2013年全國各地中考數學試卷分類匯編：矩形-菱形與正方形58頁

1、2013中考數學 矩形菱形與正方形一、選擇題1（2013江蘇揚州，7，3分）如圖，在菱形ABCD中，BAD=80，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接DF，則CDF等于（ ）A50 B60 C70 D80【答案】B【解析】如圖，連接BF在菱形ABCD中，BAD=80，所以BAF=DAF=40，BAFDAF，ADC=100因為EF的垂直平分AB，所以AF=BF=DF所以ADF=DAF=40CDF=ADCADF=10040=60所以應選B【方法指導】特殊四邊形的性質一直是中考命題的熱點，本題主要考查菱形的性質菱形是：對角線互相垂直且平分；四邊相等；對角線平分對角，每一條對角線平分一組

2、對角【易錯警示】菱形的性質與其它特殊四邊形的性質混淆模糊，記憶不清、混淆是本題易出錯的主要原因2. （2013四川瀘州，11，2分）如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，把沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，已知折痕，且，那么該矩形的周長為（） A72 B36 C20 D16【答案】A【解析】在矩形ABCD中，推理得到BAFEFC由tanEFC，可設BF3x、AB4x，在RtABF中，運用勾股定理得AF5x，ADBC5x，CFBCBF5x3x2x，CECFtanEFC2x，DECDCE4x，在RtADE中，運用勾股定理求得x4，AB4416cm，AD5420（cm），矩形的周長2（16

3、+20）72（cm）【方法指導】本題考查了矩形的對邊相等，四個角都是直角的性質，銳角三角函數，勾股定理的應用，根據正切值設出未知數并表示出圖形中的各線段是關鍵，也是難點所在3. （2013四川雅安，12，3分）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：BEDF，DAF15，AC垂直平分EF，BE+DFEF，SCEF2SABE其中正確的結論有( )個 A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】通過條件可以得出ABEADF而得出BAEDAF，BEDF，由正方形的性質就可以得出ECFC，就可以得出AC垂直平分EF，設ECx，BEy，由勾股定理

4、就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出SCEF和2SABE再通過比較大小而得出結論【方法指導】本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質解題時關鍵4（2013山東德州，7，3分）下列命題中，真命題是A、 對角線相等的四邊形是等腰梯形B、 對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形C、 對角線互相垂直的四邊形是菱形D、 四個角相等的邊形是矩形【答案】D【解析】A、對角線相等的四邊形是等腰梯形，是假命題，如：對角線相等的四邊形可以是矩形等；B、對角線互相垂直且平

5、分的四邊形是正方形是假命題，如：滿足條件的四邊形可以是菱形，但菱形不是正方形哦；D、四個角相等的邊形是矩形是假命題，如：滿足條件的四邊形可以是正方形，但要注意矩形與正方形是一般與特殊關系.【方法指導】本題考查了命題真、假的判斷.實際可以記住我們已經學過的相關定義、定理、數學基本事實等，它們都是真命題.52013山東菏澤，2，3分2.如圖，把一個長方形的紙片按圖示對折兩次，然后剪下一部分，為了得到一個鈍角為120的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數應為（）A15或30B30或45C45或60D30或60(第2題)【答案】D【解析】根據兩次折疊得到新的折痕，要使得到一個鈍角為120的菱形，剪口與第

6、二次折痕所成角的度數可以為30或60【方法指導】本題考查了軸對稱性質、菱形的性質.解答過程可以進行動手操作得出結果.這里同時注意菱形的對角線互相垂直且每條對角線平分一組對角性質的運用.62013山東菏澤，7，3分如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+S2的值為（）S2S1A16 B17C18 D19【答案】B【解析】根據等腰直角三角形、勾股定理先求出面積分別為S1的邊唱是大正方形對角線的，S2正方形的邊長組成直角三角形斜邊長是大正方形對角線的一半.滿分解答：邊長為6的大正方形中，對角線長為.面積為S1小正方邊長為，面積S1=8；小正方S2= ，

