高中數(shù)學(xué)競賽講義

1、精品文檔高中數(shù)學(xué)競賽資料一、高中數(shù)學(xué)競賽大綱全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識范圍不超出教育部 2000 年全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，但在方法的要求上有所提高。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試（二試）與國際數(shù)學(xué)奧林匹克接軌，在知識方面有所擴(kuò)展；適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容，所增加的內(nèi)容是：1. 平面幾何幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的幾個(gè)特殊點(diǎn)： 旁心、費(fèi)馬點(diǎn)，歐拉線。幾何不等式。 幾何極值問題。幾何中的變換：對稱、平移、旋轉(zhuǎn)。圓的冪和根軸。面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。2. 代數(shù)周

2、期函數(shù)，帶絕對值的函數(shù)。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)。遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式。第二數(shù)學(xué)歸納法。 平均值不等式， 柯西不等式， 排序不等式， 切比雪夫不等式， 一元凸函數(shù)。復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根。多項(xiàng)式的除法定理、因式分解定理，多項(xiàng)式的相等，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根* ，多項(xiàng)式的插值公式* 。n 次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對定理。函數(shù)迭代，簡單的函數(shù)方程 *3. 初等數(shù)論同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余類，二次剩余，不定方程和方程組，高斯函數(shù)x ，費(fèi)馬小定理，格點(diǎn)及其性

3、質(zhì)，無窮遞降法，歐拉定理* ，孫子定理 * 。4. 組合問題圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式。組合計(jì)數(shù)，組合幾何。抽屜原理。容斥原理。極端原理。圖論問題。集合的劃分。覆蓋。平面凸集、凸包及應(yīng)用* 。注：有 * 號的內(nèi)容加試中暫不考，但在冬令營中可能考。三、高中數(shù)學(xué)競賽基礎(chǔ)知識第一章集合與簡易邏輯一、基礎(chǔ)知識定義 1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示； 集合中的各個(gè)對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素 x 在集合 A 中，稱 x 屬于 A，記為 x A ，否則稱 x 不屬于 A，記作 xA 。例如，通常用 N， Z， Q， B， Q+ 分別表

4、示自然數(shù)集、整數(shù)集、 有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、 正有理數(shù)集， 不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法： 將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如 1 ，2， 3 ；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如 有理數(shù) ， x x 0 分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。定義 2 子集：對于兩個(gè)集合A 與 B，如果集合 A 中的任何一個(gè)元素都是集合B 中的元素，則 A 叫做 B 的子集，記為 AB，例如 NZ 。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A 是 B的子集， B 也是 A 的子集，則稱 A 與 B 相等。如果 A 是

5、 B 的子集，而且 B 中存在元素不屬于 A，則 A 叫 B 的真子集。.精品文檔定義 3交集，定義 4并集，AB x xA且xB.AB x xA或xB.定義 5補(bǔ)集，若AI, 則C1Ax xI,且xA 稱為 A在 I 中的補(bǔ)集。定義 6差集， AB x xA, 且x B 。定義 7集合 x axb, xR, ab 記作開區(qū)間 (a, b) ，集合 x axb, xR,ab 記作閉區(qū)間 a,b ， R 記作 (,).定理 1集合的性質(zhì)：對任意集合A，B， C，有：（1） A (B C)(A B) (A C);（2） A (B C) (A B) (AC ) ；（3）C1A C1BC1 (A B)

6、; （4） C1 A C1 B C1 (A B).【證明】這里僅證（1）、（ 3），其余由讀者自己完成。（1）若 xA( BC ) ，則 xA ，且 xB 或 xC ，所以 x( AB) 或 x( AC ) ，即 x( AB)( AC ) ；反之， x( AB)( AC ) ，則 x( AB) 或 x( AC ) ，即 xA 且 xB 或 x C ，即 xA 且 x(B C ) ，即 x A (B C ).（3）若 xC1AC1 B ，則 xC1 A 或 xC1 B ，所以 xA 或 xB ，所以 x( AB) ，又 xI ，所以 xC1(A B)，即C1AC1 BC1 (AB) ，反之也有C

