2015年高考數(shù)學(xué)理真題分類匯編---導(dǎo)數(shù) Word版含解析

1、專題三 導(dǎo)數(shù)1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）a b c d 【答案】c【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是c，選項(xiàng)d無法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，選項(xiàng)a,b無法判斷，故選c【考點(diǎn)定位】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題2.【2015高考陜西，理1

2、2】對(duì)二次函數(shù)（為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）a是的零點(diǎn) b1是的極值點(diǎn)c3是的極值 d. 點(diǎn)在曲線上【答案】a【解析】若選項(xiàng)a錯(cuò)誤時(shí)，選項(xiàng)b、c、d正確，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，是的極值，所以，即，解得：，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，解得：，所以，所以，因?yàn)?，所以不是的零點(diǎn)，所以選項(xiàng)a錯(cuò)誤，選項(xiàng)b、c、d正確，故選a【考點(diǎn)定位】1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是函數(shù)的零點(diǎn)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題解題時(shí)一定要抓住重要字眼“有且僅有一個(gè)”和“錯(cuò)誤”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解推斷結(jié)論的試題時(shí)一定要萬分小心，

3、除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，也可作必要的合情推理3.【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）a bc d【答案】a【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題4.【2015高考新課標(biāo)1，理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ）(a)-，1） (b)-，） (c)，） (d)，1

4、）【答案】d【解析】設(shè)=，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)，0，所以當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)時(shí)，=-1，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得1，故選d.【考點(diǎn)定位】本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題【名師點(diǎn)睛】對(duì)存在性問題有三種思路，思路1：參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個(gè)函數(shù)（或參數(shù)大于某個(gè)函數(shù)），則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值（大于該函數(shù)的最小值）；思路2：數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再畫出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖像不易做，常化為一個(gè)函數(shù)存在一點(diǎn)在另一個(gè)函數(shù)上方，用圖像解；思路3：分類討論，本題用的就是思路2.5.【2

5、015高考陜西，理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 【答案】【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：原始的最大流量是，設(shè)拋物線的方程為（），因?yàn)樵搾佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以，即，所以當(dāng)前最大流量是，故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是，所以答案應(yīng)填：【考點(diǎn)定位】1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是定積分、拋物線的方程和定積分的幾何意義，屬于難題解題時(shí)一定要抓住重要字眼“原始”和“當(dāng)前”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是定積分的幾何意義，即由直

6、線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積是6.【2015高考天津，理11】曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 .【答案】【考點(diǎn)定位】定積分幾何意義與定積分運(yùn)算.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分幾何意義與運(yùn)算能力.定積分的幾何意義體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的典型示范，既考查微積分的基本思想又考查了學(xué)生的作圖、識(shí)圖能力以及運(yùn)算能力.【2015高考湖南，理11】 .【答案】.【解析】試題分析：.【考點(diǎn)定位】定積分的計(jì)算.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于容易題，定積分的計(jì)算通常有兩類基本方法：一是利用牛頓-萊布尼茨定理；二是利用定積分的幾何意義求解.7.【2015高考新課標(biāo)2，理21

7、】（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)()證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍【答案】()詳見解析；（）【解析】()若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（）由()知，對(duì)任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值所以對(duì)于任意，的充要條件是：即，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即式成立當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，即；當(dāng)時(shí)，即綜上，的取值范圍是【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】()先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在和的符號(hào)即可；（）恒成立，等價(jià)于由是兩個(gè)獨(dú)立的變量，故可求研究的值域，由()可得最小值為，最大值可能是或，

8、故只需，從而得關(guān)于的不等式，因不易解出，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號(hào)，從而得解8.【2015高考江蘇，19】（本小題滿分16分） 已知函數(shù). （1）試討論的單調(diào)性； （2）若（實(shí)數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a 的取值范圍恰好是，求c的值.【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）知，函數(shù)的兩個(gè)極值為，則函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，從而或又，所以當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此此時(shí)

9、，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)異于的不等實(shí)根，所以，且，解得綜上【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點(diǎn)【名師點(diǎn)晴】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：確定函數(shù)yf(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù)yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；確定f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題處理方法為：利用函數(shù)的單調(diào)性、極值畫出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解已知不等式解集求參數(shù)方法：利用不等式解集與對(duì)應(yīng)

10、方程根的關(guān)系找等量關(guān)系或不等關(guān)系.9.【2015高考福建，理20】已知函數(shù)，()證明：當(dāng)；()證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)()確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有【答案】()詳見解析；()詳見解析；() 【解析】解法一：(1)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，(2)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增, (3)當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于故，令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，由（2）知存在,使得對(duì)任意的任意的恒有此時(shí),令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,故