7、S1+S2=8+9=17.故選B.【方法指導】本題主要考查正方形性質.熟悉正方形有關性質是解題的關鍵.7.（是真題嗎？）4（2013四川涼山州，9，4分）如圖，菱形中，則以為邊長的正方形的周長為A14B15C16D17BACDFE（第9題圖）【答案】C. 【解析】菱形，AB=BC。，ABC是等邊三角形。AC=AB=4。以為邊長的正e*方形的周長為44=16。【方法指導】本題考查菱形的性質四條邊都相等，等邊三角形的判定，有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。正方形的性質四邊都相等。8（2013湖北宜昌，7，3分）如圖，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD相交于點O，則圖中等腰三角形的個數是

8、（）A8B6C4D2考點：等腰三角形的判定；矩形的性質分析：根據矩形的對角線相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，進而得到等腰三角形解答：解：四邊形ABCD是矩形，AO=BO=CO=DO，ABO，BCO，DCO，ADO都是等腰三角形，故選：C點評：此題主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性質，關鍵是掌握矩形的對角線相等且互相平分9. （2013湖南婁底，6，3分）下列命題中，正確的是（）A平行四邊形的對角線相等B矩形的對角線互相垂直C菱形的對角線互相垂直且平分D梯形的對角線相等考點：命題與定理分析：根據菱形、平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質分別判斷得出即可解答：解：A、根據平行四邊形的對

9、角線互相平分不相等，故此選項錯誤；B、矩形的對角線相等，不互相垂直，故此選項錯誤；C、根據菱形的性質，菱形的對角線互相垂直且平分，故此選項正確；D、根據等腰梯形的對角線相等，故此選項錯誤；故選：C點評：此題主要考查了菱形、平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質，熟練掌握相關定理是解題關鍵10. （2013湖南張家界，6，3分）順次連接等腰梯形四邊中點所得的四邊形一定是（）A矩形B正方形C菱形D直角梯形考點：中點四邊形分析：根據等腰梯形的性質及中位線定理和菱形的判定，可推出四邊形為菱形解答：解：如圖，已知：等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H分別是各邊的中點，求證：四邊形EFGH是

10、菱形證明：連接AC、BDE、F分別是AB、BC的中點，EF=AC同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又四邊形ABCD是等腰梯形，AC=BD，EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH是菱形故選C點評：此題主要考查了等腰梯形的性質，三角形的中位線定理和菱形的判定用到的知識點：等腰梯形的兩底角相等；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；四邊相等的四邊形是菱形11（2013聊城，5，3分）下列命題中的真命題是（）A三個角相等的四邊形是矩形B對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形C順次連接矩形四邊中點得到的四邊形是菱形D正五邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形考點：命題與定理分析：根據矩形、菱

11、形、正方形的判定以及正五邊形的性質得出答案即可解答：解：A根據四個角相等的四邊形是矩形，故此命題是假命題，故此選項錯誤；B根據對角線互相垂直、互相平分且相等的四邊形是正方形，故此命題是假命題，故此選項錯誤；C順次連接矩形四邊中點得到的四邊形是菱形，故此命題是真命題，故此選項正確；D正五邊形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故此命題是假命題，故此選項錯誤點評：此題主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五邊形的性質等知識，熟練掌握相關定理是解題關鍵12（2013東營，12，3分）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：（1）AE=BF；（2

12、）AEBF；（3）AO=OE；（4）中正確的有（ ）F（第12題圖）ABCDOEA4個B3個C2個D1個答案：B解析：在正方形ABCD中，因為CE=DF，所以AF=DE，又因為AB=AD，所以，所以AE=BF，因為，所以，即，所以AEBF，因為S四邊形DEOF，所以 S四邊形DEOF，故（1），（2），（4）正確13（2013濟寧，9，3分）如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對角線交于點O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對角線交于點O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；依此類推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（）A cm2 B cm2 Ccm2 Dcm2考點：矩