7、1(A B) C1A C1B.定理 2加法原理：做一件事有n 類辦法，第一類辦法中有m1 種不同的方法，第二類辦法中有 m2 種不同的方法，第 n 類辦法中有 mn 種不同的方法，那么完成這件事一共有N m1m2mn 種不同的方法。定理 3乘法原理： 做一件事分 n 個(gè)步驟， 第一步有 m1 種不同的方法， 第二步有 m2 種不同的方法， ，第 n 步有 mn 種不同的方法， 那么完成這件事一共有Nm1 m2mn 種不同的方法。二、方法與例題1利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。例 1設(shè) M a ax 2y2 , x, yZ ，求證：.精品文檔（1） 2k1 M , (k Z ) ；（

8、2） 4k2 M , (k Z ) ；（3）若 pM , q M ，則 pq M . 證明 （1）因?yàn)?k, k1Z ，且 2k1 k 2( k 1)2，所以2k1M .（2）假設(shè)4k 2 M ( k Z ) ，則存在x, yZ ，使 4k2x 2y 2 ，由于 xy 和 xy有相同的奇偶性，所以x2y2( xy)( xy) 是奇數(shù)或4 的倍數(shù)，不可能等于4k2，假設(shè)不成立，所以 4k 2M .（3）設(shè) p x 2y 2 , q a 2b2 , x, y, a, bZ ，則 pq(x2y2 )(a2b2 )a2 a 2y 2 b2x2b 2y 2a 2(xayb) 2(xb ya) 2M（因?yàn)?/p>

9、 xayaZ , xbyaZ ）。2利用子集的定義證明集合相等，先證AB，再證 BA，則 A=B。例 2設(shè) A， B 是兩個(gè)集合，又設(shè)集合M 滿足AMB MA B,AB MAB ，求集合 M （用 A，B 表示）?！窘狻肯茸C ( AB)M ，若 x( AB)，因?yàn)?A MAB ，所以 x AM , xM ，所以 (AB)M ；再證 M(A B) ，若 xM ，則 xA B M A B. 1）若 xA ，則x A M A B2x B，則x B M A B。所以 M( AB).； ）若綜上，MAB.3分類討論思想的應(yīng)用。例 3A x x23x 20, B x x2ax a10, C x x2mx2

10、0 ，若ABA, ACC ，求 a, m.【解】依題設(shè)，A1,2 ，再由 x 2axa10 解得 xa1或 x1，因?yàn)?ABA，所以 BA，所以 a1A ，所以 a11 或 2，所以 a2或 3。因?yàn)?ACC，所以 CA，若 C，則m 280，即2 2m2 2 ，若 C，則 1C 或 2C ，解得 m3.綜上所述，a2或a 3 m 3或22m2 2 。；.精品文檔4計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。例 4 集合 A，B，C 是 I =1 ， 2，3，4，5，6，7，8， 9，0的子集，（ 1）若 A BI ，求有序集合對（ A，B）的個(gè)數(shù)；（ 2）求 I 的非空真子集的個(gè)數(shù)?！窘狻浚?1）集合 I 可劃分為三個(gè)

11、不相交的子集；AB，BA，AB, I 中的每個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集， 10 個(gè)元素共有310 種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對，所以集合對有 310 個(gè)。（2） I 的子集分三類：空集，非空真子集，集合I 本身，確定一個(gè)子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2 也有兩種， ，第 10步， 0 也有兩種，由乘法原理，子集共有2101024 個(gè)，非空真子集有 1022 個(gè)。5配對方法。例5 給定集合 I1,2,3, n 的 k 個(gè)子集： A1 , A2 , Ak ，滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，并且再添加I 的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求k 的值?！窘?/p>

12、】將 I 的子集作如下配對：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對，共得2n 1 對，每一對不能同在這 k 個(gè)子集中，因此，k2n 1；其次，每一對中必有一個(gè)在這k 個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設(shè)為C1A 與 A，并設(shè) AA1，則 A1C1 A，從而可以在 k 個(gè)子集中再添加 C1A ，與已知矛盾，所以 k2n 1 。綜上， k2n 1 。6競賽常用方法與例問題。定理 4容斥原理；用A 表示集合 A 的元素個(gè)數(shù)，則ABABA B ,A BCABCA BA CBCABC ，需要 xy 此結(jié)論可以推廣到 n 個(gè)集合的情況，即nnnAiAiAiAjAiA j Ak( 1) n 1Ai .i 1i 1i