11、當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.綜上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，故，令，從而得到當(dāng)時(shí)，恒有,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，取由（2）知存在,使得.此時(shí),令，此時(shí) ,記與中較小的為，則當(dāng)，【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時(shí),我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探究這類問題的根本，從本質(zhì)入手,進(jìn)而求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價(jià)，只是的特例，但是也可以

12、利用它來證明，在2014年全國卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)10.【2015江蘇高考，17】（本小題滿分14分） 某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建 一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊 界曲線為c，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，m，n為c的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)m到 的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)n到的距離分別為20千米和2.5千米，以mnl2l1xyocpl 所在的直線分別為x，y軸，

13、建立平面直角坐標(biāo)系xoy，假設(shè)曲線c符合函數(shù) （其中a，b為常數(shù)）模型. （1）求a，b的值； （2）設(shè)公路l與曲線c相切于p點(diǎn)，p的橫坐標(biāo)為t. 請(qǐng)寫出公路l長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域； 當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度.【答案】（1）（2）定義域?yàn)?，千米【解析】?）由題意知，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，將其分別代入，得，解得（2）由（1）知，（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)處的切線交，軸分別于，點(diǎn)，則的方程為，由此得，故，設(shè)，則令，解得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時(shí)答：當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，導(dǎo)

14、數(shù)幾何意義【名師點(diǎn)晴】解決實(shí)際應(yīng)用問題首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型，然后將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；本題已直接給出模型，只需確定其待定參數(shù)即可.求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，這一步驟在應(yīng)用題中要求不高，難度中等偏下，本題是一個(gè)簡單的利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，然后再利用導(dǎo)數(shù)求極值與最值.11.【2015高考山東，理21】設(shè)函數(shù)，其中. （）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由； （）若成立，求的取值范圍.【答案】（i）：當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在上有唯一極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)；

15、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（ii）的取值范圍是.（2）當(dāng) 時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ， 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；當(dāng) 時(shí)， 設(shè)方程的兩根為 因?yàn)?所以， 由可得：所以，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（3）當(dāng) 時(shí)，由可得：當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；因此函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)綜上：當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在上有唯一極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（ii）由（i）知，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗?，時(shí)， ，符合題意； （2）當(dāng) 時(shí)，由 ，得 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，時(shí)， ，符合題意；（3）當(dāng) 時(shí)

16、，由 ，可得所以 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；又所以，當(dāng)時(shí)， 不符合題意；（4）當(dāng)時(shí)，設(shè) 因?yàn)闀r(shí)， 當(dāng) 時(shí)，此時(shí)， 不合題意.綜上所述，的取值范圍是 【考點(diǎn)定位】1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論的思想.【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，著重考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方法，意在考查學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，其中最后一問所構(gòu)造的函數(shù)體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)不同函數(shù)增長模型的深刻理解.12.【2015高考安徽，理21】設(shè)函數(shù). （）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值； （）記，求函數(shù)在上的最大值d； （）在（）中，取，求滿足時(shí)的最大值.【答案】（）

17、極小值為；（）； （）1.【解析】（），. ，. 因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，無極值. 當(dāng)，在內(nèi)存在唯一的，使得. 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增. 因此，時(shí)，函數(shù)在處有極小值. （）時(shí)， 當(dāng)時(shí)，取，等號(hào)成立， 當(dāng)時(shí)，取，等號(hào)成立， 由此可知，函數(shù)在上的最大值為. （），即，此時(shí)，從而. 取，則，并且. 由此可知，滿足條件的最大值為1.【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；2.絕對(duì)值不等式的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中，分類與整合思想是必要的，由于是函數(shù)問題，所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的，把

18、不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題等，轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.13.【2015高考天津，理20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中.(i)討論的單調(diào)性；(ii)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為p，曲線在點(diǎn)p處的切線方程為,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；(iii)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證： 【答案】(i) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (ii)見解析； (iii)見解析. (2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單

19、調(diào)遞減.(ii)證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都有，即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有.(iii)證明：不妨設(shè)，由(ii)知，設(shè)方程的根為，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又由(ii)知可得.類似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)，即對(duì)任意，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此.由此可得.因?yàn)?，所以，故，所?【考點(diǎn)定位】1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及利用函數(shù)證

20、明不等式.第(i)小題求導(dǎo)后分為奇偶數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分類討論的重要思想；第(ii)(iii)中都利用了構(gòu)造函數(shù)證明不等式這一重要思想方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法在解題中的重要作用，是撥高題.14.【2015高考重慶，理20】 設(shè)函數(shù) （1）若在處取得極值，確定的值，并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?），切線方程為；（2）.當(dāng)時(shí)，,故為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，,故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，,故為減函數(shù)；由在上為減函數(shù)，知，解得故a的取值范圍為.【考點(diǎn)定位】復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值，切線，單調(diào)性考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力【名師點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)