13、形的性質；平行四邊形的性質專題：規(guī)律型分析：根據矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分可得下一個圖形的面積是上一個圖形的面積的，然后求解即可解答：解：設矩形ABCD的面積為S=20cm2，O為矩形ABCD的對角線的交點，平行四邊形AOC1B底邊AB上的高等于BC的，平行四邊形AOC1B的面積=S，平行四邊形AOC1B的對角線交于點O1，平行四邊形AO1C2B的邊AB上的高等于平行四邊形AOC1B底邊AB上的高的，平行四邊形AO1C2B的面積=S=，依此類推，平行四邊形AO4C5B的面積=cm2故選B點評：本題考查了矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分的性質，得到下一個圖形

14、的面積是上一個圖形的面積的是解題的關鍵14.（2013陜西，9，3分）如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC是，連接BM、DN，若四邊形MBND是菱形，則等于 （ ）A B C D考點：矩形的性質及菱形的性質應用。解析：矩形的性質應用較為常見的就是轉化成直角三角形來解決問題，菱形的性質應用較常見的是四條邊相等或者對角線的性質應用。此題中求的是線段的比值，所以在解決過程中取特殊值法較為簡單。設AB=1，則AD=2，因為四邊形MBND是菱形，所以MB=MD，又因為矩形ABCD，所以A=90，設AM=x,則MB=2-x，由勾股定理得：AB2+AM2=MB2，所以xBCDA第

15、9題圖MN2+12=(2-x)2解得：，所以MD=，故選C15.（2013四川綿陽，6，3分）下列說法正確的是（ D ）D對角線相等且互相平分的四邊形是矩形解析由矩形的性質可知，只有D正確。平行四邊形的對角線是互相平行，菱形的對角線互相平分且垂直，故A、C錯，等腰梯形的對角線相等B也錯。16.（2013四川綿陽， 10，3分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC=8cm，BD=6cm，DHAB于點H，且DH與AC交于G，則GH=（ B ）A B C D解析OA=4，OB=3，AB=5，BDHBOA，BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，AH=AB-BH=5-1

16、8/5=7/5，AGHABO，GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5 / 4，GH=21/20。17（2013貴州省六盤水，7，3分）在平面中，下列命題為真命題的是（）A四個角相等的四邊形是矩形B對角線垂直的四邊形是菱形C對角線相等的四邊形是矩形D四邊相等的四邊形是正方形考點：命題與定理分析：分別根據矩形、菱形、正方形的判定與性質分別判斷得出即可解答：解：A、根據四邊形的內角和得出，四個角相等的四邊形即四個內角是直角，故此四邊形是矩形，故此選項正確；B、只有對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故此選項錯誤；C、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故此選項錯誤；D、四邊相等的四邊形是菱形，故此

17、選項錯誤故選：A點評：此題主要考查了矩形、菱形、正方形的判定與性質，正確把握相關定理是解題關鍵18（2013河北省，11，3分）如圖4，菱形ABCD中，點M，N在AC上，MEAD， NFAB. 若NF = NM = 2，ME = 3，則AN =A3B4C5 D6答案：B解析：由AFNAEM，得：，即，解得：AN4，選B。19（2013河北省，12，3分）如已知：線段AB，BC，ABC = 90. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是A兩人都對B兩人都不對C甲對，乙不對 D甲不對，乙對答案：A解析：對于甲：由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形及角B為

18、90度，知ABCD是矩形，正確；對于乙：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形及角B為90度，可判斷ABCD是矩形，故都正確，選A。二、填空題1（2013廣東廣州，15，3分）如圖6，RtABC的斜邊AB=16, RtABC繞點O順時針旋轉后得到，則的斜邊上的中線的長度為_ .【答案】 8.【解析】旋轉是全等變換，所以所以RtABC與全等，且=CD，RtABC的斜邊AB=16，CD=8，=8，答案填8.【方法指導】在幾何圖形變換中，平移、軸對稱、對折、旋轉、中心對稱等都是全等變換，所以，對應邊、對應角、對應邊的中線、高和對應角平分線等都相等2（2013山東德州，17，4分）如圖，在正方形ABCD中

