數(shù)值分析第二章復(fù)習(xí)與思考題

1、第二章復(fù)習(xí)與思考題1什么是拉格朗日插值基函數(shù)它們是如何構(gòu)造的有何重要性質(zhì)答：若n次多項式lj x (j 0,1,n)在n 1個節(jié)點x。XiXn上滿足條件1, kj,Zj,k 0,1,n,0, kj,則稱這n 1個n次多項式lo X ,11 X , ,ln X為節(jié)點Xo,X1, Xn上的n次拉格朗日插值基函數(shù).以1k X為例，由1k X所滿足的條件以及1k X為n次多項式，可設(shè)lk XX X0X Xk 1 X Xk 1xn ，其中A為常數(shù)，利用|k xk1 A XkXoxk xk 1 xkxk 1XkXn,XkX0XkXk 1XkXk 1XkXnIk(X)X X0X Xk 1 X Xk 1 Xx

2、nn X XjXkXoXkXk 1XkXk 1XkXnj 0 Xk Xjj k對于lj X (i0,1,n)，kXili xxkk 0,1,n，特別當k0時，有l(wèi)i X1.2什么是牛頓基函數(shù)它與單項式基1, X,有何不同答：稱 1, X X0, X x0X X1 ,X0x Xn 1為節(jié)點X0, X1,Xn上的牛頓基函數(shù)，禾U用牛頓基函數(shù)，節(jié)點X0,X1,Xn上的n次牛頓插值多項式可以表示為Pn x a。a1XX0an XX0XXn 1其中akfX0,x1,xk , k0,1, n.與拉格朗日插值多項式不同,牛頓插值基函數(shù)在增加節(jié)點時可以通過遞推逐步得到高次的插值多項式，例如Pk 1 XPk X

3、 ak 1 XX0XXk其中ak i是節(jié)點xo,xi,Xk i上的k 1階差商，這一點要比使用單項式基1,x, ,xn方便得多3什么是函數(shù)的n階均差它有何重要性質(zhì)答： 稱 f X0, Xk-f-Xkf X0 為函數(shù) f x 關(guān)于點 x0, xk的一階均差，Xk Xof Xo, Xi, Xk f Xj Xkf Xo Xl 為 f X 的二階均差 一般地，稱XkXiXo,Xi,Xnf Xo, ,Xn 2,Xnf Xo,Xi, ,Xn i為f x的n階均差XnXn i均差具有如下基本性質(zhì):(i) n階均差可以表示為函數(shù)值 f x0 , f禺，,f Xn的線性組合，即f Xo,Xi,Xnf XjXj

4、XoXj Xj i Xj Xj iXj Xn該性質(zhì)說明均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)，即均差具有對稱性 f X,Xi, Xnf Xi,X2, , Xnf Xo,Xi,XniXnXo(3)若f x在a,b上存在n階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點Xo, Xi, ,Xn a,b，則n階均差與n階 導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為f nf Xo,xi,Xn， a,b .n!4寫出n i個點的拉格朗日插值多項式與牛頓均差插值多項式，它們有何異同答：給定區(qū)間 a,b上n i個點a xox-iXn b上的函數(shù)值yif Xi (i o,i, ,n)，則這n i個節(jié)點上的拉格朗日插值多項式為Ln x yJk xk oX Xj其中 lk xL , k o,

5、i, ,n.j o XkXjj k這n i個節(jié)點上的牛頓插值多項式為Pn xa0 a1 x x0an x x0x xn 1 ,其中 akf Xo,Xi, Xk , k 0,1, ,n 為 fx 在點 x,Xi, Xk 上的 k 階均差.由插值多項式的唯一性，Ln x與Pn x是相同的多項式，其差別只是使用的基底不同，牛頓插值多項式具有承襲性， 當增加節(jié)點時只需增加一項， 前面的工作依然有效， 因而牛頓 插值比較方便，而拉格朗日插值沒有這個優(yōu)點 .5.插值多項式的確定相當于求解線性方程組 Ax y ，其中系數(shù)矩陣與使用的基函數(shù)有關(guān). y 包含的是要滿足的函數(shù)值yo ,yi, ,yn T.用下列基

6、底作多項式插值時，試描述矩陣中非零元素的分布 .anln x ，其中 lk x 為(1) 單項式基底； (2) 拉格朗日基底； (3) 牛頓基底 .答：(1) 若使用單項式基底，則設(shè)Pn xa0a1xa.x，其中 ao, ai,定系數(shù)，利用插值條件，有a0a1x0nanx0y0a0a1x1nanx1y1，a0a1xnn anxnyn因此，求解 Ax y的系數(shù)矩陣A為1 x0nx0n1 x1nx1A1 xnn xn為范德蒙德矩陣 .,an 為待(2) 若使用拉格朗日基底，則設(shè)Ln xa0l0xa1l1 x拉格朗日插值基函數(shù)，利用插值條件，有a0l0 x0 a0l 0 x1a1l1 x0anln