21、用通常圍繞四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行命題第一個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開，設(shè)計(jì)求曲線的切線方程，根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問題，這類試題在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的同時(shí)也考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)，試題的難度不大；第二個(gè)點(diǎn)是圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開，設(shè)計(jì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問題，在考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法；第三個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)研究不等式、方程展開，涉及不等式的證明、不等式的恒成立、討論方程根等問題，主要考查通過轉(zhuǎn)化使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的

22、兩個(gè)設(shè)問，考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；第四個(gè)點(diǎn)是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的兩個(gè)設(shè)問，考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；本題涉及第一個(gè)點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)，主要注意問題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)15.【2015高考四川，理21】已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，評(píng)論的單調(diào)性； （2）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）詳見解析.【解析】（1）由已知，函數(shù)的定義域?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，在區(qū)間

23、上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由，解得.令.則，.故存在，使得.令，.由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以.即.【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】本題作為壓軸題，難度系數(shù)應(yīng)在0.3以下.導(dǎo)數(shù)與微積分作為大學(xué)重要內(nèi)容，在中學(xué)要求學(xué)生掌握

24、其基礎(chǔ)知識(shí)，在高考題中也必有體現(xiàn).一般地，只要掌握了課本知識(shí)，是完全可以解決第（1）題的，所以對(duì)難度最大的最后一個(gè)題，任何人都不能完全放棄，這里還有不少的分是志在必得的.解決函數(shù)題需要的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合，聯(lián)系圖形大膽猜想. 在本題中，結(jié)合待證結(jié)論，可以想象出的大致圖象，要使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解，則這個(gè)解應(yīng)為極小值點(diǎn)，且極小值為0，當(dāng)時(shí)，的圖象遞減；當(dāng)時(shí)，的圖象單調(diào)遞增，順著這個(gè)思想，便可找到解決方法.16.【2015高考湖北，理22】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大小；（）計(jì)算，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；（）令，數(shù)列，的前項(xiàng)

25、和分別記為, 證明：. 【答案】（）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. ；（）詳見解析；（）詳見解析.【解析】（）的定義域?yàn)椋?當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減. 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí)，即.令，得，即. （）；.由此推測(cè)： 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. （1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，成立. （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即.當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)可得.所以當(dāng)時(shí)，也成立. 根據(jù)（1）（2），可知對(duì)一切正整數(shù)都成立. （）由的定義，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及得 .即.【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)，數(shù)列的概念，數(shù)學(xué)歸納法，基本不等式，不等式的證明.【名師點(diǎn)睛】使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪

26、些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)nn0時(shí)成立，要弄清楚命題的含義(2)由假設(shè)nk成立證nk1時(shí)，要推導(dǎo)詳實(shí)，并且一定要運(yùn)用nk成立的結(jié)論(3)要注意nk到nk1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)17.【2015高考新課標(biāo)1，理21】已知函數(shù)f（x）=.()當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線 的切線；（）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（）；（）當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).若，則，,故=1不是的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).()若或

27、，則在（0,1）無零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無零點(diǎn). ()若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=.若0，即0，在（0,1）無零點(diǎn).若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)；若0，即，由于，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn).10分綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn). 12分【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對(duì)新概念的理解；分段函數(shù)的零點(diǎn)；分類整合思想【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的切線、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用圖像研究分段函數(shù)的零點(diǎn)，試

28、題新穎.對(duì)函數(shù)的切線問題，主要在某一點(diǎn)的切線與過某一點(diǎn)點(diǎn)的切線不同，在某點(diǎn)的切線該點(diǎn)是切點(diǎn)，過某點(diǎn)的切線該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，對(duì)過某點(diǎn)的切線問題，設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求切線，將已知點(diǎn)代入切線方程，解出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程.18.【2015高考北京，理18】已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求證：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值【答案】（），（）證明見解析，（）的最大值為2.【解析】試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，再用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程；第二步要證明不等式在成立，可用作差法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，由于，在（0，1）

29、上為增函數(shù)，則，問題得證；第三步與第二步方法類似，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但需要對(duì)參數(shù)作討論，首先符合題意，其次當(dāng)時(shí)，不滿足題意舍去，得出的最大值為2.，成立；（）使成立，等價(jià)于，；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，-0+極小值，顯然不成立，綜上所述可知：的最大值為2.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式；3.含參問題討論.【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)問題，本題第一步為基礎(chǔ)，第二、三步屬于中等略偏難問題，首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，其次用作差法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，最后一步對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論研究.19.【2015高考廣東，理19】設(shè)，函數(shù) (1) 求的單調(diào)區(qū)間 ； (2) 證明：在上僅有一個(gè)零點(diǎn)； (3) 若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行