19、，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：CECFAEB750BE+DFEFS正方形ABCD2+，其中正確的序號是 。（把你認為正確的都填上）【答案】.【解析】在正方形ABCD與等邊三角形AEF中，AB=BC=CD=DA，AE=EF=AF，ABEADF，DF=BE，有DC-DF=BC-BE，即 CECF，正確；CE=CF，C=90，F(xiàn)EC=45，而AEF=60，AEB180-60-45=75，正確；根據分析BE+DFEF，不正確；在等腰直角三角形CEF中，CE=CF=EFsin45=.在RtADF中，設AD=x，則DF=x-，根據勾股定理可得，解得，x1=，（舍去）

20、. 所以正方形ABCD面積為=2+，正確.【方法指導】本題考查正方形與等邊三角形.本題涉及正方形、等邊三角形相關知識，同時應用勾股定理、全等三角形等解題.具有一定的綜合性.解題的關鍵是對所給命題運用相關知識逐一驗證.3（2013江蘇泰州，13，3分）對角線互相_的平行四邊形是菱形.【答案】垂直【解析】根據菱形的判定條件，其中有“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”.【方法指導】掌握菱形的判定與性質，我們可以從邊、角、對角線、對稱性這幾個方面概括與總結，形成系統(tǒng)知識，便于復習鞏固.4（2013江蘇蘇州，17，3分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A，C分別在x，y軸

21、的正半軸上點Q在對角線OB上，且OQOC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P，則點P的坐標為( ， )【答案】(2，42)【解析】分析：根據正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出BPQ和OCQ相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標解：四邊形OABC是邊長為2的正方形，OA=OC=2，OB=2QO=OC，BQ=OBOQ=22正方形OABC的邊ABOC，BPQOCQ=，即=解得BP=22AP=ABBP=2（22）=42點P的坐標為（2，42）所以應填2，42【方法指導】本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的對角線等于邊長的倍的性質，以及

22、坐標與圖形的性質，比較簡單，利用相似三角形的對應邊成比例求出BP的長是解題的關鍵【易錯警示】本題是綜合題，掌握所用知識不全面而出錯5（2013江蘇蘇州，18，3分）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將ADE沿AE折疊后得到AFE，且點F在矩形ABCD內部將AF延長交邊BC于點G若，則 （用含k的代數式表示）【答案】【解析】分析：根據中點定義可得DE=CE，再根據翻折的性質可得DE=EF，AF=AD，AFE=D=90，從而得到CE=EF，連接EG，利用“HL”證明RtECG和RtEFG全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FG，設CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根據矩形的對邊相

23、等可得AD=BC，從而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可解：點E是邊CD的中點，DE=CE將ADE沿AE折疊后得到AFE，DE=EF，AF=AD，AFE=D=90CE=EF如圖，連接EG在RtECG和RtEFG中，EG=EG，CE=EF，RtECGRtEFG（HL），CG=FG設CG=a，GB=ka，BC=CG+BG=a+ka=a（k+1）在矩形ABCD中，AD=BC=a（k+1）AF=a（k+1）AG=AF+FG=a（k+1）+a=a（k+2）在RtABG中，AB=2a=所以應填【方法指導】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，以及翻折變

24、換的性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵【易錯警示】本題綜合性很強，不能綜合運用所學知識很容易出錯6. （2013江蘇揚州，17，3分）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為 【答案】6【解析】分析：設矩形一條邊長為x，則另一條邊長為x2，然后根據勾股定理列出方程式求出x的值，繼而可求出矩形的面積解：設矩形一條邊長為x，則另一條邊長為x2由勾股定理得，x2(x2)2=42整理得，x22x6=0解得：x=1或x=1（不合題意，舍去）另一邊為：1則矩形的面積為：（1）（1）=6所以應填6【方法指導】本題考查了勾股定理及矩形的性質，難度適中，解答本題的關鍵是根據勾股定理

