等腰三角形（基礎(chǔ)）知識講解

1、樂博思等腰三角形（基礎(chǔ)）知識講解責(zé)編：張強 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念, 掌握等腰三角形的軸對稱性；2. 掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，會利用這些性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理、證明、計算和作圖3. 理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明過程. 通過定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.4. 理解反證法并能用反證法推理證明簡單幾何題.【要點梳理】要點一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在

2、abc中，abac，abc是等腰三角形，其中ab、ac為腰，bc為底邊,a是頂角，b、c是底角2.等腰三角形的作法 已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形abc,使ab=ac=b,bc=a.作法：1.作線段bc=a； 2.分別以b,c為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧 相交于點a; 3.連接ab,ac. abc為所求作的等腰三角形3.等腰三角形的對稱性 (1)等腰三角形是軸對稱圖形； (2)bc； (3)bdcd，ad為底邊上的中線.(4)adbadc90，ad為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的

3、三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.要點詮釋：（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.a1802b，bc .（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定，知識要點】要點二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”推論：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都等于60.性質(zhì)2：等

4、腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”2.等腰三角形中重要線段的性質(zhì)等腰三角形的兩底角的平分線（兩腰上的高、兩腰上的中線）相等.要點詮釋：這條性質(zhì)，還可以推廣到一下結(jié)論：（1）等腰三角形底邊上的高上任一點到兩腰的距離相等。（2）等腰三角形兩底邊上的中點到兩腰的距離相等.（3）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等.（4）等腰三角形頂點到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等.要點三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三

5、角形中，等角對等邊. 要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形2.等邊三角形的判定定理三個角相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點四、反證法在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推導(dǎo)論證，最后推出與學(xué)過的概念、基本事實，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相

6、矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法叫做反證法.要點詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題一般證明步驟如下：（1） 假定命題的結(jié)論不成立； （2） 從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概念、基本事實，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果； （3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)角度的計算題1、（2016春太倉市期末）如圖，已知abc中，ab=bd=dc，abc=105，求a，c度數(shù)【思路點撥】由于ab=bd=dc，所以abd和bdc都是等腰三角形，可

7、設(shè)c=cdb=x，則bda=a=2x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的推論，可以求出a，c度數(shù)【答案與解析】解：ab=bd，bda=a，bd=dc，c=cbd，設(shè)c=cbd=x，則bda=a=2x，abd=1804x，abc=abd+cdb=1804x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即a=50，c=25【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運用了等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定：例1練習(xí)】舉一反三：【變式】已知：如圖，d、e分別為ab、ac上的點，acbcb

8、d，adae，dece，求b的度數(shù)【答案】解：acbcbd，adae，dece，設(shè)ecdedc，bcdbdc，則aedade2，ab1804在abc中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得a、d、b在同一直線上，2180由 ，解得36b180418014436.類型二、等腰三角形中的分類討論2、在等腰三角形中，有一個角為40，求其余各角【思路點撥】由一個等腰三角形內(nèi)角為40，分別從40是等腰三角形頂角與40是底角的角度去分析求解即可求得答案【答案與解析】解：(1)當(dāng)40的角為頂角時，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個底角的度數(shù)之和18040140，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個

9、底角的度數(shù)；(2)當(dāng)40的角為底角時，另一個底角也為40，則頂角的度數(shù)1804040100其余各角為70，70或40，100 【總結(jié)升華】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)此題比較簡單，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊【答案與解析】解：(1)3為腰長時，則另一腰長也為3，底邊長13337； (2)3為底邊長時，則兩個腰長的和13310，則一腰長 這樣得兩組：3，3，7 5，5，3 由三角形三邊關(guān)系可知：兩邊之和大于第三邊，337，故不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去 等腰三角形的周長為13，一

10、邊長為3，其余各邊長為5，5【總結(jié)升華】唯獨等腰三角形的邊有專用名詞“腰”“底”，別的三角形沒有，此題沒有說明邊長為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類討論同時結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來驗證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案舉一反三：【變式】已知等腰三角形的底邊bc8，且|acbc|2，那么腰ac的長為( ) a10或6 b10 c6 d8或6【答案】a；解 ： |acbc|2， acbc2 又bc8 ac10或6 ab10（）或（6）類型三、等腰三角形的性質(zhì)及其運用4、如圖，在abc中，邊abac求證：acbabc【思路