13、 j1 i j k ni 1定義 8集合的劃分：若A1A2AnI，且AAj(1 i , jn,ij ) ，則i這些子集的全集叫I 的一個(gè) n -劃分。定理 5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理 6抽屜原理：將 mn1個(gè)元素放入 n( n1) 個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有不少于m 1個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于m 個(gè)元素；將無窮多個(gè)元素放入n 個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無窮多個(gè)元素。例 6求 1， 2， 3， ， 100 中不能被 2， 3， 5 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘狻坑?I1,2,3,100, A x1x100,且x能被 2整除（記為 2 x） ，.精品文檔B x1 x 100,3

14、 x, C x 1 x 100,5 x ，由容斥原理，100100ABCABCABBCCAABC321001001001001005610153074 ，所以不能被2， 3，5 整除的數(shù)有IABC26個(gè)。例 7S 是集合 1 ， 2， ， 2004 的子集， S 中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4 或 7，問 S 中最多含有多少個(gè)元素？【解】將任意連續(xù)的11 個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于S，將這 11 個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成6 組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若S 含有這 11 個(gè)數(shù)中至少 6 個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組， 與已知矛盾， 所以 S 至多含有其中 5 個(gè)數(shù)

15、。又因?yàn)?2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 個(gè)元素，另一方面，當(dāng)S r r11kt, t1,2,4,7,10, r2004, kN 時(shí)，恰有 S912 ，且 S 滿足題目條件，所以最少含有912 個(gè)元素。例8求所有自然數(shù)n(n2)，使得存在實(shí)數(shù)12, , an 滿足：a, a aia j 1ijn1,2, , n(n1).2【解】當(dāng) n2 時(shí)， a0,a21；當(dāng)n3時(shí)， a10, a21, a33 ；當(dāng)n4時(shí)，1a10, a22, a35, a41。下證當(dāng) n5時(shí)，不存在 a1 , a2 , an 滿足條件。令 0 a1a2an ，則 ann(n1)2.所

16、以必存在某兩個(gè)下標(biāo)ij，使得 aia jan1，所以 an1an 1a1an 1 或an1ana2 ，即 a21 ，所以 ann(n1) , an 1an1或 ann(n1) ， a21。22（）若 ann(n1) , an 1an1，考慮 an2，有 an2an2 或 an2ana2 ，2即a22 ，設(shè) an 2an2，則 an 1n 2anan 1，導(dǎo)致矛盾，故只有a22.a考慮 an3 ，有 an3an 2 或 an3ana3 ，即 a33 ，設(shè) an3 an 2 ，則an 1an 22a2a0 ，推出矛盾， 設(shè) a33 ，則 anan11a3a2 ，又推出矛盾，所以an 2a2 ,n4

17、 故當(dāng) n5時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。.精品文檔（）若 ann(n 1) , a21，考慮 an 2 ，有 an2an 1 或 an2ana3 ，即2a32 ，這時(shí) a3a2a2a1 ，推出矛盾，故 an 1an2?？紤] an3 ，有 an3an 2或 an3 ana3 ，即 a3=3，于是 a3a2anan 1 ，矛盾。因此 an2an3 ，所以an 1an 21a2a1 ，這又矛盾，所以只有an2a2 ，所以 n4 。故當(dāng) n5時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。例 9設(shè) A=1 ，2， 3， 4，5， 6 ， B=7 ， 8， 9， n ，在 A 中取三個(gè)數(shù)， B 中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合Ai

18、 ， i 1,2,20, AiAj2,1ij 20. 求 n 的最小值?！窘狻?nmin16.設(shè) B 中每個(gè)數(shù)在所有 Ai 中最多重復(fù)出現(xiàn)k 次，則必有 k4 。若不然，數(shù)m 出現(xiàn) k 次（ k4 ），則 3k12.在 m 出現(xiàn)的所有 Ai 中，至少有一個(gè) A 中的數(shù)出現(xiàn)3 次，不妨設(shè)它是1，就有集合 1 ， a1 , a2 , m, b1 1, a3 ,a4 , m, b2, 1, a5 , a6 , m,b3 ，其中 aiA,1i6 ，為滿足題意的集合。 ai必各不相同， 但只能是 2，3，4，5，6 這 5 個(gè)數(shù)，這不可能，所以 k4.20 個(gè) Ai 中， B 中的數(shù)有 40 個(gè)，因此至