25、列出等式求處矩形的邊長，要求同學們掌握矩形面積的求法【易錯警示】解題時，用勾股定理可能出錯，解一元二次方程可能出錯7（2013山東臨沂，17，3分）如圖，菱形ABCD中，AB4，B60，AEBC，AFCD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則AEF的面積是_ABCDEF【答案】【解析】AEF是等邊三角形，邊長為，所以該三角形的面積為。【方法指導】利用全等三角形的性質可知AE=AF，利用直角三角形的性質得到BAE=30，所以EAF=60。8.(2013山東煙臺，18,3分)如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFCB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫弧AC，連結AF,CF則圖中陰影

26、部分面積為_.9. （2013福建福州，12，4分）矩形的外角和等于_度【答案】360【解析】根據任意多邊形的外角和都為360即可得出答案【方法指導】本題考查了多邊形的外角和，多邊形的外角和與邊數無關，任何多邊形的外角和都是360計算時，要熟記吆！【答案】【解析】利用兩次三角形全等把不規(guī)則圖形的面積轉化成扇形的面積，注意化歸思想方法的運用.在AB上截取AH=EF，連接EH交AF于點G，則EFAHHAG=GFE，又AGH=FGEAHGFEGAH=EF=BE,又AB=BC，BH=CE又HBG=CEFHBGCEFAB=4，S陰=S扇形ABC=4. 【方法指導】本題考查了正方形的性質、扇形的面積公式、

27、不規(guī)則圖形的面積、全等三角形.本題要求的陰影部分面積是不規(guī)則圖形，在解題過程中要善于運用化歸思想通過三角形全等把不規(guī)則圖形轉化成規(guī)則的圖形然后利用面積公式即可求解.10. (2013湖南邵陽,18,3分)如圖(六)所示，將ABC繞AC的中點O順時針旋轉180得到CDA，添加一個條件_，使四邊形ABCD為矩形.圖（六）【答案】:B=90(答案不唯一)【解析】：ABC繞AC的中點O順時針旋轉180得到CDA，AB=CD，BAC=DCA，ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，當B=90時，平行四邊形ABCD為矩形，添加的條件為B=90故答案為B=90【方法指導】：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形

28、全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角也考查了矩形的判定11（2013江西，10，3分）如圖，矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點M、N，連接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，則圖中陰影部分的面積為 【答案】 2.【解析】 BCN與ADM全等，面積也相等，口DFMN與口BEMN的面積也相等，所以陰影部分的面積其實就是原矩形面積的一半 ，即陰影部分的面積為.【方法指導】 仔細觀察圖形特點，搞清部分與整體的關系，把不規(guī)則的圖形轉化為規(guī)則的來計算.12（2013廣西欽州，18，3分）如圖，在正方形ABCD中，

29、E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是10考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質分析：由正方形性質的得出B、D關于AC對稱，根據兩點之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小，進而利用勾股定理求出即可解答：解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PB+PE的值最小四邊形ABCD是正方形，B、D關于AC對稱，PB=PD，PB+PE=PD+PE=DEBE=2，AE=3BE，AE=6，AB=8，DE=10，故PB+PE的最小值是10故答案為：10點評：本題考查了軸對稱最短路線問題，正方形的性質，解此題通常是利用兩點之

30、間，線段最短的性質得出13 2013湖南邵陽，18，3分如圖(六)所示，將ABC繞AC的中點O順時針旋轉180得到CDA，添加一個條件_，使四邊形ABCD為矩形.圖（六）知識考點：矩形的判定. 審題要津：由題意可知四邊形ABCD是平行四邊形，只要滿足“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”即可得到答案.滿分解答：解：四邊形ABCD是平行四邊形，若B=90，則平行四邊形ABCD為矩形.故答案為B=90. 名師點評：熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵.ABCDB1CD14. （2013江蘇南京，11，2分） 如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形ABCD的位置， 旋轉角為a (0a90)。若1=1

31、10，則a= 。答案：20解析：錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。，延長錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。交CD于E，則錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。=20，錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。ED=160，由四邊形的內角和為360，可得a=2015 . （2013江蘇南京，12，2分） 如圖，將菱形紙片ABCD折迭，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF。若菱形ABCD的邊長為2 cm， A=120，則EF= cm。答案：解析：點A恰好落在菱形的對稱中心O處，如圖，P為AO中點，所以E為A職點，AE1，EAO=60，EP錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。，所以，EF16（2013濰坊

