馮恩信 電磁場與電磁波 課后習題答案

習題

1.1已知?=2￡+39—2；月=￡+￡—22,求:(a)4和B的大小(模)；(b)A和5的單位

矢量；(c)AB-,(d)MxQ；(e)A和8之間的夾角；(f)A在3上的投影。

解：(a)4和8的大小

A=同=QA；+A；++32+『=V14=3.74

3=年8+B；+B；=712+12+22=瓜=2.45

(b)A和8的單位矢量

2]

?=-=痂(2x+3y-z)=0.535i+0.802$-0.267z

-B1

b=j=桌(x+y-2z)=0.408x+0.408g-0.81位

(C)AB

屋"A也+AV紇+A也=2+3+2=7

(d)AxB

八人A人

xyzyz

AxB-4AA3-1=-5￡+3y-z

B、B、B.1-2

(e)4和B之間的夾角a

根據(jù)Z-?=ABcosa得

AB7

cosa=0.764a=40.19°

~AB9.163

⑴A在8上的投影

AB7

Ab2.86

B245

1.2如果矢量A、8和C在同一平面，證明A?(5xC)=0。

證明：設矢量A、8和C所在平面為孫平面

B=Bxx+Byy

C^Cxx+Cyy

xyz

BxC=BxByBz=(ByCz-BzCy)x+(BzCx-BXCZ)y+(BxCy-ByCx)z

CxCyC

=①C「B,C工

A(BxQ=0x(BxCy-ByCx)z-z=O

1.3已知A=￡cosa+gsina、B=xcos^-ysin(3C=xcos/3+ysin(3,證明這三個

矢量都是單位矢量，且三個矢量是共面的。

證明：

1)三個矢量都是單位矢量

A=同=JA：+A；+A；=Vcos2?+sin2a=1

B=網(wǎng)=JB；+B；+B：=7cos2^+sin2^=1

c=|c|=Jc：+C；+C；=7cos2^+sin2^=1

2)三個矢量是共面的

土yZ

B_=2cos/?sin伉

BxC^BxxByv

ccc

A(BxC)=0x2cos用sin廢-2=0

1.4當AIZ時.求a。

解：當N1Z時，=0

A,B=tz+2+3=0

所以

a=-5

1.5證明三個矢量4=5￡-5$、B=3x-7y-z^C=一2￡-2￡-2形成一個三角形的三

條邊，并利用矢積求此三角形的面積。

證明：因為A-B=2x+2y+z

A+(-B)+C=0

所以三個矢量A、B和C形成一個三角形

此三角形的面積為

Xyzxyz

5=小、同=0=V52+52+202/2=10.6

A,A5-5

B、B;3-7-1

1.6P點和Q點的位置矢量分別為5￡+12亍+2和2￡-3亍+二求從P點到Q點的距離矢

量及其長度。

解：從P點到Q點的距離矢量為

R=rQ-rp=(2x-3y+z)-(5x+12y+z)=-3x-15y

從P點到Q點的距離為

/?=|^|=732+152=15.3

1.7求與兩矢量A^4x-3y+z和B=2x+y-z都正交的單位矢量。

解：設矢量C與兩矢量A=4￡—3夕+2和5=2￡+夕—2都正交，則

A-C=4C-3C+C.=0(1)

**)Z

BC=2Cx+C-yC.t.=0(2)

⑴+(2)得6Cv-2Cv=0tC,=3C(3)

(1)+3義(2)得10Cv-2Q=0fCz=5CV(4)

