù) x(t)y(t)二 X(f)*Y(f)sin2二ftj 卜(f f。)-、(f - f。)2x(t)sin2二ft= 2【X(f)，(f f。)-X(f)，(f - f。)得電橋輸出電壓的傅里葉變換：Uy（f）4RoFT. ：R（t）s

33、in 2%tj L：R（t）、（ ff。）- ：R（t）、（f - fo）8Ro電橋輸出信號的頻譜，可以看成是：R(t)的頻譜移動到土 fo處電橋輸入與輸出信號的頻譜圖如下圖所示。Rqsr（ f）IRo/2i l-f0ff附注：常用公式常用三角函數(shù)公式:1sin : cossin（: - -） sin（ ： ）,2cos（ 二卜）=cos： cos ： sin ： sin :,1cos： cos cos（： ） cos（-八 J）2sin（ 二 I ）= sin ： cos L - cos ： sin :(1)傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開:0x（t）二 ao 亠 一 （a n cosn =1oCn

34、 ot bn sin n ot）二 Ao 亠 An sin（ n，otn）1To /2a o 二 x （t） dtTo -To/22 Jo/2an壬/2x（t）cosn灼 t dtAn = . a nbnn =arctg (也)bn(2)三角函數(shù)是正交函數(shù)t0 T1cosn “t.sin m d.dt = 0toto T12sinn /sinm “tdt = 0(m 二 n)(m = n)(3)t0 T1tocosn d cosm jdt 二0歐拉公式(m = n)(m = n)e jn ot 二 cosn ot 一 j sin n ot，、丄1 / -jntjntcos n ot(e e )

35、2sinn ot = j(e$ ot _en ot)2(4)傅里葉級數(shù)的復指數(shù)展開：= Cne如n =-：:oO jn ；:：0tjn；.-：0t、x(t)(CeCne )n=1Cn 二 ReCn jlmCn 二 Cnej nCn =J(ReCn)2 +(ImCn)2n =arctg Im Cn ReCn(5)復指數(shù)與三角函數(shù)展開式之間的關系如下:|c| = A。= a。匕訃二12=2 An2 2ReCn % = arctg= arctg (-空an(6) 3函數(shù)的部分性質:x(t)、(t) = x(t)_x(t) 、(t to) = x(t _ to)x(f) 、(f)=X(f)_X(f )

36、 、(f 一 fo) = X(f 一 fo)6 (t to) =jft0旳 2 兀 fot= z x . x .e=5 (f 士 fo)(7) 正余弦信號的頻譜x(t)y(t)= X(f)*Y(f )sin2二ft =( f fo) -、(f 一 fo)1cos 2二fotL ( ffo ) 、( f 一 fo )2x(t)sin2%t= jX(f)，(ffo)-X(f)、(f -fo)=*X(f fo)X(f -fo)1 1x(t)cos2fotX(f)，(f fo) x(f) 、(f - fo)X(f fo) X(f - fo)1 11 X(t)cos2 ：fot =尹(f fo) 、(f - fo) ?X(f fo) X(f - fo)1/2 dCn|1/21/2ig 1/2o0國oco-GO00oco雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜Jh An1An100CO0O0co單邊幅頻譜單邊幅頻譜(8) 傅里葉