32、，14，3分）如圖，ABCD是對角線互相垂直的四邊形，且OBOD，請你添加一個適當的條件 _，使ABCD成為菱形（只需添加一個即可）答案：OAOC或ADBC或AD/BC或ABBC等考點：菱形的判別方法點評：此題屬于開放題型，答案不唯一主要考查了菱形的判定，關鍵是掌握菱形的判定定理17. （2013嘉興5分）如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點E出發(fā)沿直線向點F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角當小球P第一次碰到點E時，小球P與正方形的邊碰撞的次數為6，小球P所經過的路程為【思路分析】根據已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的

33、正切值為，通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數再由勾股定理就可以求出小球經過的路徑的總長度【解析】根據已知中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，第一次碰撞點為F，在反射的過程中，根據入射角等于反射角及平行關系的三角形的相似可得第二次碰撞點為G，在DA上，且DG=DA，第三次碰撞點為H，在DC上，且DH=DC，第四次碰撞點為M，在CB上，且CM=BC，第五次碰撞點為N，在DA上，且AN=AD，第六次回到E點，AE=AB由勾股定理可以得出EF=，F(xiàn)G=，GH=，HM=，MN=，NE=，故小球經過的路程為：+=6，故答案為：6，6【方法指導】本題主要考查了反射原理與三角形相

34、似知識的運用通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數，由勾股定理來確定小球經過的路程，是一道學科綜合試題，屬于難題18. 2013浙江麗水4分如圖，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，其中點C在AF上，點E，G分別在BC，CD上，若BAD=135，EAG=75，則=_19.（2013四川綿陽，16，4分）對正方形ABCD進行分割，如圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點，沿分化線可以剪出一副“七巧板”，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的“飛機”。若GOM的面積為1，則“飛機”的面積為 14 。解析連接AC，四邊形A

35、BCD是正方形，ACBD，E、F分別BC、CD的中點，EF/BD，ACEF，CF=CE，EFC是等腰直角三角形，直線AC是EFC底邊上的高所在直線，根據等腰三角形“三線合一”，AC必過EF的中點G，點A、O、G和C在同一條直線上，OC=OB=OD，OCOB，F(xiàn)G是DCO的中位線，OG=CG= OC, M、N分別是OB、OD的中點，OM=BM= OB，ON=DN= OD，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形GOM的面積為1，OMOG=OM2=1，OM=,BD=4 OM=4,2AD2= BD2=32,AD=4,圖2中飛機面積圖1中多邊形ABEFD的面積，飛機面積=正方形ABCD面積

36、-三角形CEF面積=16-2=14。20.（2013四川內江，16，5分）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值=5考點：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質分析：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出OC、OB，根據勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案解答：解：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，四邊形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，MQBD，ACMQ，M為BC中

37、點，Q為AB中點，N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，BQCD，BQ=CN，四邊形BQNC是平行四邊形，NQ=BC，四邊形ABCD是菱形，CO=AC=3，BO=BD=4，在RtBOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案為：5點評：本題考查了軸對稱最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據軸對稱找出P的位置21（2013貴州省黔西南州，17，3分）如圖所示，菱形ABCD的邊長為4，且AEBC于E，AFCD于F，B=60，則菱形的面積為考點：菱形的性質分析：根據已知條件解直角三角形ABE可求出AE的長，再由菱形

38、的面積等于底高計算即可解答：解：菱形ABCD的邊長為4，AB=BC=4，AEBC于E，B=60，sinB=，AE=2，菱形的面積=42=8，故答案為8點評：本題考查了菱形的性質：四邊相等以及特殊角的三角函數值和菱形面積公式的運用22（2013河南省，15，3分）如圖，矩形中，,點是邊上一點，連接，把沿折疊，使點落在點處，當為直角三角形時，的長為 【解析】當時，由題可知：,即：在同一直線上，落在對角線上，此時，設，則，在中，解得當時，即落在上，此時在中，斜邊大于直角邊，因此這種情況不成立。當時，即落在上，此時四邊形是正方形，所以【答案】23（2013黑龍江省哈爾濱市，20）如圖。矩形ABCD的對