如果矢量6是單位矢量，則

C=Ic|=TcJTcfTcF=7C>9C1+25C^=1

所以c*=j=0.169

71+9+25

J=3C”().5()7

C.=5Q=0.845

C=0.169r+0.5079+0.845z

1.8將直角坐標系中的矢量場分別用圓柱和圓球坐標系中的

坐標分量表示。

解：在圓柱坐標系中

cos。si”0cos。si”01cos。

=-sin^9cos。0“=-sin^9cos。00=—sin。

0010010__0

Fx(夕,夕,z)=cos痂-sin(p(p

cos。si”0-4-cosesi”0usin。

F*二一si”cose0—-sinecose01=cos。

一心一

001_FZ2001_00

F21p,°,z)=sin痂+cos時

在圓球坐標系中

F“sin。cos°sinOsinocos。

殳=cosOcos。cosOsine一sin。

正叫-sin^cos。0

sinOcosesinOsin夕cos。丁sin。cose

=cos0cos(pcosOsin。一sin。0=cosOcosp

-sincos°00-sin

Fx(r,a(P)=sin0cos(pp+cos^cos^-sinqxp

工2sinOcos。sinOsin夕cos。

F?2=cosOcos/cosOsin夕一sin。%

F*-sin°cos夕0\_Fz2_

sinOcos。sinOsin0cos。-0-sin8sine

=cosOcosocos^sin^?—sin。1—cosOsin/

一sinocos。0J0cos°

.人

F2(r,0.cp)=sinsin+cos^sin(p6+cos(p^)

1.9將圓柱坐標系中的矢量場二三用直角坐標系中的坐標分

量表示。

.；

A?(1)

一

得

凡cos°—sin夕022cos夕

%=sin夕cose00二2sine

00100

6(x,y,z)=2cosm+2sin新

又因為(2)

一2

F[(x,y,z)=2Q=-(xr+yy)

F2(x,y,z)=-3sin砒+3cos行

利用(2)式可得

_3

F、(x,y,z)=3(p=,,(戲-yx)

k+y

1.10將圓球坐標系中的矢量場;運用直角坐標系中的坐標分

量表示。

解：根據(jù)

sin3cos(pcos。cos。-sin°55sin6cose

%=sinOsin°cosOsin/cos。0=5sinOsin夕

cos。一sin6005cos。

Ff(x,y,z)=x5sin0cos(p+y5sin9sin夕+z5cos。

x-rsin0cos(p

又因為<y=rsin^sin^?(2)

z=rcosO

一5

得耳(%,y.z)=-=====(xx+yy+zz)

yjx+y+z

Raa>)=。=0x/

人i/人八八、

「二/,,,(xx+yy+zz)

Jx+y+z-

0=/,；(方一詞

E(廠,ao)=。=。x/

，/人人、4/八八人、

=廠,廣(xy-yx)x,,(xx+yy+zz)

Jx+y^x2+y2+z-

=-/JT\7l-z(x2+/)+xzr+yzy]

7x2+y2^x2+y2+z2

1.11計算在圓柱坐標系中兩點P(5,n/6,5)和Q(2,萬/3,4)之間的距離。

解：兩點P(5,乃/6,5)和。(2,乃/3,4)之間的距離為

4=J(X|—%)2+(>|一內(nèi)產(chǎn)+91-Zz)?

222

=A/(5XCOS(ZT/6)-2XCOS(^/3))+(5xsin(^/6)-2xsin(^/3))+(5-4)

=J(3.33)2+(0.768,+⑴2=712.69=3.56

1.12空間中同一點上有兩個矢量，取圓柱坐標系，4=30+50—42,8=2。+40+32,

求:(a)4+8；(b)AxB；(c)A和B的單位矢量；(d)A和3之間的夾角；(e)A和3的大

??；⑴A在5上的投影。

解：

(a)H+月=(3+2)萬+(5+4)0+(-4+3)2=5。+9。-2

(c)=1-(3。+5。一4z)=—(2p+4^+3z)

A、*二.y“7.07"”

人B1短即+力+3力

b=—===(2p+4^+3z)

B抄+42+32

(d)A和3之間的夾角

-1

0=cos(「B)-cos-I(———)=68.4。

AB38.077

(e)A和3的大小

A==7.071

B=4B"B；+B：=5.385

(DA在5上的投影

-人1

A?/?=(3Q+50—42)?y^(2Q+40+32)=2.6

1.13矢量場中，取圓柱坐標系，已知在點r(1,乃/2,2)矢量為4=2。+30,在點Q(2,%,3)