19、少是 10 個(gè)不同的，所以 n16 。當(dāng) n16時(shí)，如下20 個(gè)集合滿足要求：1 ， 2，3， 7， 8 ，1 ， 2，4， 12， 14 ，1 ，2， 5， 15，16 ，1，2，6，9，10 ，1 ， 3，4， 10， 11 ， 1 ， 3， 5，13， 14 ，1 ， 3， 6，12， 15 ，1，4， 5，7，9，1 ， 4，6， 13， 16 ， 1 ， 5，6， 8， 11 ，2 ， 3， 4，13， 15 ，2，3， 5，9，11，2 ， 3， 6，14， 16 ， 2 ， 4， 5，8， 10 ，2 ，4， 6，7， 11 ，2 ， 5， 6，12， 13 ，3 ， 4， 5，

20、12， 16 ， 3 ，4， 6，8， 9 ，3 ， 5，6， 7，10 ，4 ， 5， 6，14， 15 。例 10 集合 1 ，2， ，3n 可以劃分成 n 個(gè)互不相交的三元集合 x, y, z ，其中 x y3z ，求滿足條件的最小正整數(shù)n.【解】 設(shè)其中第 i 個(gè)三元集為 x, y, z, i1,2, , n, 則 1+2+ +n4zi ,ii3ni 1所以 3n(3n 1)nzi 。當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 有 83n ，所以 n 8 ，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 有 8 3n1 ，42i 1所以 n5 ，當(dāng) n5時(shí)，集合 1，11，4，2 ，13，5，3 ，15，6，9，12， 7，10 ，14

21、， 8 滿足條件，所以n 的最小值為 5。第二章二次函數(shù)與命題一、基礎(chǔ)知識.精品文檔1二次函數(shù)：當(dāng) a0 時(shí)， y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 稱為關(guān)于 x 的二次函數(shù)，其對稱軸為直線 x=- b ，另外配方可得 f(x)=a(x-x 2b，下同。2a0)+f(x0 )，其中 x0=-2a-， x 上隨自變量 x 增大2二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a0 時(shí)， f( x)的圖象開口向上，在區(qū)間（0函數(shù)值減小（簡稱遞減） ，在 x0, -）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當(dāng) a0 時(shí)，方程 f( x)=0即 ax2+bx+c=0 和不等式 ax2+bx+c0 及 ax2+bx+c

22、0 時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分別是 x|xx 和 x|x xx ，二次函數(shù) f(x)圖象與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， f( x)還可寫成1212f(x)= a(x-x )(x-x ).122）當(dāng) =0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=x0=b,不等式和不等式的解集分別是2a x|xb 和空集， f(x)的圖象與 x 軸有唯一公共點(diǎn)。2a3）當(dāng) 0 時(shí)，方程無解，不等式和不等式的解集分別是R 和.f(x)圖象與 x 軸無公共點(diǎn)。當(dāng) a0，當(dāng) x=xf(x )=4a,若 a0) ，當(dāng)4ax0 m, n時(shí)， f(x)在 m, n 上的最小值為f(x0

23、); 當(dāng) x0n 時(shí)， f(x)在m,n上的最小值為 f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出） 。定義 1能判斷真假的語句叫命題，如“35”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。注 1 “ p 或 q”復(fù)合命題只有當(dāng) p， q 同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；“ p 且 q”復(fù)合命題只有當(dāng) p， q 同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；p 與“非 p”即“ p”恰好一真一假。定義 2原命題： 若 p 則 q（ p 為條件， q 為結(jié)論）；逆命題： 若 q 則 p；否命題： 若非 p 則 q；逆否命題：若

24、非q 則非 p。注 2 原命題與其逆否命題同真假。一個(gè)命題的逆命題和否命題同真假。注 3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義 3 如果命題“若p 則 q”為真，則記為pq 否則記作 pq.在命題“若 p 則 q”中，如果已知 pq,則 p 是 q 的充分條件；如果qp，則稱 p 是 q 的必要條件；如果 pq 但q 不p，則稱 p 是 q 的充分非必要條件；如果p 不q 但 pq，則 p 稱為 q 的必要非充分條件；若 pq 且 qp，則 p 是 q 的充要條件。二、方法與例題1待定系數(shù)法。例 1設(shè)方程 x2-x+1=0 的兩根是，求滿足f( )= ,f( )=

