2020年吉林省長春市高考數(shù)學四模試卷(理科)

1、2020 年吉林省長春市高考數(shù)學四模試卷（理科）一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0分）20 ，則 ?(?)= ( )1. 設集合 ?= ?|? 1 ，?= ?|?A.C.?|?| 1?|? 1?|? -1 或 0 ? 12. 在等比數(shù)列 ? 中， ? =3，? = 6，則 ? = ()?369A. 19B. 121C. 9D. 123. 設復數(shù) ?= ?+ ?，(?,?)，下列說法正確的是 ( )A. z 的虛部是 yi2 2B. ? = |?|C. 若 ?= 0，則復數(shù) z 為純虛數(shù)D. 若 z 滿足 |?-?|= 1，則 z在復平面內(nèi)對應點 (?,?)的軌跡是圓4.樹立勞動觀念對

2、人的健康成長至關重要，某實踐小組共有4 名男生， 2名女生，現(xiàn)從中選出4 人參加校園植樹活動，其中至少有一名女生的選法共有( )A. 8種B. 9種C. 12種D.14 種?1?5.若 sin(?+8) =3，則 sin(2? - 4) = ()227D.7A.- 9B. 9C.-996. 田徑比賽跳高項目中，在橫桿高度設定后，運動員有三次試跳機會，只要有一次試跳成功即完成本輪比賽 在某學校運動會跳高決賽中， 某跳高運動員成功越過現(xiàn)有高度即可成為本次比賽的冠軍， 結(jié)合平時訓練數(shù)據(jù)， 每次試跳他能成功越過這個高度的概率為 0.8( 每次試跳之間互不影響 ) ，則本次比賽他獲得冠軍的概率是 ( )

3、A. 0.832B. 0.920C. 0.960D. 0.9927.已知 ?= log 52 ， ?= log 0.5 0.2， ?= ln(?2)，則 a， b， c 的大小關系是 ()A. ? ? ?B. ? ? ?C. ? ? ?D. ? ? 0) 的焦點、 兩點，若 3|?|=|?|?|， O 為坐標原點，則 |?|= ( )43C. 45A. 3B. 4D. 4第1頁，共 16頁11.函數(shù) ?(?)= sin(?+ ?)的部分圖象如圖中實線所示，圖中的圓C 與 ?(?)的圖象交于 M，N 兩點，且M 在 y 軸上，則下列說法中正確的是()4 函數(shù) ?(?)的圖象關于點 (,0) 成中

4、心對稱；311 函數(shù) ?(?)在 (-2 , - 6) 上單調(diào)遞；31 圓 C 的面積為 36 ?.A. B. C. D. 12.?-?2?(?)的圖象在點 ?(?,1?(?),1?(-?1 ,?(-?1)函數(shù) ?(?)= ?+ ?+ ?-處兩條切線的交點 ?(?一定滿足 ( )A. ?00, ?)0D.= 0B.0C.00?= ?= 0?= ?二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）2213.雙曲線?-?=1(?0, ?0)的離心率為2，則漸近線方程是 _22?14. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入?-1,3 ，則輸出 s的取值范圍是 _15.?已知向量 ?= (0,1),| ?|=

5、7, ?= 1，則 ?面積為 _16.已知正方體 ?-?1 ?1?11的棱長為 2，點 M， N 分別是棱 BC，?的中點，則1二面角 ?- ?- ?的余弦值為_.若動點P 在正方形 ?(包括邊界 ) 內(nèi)運動，1?1且 ?的長度范圍是_1 / 平面 AMN ，則線段 ?1第2頁，共 16頁三、解答題（本大題共7 小題，共 82.0 分）17. 已知數(shù)列 ? 是等比數(shù)列，且公比q 不等于?1，數(shù)列 ? 滿足 ? = 2 ?( ) 求證：數(shù)列 ? 是等差數(shù)列；?( ) 若?1 = 2， 3? = 2? + ?4，求數(shù)列1的前 n 項和 ? ?2 ?+118.如圖，四棱錐 ?- ?中，底面 ABCD

6、 為梯形， ?/?， ?= 90 ，點 E 為1PB 的中點，且 ?= 2?= 2?= 4，點 F 在 CD 上，且 ?= 3 ?( ) 求證： ?/平面 PAD ；( ) 若平面 ?平面 ABCD ， ?= ?且?，求直線 PA 與平面 PBF 所成角的正弦值219. 已知橢圓C：?2與 x 軸正半軸交于點A，與 y 軸交于 B、 C2+?=1兩點( ) 求過 A，B， C 三點的圓 E 的方程；( ) 若 O 為坐標原點，直線l 與橢圓 C 和 ( ) 中的圓 E 分別相切于點P 和點 ?(?,Q第3頁，共 16頁不重合 ) ，求直線 OP 與直線 EQ 的斜率之積20.某大型公司為了切實