矢量為5=—3Q+1O2；求:(a)A+5；(b)A(c)A和3之間的夾角。

解：轉(zhuǎn)換A到直角坐標系

.I—sin^>(5IT/L

.A

Asun^oocs<

OO

A--3x+2y

-100-3

B0-1003x+1Oz

0010

(a)A+B-29+102

(b)A-B=9

(c)A和8之間的夾角

6=cos-1(^-^)=cos-1(^-)=125.7°

AB15.44

1.14計算在圓球坐標系中兩點P(10,乃/4,萬/3)和Q(2,乃/2,外之間的距離及從P點到Q

點的距離矢量。

解：根據(jù)圓球坐標與直角坐標的關系

x=rsin0cos(p

{y=rsinOsin。

z-rcosO

X[=rsin6cos°=1Ox0.707x0.5=3.535

<y]=rsinsin=10x0.707x0.866=6.122

Z]=rcosd=10x0.707=7.07

x2=rsin^cos^=2x1x(-1)=-2

<y2-rsin^sin^?=2xlx=0

z2=rcosd=2x0=0

d=-々尸+(弘一丁2尸+(Z]-22)2

=7(3.535+2)23*68+(6.122)2+(7.07)2=10.87

1.15空間中的同一點上有兩個矢量，取圓球坐標系，A=3r+0+5(p,8=2/一。+40,

求:(a)A+8；(b)A“；(c)A和3的單位矢量；(d)4和B之間的夾角；(e)A和8的

大小；⑴A在8上的投影。

解：(a)4+3=5/+90

(b)A?B=25

(c)A和5的單位矢量

AZ*I人

3=^(3/+6+50)；Z?=^(2f—6+4。)

V35V21

(d)A和8之間的夾角

6=cos-1(無當=cos'1(金-)=22.75°

AB27.11

(e)A和B的大小

A=+由+A；=5.92

8=加+比+用=4.58

(f)A在5上的投影

=(3/+3+50A4(25一。+4。)=5.455

1.16求/'(X,y,Z)二/產(chǎn)％的梯度。

解：V/=x—+y—+z^~=3x2y2zx+2x3yzy+x3y2z

dx.dydi

1.17求標量場三在點（I11）沿方向的變化率。

解:公琮+痔+冬

yi+6+4z2

l,、二(xx-2y+z)

次+V+1

2=xy—2x+4z

J/+y2+]

所以

詈|(1”)=/

1.18由利用圓柱坐標和直角坐標的關系，推導

解：在直角坐標系中

(1)

X=pcos夕

y=psin(p(2)

z二z

P

(p=arctg—(3)

x

(4)

(5)

由（2）、（3）式可得

dp

——=COS（P(6)

dx

__2_

d(px2y1.5、

-=——--=——廣一7=——sine(7)

&1+(')2尸+y-P

X

ep

=sin(p(8)

Sy

1

d(pxx1”、

—=-------=—-----=—cos*(9)

②i+(2)2%+yP

X

由(1)一(5)式得

V0=x——+y——+z——

今4d

人人八八8D人獨

=(Qcose-0sin(p)——+(Qsin0+0cos0)——+2——

dx,dydi

而

加50dpM)d(pSO1S中.

——=-------1-------=---COS69-------sin。

&dpdxd(pdxdppd(p

。①dpd(pd①.13①

——=-----二+------=——SH10+-----COS69

"dpdyd(p8ydppd(p

再由(6)-(9)式可得

VO=(Qcos°_0sino)(—cos(p------sincp)

dppd(p

)

/人.A、/兇.八

十(Qsin0+0cos0)(——sin夕+_L硬cos。)+z——

明pe(pdi

。以高"+足以sin??！?名cosesi”-非以cos*”

dppd(pdppd(p

+Q絲sin”對生。s2/+0旦。s*n°+對生。s源”+把

dppd(pdppd(pdz.

--------------^~Z-

1.19求/（p，8，z）=pcos。的梯度。

解:W旦+01且+2巨=pcos(p-(p^n(p

dppd(pdi

1.20由二，利用圓球坐標和直角坐標的關系，推導

立

---------------——------------------------------------------------O

解：

x=rsinOcosg

<y=rsinOsin夕

z=rcosO

x=rsin6cos0+ecosOcos。-0sin(p

y=rsin9sino+3cos6sin0+0cos。

z=/cosg-Asine

冽)。①drS①dOSOd(p

—=-----1-------1------

Sx,drdxdOdxd(pdx

加。①dr50dO6①d(p

adrdydOdyd(pdy

竺

逸。①drS①dO3①

—=-----1-------1---

didrdzdOdzd(paz

dr

=sincos(p

dx

dr

=sin夕sine

%=S

&1e

co1a

絲-

=r

a

x麗1oos

￥-

-rc

"