25、 ,f(1)=1 的二次函數(shù) f(x).【解】設(shè) f(x)=ax2+bx+c(a 0),則由已知 f( )= ,f( )=相減并整理得（-） （ +） a+b+1=0 ，.精品文檔因?yàn)榉匠蘹2-x+1=0 中0，所以，所以 ( +)a+b+1=0.又 + =1,所以 a+b+1=0.又因?yàn)?f(1)= a+b+c=1 ，所以 c-1=1 ，所以 c=2.又 b=-( a+1) ，所以 f(x)= ax2-(a+1)x+2.再由 f( )=得 a 2-(a+1) +2= ,所以 a 2-a +2= + =1，所以 a 2-a +1=0.即 a( 2-+1)+1- a=0,即 1-a=0，所以 a

26、=1,所以 f( x)=x2-2x+2.2方程的思想。例 2 已知 f(x)=ax2-c 滿足 -4 f(1) -1, -1 f(2) 5，求 f(3) 的取值范圍?！窘狻恳?yàn)?-4 f(1)= a-c -1,所以 1 -f(1)= c-a 4.又-1 f(2)=4 a-c 5, f(3)= 8 f(2)- 5 f(1),33所以 8 (-1)+ 5 f(3) 85+54,3333所以 -1 f(3) 20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例 3 已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程 f(x)=x 無實(shí)根，求證：方程 f( f(x)= x也無實(shí)根?！咀C明】若 a0，因

27、為 f(x)=x 無實(shí)根，所以二次函數(shù) g(x)= f(x)-x 圖象與 x 軸無公共點(diǎn)且開口向上，所以對任意的 x R,f(x)-x0 即 f( x)x，從而 f(f(x) f(x)。所以 f( f(x) x，所以方程f(f(x)= x 無實(shí)根。注：請讀者思考例3 的逆命題是否正確。4利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。例 4設(shè)二次函數(shù)1f(x)= ax2+bx+c(a0) ，方程 f(x)=x 的兩根 x1, x2 滿足 0x1x2 ,a（）當(dāng)x(0, x1)時(shí)，求證： xf(x)x1 ；（）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0 對稱，求證：x0 x1 .2【證明】因?yàn)?x1, x2 是方程 f(x)-x

28、=0 的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2 )，即 f(x)=a(x-x1 )(x-x2)+ x.（）當(dāng)x(0, x1)時(shí)， x-x1 0, x-x20，所以 f(x)x.其次 f( x)-x1=(x- x1)a(x-x2)+1= a(x-x1)x-x2+10 ，所以 f(x) x1.a綜上， xf(x)1 ，求證：方程的正根比 1 小，負(fù)根比 -1大?！咀C明】方程化為 2a2x2+2 ax+1-a2=0.構(gòu)造 f( x)=2 a2x2+2ax+1-a2,f(1)=( a+1)2 0, f(-1)=( a-1)2 0, f(0)=1- a20，所以 f( x)在區(qū)間（ -1,0）

29、和（ 0， 1）上各有一根。即方程的正根比1 小，負(fù)根比 -1 大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例 6當(dāng) x 取何值時(shí)，函數(shù)y= x4x25 取最小值？求出這個(gè)最小值。( x21)2【解】y=1-1511( x21)2,令 x21u,則 0u 1。x2121919y=5u2-u+1=5 u,102020且當(dāng) u119即 x= 3時(shí)， ymin =.1020例 7設(shè)變量 x 滿足 x2+bx-x( b-1) ，并且 x2+bx 的最小值是1 ，求 b 的值。2【解】由 x2+bx -x(b-(b+1)，即 b-2 時(shí)， x2+bx 在 0， -(b+1) 上是減函數(shù)，2所以 x2+bx 的最

30、小值為b+1,b+1=- 1 ,b=- 3 .22綜上， b=- 3 .27.一元二次不等式問題的解法。例 8x 2xa a20已知不等式組2a1的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求a 的取值范圍。x【解】因?yàn)榉匠?x2-x+a-a2=0的兩根為 x1=a, x2=1- a,若 a 0，則 x1 x2.的解集為ax1-2a.精品文檔因?yàn)?1-2a 1-a，所以 a 0,所以不等式組無解。若 a0 ，）當(dāng) 0 a 1 時(shí)， x1x2,的解集為 ax1- a.2因?yàn)?0ax1-a 1 時(shí)， a1- a，由得 x1-2a，2所以不等式組的解集為1-ax1 且 a-(1-a) 3，所以 1a2，并且當(dāng) 1a 2 時(shí)