11、點撥】在ab上截取ae=ac，連接ce，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出aec=ace，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出aecabc即可【答案與解析】證明：證明：在ab上截取ae=ac，連接ce，ae=ac，aec=ace，aecb，acbabc【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，能推出aec=ace和aecabc是解此題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】已知：如圖，在abc中，ab=ac，a=60，bd是中線，延長bc至點e，使ce=cd求證：db=de【答案與解析】證明：如圖，在abc中，ab=ac，a=60，abc是等邊三角形，abc=2=60，bd是中線，bd是abc的平分線，1=30

12、，ce=cd，e=3，e=2=30，e=1，db=de類型四、等腰三角形的判定5、如圖1，在abc中，bo平分abc，co平分acb，過點o作debc，交ab于點d，交ac于點e（1）試找出圖中的等腰三角形，并說明理由；（2）若bd=4、ce=3，求de的長；（3）若 ab=12、ac=9，求ade的周長；（4）若將原題中平行線de的方向改變，如圖2，odab，oeac，bc=16，你能得出什么結(jié)論呢？【思路點撥】（1）運用兩三角形兩底角相等得出等腰三角形；（2）由等腰三角形兩腰相等求解；（3）由ade的周長=ad+do+oe+ae=ab+ac求解；（4）由odab，oeac，bo平分abc，

13、co平分acb，得出bdo和eco是等腰三角形，利用等腰三角形兩腰相等得出ode的周長等于bc的長度【答案與解析】解：（1）dbo和eoc是等腰三角形bo平分abc，dbo=cbo，debc，cbo=dob，dbo=dob，db=do，dbo是等腰三角形，同理eoc是等腰三角形；（2）bd=4、ce=3，由（1）得出do=4，eo=3，de=do+oe=4+3=7；（3）ade的周長=ad+do+oe+ae；do=db，oe=ec，ade的周長=ab+ac，ab=12、ac=9，ade的周長=ab+ac=12+9=21；（4）odab，oeac，bo平分abc，co平分acb，bdo和eco是

14、等腰三角形，bd=do，ce=oe，bc=16，ode的周長為16即ode的周長等于bc的長度【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩角相等或兩邊相等舉一反三【變式】如圖，abc中，d、e分別是ac、ab上的點，bd與ce交于點o給出下列四個條件：ebd=dco；beo=cdo；be=cd；ob=oc上述四個條件中，哪兩個條件可判定abc是等腰三角形，選擇其中的一種情形，證明abc是等腰三角形【答案】；都可以組合證明abc是等腰三角形；選為條件證明abc是等腰三角形；證明：在ebo和dco中，ebodco（aas），bo=co，obc=

15、ocb，ebo+obc=dco+ocb，即abc=acb，ab=ac，abc是等腰三角形類型五、 含有30角的直角三角形6. 如圖所示，abc中，acb=90，cdab，垂足是d，a=60.求證：bd=3ad. 【答案與解析】證明：cdab，adc=90，又a=60，acd=30在rtacd中，ad=ac，又acb=90，在rtacb中，b=30，ac=ab ad= ab，則ad=bd，即bd=3ad.【總結(jié)升華】根據(jù)直角三角形中30角所對的邊是斜邊的一半可得到bc=2bd，ab=2bc，從而可推出ab=4bd，從而不難證得bd與ad的數(shù)量關(guān)系此題主要考查含30角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角

16、形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半舉一反三：【變式】如圖，已知，在四邊形abcd中，adbc，bd平分abc，a=120，cd=4cm，abc=dcb，求bc的長【答案】解：adbc，a=120，abc=180120=60，bd平分abc，dbc=abc=60=30，又abc=dcb=60，bdc=1803060=90，bc=2cd=24=8cm類型六、反證法7. 求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60?！敬鸢浮恳阎篴bc 求證：abc中至少有一個內(nèi)角小于或等于60證明： 假設(shè)abc中沒有一個內(nèi)角小于或等于60則a60,b60,c60a+b+c60+60+60=180即a+b+c180，這與三角形的內(nèi)角和為180度矛盾假設(shè)不成立abc