7、x0anln x1y0y1 ，a1l1x1a0l0 xna1l1xnanln xnyn由拉格朗日插值基函數(shù)性質(zhì)，求解 Ax y的系數(shù)矩陣 A為100010A001為單位矩陣(3)若使用牛頓基底，則設(shè)Pn XXXa0a1 xan X0an X1X0an XXn 1Xn 1X0Xy0y1Xn 1，由插值條件，有a。a。a1 xa洛XXX0X1a。a XnX0an XnXXnXn 1yn即a。y0aa-ix1X0y1aa1 XnXan XnXXnXn 1yn故求解Axy的系數(shù)矩陣A為11x1XA 1x2XX2 X0X2X11XnXXnX0XnX1XnX0XnX1XnXn 1為下三角矩陣6用上題給出的

8、三種不同基底構(gòu)造插值多項式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，試按工作量由低到高給出排序答：若用上述三種構(gòu)造插值多項式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，則工作量由低到高分別為拉格朗日基底，牛頓基底，單項式基底7給出插值多項式的余項表達式，如何用它估計截斷誤差答：設(shè)fnx在 a,b上連續(xù)，fn1x在 a,b內(nèi)存在，節(jié)點a xo XiXn b， Ln x是滿足條件Ln Xj yj, j 0,1, ,n的插值多項式，則對任何x a,b，插值余項Rn x f xLn xfn1/ in 1(x)，n 1 !這里a, b且與x有關(guān)，n 1 xXX0XX-IX X若有max f n 1 x M n 1，則Ln x逼近f x的截斷誤差

9、a x bRn X|Mn ： | n 1 x .n 1 !8埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別是什么什么是泰勒多項式它是什么條件下的插值 多項式答：一般函數(shù)插值要求插值多項式與被插函數(shù)在插值節(jié)點上函數(shù)值相等，而埃爾米特插值除此之外還要求在節(jié)點上的一階導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等稱nTX。nPn xf xof xo x xo X Xon!為f x在點X。的泰勒插值多項式，泰勒插值是一個埃爾米特插值，插值條件為Pnk Xof k Xo , k 0,1, ,n，泰勒插值實際上是牛頓插值的極限形式，是只在一點xo處給出n 1個插值條件得到的n次埃爾米特插值多項式.9為什么高次多項式插值不能令人滿意分段低次插

10、值與單個高次多項式插值相比有何 優(yōu)點答：對于任意的插值結(jié)點，當n 時，Ln x不一定收斂于f x，如對龍格函數(shù)做高次插值時就會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，因而插值多項式的次數(shù)升高后，插值效果并不一定能令人滿意分段低次插值是將插值區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上進行低次插值，這樣在整個插值區(qū)間，插值多項式為分段低次多項式，可以避免單個高次插值的振蕩現(xiàn)象10. 三次樣條插值與三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別哪一個更優(yōu)越請說明理由答：三次樣條插值要求插值函數(shù)S xC a,b ，且在每個小區(qū)間Xj, Xj 1上是三次多項式，插值條件為S Xjyj, j o,1,n .三次分段埃爾米特插值多項式1 h x是插值區(qū)間a

11、,b上的分段三次多項式，且滿足1Ih X C a,b，插值條件為I h Xkf Xk，I hXkf Xk ,(k0,1,n).分段三次埃爾米特插值多項式不僅要使用被插函數(shù)在節(jié)點處的函數(shù)值，而且還需要節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值，且插值多項式在插值區(qū)間是一次連續(xù)可微的三次樣條函數(shù)只需給出節(jié)點處的函數(shù)值，但插值多項式的光滑性較高，在插值區(qū)間上二次連續(xù)可微，所以相比之下，三次樣 條插值更優(yōu)越一些11. 確定 n 1個節(jié)點的三次樣條插值函數(shù)需要多少個參數(shù)為確定這些參數(shù)，需加上什么條件答：由于三次樣條函數(shù) S x 在每個小區(qū)間上是三次多項式， 所以在每個小區(qū)間xj ,xj 1上要確定 4 個待定參數(shù)， n 1個節(jié)點共

12、有 n 個小區(qū)間，故應(yīng)確定 4n 個參數(shù)，而根據(jù)插值條 件，只有 4n 2 個條件，因此還需要加上 2個條件，通?？稍趨^(qū)間 a,b 的端點 ax0，b xn上各加一個邊界條件，常用的邊界條件有 3 種：(1) 已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即S x0f0 ， S xnfn .(2) 已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，即S x0f0 ， S xnfn ,特殊情況為自然邊界條件S x00 ， S xn0.(3) 當 f x 是以 xn x0 為周期的周期函數(shù)時， 要求 S x 也是周期函數(shù)， 這時邊界條件 就滿足S x 0 S xn 0 ， S x0 0 S xn 0 ， S x00 S xn0這時 S x 稱為周期

13、樣條函數(shù) .12. 判斷下列命題是否正確(1) 對給定的數(shù)據(jù)作插值，插值函數(shù)個數(shù)可以任意多 .(2) 如果給定點集的多項式插值是唯一的，則其多項式表達式也是唯一的 .(3) h x (i 0,1,n)是關(guān)于節(jié)點Xi(i 0,1,n)的拉格朗日插值基函數(shù)，則對任何次n數(shù)不大于n的多項式P x都有 li x P xiP xi0(4) 當fx為連續(xù)函數(shù)，節(jié)點 Xj(i 0,1,n)為等距節(jié)點，構(gòu)造拉格朗日插值多項式Ln x ，則 n 越大 Ln x 越接近 f x .(5) 同上題，若構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)Sn x ，則 n 越大得到的三次樣條函數(shù)Sn x 越接近 f x .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的 .(7) 函數(shù)