7、保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次 NCP 普查，為此需要抽驗 1000 人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案方案 ：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000 次方案 ：按 k 個人一組進行隨機分組，把從每組k 個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這k 個人的血只需檢驗一次(這時認為每個人的血化驗1次 ) ；否則，若呈陽性，則需對這k 個人的血樣再分別?進行一次化驗，這樣，該組k 個人的血總共需要化驗?+ 1 次假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為p，且這些人之間的試驗反應

8、相互獨立(1) 設方案 中，某組k 個人的每個人的血化驗次數(shù)為X，求 X 的分布列；(2) 設?= 0.1，試比較方案 中， k 分別取 2， 3， 4 時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案 ，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))2?21. 已知函數(shù) , ?(?)= ?2?- , ?( ) 若函數(shù) ?(?)在 ?=?a 的值；處有最大值，求2( ) 當? ?時，判斷 ?(?)的零點個數(shù)，并說明理由22. 在平面直角坐標系xOy 中，曲線 ?1的參數(shù)方程為 ?= 1 + cos?= sin?(?為參數(shù) )，以坐標原點 O 為極點， x 軸非負半軸為

9、極軸建立極坐標系，點在線段 OA 的延長線上，且滿足 |?|?|?|= 8 ，點( ) 求曲線 ?， ?的極坐標方程；12A 為曲線 ?上的動點，點B1B 的軌跡為 ?2第4頁，共 16頁3?( ) 設點 M 的極坐標為 (2, 2 ) ，求 ?面積的最小值23. 已知函數(shù) ?(?)= |2?- 3| + |2?+ 3| ( ) 解不等式 ?(?) 8 ：( ) 設?時，?(?)的最小值為 ?.若實數(shù)ab c22， ， 滿足 ?+ ?+ 2?=?，求? + ? +2 的最小值?第5頁，共 16頁答案和解析1.【答案】 B【解析】 解： ?= ?|- 1 ? 1 ；?= ?|? 1 ；?(?)

10、= ?|? 1 故選： B可解出集合A，然后進行并集、補集的運算即可本題主要考查描述法、區(qū)間的定義，一元二次不等式的解法，以及并集、補集的運算2.【答案】 D【解析】 解：根據(jù)題意，在等比數(shù)列?中， ? =3，? = 6，?36則有 (?2?(?6 ) 236，變形可得=? =3=12；96) = ?3?93故選： D根據(jù)題意，由等比中項的性質(zhì)可得(?2= ?3 ?9，變形計算可得答案6)本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應用，注意等比中項的定義，屬于基礎題3.【答案】 D【解析】 【分析】本題考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)的模以及軌跡方程的判斷，屬于基礎題利用復數(shù)的基本概念，復數(shù)的模以及軌跡方程判斷選項的

11、正誤即可【解答】解：復數(shù) ?= ?+ ?，(?,?)， z 的虛部是y，故 A 不正確；22B 不正確；? = |?| ，不正確，因為左側(cè)是復數(shù)，右側(cè)是實數(shù)，故若 ?= 0，并且 ? 0 ，則復數(shù) z 為純虛數(shù)，故C 不正確；若 z滿足 |?- ?|= 1 ，則 z在復平面內(nèi)對應點(?,?)的軌跡是以 (0,1) 為圓心，半徑為1 的圓，故 D 正確故選： D4.【答案】 D【解析】 解：分兩類，第一類， 1名女生 3 名男生，有 ?21 ?43 = 8種，第二類， 2 名女生 2 名男生，有 ? 42= 6 種，根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有 8 + 6= 14種故選： D分兩類，第一類， 1 名

12、女生 3 名男生，有?12 ?34= 8種，第二類，2 名女生 2 名男生，有 ?24 = 6 種，根據(jù)分類計數(shù)原理可得本題考查分類計數(shù)原理，考查分類討論，屬于基礎題目5.【答案】 C【解析】 解： sin(? +?18)=3，?2?127cos(2?+ 4 ) = 1 - 2?(?+8)= 1- 2(3)=，9?7，sin 2 - (2?+4 ) = sin( 4 - 2?)= cos(2?+4 ) =9第6頁，共 16頁?7sin(2? - 4 ) = -sin( 4 - 2?)= - 9故選： C?由已知利用二倍角公式可求cos(2?+ 4 ) 的值，利用誘導公式可求sin 2 - (2