39、角線AC、BD相交于點0，過點O作OEAC交AB于E,若BC=4，AOE的面積為5，則sinBOE的值為 考點：線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質。解直角三角形分析：本題利用三角形的面積計算此題考查了矩形的性質、垂直平分線的性質以及勾股定理及解直角三角形注意數形結合思想的應用，此題綜合性較強，難度較大，解答：由AOE的面積為5，找此三角形的高，作OHAE于E,得OHBC,AH=BH,由三角形的中位線BC=4 OH=2，從而AE=5，連接CE,由AO=OC, OEAC得EO是AC的垂直平分線，AE=CE，在直角三角形EBC中，BC=4,AE=5, 勾股定理得EB=3，AB=8，在直角三角

40、形ABC中，勾股定理得AC=,BO=AC=,作EMBO于M,在直角三角形EBM中,EM=BEsinABD=3=，BM= BEcosABD=3=,從而OM=,在直角三角形E0M中，勾股定理得OE=,sinBOE=三、解答題1. （2013重慶市(A)，24，10分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AECF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BEBF，BEF2BAC（1）求證：OEOF；（2）若BC，求AB的長【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ABCDOAEOCF，OEAOFCAECF，AEOCFO（ASA）OEOF（2）連接BOOEOF，BEBF，BOE

41、F，且EBOFBOBOF90四邊形ABCD是矩形，BCF90又BEF2BAC，BEFBACEOA， BACEOAAEOEAECF，OEOF， OFCF又BFBF，BOFBCF（HL）OBFCBFCBFFBOOBEABC90，OBE30BEO60BAC30tanBAC，tan30，即，AB6【解析】（1）證明AEOCFO解決（2）連接BO，根據等腰三角形“三線合一”的性質，得FBOEBO，然后證明BOFBCF，得FBOFBC，直至證得BAC30后，運用解直角三角形知識求解【方法指導】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，解直角三角形以往考題中，與本題圖形相關的問題多

42、是告訴點O是對角線AC的中點，得以產生AEOCFO，可得AECF，而本題一改這種命題形式，將AECF當作條件呈現(xiàn)，讓學生證明OEOF，顯得精巧細致，同時也為后面等腰三角形“三線合一”性質的應用創(chuàng)造了條件，進而通過BEF2BAC 這一條件，貫通已知與未知的聯(lián)系，是一道不可多得的好的直線型幾何綜合題2.（2013湖北黃岡，17，6分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DHAB于H，連接OH，求證：DHODCO【答案】證明：四邊形ABCD是菱形， ODOB，COD90 DHAB于H， DHB90 OHBDOB OHBOBH 又ABCD， OBHODC OHBODC 在RtCOD

43、中，ODCOCD90， 在RtDHB中，DHOOHB90， DHODCO【解析】根據菱形的對邊平行，對角線互相垂直，易知OBHODC，ODCDCO90再根據菱形的對角線互相平分及DHAB，易證OHBOBH，OHBDHO90最后根據等角的余角相等證得DHODCO【方法指導】本題考查菱形的性質、直角三角形的性質及等角的余角相等熟練掌握相關幾何知識是求解關鍵解答本題也可通過證明DHOODHDCO解決，這可由ODHDBH90，ODCDCO90，DBHODC及OHBDOD證得3（2013江蘇蘇州，28，8分）如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長BP

44、交邊AD于點F，交CD的延長線于點G（1）求證：APBAPD；（2）已知DFFA12，設線段DP的長為x，線段PF的長為y求y與x的函數關系式；當x6時，求線段FG的長【思路分析】（1）要證明APBAPD，只要根據菱形的鄰邊相等、一條對角線平分一組對角，用“邊角邊”證明即可；（2）根據菱形的性質證明AFPCBP，將DFFA12變形，得AFAD23，即AFBC23，進一步可以得出y與x的函數關系式；先求出當x6時y的值，再證明DFGAFB，從而可以求出線段FG的長【解】【方法指導】本題考查了相似三角形的判定和菱形的性質特殊四邊形的性質和判定一直是中考命題的熱點，常用的菱形的性質有：菱形的四條邊相