1?八

法——sin6

r

麗sincp

axrsin0

麗

￥cos。

rsin^

妞=0

dz

XE>=；v---1^*--Ls—

=(以包+名絲+以絲)(沁in%os°+%os%os°-0sin°)

drdxd0dxd(pdx

+(黎導瑞*瑞凱沁inesino+%"n"cos°)

兇）a”+項ae+加＞3夕

+(■)(/cosg-isin。)

drdz80dzd(pdz

50八人人

=(——sincose)(/sin6cos°+ecosecos夕一0sin0)

dr

13①人人人

+(------cosBcoscp)(/sin，cose+8cos9cos0-0sine)

rd0

-(---^-sin(p)(沁in8cos0+3cosecos0-0sino)

rsin^dtp

50八八八

+(——sinOsin°)(rsin^sincp+^cos^sin(p+(pcos(p)

dr

+(--^cos6sin°)(rsin3sin(p-\-^cos^sin^>+(pcos(p)

rd0

150人八

+(------------cos。)(rsin夕sin夕+，cos6sin0+0cos夕)

rsin0d(p

8中八

+(——cos0)(尸cos。一6sin夕)

dr

13①人

+(--------sin。)(/cos6—Osin夕)

rdO

-------------------------------

1.21求/'(r,。,。)=sinOcos夕的梯度。

解：

\7f=r—+0―-—+(p---------—

drr36rsin6&

=/2rsin8cos°+為cosecos0—伊sin。

1.22求梯度％?其中左為常數(shù)。

解：

T=Q

Vr=r—=r

dr

Nekr=r^—=rkekr

dr

在圓球坐標系中，矢量場附為反力=與尸，其中左為常數(shù)，證明矢量場協(xié)對

1.23

任意閉合曲線/的環(huán)量積分為零，即

,戶，=0。

/

證明：根據(jù)斯托克思定理：

dl=JJVxF^S

/s

rr0rsin60

da

VxF(r\-\v7xx廠r—=0

rrsm0ap

00

所以

p.j/=||VxF</S=O

is

1.23證明(1)(2)

證明：

(1)V2登色蟲+夕且蟲+22蟲

+&+?+dzT

Tdx+2a?甲》?<p2dy<PdzT2dz

=工"①+0①+小例-￡｛戈曳+》名+史｝

dxdydz5~firdydz

擊(5▽①一①▽%)

(2)VF(①)=￡2/+夕色尸+2￡尸

dxdydz

aaa

=xF—O+F^—O+zF—O=尸(①)▽①

dxdydz

HA-JS-

1.24由SA=lim^-------推導*-F=^o

AYT0AVa

解：

<d€^

必rbpdAd(p洱,dpQ(p就

—：-----1：-x------1:------1:------1-

dpdxd(pdxdpdyd(pdy3L

由

29(bpdd。d

二+/~一+(JW)

~wVi0\

名蜘dd茲

-H-7----1-FV=

'WwIV0

TOdd)QddQdQ

-v^+lv(b,soo—+￡y——力uisOsoo——i-v——仍so。力uis+cv——d),uis+

-WzIQIQQ1'

dd)Qddd)gd

SOUS

的呼〃00亍一^—d).soOyH-V^°^JY+小工呼^----+

/dtd)QddqtdQ

‘V^-U【S—+'v——0SO30UIS-----彷UIS0SOOV---------d),S03V——=

1'\Q'I^QzQ

gd>d小Qd.dg

-r^-4-(C^SOOy+duiscy)—dsooy+^sooy+<^uisy)—<^uis+

d)Qddq

(d)uisy-Osooy)—d)uiSy-(d)uisy-Osoo'y)—dsoo=

7ffgd)Q&Qd°XQd)QXQd°

而小而7+語壇+而礪+/至一

d0

Oso。一=

U)UIS=—

dXQ

6^UIS--一

d)Q

Y。

力soo=

雨

Osoo婚+。呼”w=Ay

diisV°°V=V爵

VTiooV

七Io<2>5CE><2klK=》

&|Oi^CI1S—<2>5ODV

(2)

——=sinSeos(p

dx

a-/=sinOsin/

5y

ar=cos8

f/e

菽=-cosOcos(p

r

衫

1八?