13、?+ 4)=?7，根據(jù)誘導公式可求sin(2? - ?2?) = -7，sin( 4 - 2?)=cos(2?+ 4 ) = 94 ) = -sin( 4 -9由此得解本題主要考查了誘導公式， 二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用， 考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題6.【答案】 D【解析】 解：每次試跳他能成功越過這個高度的概率為0.8，則本次比賽他獲得冠軍的概率 ?= 0.8 + 0.2 0.8 + 0.22 0.8 = 0.8 + 0.16 + 0.032 = 0.992故選： D結(jié)合題意可知， 他能獲得概率對應的事件為第一次能通過或第一次沒通過， 第二次通過，前兩次沒通過，第三次通過，然后結(jié)合

14、獨立事件的概率公式可求本題主要考查了n 次獨立事件恰好發(fā)生k 次的概率公式，屬于基礎試題7.【答案】 D【解析】 解：0 = log 5 1 log 5 2 log 0.5 0.5 = 1 ，0 ?2 1， ln(?2) 0，? ? ?故選： D可以得出 0 log 52 1，ln(?2) 0，所以 ?= ? ?1+1-2?(?-?)22?sin?sinsin?sin?故選： A利用正弦定理求出AB，再結(jié)合選項化簡即可得出答案本題考查了解三角形的應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題10.【答案】 A【解析】解：過 A 作 ?準線，過 B 作 ?準線，過 A 作?交 BG 于點 D，交 y

15、軸于點 C設 |?|= ?，則 |?|= 3?，?(0,2) ，準線： ?= - 2 ，根據(jù)拋物線性質(zhì)得：|?|=|?|= ?， |?|= |?|= 3?，|?|= ?+ 3?= 4?，|?|= 3?- ?= 2?， |?|=?- ?，由圖可知：?-?=，即4?=，?2?解得 ?=23 ?，2?4則?= 13=? 2?3故選： A根據(jù)條件畫出示意圖， 設|?|= ?，則 |?|= 3?，利用?=，求出 x，進而求出比值?本題考查拋物線中兩線段比值的求法，考查拋物線、直線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題11.【答案】 B第8頁，共 16頁【解析】 解：根據(jù)函數(shù)的圖象

16、與圓C 的關系，得到點C 為點 M 和點 N 的對稱點21所以點 C 的橫坐標?=3+0= 1，即 ?(3 , 0) ，2311函數(shù)的最小正周期為?= 2(3+ 6) = 1故 函數(shù) ?(?)的圖象關于點的橫坐標為： ?11 +1，當 ?= 2時，點 (4, 0) 成中心對稱，233故 正確由于 ?1，4 =4所以 -116 -?= 4，則 ?=-1151，故單調(diào)增區(qū)間為(-516 -4 = -12-212 ,-6) ，故 錯誤11?由于 ?(?)=sin(2?+ ?)，當?= -6時， ?(- 6) =0，解得 ?= 3 所以 ?(?)=sin(2?+?3).當 ?= 0時 ?(0) = 3

17、21+ (331所以 |?|= ( ) 22) 2 =336所以圓 C 的面積為 ?( 312=31?故正確36 )36 .故選： B首先利用函數(shù)的圖象的應用求出函數(shù)的關系式， 進一步求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的對稱軸即圓的半徑本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題型12.【答案】 A?-?+2?-?+ 2?- ?，【解析】解：?(?)= ?+ ? -?的導數(shù)為 ? (?)= ?- ?可得 ?(?)的圖象在點 ?(?1,?(?), ?(-? ,?(-? ) 處兩條切線的斜率分別為111?-?+ 2?1-?2?1-

18、?，可得 ?1 + ?2 =?1 = ? 1 -?1?， ?2 = ? 1- ?1 -2? ，?(?)1?-?2-?+2+ ?1，=? 1+? 1+ ?1?1，?(-?1 ) = ?1+?1?1可得 ?(?)的圖象在 A 處的切線的方程為?-?1-?12-?1-(?+ ?+ ?1?)1 = (?-?- ?)(?- ?)1，?1 + 2?1?(?)的圖象在 B 處的切線的方程為?-?2-?(?1+? 1+ ? + ?)1= (?1 -?1?)(?+?1) ，?1- 2?1-?1-?1+ 4?)?- ?(-2?) - 可得，2? = (2?- 2?，111?-?+ 4?)?=10，?1 0，即 (

19、2? 1 - 2?1解得 ?0=0，故選： A求得 ?(?)的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程，可得?(?)的圖象在 A， B處的切線的方程，聯(lián)立方程，求得交點的橫坐標為0，即可得到結(jié)論本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查方程思想和化簡運算能力，屬于基礎題第9頁，共 16頁13.【答案】 ?= ?22?222【解析】 解：雙曲線 ?的離心率為 ?= = 2，? +?，2 -2 = 1(? 0, ? 0)=2= 2? 2?2?1+ 2=2?=1?22?2 = 1 的漸近線是?= ?= ?雙曲線 2-?答案： ?= ?22?2，可以求出 a， b，從而求出雙曲線的由雙曲線 2 -2 =