31、，不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解0， 1。綜上， a 的取值范圍是 10， =(B-A-C)2( y-z)2-4AC(y-z)2 0 恒成立，所以 (B-A-C)2-4AC0，即 A2+B2+C2 2(AB+BC+CA)同理有 B 0， C 0，所以必要性成立。再證充分性，若A 0， B 0， C 0 且 A2+B2+C2 2(AB+BC+CA)，1）若 A=0，則由 B2+C2 2BC 得 (B-C)2 0，所以 B=C，所以 =0，所以成立，成立。2）若 A0，則由知0，所以成立，所以成立。綜上，充分性得證。9常用結(jié)論。定理 1若 a, b R, |a|-|b| |a+b| |a|+|b|.【證明

32、】因?yàn)?-|a| a |a|,-|b| b |b|，所以 -(|a|+|b|) a+b |a|+|b|,所以 |a+b| |a|+|b|（注：若m0，則 -m xm 等價(jià)于 |x| m） .又|a|=|a+b-b| |a+b|+|-b|,即|a|-|b| |a+b|.綜上定理 1 得證。定理 2若 a,b R, 則 a2+b2 2ab；若 x,yR+,則 x+y 2xy.(證略 )注 定理 2 可以推廣到 n 個(gè)正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。第三章函數(shù)一、基礎(chǔ)知識定義 1映射，對于任意兩個(gè)集合A，B，依對應(yīng)法則 f，若對 A 中的任意一個(gè)元素x，在 B中都有唯一一個(gè)元素與之對應(yīng)，則稱

33、f: A B 為一個(gè)映射。定義 2單射，若 f: A B 是一個(gè)映射且對任意 x, y A, xy, 都有 f(x)f(y)則稱之為單射。.精品文檔定義 3滿射，若 f: A B 是映射且對任意yB，都有一個(gè) x A 使得 f(x)=y，則稱 f: AB是A到B上的滿射。定義 4一一映射，若 f: A B 既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從 B 到 A 由相反的對應(yīng)法則 f-1構(gòu)成的映射，記作 f-1 : A B。定義 5函數(shù)，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A 稱為它的定義域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 對應(yīng) B

34、中的 y），則 y 叫做 x 的象， x 叫 y 的原象。集合 f(x)|xA 叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3 x -1 的定義域?yàn)?x|x 0,x R.定義 6反函數(shù)，若函數(shù)f: A B（通常記作 y=f( x)）是一一映射，則它的逆映射f-1 : AB叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解 x 得x=f-1(y)，然后將 x, y 互換得 y=f -1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=1的反函數(shù)是 y=1- 1(x 0).1xx定理 1互為

35、反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x 對稱。定理 2在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。定義 7函數(shù)的性質(zhì)。（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 I 上滿足對任意的x1, x2 I 并且 x1 x2，總有 f(x1) f(x2) ，則稱 f(x)在區(qū)間 I 上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I 稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，且 D 是關(guān)于原點(diǎn)對稱的數(shù)集，若對于任意的xD ，都有 f(-x)=- f(x) ，則稱 f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x D，都有 f(-x)=f(x)，則稱 f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對

36、稱。（3）周期性：對于函數(shù) f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)， f(x+T)=f(x)總成立，則稱 f(x)為周期函數(shù)， T 稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。定義 8如果實(shí)數(shù) ab，則數(shù)集 x|axb, x R 叫做開區(qū)間，記作（a,b），集合 x|a x b,xR 記作閉區(qū)間 a,b ，集合 x|ax b 記作半開半閉區(qū)間（ a,b，集合 x|a xa 記作開區(qū)間（ a, +），集合 x|x a 記作半開半閉區(qū)間（ - ,a. 定義 9 函數(shù)的圖象，點(diǎn)集 ( x,y)|y=f(x), x D 稱為函數(shù) y=f( x)的圖象，其中 D 為 f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù) y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系 (a,b0) ；（1）向右平移a 個(gè)單位得到 y=f(x-a)的圖象；（ 2）向左平移 a 個(gè)單位得到 y=f(x+a)的圖象；（