^=—cosc/sm^?

1.〃

=——sm8

dzr

d(p_sincp

dxrsin0

d(p_cos(p

dy廠sin。

絲=0

dz

|_-fir^O

eS

3^xdrdAxQ6dAxd(p必)，dr5AyQ0dAyQ(p

drdx50dxd(pdxdrdyd0dyd(pdy

陰一drdA.d0dA.d(p

+--—+—-—+---——

drdzdOdzd(pdz

=sin^cos(p—(sin^cos(pA+cos9cos(pA一sin出)

drr0

+cos^cos(p------(sin^cos(pAr+coscos(pAe-sin@4°)

sin。d

(sinOcosM+cos6cos處0-sin(pA^)

rsin?加

d

+sinsin一(sinOsin出,.+cosOsin(pA+cos出)

dre

+cossin——(sin0sin(pA+cos6sin(pA+cos(pA)

r60r0

COS。U/?C.A八?AA、

+-----z------(sin^sin(pA+cos^sin(pA+cos出)

rsin0&pr0

a

+cos0—(cos0A-sin3A)

drr0

sin63,八4.?、

-------------(cos3A—sin6A)

r30r0

222

-sin^cos(p-^-Ar+sincos^cos(p—A0-sin68s°sin(p-^-A

drdrdr

.2?2日.2.0

+sinOsin(p-Ar4-sin^cos^sin(p—A0+sin^sin^?coscp—

2

4-cos0-Ar-cosOsin。二A。

drdr

+—(sinSeos6cos2(p-A+cos2Seos2cp—A-cos8cos^9sincp-A)

r30r36o30

+—(sinSeosOsin?cp—A+cos2^sin2(p—A4-cosBsin9cos(p—A)

r30r36036

--(sin6cos0—A-sin20-A)

r30r33o

+—(cos2/9cos2(pA-sin/9cos^cos2(pA)

rr0

+—(cos2Osin23A-sincos0sin2(pA)

rr0

1.

+—(sin*-90A+sincos0A)

rrO

aae

12

H---------(-sin^sin^cos^——Ar-cos0sin(pcos(p——Ao+sin(p—A)

rsin^d(p&pap

1/?n。An?CZ.2A\

+--------(sin夕sin/cos?！狝+cos，sin°cos9——A+coscp——A)

usingd(pr的o的

+——-——(sinBsin?(pA+cos0sin2(pA+sin^?cos(pA)

rsin。r0

22

+Ja(sin6cos(pAr+cosgeos(pA0—sin夕cosepA^)

d2sin。。cos。1啊

=—(A)+-A+-------------(4)+--------4+--------------

drrrrrsin^30rsin^rsin^d(p

1d1d1必。

=/萬（廠94）+嬴工為（而?。?嬴工不

1.26計算下列矢量場的散度

b)戶=萬+p(p

b)V-F=-—(pF)+-^+^-=-

p3p'p3(pdz.p

、V7己1。/?CI7、1,4,cos26

c)V-F=——(r-F)d--------(sin此)H-----------=——sindH------

r~drrsin^60rsin。d(prsin0

1.27計算散度(9),▽?￥,▽?(豆后)，其中G為常矢量。

解：

▽.(而)=2

Pdp

ccI口。小日中日①小日.2小1日，孤、1I?①

1.28由V-中二一-+―丁推導▽-<!）=----（夕——）+——-

今242pdp^dpp1前

解：

60dpM>d(p60SO.150

——=-￡-——+—^——=cos0----sine?-----

dxdxdpdxd(pdppd(p

以=%以+生蟲=sine以+cos^l^

dydydpdyd(pdppd(p

a?①a.i5a?.iao

菽=(8S*而-sm*方.)w(c。即法-sm。4而)x

2d2①a,i頡、.id,。①、

=cos"(p——sin0cos0——(----)-sm(p-----(cos?！?

dp2dppd(ppd(pdp

.ia.e①、

+sin^——(zsin^?—)

po(pd(p

a2(p=(sin/+cosj與(sin夕辿+cosj嗎

②2dppd(pdppd(p

,a2o.a」e①、ia'.項、

=sirr2夕——-+sin^cos^—(----)+cos°-----(sin°——)

dpdppd(ppd(pdp

1de①、

+cos(p---(zcos夕—)

pd(pd(p

m小2e之①.a/s①、.idao>、

①=cos**cp——--sin^?cos^?——(----)-sin^9-----(zcos。---)

dpdppd(ppd(pdp

.1a.50)、

+sin^——(zsin^?—)

pd(po(p

.oa2O.dA13/.