20、1(? 0, ? 0) 的離心率為?漸近線方程本題比較簡單，根據(jù)離心率求出a， b 即可求出雙曲線的漸近線方程14.【答案】 0,1?-1【解析】 解：由已知可得：程序框圖的功能是計算并輸出?= ?,? 1的值域，?, ? 13當 ?-1,1)?-1-2，時， ?= ? ,1)當 ?1,3 時， ?= log 3?0,1 ，故輸出 s 的取值范圍是 0,1 故答案為： 0,1 ?-1模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序框圖的功能是計算并輸出?= ? , ? 1的值域， 進而?3?, ? 1得到答案本題以程序框圖為載體，考查了函數(shù)的值域，屬于基礎題15.【答案】 23【解析】 解：易知| ?，| = 1?

21、2?= ?(?-?)= ?-?2?= | ?|?|?-|= 1 7?-1 = 1，2?= 7，23?= 1- cos?= 71?13=3? ?= 2| ?| ?|?= 21 7 72故答案為： 32將 ?看成基底， 表示出 ?，代入 ? ，可求出 ?的夾角， 則面積可求, ?=1,?本題考查平面向量數(shù)量積的運算和三角形的面積公式， 同時考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題16.【答案】 2 32 , 532第10 頁，共 16頁【解析】解：延長 AM 至 Q，使得 ?，連接 NQ，如圖，由于 ?-?為正方體， 由三垂1111線定理易知 ?為二面角 ?- ?- ?的平面角，? ?而 si

22、n ?= sin ?= ?= ?=22 ，故 ?=22 ，2= 55 ?=52+12) 2+ 1 =3，?= (55?2cos ?= ?=3 ；以點 D 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設?(?,2， ?)(0 ?， ? 2) ，?(2,0，0) ， ?(1,2，0) ， ?(0,2， 1) ， ?(2,1 0， 2) ，則 ?=(-2,2,1) ，?1=(? -2,2, ?-2) ，設平面 AMN 的一個法向量= (-1,2,0),?為 ?=(?,?,?)，則 ?=-? + 2?= 0，?-2? + 2?+ ?= 0?=故可取 ?=(2,1,2) ，又 ?1/ 平面 AMN ，?1

23、?=2(? -2) + 2 + 2(?-2) = ?+ ?-3= 0，點 P 的軌跡為經(jīng)過， ?中點的線段，?11?1根據(jù)對稱性可知，當點P 在兩個中點時， |?125 ，當點 P 在兩個中?= 2+ 1 =點的中點時， |?1|?=232，(5) 2- (2)2= 2故選段?的長度范圍是32, 512故答案為：2 ，325,32易知 ?為二面角 ?-?- ?的平面角， 利用相似的性質(zhì)可求得CQ，進而求得 NQ，由此得解二面角 ?-?-?的余弦值；建立空間直角坐標系，可求得點P 的軌跡為經(jīng)過 ?， ?中點的線段，再根據(jù)對稱性即可求得線段?長度的最值，進而得到取值11?11范圍本題考查二面角的求

24、法以及空間中線段長度取值范圍的求解，考查利用空間向量解決立體幾何中的動態(tài)問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想， 運算求解能力， 邏輯推理能力等， 是中檔題17.?q1【答案】 證明： ( ) 數(shù)列 ? 是等比數(shù)列，且公比不等于，?所以 ?+1 = ?數(shù)列 ? 滿足 ? = 2?，?，則 ? = log 2所以 ?- ? = log ?-?+1?2?+1?log 2?+1= ?2?= ?2?故數(shù)列 ? 是等差數(shù)列?解： () 由于 ? = 2，233? = 2? + ?，可知 3 2?= 2 2?+ 2?1324解得 ?= 2或 ?= 1( 舍去 ) 即 ?= 2?設1=1=1 -1 ，?2?+1?(?+1)?+1第11 頁，共 16頁所以 ?= 1 -1+1-111= 1 -1=?223+?+ -?+1?+1?+1【解析】 ( )直接利用定義證明數(shù)列為等差數(shù)列( )利用裂項相消法在數(shù)列求和中的應用求出結(jié)果本題考查的知識要點： 數(shù)列的通項公式的求法及應用， 裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題型18.【答案】 解： ( ) 證明：取 PA 的中點，連接DM ， EM，在 ?中， ME