45、等；菱形的對角線互相垂直平分；菱形的一條對角線平分一組對角【易錯警示】不會運用菱形的一條對角線平分一組對角就不會證明三角形全等，不會運用菱形的性質證明三角形相似就解決不了問題4. （2013江蘇揚州，23，10分）如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉90至CE位置，連接AE（1）求證：ABAE；（2）若BC2=ADAB，求證：四邊形ADCE為正方形【思路分析】（1）根據旋轉的性質得到DCE=90，CD=CE，利用等角的余角相等得BCD=ACE，然后根據“SAS”可判斷BCDACE，則B=CAE=45，所以DAE=90，即可得到結論；（

46、2）由于BC=AC，則AC2=ADAB，根據相似三角形的判定方法得到DACCAB，則CDA=BCA=90，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形【解】證明：（1）在ABC中，ACB=90，AC=BC，BAC=B=45由旋轉得DC=EC，且DCE=ACB=90，即BCD+ACD =ACE+ACD，BCD =ACE.在BCD和ACE中，BCDACE.CAE=B=CAE=45.又BAC=45，BAE=BAC +CAE =90，ABAE.（2）AC=BC,若BC=ADAB,則AC=ADAB,即,又CAD=BAC.ACDABC，ADC=ACB =90.四邊形ADCE是矩形

47、(三個角都是直角的四邊形是矩形).再由DC=CE，可得四邊形ADCE是正方形.【方法指導】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角也考查了等腰直角三角形的性質、三角形全等、相似的判定與性質以及正方形的判定【易錯警示】證明四邊形ADCE是矩形、菱形的條件不夠，從而感覺無從入手5.（2013貴州安順，23，12分）如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點。BE=2DE，延長DE到點F，使得EF=BE，連接CF.（1）求證：四邊形BCFE是菱形；（2）若CE=4，BCF=120，求菱形BCFE的面積.【思路分析】從所給的條件

48、可知，DE是ABC中位線，所以DEBC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因為BE=FE，所以是菱形；BCF是120，所以EBC為60，所以菱形的邊長也為4，求出菱形的高面積就可求【解】（1）證明：D、E分別是AB、AC的中點，DEBC，BC=2DE，又BE=2DE，EF=BE，BC=BE=EF，EFBC，四邊形BCFE是菱形；(6分)（2）解：連接BF交CE于點O.在菱形BCFE中，BCF=120，CE=4，BFCE，BCO=BCF=60，OC=CE=2。在RtBOC中，tan60=,OB=2tan60,BF=4tan60。菱形BCFE的面積=CEBF

49、=44tan60=8.（12分）【方法指導】本題考查菱形的判定和性質以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計算等知識點6（2013山東臨沂，22，7分）如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF（1）求證：AFDC；（2）若ABAC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論ABCDEF【解析】證明：（1）E是AD的中點，AEEDAFBC，AFEDBE，F(xiàn)AEBDE，AFEDBE，AFDBAD是BC邊上的中線，DBDC，AFDC（2）四邊形ADCF是菱形理由：由（1）知，AFDC，AFCD，四邊形ADCF是平行四邊形又ABAC，ABC是直角三角形AD是BC邊上的中線，ADBCDC平行四邊形ADCF是菱形【方法指導】利用全等三角形的性質得出相等的線段，根據題目中的條件和三角形中線的性質，可以判定四邊形為菱形。7（2013廣東廣州，18，9分）如圖8，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的長.【思路分析】因為菱形的對角線互相垂直，在RtAOB中，已知兩條邊，由勾股定理可求出第三邊，進而求得答案.【解】四邊形ABCD是菱形，ACBD，且BO=DO在RtAOB中，AB=5，AO=4，由勾股定理，得BO=3BD=6【方法指導】解決菱形的對角線的相關問題，通常都是先根