+sin-(p——-+sin(pcoscp——(----)+cos*-----(sin。---)

8p~dppd(ppd(pdp

1d3中、

+COS夕一7——(zCOS*——)

pd(pd(p

a2o>.1SO.162O.16①

=——-+sin2-(p------sin^cos^-------+sin^cos^>-----

dp'pdppd(pdpp-d(p

2150).1①.1921於①

+cos(p------Fcos^sin(p--------cosQsin(p----Fcos-(p--——-

pdppd(pdpp-d(pp'd(p'

①131①1。，泊)、1J?①

=^-^+——+-7T=-h(Q=)+2…q2

dp~pdpp-d(p~popoppap

1.29已知

a)f(r)=x2z

b)f(r)=p

c)/(r)=r

求力九

解：

a)小富+篆答?

b)-Ug旦)+上包+宮」

pdpdpp~d(pSL1p

2

、也_1巴20\13「/、1^f_2

c)Vf=——(r—)H---------(sin6—)H-----------=-

r~drdrr~sin^dOdOr~sin_03(p~r

1.30求矢量場穿過由確定的區(qū)域的封閉面的通

量。

解：

解法1：

rp—?—?rp—?—?,r-*—,rp—?—?rp-*一

目FdS=Jj>dS+[j>dS+Jj>"S+JjFdS

sS\S2S3s4

5為半徑為1的圓弧側(cè)面；S2為側(cè)平面；§3下端面；S,上端面。

1n

Jjk?=JJ{pp+0+z2)?zpdcpdz=jjppdcpdz=71

51哥00

i1

jjF-=Jj(pp+0+z2)?(-9)渥z=_jJ(dzdx

y=0

s2s2-10

01

=jt/x-jt/x=0

-10

jp.曲=JJ(而+0+ZZ)

z=().(-z)^=0

S3S3

jp.而=jj(儂+0+ZZ)?(z)pdpdcp=7112

S4S4Z1

，，

1F—?-d—S?=jPi*—j?d—?+Pj/*—jd—?+PJi*Jm—?+/*—?"S—?=3%/2

SS]S?S3S4

解法2：

丹戶=Jjjv?FdV=JJJ3dV=3V=3萬/2

VV

先(<

yz

旦d

￡

一

1.31由(\/乂4)?貸=山工1------推導VxA=金a

分

As—>04AA

yz

解：

1)設立=\,/為邊長為Ay和Az的，中心在(x,y,z)的矩形回路

r_-SAdA

\Adl--4Az-(A、,+--Az)Ay+(A+―-Ay)Az+A、,Ay

I&zdy

=----AzAyH--LA.yAz

&dy

Zdzdy

2)設。=9,/為邊長為Ax和Az的，中心在(x,y,z)的矩形回路

--dA8A

A-dl=-A/ix-(A+—Ar)Az+(A+--Az)Av+AAz

xdxxdz

■也必上+也加

dxdz

1----==---二+—2

Avdxdz

3)設吩=2,/為邊長為Ar和Ay的，中心在(x,y,z)的矩形回路

--dAS4V

A-dl=一A、、Ay-(Av+--Ay)Ac+(Ay+-Ar)Ay+Ax/Sx

dydx

-也A)&+冬g

dydx

\A-di

/盟+外

Avdydx

因此

▽xu￡(一里?+當+興-四+嗎+2(.生+9)

dzdydxdzdydx

<-

元z

g

旦

金a

44

1.32計算矢量場的旋度

解:

AA

xyzXyz

adadea

VxF

3cdydia@di

工F、.工孫2yz-1

=x(-2y)+9(0+0)+z(-x+0)

c人人

=-2yx-xz

1.33計算Vx萬,X7x元▽x(zQ),Vx0

解:

八八A

PP(PZ

萬」

▽x亙亙旦=0

Pdpd(